ในสาขาคณิตศาสตร์ที่เรียกว่าโทโพโลยีลำดับก่อนหน้าแบบเฉพาะเจาะจง (หรือแบบแคนอนิก ) เป็นลำดับก่อนหน้า ตามธรรมชาติ บนเซตของจุดใน ปริภูมิโท _โพโลยีสำหรับปริภูมิส่วนใหญ่ที่พิจารณาในทางปฏิบัติ กล่าวคือสำหรับปริภูมิทั้งหมดที่สอดคล้องกับสัจพจน์การแยกT₀ลำดับก่อนหน้านี้ยังเป็นลำดับบางส่วน (เรียกว่าลำดับเฉพาะเจาะจง ) ในทางกลับกัน สำหรับปริภูมิT₁ ลำดับ _นี้จะกลายเป็นสิ่งที่ไม่สำคัญและไม่น่าสนใจ

ลำดับการจำแนกเฉพาะมักถูกนำมาพิจารณาในการประยุกต์ใช้ในวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์โดยที่ปริภูมิ T0 _{ปรากฏ}ในความหมายเชิงสัญลักษณ์ลำดับการจำแนกเฉพาะยังมีความสำคัญสำหรับการระบุโทโพโลยีที่เหมาะสมบนเซตที่มีลำดับบางส่วน เช่นเดียวกับที่ทำในทฤษฎี ลำดับ

พิจารณาปริภูมิเชิงทอพอโลยีใดๆ ลำดับการจัดเรียงเฉพาะ ≤ บนเชื่อมโยงจุดสองจุดของเมื่อจุดหนึ่งอยู่ในส่วนปิดของอีกจุดหนึ่ง อย่างไรก็ตาม ผู้เขียนหลายคนมีความเห็นไม่ตรงกันเกี่ยวกับ 'ทิศทาง' ที่ลำดับควรไป สิ่งที่เห็นพ้องกันคือ ถ้า ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle x}$บรรจุอยู่ใน,${\displaystyle \mathrm {cl} \{y\}}$

(โดยที่หมายถึงการปิดของเซตสมาชิกเดียว กล่าว คือการตัดกัน ของ เซตปิดทั้งหมดที่ประกอบด้วย ) เรากล่าวว่าเป็นการเฉพาะของและเป็นการวางนัยทั่วไปของซึ่งโดยทั่วไปเขียนว่าหรือสัญลักษณ์นี้สอดคล้องกับข้อเท็จจริงที่ว่าก็ต่อเมื่อลำดับคงที่ที่มีค่าคงที่ลู่เข้าสู่ใน(ในความหมายที่ว่าทุกย่านใกล้เคียงของประกอบด้วย) ${\displaystyle \mathrm {cl} \{y\}}$${\displaystyle \{y\}}$${\displaystyle \{y\}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y\rightsquigarrow x}$${\displaystyle y\to x.}$${\displaystyle y\to x}$${\displaystyle x\in \mathrm {cl} \{y\}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

น่าเสียดายที่คุณสมบัติ " เป็นความเชี่ยวชาญเฉพาะของ" ถูกเขียนเป็นและ เป็นโดยผู้เขียนหลายคน (ดู^{[ 1 ]}และ^{[ 2 ]} ตามลำดับ ) ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x\leq y}$${\displaystyle y\leq x}$

ทั้งสองนิยามมีเหตุผลที่เข้าใจได้ง่าย: ในกรณีของนิยามแรก เรามี

${\displaystyle x\leq y}$ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle \mathrm {cl} \{x\}\subseteq \mathrm {cl} \{y\}.}$

อย่างไรก็ตาม ในกรณีที่ปริภูมิของเราคือสเปกตรัมเฉพาะของวงแหวนสลับที่ (ซึ่งเป็นสถานการณ์ที่กระตุ้นให้เกิดการประยุกต์ใช้ที่เกี่ยวข้องกับเรขาคณิตเชิงพีชคณิต ) แล้วภายใต้นิยามลำดับที่สองของเรา เราจะได้ว่า ${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathrm {Spec} (R)}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle y\leq x}$ก็ต่อเมื่อเป็นอุดมคติหลักของวงแหวน เท่านั้น${\displaystyle y\subseteq x}$${\displaystyle R}$

