ในโทโพโลยีจุดสองจุดใน ปริภูมิ โทโพโลยีXจะแยกแยะไม่ได้ในเชิงโทโพ โลยี ^{[ 1 ]}ถ้าจุดทั้งสองมีบริเวณใกล้เคียงที่ เหมือนกันทุกประการ กล่าวคือ ถ้าxและyเป็นจุดในXและN _xคือเซตของบริเวณใกล้เคียงทั้งหมดที่ประกอบด้วยxและN _yคือเซตของบริเวณใกล้เคียงทั้งหมดที่ประกอบด้วยyแล้วxและyจะ "แยกแยะไม่ได้ในเชิงโทโพโลยี" ก็ต่อเมื่อ N _x  =  N _y เท่านั้น (ดูระบบบริเวณใกล้เคียง เชิงสัจพจน์ของ Hausdorff )

โดยสัญชาตญาณแล้ว จุดสองจุดจะแยกแยะไม่ได้ในเชิงโทโพโลยี หากโทโพโลยีของXไม่สามารถแยกแยะความแตกต่างระหว่างจุดทั้งสองได้

จุดสองจุดในปริภูมิXสามารถแยกแยะได้ในเชิงโทโพโลยี หาก จุดทั้งสองนั้นไม่สามารถแยกแยะไม่ได้ในเชิงโทโพโลยี นั่นหมายความว่ามี_เซตเปิด ที่บรรจุจุดเพียงจุดเดียวจากสองจุดนั้น (หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ มี เซตปิดที่บรรจุจุดเพียงจุดเดียวจากสองจุดนั้น) จากนั้นสามารถใช้เซตเปิดนี้เพื่อแยกแยะจุดทั้งสองได้ปริภูมิT₀คือปริภูมิเชิงโทโพโลยีที่ทุกคู่ของจุดที่แตกต่างกันสามารถแยกแยะได้ในเชิงโทโพโลยี นี่คือสัจพจน์ การแยก ที่อ่อนที่สุด

ความไม่สามารถแยกแยะได้ทางทอพอโลยี กำหนดความสัมพันธ์สมมูลบนปริภูมิทอพอโลยีX ใดๆ ถ้าxและyเป็นจุดในXเราจะเขียนx ≡ yซึ่งหมายความว่า " xและyไม่สามารถแยกแยะได้ทางทอพอโลยี" ชั้นสมมูลของxจะถูกแทนด้วย [ x ]

ตามนิยามแล้ว จุดสองจุดใดๆ ที่แตกต่างกันในปริภูมิT₀ _นั้นสามารถแยกแยะได้ในเชิงโทโพโลยี ในทางกลับกันความสม่ำเสมอและความปกติไม่ได้หมายความถึง T₀ _เสมอไป ดังนั้นเราจึงสามารถพบตัวอย่างที่ไม่ธรรมดาของจุดที่ไม่สามารถแยกแยะได้ในเชิงโทโพโลยีในปริภูมิโทโพโลยีแบบสม่ำเสมอหรือแบบปกติ อันที่จริง ตัวอย่างเกือบทั้งหมดที่กล่าวถึงด้านล่างนี้เป็นแบบสม่ำเสมอโดยสมบูรณ์

