ในโทโพโลยีและสาขาคณิตศาสตร์ ที่เกี่ยวข้อง ปริภูมิT ₁ คือปริภูมิโทโพโลยีซึ่งสำหรับจุดสองจุดที่แตกต่างกันแต่ละจุดจะมีบริเวณใกล้เคียงที่ไม่มีจุดอื่นอยู่^{[ 1 ]} ปริภูมิR ₀ คือ ปริภูมิที่สิ่งนี้เป็นจริงสำหรับจุดสอง จุด ที่สามารถแยกแยะได้ทางโทโพโลยีคุณสมบัติ T ₁และ R ₀เป็นตัวอย่างของสัจพจน์ การแยก

ให้Xเป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีและให้xและyเป็นจุดในXเรากล่าวว่าxและyแยกจากกันถ้าแต่ละจุดอยู่ในบริเวณใกล้เคียงที่ไม่ครอบคลุมอีกจุดหนึ่ง

• Xเรียกว่าปริภูมิT ₁ถ้าจุดสองจุดที่แตกต่างกันในXถูกคั่นด้วย จุดสองจุดนั้น
• Xเรียกว่าปริภูมิR ₀ถ้าจุดสองจุดใดๆ ในX ที่สามารถแยกแยะได้ในเชิงโทโพโลยีถูกแยกออกจากกัน

ปริภูมิ AT ₁เรียกอีกอย่างว่าปริภูมิที่เข้าถึงได้หรือปริภูมิที่มีโทโพโลยีแบบเฟรเชต์และปริภูมิ R ₀เรียกอีกอย่างว่าปริภูมิสมมาตร (คำว่าปริภูมิเฟรเชต์ยังมีความหมายที่แตกต่างออกไป โดยสิ้นเชิง ในทางวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันด้วยเหตุนี้จึงนิยมใช้คำว่าปริภูมิT ₁มากกว่า นอกจากนี้ยังมีแนวคิดเกี่ยวกับปริภูมิเฟรเชต์-อูรีโซห์น ในฐานะ ปริภูมิแบบลำดับชนิดหนึ่งคำว่าปริภูมิสมมาตรยังมีความหมายอื่นอีก ด้วย )

ปริภูมิเชิงทอพอโลยีจะเป็นปริภูมิ T1 _ก็ต่อเมื่อเป็นทั้งปริภูมิ R0 _และปริภูมิคอลโมโกรอฟ (หรือ T0 ₎ (กล่าวคือ ปริภูมิที่จุดต่างกันสามารถแยกแยะได้ในเชิงทอพอโลยี) ปริภูมิเชิงทอพอโลยีจะเป็นปริภูมิ R0 _ก็ต่อเมื่อปริภูมิผลหารคอลโมโกรอฟ ของมัน เป็นปริภูมิ _T1

ถ้าเป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีแล้ว เงื่อนไขต่อไปนี้จะเทียบเท่ากัน: ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle X}$เป็นพื้นที่_T1
2. ${\displaystyle X}$เป็นพื้นที่T ₀ และ พื้นที่R ₀
3. จุดต่างๆ เป็นเซตปิดใน; กล่าวคือ สำหรับทุกจุดเซตที่มีสมาชิกเพียงตัวเดียวจะเป็นเซตย่อยปิดของ${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle \{x\}}$${\displaystyle X.}$
4. เซตย่อยทุกเซตของคือจุดตัดของเซตเปิดทั้งหมดที่บรรจุเซตย่อยนั้นไว้${\displaystyle X}$
5. เซตจำกัดทุก เซต เป็นเซตปิด^{[ 2 ]}
6. เซต โคไฟไนต์ทุกเซตของเป็นเซตเปิด${\displaystyle X}$
7. สำหรับตัวกรองอัลตร้าฟิลเตอร์คงที่ทุกตัวจะลู่เข้าสู่ค่าเดียวเท่านั้น${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x.}$
8. สำหรับทุกเซตย่อยของและทุกจุดจะเป็นจุดลิมิตของก็ต่อเมื่อทุกย่าน เปิด ของประกอบด้วยจุดจำนวนอนันต์ของ${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S.}$
9. แผนที่แต่ละแผนที่จากพื้นที่ Sierpińskiไปยังนั้นเป็นเรื่องง่าย${\displaystyle X}$
10. แผนที่จากปริภูมิ Sierpińskiไปยังจุดเดี่ยวมีคุณสมบัติการยกขึ้นเมื่อเทียบกับแผนที่จากไปยังจุดเดี่ยว${\displaystyle X}$

ถ้าเป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยี เงื่อนไขต่อไปนี้จะเทียบเท่ากัน: ^{[ 3 ]} (โดยที่หมายถึงการปิดของ) ${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {cl} \{x\}}$${\displaystyle \{x\}}$

