ในทางคณิตศาสตร์วลี " ลำดับบางส่วนที่สมบูรณ์" ถูกใช้ในความหมายที่หลากหลาย เพื่ออ้างถึงอย่างน้อยสามกลุ่มของ เซตที่มีลำดับบางส่วนที่คล้ายคลึงกันแต่แตกต่างกันซึ่งมีลักษณะเฉพาะด้วยคุณสมบัติความสมบูรณ์ ที่เฉพาะ เจาะจง ลำดับบางส่วนที่สมบูรณ์มีบทบาทสำคัญในวิทยาการคอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎีได้แก่ความหมายเชิงสัญลักษณ์และทฤษฎีโดเมน

คำว่า " คำสั่งสมบูรณ์บางส่วน" (complete partial order) ซึ่งย่อว่าcpo นั้นมีความหมายได้หลายอย่างขึ้นอยู่กับบริบท

เซตที่มีลำดับบางส่วนเรียกว่าลำดับบางส่วนที่มีทิศทางสมบูรณ์ ( dcpo ) ถ้า เซตย่อยที่มีทิศทางแต่ละเซตมีค่าสูงสุด (เซตย่อยของลำดับบางส่วนจะมีทิศทางก็ต่อเมื่อเซตนั้นไม่ว่างเปล่าและทุกคู่ของสมาชิกมีขอบเขตบนในเซตย่อยนั้น) ในเอกสารทางวิชาการ บางครั้ง dcpo ก็ปรากฏภายใต้ชื่อ เซตที่มีขอบเขตบนสมบูรณ์ (up-complete poset ) ด้วย

ลำดับบางส่วนแบบมีทิศทางสมบูรณ์แบบมีจุดชี้ ( pointed dcpoหรือบางครั้งย่อว่าcppo ) คือ dcpo ที่มีสมาชิกน้อยที่สุด (โดยปกติจะใช้สัญลักษณ์) กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ pointed dcpo จะมีค่าสูงสุดสำหรับทุกเซตย่อยแบบมีทิศทางหรือเซต ย่อยว่าง นอกจากนี้ยังใช้ คำว่าลำดับบางส่วนแบบลูกโซ่สมบูรณ์ด้วย เนื่องจากลักษณะเฉพาะของ pointed dcpo คือ poset ที่ทุกลูกโซ่มีค่าสูงสุด ${\displaystyle \bot }$

แนวคิดที่เกี่ยวข้องคือลำดับบางส่วนที่สมบูรณ์ของ ω ( ω-cpo ) สิ่งเหล่านี้คือโพเซตซึ่งโซ่ ω ทุกโซ่ ( ) มีค่าสูงสุดที่อยู่ในโพเซต แนวคิดเดียวกันนี้สามารถขยายไปยังจำนวนสมาชิก อื่นๆ ของโซ่ได้^{[ 1 ]}${\displaystyle x_{1}\leq x_{2}\leq x_{3}\leq ...}$

dcpo ทุกตัวเป็น ω-cpo เนื่องจาก ω-chain ทุกตัวเป็นเซตทิศทาง แต่ในทางกลับกันนั้นไม่เป็นจริง อย่างไรก็ตาม ω-cpo ทุกตัวที่มีฐานก็เป็น dcpo ด้วย (ที่มีฐานเดียวกัน) ^{[ 2 ]} ω-cpo (dcpo) ที่มีฐานยังเรียกว่า ω-cpo ต่อเนื่อง (หรือ dcpo ต่อเนื่อง)

โปรดทราบว่า คำว่า " ลำดับบางส่วนที่สมบูรณ์" (complete partial order)ไม่เคยถูกใช้เพื่อหมายถึงเซตลำดับบางส่วนที่ มีเซตย่อย ทั้งหมดมีค่าสูงสุด คำว่า "แลตทิซที่สมบูรณ์" (complete lattice ) ถูกใช้เพื่ออธิบายแนวคิดนี้

การเรียกร้องให้มีอยู่ของค่าสูงสุดแบบมีทิศทางนั้น สามารถอธิบายได้โดยการมองเซตแบบมีทิศทางว่าเป็นลำดับการประมาณค่าแบบทั่วไป และค่าสูงสุดเป็นลิมิตของการคำนวณ (โดยประมาณ) ที่เกี่ยวข้อง แนวคิดนี้ ในบริบทของความหมายเชิงสัญลักษณ์ เป็นแรงจูงใจเบื้องหลังการพัฒนาทฤษฎี โดเมน