• ในปริภูมิที่ไม่ต่อเนื่องจุดสองจุดใดๆ ก็ตามจะไม่สามารถแยกแยะได้ในเชิงโทโพโลยี
• ในปริภูมิเสมือนเมตริกจุดสองจุดจะแยกแยะไม่ได้ในเชิงโทโพโลยีก็ต่อเมื่อระยะห่างระหว่างจุดทั้งสองเป็นศูนย์
• ในปริภูมิเวกเตอร์กึ่งนอร์ม x ≡ y ก็ต่อเมื่อ ‖ x − y ‖ = 0
  • ตัวอย่างเช่น ให้L ² ( R ) เป็นปริภูมิของฟังก์ชันที่วัดได้ ทั้งหมด จากRไปRซึ่งสามารถหาปริพันธ์กำลังสองได้ (ดูปริภูมิL ^p ) แล้วฟังก์ชันfและg สองฟังก์ชัน ในL ² ( R ) จะแยกแยะไม่ได้ในเชิงโทโพโลยีก็ต่อเมื่อฟังก์ชันทั้งสองเท่ากันเกือบทุกที่
• ในกลุ่มโทโพโลยี x ≡ y ก็ต่อเมื่อx ⁻¹ y ∈ cl{ e } โดยที่ cl{ e } คือส่วนปิดของกลุ่มย่อยที่ไม่มีสมาชิกอื่นชั้นสมมูลคือเซตย่อยร่วมของ cl{ e } (ซึ่งเป็น กลุ่มย่อยปกติเสมอ)
• ปริภูมิเอกรูป (Uniform space)เป็นการขยายแนวคิดของทั้งปริภูมิเสมือนเมตริก (pseudometric space) และกลุ่มโทโพโลยี (topological groups) ในปริภูมิเอกรูปx ≡ yก็ต่อเมื่อคู่ ( x , y ) เป็นสมาชิกของทุกกลุ่มรอบข้าง (entourage ) จุดตัดของกลุ่มรอบข้างทั้งหมดเป็นความสัมพันธ์สมมูลบนXซึ่งก็คือความสัมพันธ์ของการไม่สามารถแยกแยะได้ทางโทโพโลยี (topological indistinguishability) นั่นเอง
• ให้Xมีโทโพโลยีเริ่มต้นโดยสัมพันธ์กับตระกูลของฟังก์ชันแล้วจุดสองจุดxและyในXจะแยกแยะไม่ได้ในเชิงโทโพโลยี หากตระกูลของฟังก์ชันนั้นไม่แยกจุดทั้งสองออกจากกัน (กล่าวคือสำหรับทุก)${\displaystyle \{f_{\alpha }:X\to Y_{\alpha }\}}$${\displaystyle f_{\alpha }}$${\displaystyle f_{\alpha }(x)=f_{\alpha }(y)}$${\displaystyle \alpha }$
• เมื่อกำหนดความสัมพันธ์สมมูลใดๆ บนเซตXแล้ว จะมีโทโพโลยีบนXที่แนวคิดเรื่องความไม่สามารถแยกแยะได้ทางโทโพโลยีสอดคล้องกับความสัมพันธ์สมมูลที่กำหนดให้ เราสามารถใช้ชั้นสมมูลเป็นฐานสำหรับโทโพโลยีได้ ซึ่งเรียกว่า โท โพ โล ยีแบบแบ่งส่วนบนX

ความสัมพันธ์ของการไม่สามารถแยกแยะทางโทโพโลยีบนปริภูมิXสามารถกู้คืนได้จากลำดับก่อนหน้า ตามธรรมชาติ บนXที่เรียกว่าลำดับก่อนหน้าของการเฉพาะเจาะจงสำหรับจุดxและyในXลำดับก่อนหน้านี้ถูกกำหนดโดย

x ≤ y ก็ต่อเมื่อx ∈ cl{ y }

โดยที่ cl{ y } หมายถึงการปิดของ { y } หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือx ≤ yถ้าระบบย่านใกล้เคียงของxซึ่งเขียนแทนด้วยN _xนั้น บรรจุอยู่ในระบบย่านใกล้เคียงของy :

x ≤ yก็ต่อเมื่อN _x ⊂ N _yเท่านั้น

เห็นได้ชัดว่าความสัมพันธ์นี้บนXเป็นความสัมพันธ์สะท้อนและถ่ายทอดได้ดังนั้นจึงกำหนดลำดับก่อนหน้าได้ อย่างไรก็ตาม โดยทั่วไปแล้ว ลำดับก่อนหน้านี้จะไม่เป็นความสัมพันธ์แบบปฏิสมมาตรอันที่จริง ความสัมพันธ์สมมูลที่กำหนดโดย ≤ ก็คือความสัมพันธ์ของการไม่สามารถแยกแยะได้ทางโทโพโลยี:

x ≡ yก็ต่อเมื่อx ≤ yและy ≤ xเท่านั้น

ปริภูมิเชิงทอพอโลยีจะเรียกว่าสมมาตร (หรือ R ₀ )ถ้าลำดับการจัดเรียงเฉพาะเจาะจงสมมาตร (กล่าวคือx ≤ yหมายความว่าy ≤ x ) ในกรณีนี้ ความสัมพันธ์ ≤ และ ≡ จะเหมือนกัน ความไม่สามารถแยกแยะได้เชิงทอพอโลยีจะแสดงออกมาได้ดีกว่าในปริภูมิเหล่านี้และเข้าใจได้ง่ายกว่า โปรดทราบว่าปริภูมิประเภทนี้รวมถึง ปริภูมิ ปกติและปริภูมิปกติสมบูรณ์ ทั้งหมด ด้วย