1. ${\displaystyle X}$เป็น ช่องว่างR ₀
2. เมื่อกำหนดขอบเขตปิด ใดๆ แล้ว ขอบเขตปิด นั้นจะประกอบด้วยเฉพาะจุดที่ไม่สามารถแยกแยะได้ในเชิงโทโพโลยีจากจุดอื่นๆ เท่านั้น${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle \{x\}}$${\displaystyle x.}$
3. ค่าสัมประสิทธิ์ KolmogorovของคือT ₁${\displaystyle X}$
4. สำหรับสิ่งใดก็ตามที่อยู่ในการปิดของก็ต่อเมื่ออยู่ในการปิดของ${\displaystyle x,y\in X,}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \{y\}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \{x\}.}$
5. ลำดับก่อน ของการจำแนกเฉพาะบนนั้นสมมาตร(และดังนั้นจึงเป็นความสัมพันธ์สมมูล )${\displaystyle X}$
6. เซตสำหรับก่อให้เกิดการแบ่งส่วนของ(กล่าวคือ เซตดังกล่าวสองเซตใดๆ จะเป็นเซตที่เหมือนกันหรือเป็นเซตที่ไม่มีส่วนร่วมกัน)${\displaystyle \operatorname {cl} \{x\}}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle X}$
7. ถ้าเป็นเซตปิด และเป็นจุดที่ไม่อยู่ในแล้ว${\displaystyle F}$${\displaystyle x}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F\cap \operatorname {cl} \{x\}=\emptyset .}$
8. ทุกย่านของจุดหนึ่งๆประกอบด้วย${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle \operatorname {cl} \{x\}.}$
9. เซตเปิดทุก เซต เป็นผลรวมของเซตปิด
10. สำหรับตัวกรองอัลตราฟิลเตอร์คงที่ ทุกตัว จะลู่เข้าสู่จุดที่ไม่สามารถแยกแยะได้ในเชิงโทโพโลยีจากจุดอื่น${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x.}$

ในปริภูมิเชิงทอพอโลยีใดๆ เราจะพบคุณสมบัติต่อไปนี้ของจุดสองจุดใดๆ

${\displaystyle {\text{แยกจากกัน}}\implies {\text{สามารถแยกแยะได้ทางโทโพโลยี}}\implies {\text{แตกต่างกัน}}}$

ถ้าลูกศรแรกสามารถกลับทิศทางได้ พื้นที่นั้นคือ R ₀ถ้าลูกศรที่สองสามารถกลับทิศทางได้ พื้นที่นั้นคือT ₀ถ้าลูกศรประกอบสามารถกลับทิศทางได้ พื้นที่นั้นคือ T ₁พื้นที่จะเป็น T ₁ก็ต่อเมื่อเป็นทั้ง R ₀และT ₀

ปริภูมิ T ₁ ที่จำกัด นั้นจำเป็นต้องเป็นปริภูมิแบบไม่ต่อเนื่อง (เนื่องจากทุกเซตเป็นเซตปิด)

พื้นที่ที่เป็น T ₁ ในระดับท้องถิ่น ในแง่ที่ว่าแต่ละจุดมีบริเวณใกล้เคียงที่เป็น T 1 ₍เมื่อกำหนดโทโพโลยีของพื้นที่ย่อย) ก็เป็น T _{1 เช่นกัน} ^{[ 4 ]} ใน ทำนองเดียวกัน พื้นที่ที่เป็น R ₀ ในระดับท้องถิ่น ก็เป็น R ₀ เช่นกัน ในทางตรงกันข้าม ข้อความที่สอดคล้องกันไม่เป็นจริงสำหรับพื้นที่ T ₂ตัวอย่างเช่นเส้นตรงที่มีจุดกำเนิดสองจุดไม่ใช่พื้นที่ Hausdorffแต่เป็น Hausdorff ในระดับท้องถิ่น

• ปริภูมิ Sierpińskiเป็นตัวอย่างง่ายๆ ของโทโพโลยีที่เป็น T ₀แต่ไม่ใช่ T ₁และด้วยเหตุนี้จึงไม่ใช่ R ₀ด้วย
• โทโพโลยีช่วงเวลาที่ทับซ้อนกันเป็นตัวอย่างง่ายๆ ของโทโพโลยีที่เป็น T ₀แต่ไม่ใช่T ₁
• ทุกปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟแบบอ่อนเป็น T ₁แต่ข้อความกลับกันนั้นไม่เป็นจริงโดยทั่วไป
• โทโพโลยีโคไฟไนต์บนเซตอนันต์เป็นตัวอย่างง่ายๆ ของโทโพโลยีที่เป็น T ₁แต่ไม่ใช่เฮาส์ดอร์ฟ (T ₂ ) เนื่องจากไม่มีเซตเปิดที่ไม่ว่างสองเซตใดๆ ในโทโพโลยีโคไฟไนต์ที่ไม่มีส่วนร่วมกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ให้เป็นเซตของจำนวนเต็มและกำหนดให้เซตเปิดเป็นเซตย่อยของที่ประกอบด้วยทุกเซตยกเว้นเซตย่อยจำกัดของแล้วกำหนดจำนวนเต็มที่แตกต่างกันและ:${\displaystyle X}$${\displaystyle O_{A}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