เพื่อให้สอดคล้องกัน ในส่วนที่เหลือของบทความนี้ เราจะใช้คำจำกัดความแรกที่ว่า " เป็นการเฉพาะของ" สามารถเขียนได้เป็น จากนั้นเราจะเห็นว่า ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x\leq y}$

${\displaystyle x\leq y}$ก็ต่อเมื่อมีอยู่ในเซตปิด ทั้งหมด ที่ประกอบด้วยและ${\displaystyle x}$${\displaystyle y,}$

${\displaystyle x\leq y}$ก็ต่อเมื่อ นั้นมีอยู่ในเซตเปิด ทั้งหมด ที่ประกอบด้วย${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$

คำอธิบายเหล่านี้ช่วยชี้แจงว่าทำไมเราจึงพูดถึง "ความเฉพาะเจาะจง" (specialization): เพราะความเฉพาะเจาะจง นั้นมีความทั่วไปมากกว่าเนื่องจากมันบรรจุอยู่ในเซตเปิดมากกว่า สิ่งนี้เข้าใจได้ง่ายเป็นพิเศษหากเรามองเซตปิดเป็นคุณสมบัติที่จุดอาจมีหรือไม่มี ยิ่งเซตปิดบรรจุจุดมากเท่าใด จุดนั้นก็ยิ่งมีคุณสมบัติมากขึ้น และยิ่งมีความพิเศษมากขึ้นเท่านั้น การใช้งานสอดคล้องกับแนวคิดทางตรรกศาสตร์แบบคลาสสิกเรื่องจีนัสและสปีชีส์และยังสอดคล้องกับการใช้จุดทั่วไปในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตแบบ ดั้งเดิม ซึ่งจุดปิดมีความเฉพาะเจาะจงมากที่สุด ในขณะที่จุดทั่วไปของปริภูมิคือจุดที่อยู่ในเซตย่อยเปิดที่ไม่ว่างเปล่าทุกเซต แนวคิดเรื่องความเฉพาะเจาะจงยังถูกนำไปใช้ในทฤษฎีการประเมินค่า (valuation theory ) ด้วย${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

โดยทั่วไปแล้ว แนวคิดที่ว่าองค์ประกอบระดับบนมีความเฉพาะเจาะจงมากกว่านั้น มักพบได้ในทฤษฎีโดเมนซึ่งเป็นสาขาหนึ่งของทฤษฎีลำดับที่มีการประยุกต์ใช้มากมายในวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์

ให้Xเป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยี และให้ ≤ เป็นลำดับก่อนการจำแนกเฉพาะบนX เซตเปิดทุก เซต เป็นเซตบนโดยสัมพันธ์กับ ≤ และเซตปิด ทุกเซต เป็นเซตล่างบทกลับไม่เป็นจริงโดยทั่วไป ในความเป็นจริง ปริภูมิเชิงทอพอโลยีเป็นปริภูมิแบบอเล็กซานดรอฟ-ดิสครีตก็ต่อเมื่อเซตบนทุกเซตเป็นเซตเปิดด้วย (หรือเทียบเท่ากับเซตล่างทุกเซตเป็นเซตปิดด้วย)

ให้Aเป็นเซตย่อยของXเซตบนที่เล็กที่สุดที่บรรจุAจะใช้สัญลักษณ์ ↑ A และเซตล่างที่เล็กที่สุดที่บรรจุAจะใช้สัญลักษณ์ ↓ Aในกรณีที่A = { x } เป็นเซตที่มีสมาชิกเพียงตัวเดียว จะใช้สัญลักษณ์ ↑ xและ ↓ xสำหรับx ∈ Xจะได้ว่า:

• ↑ x = { y ∈ X  : x ≤ y } = ∩{เซตเปิดที่มีx อยู่ภายใน }
• ↓ x = { y ∈ X  : y ≤ x } = ∩{เซตปิดที่มีx } = cl{ x }