มีหลายวิธีที่เทียบเท่ากันในการพิจารณาว่าจุดสองจุดนั้นไม่สามารถแยกแยะได้ในเชิงโทโพโลยี ให้Xเป็นปริภูมิโทโพโลยี และให้xและyเป็นจุดในXกำหนดให้cl{ x } และ cl{ y } แทน การปิดของxและy ตามลำดับ และN _xและN _yแทนระบบย่านใกล้ เคียง ตามลำดับ แล้วข้อความต่อไปนี้เทียบเท่ากัน:

• x ≡ y
• สำหรับเซตเปิดU แต่ละเซต ในXนั้นUจะประกอบด้วยxและy อย่างใดอย่างหนึ่ง หรือไม่ ประกอบด้วยทั้งสองอย่างเลยก็ได้
• N _x = N _y
• x ∈ cl{ y } และy ∈ cl{ x }
• cl{ x } = cl{ y }
• x ∈ ∩ N _yและy ∈ ∩ N _x
• ∩ N _x = ∩ N _y
• x ∈ cl{ y } และx ∈ ∩ N _y
• xเป็นสมาชิกของทุกเซตเปิดและทุกเซตปิดที่ประกอบด้วยy
• โครงข่ายหรือตัวกรองจะลู่เข้าสู่xก็ต่อเมื่อมันลู่เข้าสู่y เท่านั้น

เงื่อนไขเหล่านี้สามารถลดรูปได้ในกรณีที่Xเป็นปริภูมิสมมาตรสำหรับปริภูมิเหล่านี้ (โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับปริภูมิปกติ ) ข้อความต่อไปนี้ถือว่าเทียบเท่ากัน:

• x ≡ y
• สำหรับเซตเปิดU แต่ละเซต ถ้าx ∈ Uแล้วy ∈ U
• N _x ⊂ N _y
• x ∈ cl{ y }
• x ∈ ∩ N _y
• xเป็นสมาชิกของทุกเซตปิดที่ประกอบด้วยy
• xเป็นสมาชิกของทุกเซตเปิดที่ประกอบด้วยy
• ทุกโครงข่ายหรือตัวกรองที่ลู่เข้าสู่xจะลู่เข้าสู่y ด้วย

เพื่ออธิบายชั้นสมมูลของxจึงสะดวกที่จะกำหนด เซต บนและเซตล่างของx ก่อน ซึ่งทั้งสองอย่างนี้ถูกกำหนดโดยสัมพันธ์กับลำดับก่อนของการจำแนกประเภทที่กล่าวถึงข้างต้น

เซตล่างของxก็คือการปิดของ { x } นั่นเอง:

${\displaystyle \mathop {\downarrow } x=\{y\in X:y\leq x\}={\textrm {cl}}\{x\}}$

ในขณะที่เซตบนของxคือจุดตัดของระบบย่านใกล้เคียงที่x :

${\displaystyle \mathop {\uparrow } x=\{y\in X:x\leq y\}=\bigcap {\mathcal {N}__{x}.}$

ชั้นสมมูลของxจะถูกกำหนดโดยจุดตัด

${\displaystyle [x]={\mathop {\downarrow } x}\cap {\mathop {\uparrow } x}.}$

เนื่องจาก ↓ xคือจุดตัดของเซตปิดทั้งหมดที่ประกอบด้วยxและ ↑ xคือจุดตัดของเซตเปิดทั้งหมดที่ประกอบด้วยx ดังนั้นชั้นสมมูล [ x ] คือจุดตัดของเซตเปิดและเซตปิดทั้งหมดที่ประกอบด้วยx