• เซตเปิดประกอบด้วยแต่ไม่ใช่และเซตเปิดประกอบด้วยแต่ไม่ใช่;${\displaystyle O_{\{x\}}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle O_{\{y\}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$
• ในทำนองเดียวกัน เซตที่มีสมาชิกเพียงตัวเดียวทุกเซตเป็นส่วนเติมเต็มของเซตเปิดดังนั้นจึงเป็นเซตปิด${\displaystyle \{x\}}$${\displaystyle O_{\{x\}},}$

ดังนั้นปริภูมิที่ได้จึงเป็น T ₁ตามนิยามแต่ละข้อข้างต้น ปริภูมินี้ไม่ใช่ T ₂เพราะจุดตัดของเซตเปิดสองเซตใดๆและคือซึ่งไม่มีวันว่างเปล่า หรืออีกทางหนึ่ง เซตของจำนวนเต็มคู่เป็นเซตกระชับแต่ไม่ใช่เซตปิดซึ่งเป็นไปไม่ได้ในปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟ${\displaystyle O_{A}}$${\displaystyle O_{B}}$${\displaystyle O_{A}\cap O_{B}=O_{A\cup B},}$

• ตัวอย่างข้างต้นสามารถปรับเปลี่ยนเล็กน้อยเพื่อสร้างโทโพโลยีโคไฟไนต์แบบสองจุดซึ่งเป็นตัวอย่างของปริภูมิ R ₀ที่ไม่ใช่ทั้ง T ₁และ R ₁ให้เป็นเซตของจำนวนเต็มอีกครั้ง และใช้คำนิยามของจากตัวอย่างก่อนหน้า กำหนดฐานย่อยของเซตเปิดสำหรับจำนวนเต็มใดๆให้เป็นถ้าเป็นจำนวนคู่และถ้าเป็นจำนวนคี่ จากนั้นฐานของโทโพโลยีจะกำหนดโดยการตัดกัน แบบจำกัด ของเซตฐานย่อย: เมื่อกำหนดเซตจำกัดเซตเปิดของคือ${\displaystyle X}$${\displaystyle O_{A}}$${\displaystyle G_{x}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle G_{x}=O_{\{x,x+1\}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle G_{x}=O_{\{x-1,x\}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle A,}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle U_{A}:=\bigcap _{x\in A}G_{x}.}$

พื้นที่ที่ได้นั้นไม่ใช่ T ₀ (และด้วยเหตุนี้จึงไม่ใช่ T ₁ ) เพราะจุดและ(สำหรับจำนวนคู่) นั้นไม่สามารถแยกแยะได้ในเชิงโทโพโลยี แต่โดยพื้นฐานแล้วมันเทียบเท่ากับตัวอย่างก่อนหน้านี้${\displaystyle x}$${\displaystyle x+1}$${\displaystyle x}$