แนวคิดคู่ขนานของลำดับบางส่วนที่สมบูรณ์แบบมีทิศทางเรียกว่าลำดับบางส่วนที่สมบูรณ์แบบกรองอย่างไรก็ตาม แนวคิดนี้พบเห็นได้น้อยมากในทางปฏิบัติ เนื่องจากโดยปกติแล้วเราสามารถทำงานกับลำดับคู่ขนานได้อย่างชัดเจน

โดยเปรียบเทียบกับการเติมเต็ม Dedekind–MacNeilleของเซตที่มีลำดับบางส่วน เซตที่มีลำดับบางส่วนทุกเซตสามารถขยายได้อย่างเฉพาะเจาะจงไปยัง dcpo ขั้นต่ำ^{[ 1 ]}

• เซตลำดับจำกัดทุกเซตเป็นเซตลำดับที่มีทิศทางสมบูรณ์
• แลตติซสมบูรณ์ทั้งหมดเป็นแลตติซสมบูรณ์แบบมีทิศทางด้วยเช่นกัน
• สำหรับเซตลำดับบางส่วนใดๆ เซตของตัวกรอง ที่ไม่ว่างเปล่าทั้งหมด ซึ่งเรียงลำดับตามการรวมเซตย่อยจะเป็น dcpo (dcpo) เมื่อรวมกับตัวกรองว่างเปล่าแล้ว เซตนี้ก็จะเป็นจุดชี้เช่นกัน หากลำดับมีจุดตัด แบบไบนารี การสร้างนี้ (รวมถึงตัวกรองว่างเปล่า) จะให้ผลลัพธ์เป็น แลตทิ ซที่สมบูรณ์
• ทุกเซตSสามารถแปลงเป็น dcpo แบบมีจุดได้โดยการเพิ่มองค์ประกอบที่เล็กที่สุด ⊥ และแนะนำลำดับแบบแบนราบโดยที่ ⊥ ≤  sและ s ≤  sสำหรับทุกsในSและไม่มีความสัมพันธ์ลำดับอื่นใด
• เซตของฟังก์ชันบางส่วน ทั้งหมด บนเซตS ที่กำหนดให้ สามารถเรียงลำดับได้โดยการกำหนดf  ≤  gก็ต่อเมื่อgขยายf กล่าว คือ ถ้าโดเมนของfเป็นเซตย่อยของโดเมนของgและค่าของfและgตรงกันในทุกอินพุตที่ทั้งสองฟังก์ชันถูกกำหนดไว้ (หรือเทียบเท่าf  ≤  gก็ต่อเมื่อf  ⊆  gโดยที่fและgระบุด้วยกราฟ ของพวกมัน ) ลำดับนี้เป็น dcpo แบบมีจุด โดยที่องค์ประกอบที่เล็กที่สุดคือฟังก์ชันบางส่วนที่ไม่ได้กำหนดไว้ที่ใดเลย (มีโดเมนว่าง) ในความเป็นจริง ≤ ก็เป็นbounded completeเช่นกัน ตัวอย่างนี้ยังแสดงให้เห็นว่าทำไมจึงไม่เป็นธรรมชาติเสมอไปที่จะมีองค์ประกอบที่ใหญ่ที่สุด
• เซตของเซตย่อย ทั้งหมด ที่เป็นอิสระเชิงเส้น ในปริภูมิเวกเตอร์Vเรียงลำดับตามการรวม
• เซตของฟังก์ชันการเลือก บางส่วนทั้งหมด บนกลุ่มของ เซต ที่ไม่ว่างเปล่า เรียงลำดับตามข้อจำกัด
• เซตของอุดมคติเฉพาะ ทั้งหมด ของวงแหวนเรียงลำดับตามการรวม
• ลำดับความเชี่ยวชาญของพื้นที่ปลอดแอลกอฮอล์ ใดๆ คือ dcpo
• ให้เราใช้คำว่า " ระบบนิรนัย " เป็นเซตของประโยคที่ปิดภายใต้ผลลัพธ์ (สำหรับการกำหนดแนวคิดของผลลัพธ์ ให้เราใช้แนวทางพีชคณิตของAlfred Tarski ^{[ 3 ] [ 4 ]} เป็นต้น ) มีทฤษฎีบทที่น่าสนใจเกี่ยวกับเซตของระบบนิรนัยที่เป็นลำดับบางส่วนที่สมบูรณ์แบบมีทิศทาง^{[ 5 ] [ 3 ]}นอกจากนี้ เซตของระบบนิรนัยสามารถเลือกให้มีองค์ประกอบที่น้อยที่สุดได้ตามธรรมชาติ (เพื่อให้สามารถเป็น dcpo ที่มีจุดได้ด้วย) เนื่องจากเซตของผลลัพธ์ทั้งหมดของเซตว่าง (เช่น "เซตของประโยคที่พิสูจน์ได้ทางตรรกะ/ถูกต้องทางตรรกะ") คือ (1) ระบบนิรนัย (2) ที่บรรจุอยู่ในระบบนิรนัยทั้งหมด