เซตล่าง ↓ xนั้นเป็นเซตปิดเสมอ แต่เซตบน ↑ x นั้นไม่จำเป็นต้องเป็นเซตเปิดหรือเซตปิด จุดปิดของปริภูมิเชิงทอพอโลยีXก็คือสมาชิกที่เล็กที่สุดของXเมื่อเทียบกับ ≤ นั่นเอง

• ในปริภูมิ Sierpinski {0,1} ที่มีเซตเปิด {∅, {1}, {0,1}} ลำดับการเฉพาะเจาะจงคือลำดับตามธรรมชาติ (0 ≤ 0, 0 ≤ 1 และ 1 ≤ 1)
• ถ้าpและqเป็นสมาชิกของ Spec( R ) ( สเปกตรัมของวงแหวนสลับที่ R ) แล้วp ≤ qก็ต่อเมื่อq ⊆ p (ในฐานะอุดมคติเฉพาะ ) ดังนั้น จุดปิดของ Spec( R ) จึงเป็นอุดมคติสูงสุดอย่าง แม่นยำ

ตามที่ชื่อบ่งบอก คำสั่งเฉพาะทางแบบ preorder เป็นคำสั่งแบบ preorder กล่าวคือ เป็นทั้งกริยาที่แสดงการสะท้อนและกริยา ที่แสดงการถ่ายทอด

ความสัมพันธ์สมมูลที่กำหนดโดยลำดับก่อนของการเฉพาะเจาะจงนั้นก็คือความสัมพันธ์ของการไม่สามารถแยกแยะได้ทางโทโพโลยีกล่าวคือxและyไม่สามารถแยกแยะได้ทางโทโพโลยีก็ต่อเมื่อ x ≤ yและ y ≤ x เท่านั้น ดังนั้นความไม่สมมาตรของ ≤ ก็คือสัจพจน์การแยก T ₀ อย่างแม่นยำ : ถ้าxและyไม่สามารถแยกแยะได้แล้วx = yในกรณีนี้ การพูดถึงลำดับการเฉพาะเจาะจงจึง เป็นสิ่งที่สมเหตุสมผล

ในทางกลับกันความสมมาตรของลำดับการจัดเรียงเฉพาะทางนั้นเทียบเท่ากับ สัจพจน์การแยก R ₀ : x ≤ yก็ต่อเมื่อxและyไม่สามารถแยกแยะได้ในเชิงโทโพโลยี ดังนั้น หากโทโพโลยีพื้นฐานเป็น T ₁แล้ว ลำดับการจัดเรียงเฉพาะทางจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่อง กล่าวคือx ≤ yก็ต่อเมื่อx = yด้วยเหตุนี้ ลำดับการจัดเรียงเฉพาะทางจึงมีความสำคัญน้อยสำหรับโทโพโลยี T ₁โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟทั้งหมด

ฟังก์ชันต่อเนื่อง ใดๆระหว่างปริภูมิเชิงทอพอโลยีสองปริภูมิจะเป็นฟังก์ชันเอกภาคเมื่อเทียบกับลำดับก่อนการจำแนกเฉพาะของปริภูมิเหล่านั้น: หมายความว่า อย่างไรก็ตาม บทกลับไม่เป็นจริงโดยทั่วไป ในภาษาของทฤษฎีหมวดหมู่เราจึงมีฟังก์ชันจากหมวดหมู่ของปริภูมิเชิงทอพอ โลยี ไปยังหมวดหมู่ของเซตที่มีลำดับก่อนการจำแนก ซึ่งกำหนดลำดับก่อนการจำแนกเฉพาะให้กับปริภูมิเชิงทอพอโลยี ฟังก์ชันนี้มีตัวผกผันทางซ้ายซึ่งวางทอพอโลยีอเล็กซานดรอฟ ไว้ บนเซตที่มีลำดับก่อนการจำแนก ${\displaystyle f}$${\displaystyle x\leq y}$${\displaystyle f(x)\leq f(y).}$

