ให้Xเป็นเซตของเซตซึ่งไม่มีเซตใดว่างเปล่าฟังก์ชันการเลือก ( selector , selection ) บนXคือฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์fที่นิยามบนXโดยที่fเป็นฟังก์ชันที่กำหนดให้แต่ละองค์ประกอบของX เชื่อมโยง กับองค์ประกอบใดองค์ประกอบหนึ่งของ X เอง

ให้X  = { {1,4,7}, {9}, {2,7} } แล้วฟังก์ชันfที่กำหนดโดยf ({1, 4, 7}) = 7, f ({9}) = 9 และf ({2, 7}) = 2 เป็นฟังก์ชันเลือกบน X

Ernst Zermelo (1904) ได้แนะนำฟังก์ชันการเลือก เช่นเดียวกับสัจพจน์ของการเลือก (AC) และพิสูจน์ทฤษฎีบทการเรียงลำดับที่ดี [ ^{1 ] ซึ่ง}ระบุว่าทุกเซตสามารถเรียงลำดับได้ดี AC ระบุว่าทุกเซตของเซตที่ไม่ว่างเปล่ามีฟังก์ชันการเลือก รูปแบบที่อ่อนกว่าของ AC คือสัจพจน์ของการเลือกที่นับได้ (AC _ω ) ระบุว่าทุกเซตที่นับได้ของเซตที่ไม่ว่างเปล่ามีฟังก์ชันการเลือก อย่างไรก็ตาม ในกรณีที่ไม่มีทั้ง AC หรือ AC _ωบางเซตก็ยังสามารถแสดงให้เห็นว่ามีฟังก์ชันการเลือกได้

• ถ้าเป็น เซต จำกัดของเซตที่ไม่ว่างเปล่า เราสามารถสร้างฟังก์ชันการเลือกสำหรับ ได้โดยการเลือกองค์ประกอบหนึ่งจากสมาชิกแต่ละตัวของซึ่งต้องใช้การเลือกเพียงจำนวนจำกัด ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องใช้ AC หรือ AC _ω${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$
• ถ้าสมาชิกทุกตัวของเซตไม่ว่าง และ ผลรวมของ เซตมีการเรียงลำดับที่ดีแล้ว เราสามารถเลือกสมาชิกที่เล็กที่สุดของแต่ละสมาชิกของเซตได้ในกรณีนี้ เป็นไปได้ที่จะเรียงลำดับที่ดีพร้อมกันสำหรับสมาชิกทุกตัวของเซตโดยการเลือกการเรียงลำดับที่ดีของผลรวมเพียงครั้งเดียว ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องใช้ AC หรือ AC _ω (ตัวอย่างนี้แสดงให้เห็นว่าทฤษฎีบทการเรียงลำดับที่ดีบ่งชี้ถึง AC ส่วนบทกลับก็เป็นจริงเช่นกัน แต่ซับซ้อนกว่า)${\displaystyle X}$${\displaystyle \bigcup X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

กำหนดให้เซตสองเซตและให้เป็นแผนที่หลายค่าจากไปยัง(หรือเทียบเท่ากับเป็นฟังก์ชันจากไปยังเซตกำลังของ) ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle F}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle F:X\rightarrow {\mathcal {P}}(Y)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

กล่าวได้ว่า ฟังก์ชันคือการเลือกของถ้า: ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$${\displaystyle F}$

$${\displaystyle \forall x\in X\,(f(x)\in F(x))\,.}$$

การมีอยู่ของฟังก์ชันการเลือกที่สม่ำเสมอมากขึ้น กล่าวคือ การเลือกแบบต่อเนื่องหรือแบบวัดได้ มีความสำคัญในทฤษฎีการรวมเชิงอนุพันธ์การควบคุมที่เหมาะสมและเศรษฐศาสตร์คณิตศาสตร์ [ ^{2 ] ดู}ทฤษฎีบทการเลือก

นิโคลัส บูร์บากิใช้แคลคูลัสเอปซิลอนเป็นพื้นฐานซึ่งมีสัญลักษณ์ที่สามารถตีความได้ว่าเป็นการเลือกวัตถุ (ถ้ามีอยู่) ที่ตรงตามข้อเสนอที่กำหนด ดังนั้น ถ้าเป็นภาคแสดง ก็จะเป็นวัตถุเฉพาะที่ตรงตาม (ถ้ามีอยู่ มิฉะนั้นจะส่งคืนวัตถุใดๆ ก็ได้) ดังนั้นเราจึงสามารถหาตัวบ่ง ^{ปริมาณ}จากฟังก์ชันการเลือกได้ ตัวอย่างเช่นเทียบเท่ากับ[ ^{3 ]}${\displaystyle \tau }$${\displaystyle P(x)}$${\displaystyle \tau _{x}(P)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P(\tau _{x}(P))}$${\displaystyle (\exists x)(P(x))}$

อย่างไรก็ตาม ตัวดำเนินการเลือกของ Bourbaki นั้นแข็งแกร่งกว่าปกติ: มันเป็น ตัวดำเนินการเลือก ทั่วโลกนั่นคือ มันบ่งบอกถึงสัจพจน์ของการเลือกทั่วโลก [ ^{4 ] Hilbert}ตระหนักถึงสิ่งนี้เมื่อแนะนำแคลคูลัสเอปซิลอน^{[ 5 ]}

• สัจพจน์ของการเลือกที่นับได้
• สัจพจน์ของการเลือกแบบพึ่งพา
• ปรากฏการณ์เฮาส์ดอร์ฟ
• ความต่อเนื่องครึ่งซีก