• โทโพโลยีซาริสกีบนวาไรตีพีชคณิต (เหนือฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิต ) คือ T ₁เพื่อดูสิ่งนี้ โปรดสังเกตว่าเซตเอกฐานที่มีจุดที่มีพิกัดท้องถิ่น คือเซตศูนย์ของพหุนาม ดังนั้น จุดนั้นจึงเป็นจุดปิด อย่างไรก็ตาม ตัวอย่างนี้เป็นที่รู้จักกันดีว่าเป็นปริภูมิที่ไม่ใช่เฮาส์ดอร์ฟ (T ₂ ) โทโพโลยีซาริสกีเป็นตัวอย่างของโทโพโลยีโคไฟไนต์โดยพื้นฐาน${\displaystyle \left(c_{1},\ldots ,c_{n}\right)}$${\displaystyle x_{1}-c_{1},\ldots ,x_{n}-c_{n}.}$
• โทโพโลยี Zariski บนวงแหวนสลับที่⁽นั่นคือสเปกตรัมเฉพาะของวงแหวน ) เป็น T ₀แต่โดยทั่วไปไม่ใช่ T ₁ ^{[ 5} ] เพื่อให้เห็นเช่นนี้ โปรดสังเกตว่าการปิดของเซตจุดเดียวคือเซตของอุดมคติเฉพาะ ทั้งหมด ที่ประกอบด้วยจุดนั้น (และดังนั้นโทโพโลยีจึงเป็น T ₀ ) อย่างไรก็ตาม การปิดนี้เป็นอุดมคติสูงสุดและจุดปิดเพียงจุดเดียวคืออุดมคติสูงสุด ดังนั้นจึงไม่มีอยู่ในเซตเปิดใด ๆ ของโทโพโลยี และดังนั้นปริภูมิจึงไม่เป็นไปตามสัจพจน์T ₁เพื่อให้เข้าใจตัวอย่างนี้ชัดเจนยิ่งขึ้น: โทโพโลยีแบบซาริสกี้สำหรับริงสลับที่นั้นกำหนดไว้ดังนี้: ปริภูมิโทโพโลยีคือเซต ของ อุดมคติเฉพาะทั้งหมดของริงสลับที่ ฐานของโทโพโลยีนั้นกำหนดโดยเซตเปิดของอุดมคติเฉพาะที่ไม่ประกอบด้วยสามารถตรวจสอบได้อย่างง่ายดายว่าสิ่งนี้เป็นฐานจริง ๆ ดังนั้นและและเซตปิดของโทโพโลยีแบบซาริสกี้คือเซตของอุดมคติเฉพาะที่ประกอบด้วยสังเกตว่าตัวอย่างนี้แตกต่างจากตัวอย่างโทโพโลยีแบบโคไฟไนต์ข้างต้นอย่างละเอียดอ่อน: จุดในโทโพโลยีโดยทั่วไปไม่ใช่เซตปิด ในขณะที่ในปริภูมิ T ₁จุดต่าง ๆ จะเป็นเซตปิดเสมอ${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A.}$${\displaystyle O_{a}}$${\displaystyle a\in A.}$${\displaystyle O_{a}\cap O_{b}=O_{ab}}$${\displaystyle O_{0}=\varnothing }$${\displaystyle O_{1}=X.}$${\displaystyle a.}$
• พื้นที่ ที่ไม่มีการเชื่อมต่อโดยสิ้นเชิงทุกแห่งคือ T ₁เนื่องจากทุกจุดเป็นส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันและดังนั้นจึงเป็นพื้นที่ปิด

คำว่า "T ₁ ", "R ₀ " และคำพ้องความหมาย สามารถนำไปใช้กับปริภูมิเชิงทอพอโลยีรูปแบบต่างๆ เช่นปริภูมิเอกรูปปริภูมิโคชีและปริภูมิการลู่เข้าลักษณะเฉพาะที่เชื่อมโยงแนวคิดนี้ในตัวอย่างทั้งหมดคือ ลิมิตของอัลตราฟิลเตอร์คงที่ (หรือเน็ต คงที่ ) จะมีเอกลักษณ์เฉพาะ (สำหรับปริภูมิ T ₁ ) หรือมีเอกลักษณ์เฉพาะจนถึงความไม่สามารถแยกแยะได้ทางทอพอโลยี (สำหรับปริภูมิ R ₀ )

ปรากฏว่าปริภูมิเอกรูป และโดยทั่วไปแล้วปริภูมิโคชี จะเป็น R ₀ เสมอ ดังนั้นเงื่อนไข T ₁ในกรณีเหล่านี้จึงลดลงเหลือเงื่อนไข T ₀แต่ R ₀เพียงอย่างเดียวก็อาจเป็นเงื่อนไขที่น่าสนใจสำหรับปริภูมิการลู่เข้าประเภทอื่น ๆ เช่น ปริภูมิพรีโทโพโลยี

• สมบัติทางทอพอโลยี  – สมบัติทางคณิตศาสตร์ของปริภูมิ

• AV Arkhangel'skii , LS Pontryagin (Eds.) General Topology I (1990) Springer-Verlag ISBN 3-540-18178-4.
• ฟอลแลนด์, เจอรัลด์ (1999). การวิเคราะห์เชิงจริง: เทคนิคสมัยใหม่และการประยุกต์ใช้ (ฉบับ ที่ 2). จอห์น ไวลีย์ แอนด์ ซันส์ อิงค์. หน้า  116. ISBN 0-471-31716-0.
• Schechter, Eric (1996). คู่มือการวิเคราะห์และรากฐาน . ซานดิเอโก, แคลิฟอร์เนีย: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365 .
• Lynn Arthur Steen และ J. Arthur Seebach, Jr., ตัวอย่างค้านในโทโพโลยี Springer-Verlag, นิวยอร์ก, 1978. พิมพ์ซ้ำโดย Dover Publications, นิวยอร์ก, 1995. ISBN 0-486-68735-X(ฉบับโดเวอร์)
• วิลลาร์ด, สตีเฟน (1998). โทโพโลยีทั่วไป . นิวยอร์ก: โดเวอร์. หน้า  86–90 . ISBN 0-486-43479-6.