มีพื้นที่บางประเภทที่เฉพาะเจาะจงกว่าพื้นที่ T0 _ซึ่งลำดับนี้มีความน่าสนใจ ได้แก่พื้นที่สงบ (sober spaces ) ความสัมพันธ์ของพื้นที่เหล่านี้กับลำดับการแบ่งประเภทนั้นมีความละเอียดอ่อนกว่า:

สำหรับพื้นที่ว่างXที่มีลำดับความเชี่ยวชาญ ≤ ใดๆ เรามี

• ( X , ≤) เป็นลำดับบางส่วนที่สมบูรณ์แบบมีทิศทาง กล่าวคือเซตย่อยแบบมีทิศทางS ทุกเซต ของ ( X , ≤) มีค่าสูงสุด sup S
• สำหรับเซตย่อยแบบมีทิศทาง Sทุกเซตของ ( X , ≤) และเซตเปิดO ทุกเซต ถ้า sup Sอยู่ในOแล้วSและOจะมีจุดร่วมกันที่ไม่ว่าง เปล่า

อาจอธิบายคุณสมบัติข้อที่สองได้โดยกล่าวว่าเซตเปิดไม่สามารถเข้าถึงได้โดยซูพรีมาแบบมีทิศทางโทโพโลยีจะสอดคล้องกับลำดับที่แน่นอน ≤ ก็ต่อเมื่อมันเหนี่ยวนำ ≤ เป็นลำดับเฉพาะของมัน และมีคุณสมบัติข้างต้นของการไม่สามารถเข้าถึงได้โดยสัมพันธ์กับซูพรีมา (ที่มีอยู่) ของเซตแบบมีทิศทางใน ≤

ลำดับการจำแนกเฉพาะทางให้เครื่องมือในการได้มาซึ่งลำดับเบื้องต้นจากทุกโทโพโลยี จึงเป็นเรื่องปกติที่จะถามคำถามตรงกันข้ามด้วยเช่นกัน: ลำดับเบื้องต้นทุกอันได้มาจากการจำแนกเฉพาะทางของโทโพโลยีบางอย่างหรือไม่?

อันที่จริง คำตอบของคำถามนี้เป็นไปในเชิงบวก และโดยทั่วไปแล้วมีโทโพโลยีมากมายบนเซตXที่เหนี่ยวนำให้เกิดลำดับ ≤ ที่กำหนดเป็นลำดับเฉพาะของ โทโพโลยีนั้น โทโพโลยีของ Alexandroffที่มีลำดับ ≤ มีบทบาทพิเศษ: มันเป็นโทโพโลยีที่ละเอียดที่สุดที่เหนี่ยวนำให้เกิด ≤ ส่วนอีกด้านหนึ่ง โทโพโลยีที่หยาบที่สุดที่เหนี่ยวนำให้เกิด ≤ คือโทโพโลยีบนซึ่งเป็นโทโพโลยีที่เล็กที่สุดที่เซตส่วนเติมเต็มทั้งหมดของเซต ↓ x (สำหรับx บางตัว ในX ) เป็นเซตเปิด

นอกจากนี้ยังมีโทโพโลยีที่น่าสนใจอยู่ระหว่างสองขั้วนี้ โทโพโลยีที่ละเอียดที่สุดที่สอดคล้องกับลำดับในความหมายข้างต้นสำหรับลำดับที่กำหนด ≤ คือโทโพโลยีของสก็อตต์อย่างไรก็ตาม โทโพโลยีบนยังคงเป็นโทโพโลยีที่สอดคล้องกับลำดับที่หยาบที่สุด อันที่จริง เซตเปิดของมันไม่สามารถเข้าถึงได้โดย ซูพรีมา ใดๆดังนั้นพื้นที่ที่ละเอียดกว่าโทโพโลยีบนและหยาบกว่าโทโพโลยีของสก็อตต์จึงอาจไม่มีอยู่จริง กล่าวคือ มีลำดับบางส่วนที่ไม่มีโทโพโลยีที่สอดคล้องกับลำดับที่ละเอียดกว่า โดยเฉพาะอย่างยิ่ง โทโพโลยีของสก็อตต์ไม่จำเป็นต้องละเอียดกว่าเสมอไป