( ทฤษฎีบทของมาร์โกว์สกี ) เซตที่มีลำดับจะเป็น dcpo ก็ต่อเมื่อเป็น chain complete กล่าวคือ ทุกchain ที่ไม่ว่างเปล่า จะมี supremum

ผลที่ตามมาคือ เซตเรียงลำดับเป็น dcpo ที่มีจุดก็ต่อเมื่อทุกสายโซ่ (ซึ่งอาจว่างเปล่า) มีค่าสูงสุด กล่าวคือ ก็ต่อเมื่อเป็นสายโซ่ที่สมบูรณ์ [ ^{1 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] การ}พิสูจน์ อาศัยสัจพจน์ของการเลือก

อีกทางเลือกหนึ่ง เซตที่มีลำดับจะเป็น dcpo ที่มีจุดชี้เฉพาะก็ต่อเมื่อแผนที่ตัวเองที่รักษาลำดับ ทุกอันของเซตนั้น มีจุดตรึง น้อย ที่สุด ${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$

ฟังก์ชันfระหว่างเซตทิศทางสองเซตPและQเรียกว่าฟังก์ชันต่อเนื่อง (แบบสก็อตต์)ถ้ามันแมปเซตทิศทางหนึ่งไปยังเซตทิศทางอีกเซตหนึ่งโดยรักษาค่าสูงสุดของเซตเหล่านั้นไว้:

• ${\displaystyle f(D)\subseteq Q}$มุ่งตรงไปยังทุกทิศทางที่กำหนดไว้${\displaystyle D\subseteq P}$
• ${\displaystyle f(\sup D)=\sup f(D)}$สำหรับทุกทิศทาง${\displaystyle D\subseteq P}$

โปรดทราบว่าฟังก์ชันต่อเนื่องทุกฟังก์ชันระหว่าง dcpos เป็นฟังก์ชันโมโนโทนแนวคิดเรื่องความต่อเนื่องนี้เทียบเท่ากับความต่อเนื่องเชิงโทโพโลยีที่เกิดจากโทโพโลยีของสก็อตต์

เซตของฟังก์ชันต่อเนื่องทั้งหมดระหว่าง dcpos สองตัวPและQจะถูกแสดงด้วย [ P  →  Q ] เมื่อกำหนดลำดับจุดแล้ว นี่จะเป็น dcpo อีกครั้ง และจะชี้เมื่อใดก็ตามที่Qชี้ ดังนั้นลำดับบางส่วนที่สมบูรณ์ที่มีแผนที่ต่อเนื่องแบบ Scott จึงก่อให้เกิดหมวดหมู่ปิดแบบคาร์ที เซียน^{[ 9 ]}

แผนที่ตัวเองที่รักษาลำดับทุกอันfของ dcpo ที่ระบุ ( P , ⊥) มีจุดตรึงที่เล็กที่สุด^{[ 10 ]}ถ้าfต่อเนื่อง จุดตรึงนี้จะเท่ากับค่าสูงสุดของการวนซ้ำ (⊥, f (⊥), f ( f (⊥)), ... f ⁿ (⊥), ...) ของ ⊥ (ดู ทฤษฎีบทจุดตรึงของ Kleeneด้วย)

ทฤษฎีบทจุดตรึงอีกทฤษฎีหนึ่งคือทฤษฎีบท Bourbaki–Wittซึ่งระบุว่าถ้าเป็นฟังก์ชันจาก dcpo ไปยังตัวมันเองที่มีคุณสมบัติว่าสำหรับทุกแล้ว จะมีจุดตรึง ทฤษฎีบทนี้สามารถใช้พิสูจน์ได้ว่าเลมมาของ Zornเป็นผลสืบเนื่องมาจากสัจพจน์ของการเลือก^{[ 11 ] [ 12 ]}${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x)\geq x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$

• โพเซตพีชคณิต
• โทโพโลยีของสก็อตต์
• ความสมบูรณ์
• ทฤษฎีบทของมาร์โกว์สกี