ทั้ง cl{ x } และ∩ N _xจะมีชั้นสมมูล [ x ] โดยทั่วไปแล้ว ทั้งสองเซตจะมีจุดเพิ่มเติมอีกด้วย อย่างไรก็ตาม ในปริภูมิสมมาตร (โดยเฉพาะในปริภูมิปกติ ) เซตทั้งสามจะตรงกัน

${\displaystyle [x]={\textrm {cl}}\{x\}=\bigcap {\mathcal {N}}_{x}.}$

โดยทั่วไปแล้ว ชั้นสมมูล [ x ] จะปิดก็ต่อเมื่อปริภูมิสมมาตรเท่านั้น

ให้f  : X → Yเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องแล้วสำหรับxและy ใดๆ ในX f ≠ y

ถ้า x ≡ yแสดงว่าf ( x ) ≡ f ( y )

โดยทั่วไปแล้วข้อความกลับกันจะเป็นเท็จ (มีผลหารของปริภูมิ T ₀ที่ไม่สำคัญ ) ข้อความกลับกันจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อXมีโทโพโลยีเริ่มต้นที่เกิดจากfโดยทั่วไปแล้ว ถ้าXมีโทโพโลยีเริ่มต้นที่เกิดจากตระกูลของแผนที่แล้ว ${\displaystyle f_{\alpha }:X\to Y_{\alpha }}$

x ≡ yก็ต่อเมื่อf _α ( x ) ≡ f _α ( y ) สำหรับทุก α

ดังนั้น องค์ประกอบสองอย่างในปริภูมิผลคูณจะแยกแยะไม่ได้ในเชิงโทโพโลยีก็ต่อเมื่อส่วนประกอบแต่ละส่วนขององค์ประกอบเหล่านั้นแยกแยะไม่ได้ในเชิงโทโพโลยีเช่นกัน

เนื่องจากความไม่สามารถแยกแยะได้ทางทอพอโลยีเป็นความสัมพันธ์สมมูลในปริภูมิทอพอโลยีใดๆXเราจึงสามารถสร้างปริภูมิผลหารKX = X /≡ ได้ ปริภูมิKXเรียกว่าผลหารของ KolmogorovหรือการระบุT ₀ของXปริภูมิKX นั้นเป็น T ₀จริงๆ(กล่าวคือ จุดทั้งหมดสามารถแยกแยะได้ทางทอพอโลยี) ยิ่งไปกว่านั้น ด้วยคุณสมบัติเฉพาะของแผนที่ผลหาร แผนที่ต่อเนื่องใดๆf  : X → YจากXไปยังปริภูมิ T ₀จะแยกตัวประกอบผ่านแผนที่ผลหารq  : X → KXในเชิงหมวดหมู่ ปริภูมิ T ₀ก่อให้เกิดหมวดหมู่ย่อยสะท้อนของหมวดหมู่ของปริภูมิทอพอโลยี โดยมีผลหารของ Kolmogorov เป็นตัวสะท้อน

แม้ว่าแผนที่ผลหารqโดยทั่วไปจะไม่ใช่โฮมีโอเมอร์ฟิซึม (เนื่องจากโดยทั่วไปแล้วไม่ใช่ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ) แต่ก็เหนี่ยวนำให้เกิดการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงระหว่างโทโพโลยีบนXและโทโพโลยีบนKXโดยสัญชาตญาณแล้ว ผลหารของ Kolmogorov ไม่ได้เปลี่ยนแปลงโทโพโลยีของปริภูมิ มันเพียงแต่ลดเซตของจุดลงจนกระทั่งจุดเหล่านั้นสามารถแยกแยะได้ในเชิงโทโพโลยี

• ปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟ  – ประเภทหนึ่งของปริภูมิเชิงทอพอโลยี
• พื้นที่เฮาส์ดอร์ฟในระดับท้องถิ่น  – พื้นที่ที่ทุกจุดมีย่านใกล้เคียงแบบเฮาส์ดอร์ฟ
• สัจพจน์การแยก  – สัจพจน์ในวิชาโทโพโลยีที่กำหนดแนวคิดเรื่อง "การแยก"
• การสั่งซื้อล่วงหน้าแบบพิเศษ
• พื้นที่T ₀  – แนวคิดในทางโทโพโลยีหน้าเว็บที่แสดงคำอธิบายสั้น ๆ ของเป้าหมายการเปลี่ยนเส้นทาง