ในการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันซึ่งเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ทฤษฎีบทการเลือกคือทฤษฎีบทที่รับประกันการมีอยู่ของฟังก์ชันการเลือก ค่าเดียว จากแผนที่ค่าเซตที่ กำหนด มีทฤษฎีบทการเลือกหลายประเภท และมีความสำคัญในทฤษฎีการรวมเชิงอนุพันธ์การควบคุมที่เหมาะสมและเศรษฐศาสตร์คณิตศาสตร์^{[ 1 ]}

กำหนดให้เซตสองเซตXและYให้Fเป็นฟังก์ชันค่าเซตจากXไปยังYหรือ อีกนัยหนึ่งคือ เป็นฟังก์ชันจากXไปยังเซตกำลังของY${\displaystyle F:X\rightarrow {\mathcal {P}}(Y)}$

ฟังก์ชันหนึ่งจะถูกเรียกว่าเป็นส่วน หนึ่ง ของฟังก์ชันFถ้า ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$

${\displaystyle \forall x\in X:\,\,\,f(x)\in F(x)\,.}$

กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ เมื่อกำหนดอินพุตxที่ฟังก์ชันF เดิม ส่งคืนค่าได้หลายค่า ฟังก์ชันf ใหม่ จะส่งคืนค่าเพียงค่าเดียว นี่เป็นกรณีพิเศษของฟังก์ชันเลือก (choice function )

สัจพจน์ของการเลือกบ่งชี้ว่าฟังก์ชันการเลือกมีอยู่เสมอ อย่างไรก็ตาม บ่อยครั้งที่สิ่งสำคัญคือฟังก์ชันการเลือกนั้นต้องมีคุณสมบัติ "ที่ดี" บางประการ เช่นความต่อเนื่องหรือความสามารถในการวัดนี่คือจุดที่ทฤษฎีบทการเลือกเข้ามามีบทบาท: ทฤษฎีบทเหล่านี้รับประกันว่า ถ้าFมีคุณสมบัติบางประการแล้ว F จะมีฟังก์ชันการเลือกfที่ต่อเนื่องหรือมีคุณสมบัติที่พึงประสงค์อื่นๆ

ทฤษฎีบทการเลือกของไมเคิล^{[ 2 ]}กล่าวว่าเงื่อนไขต่อไปนี้เพียงพอสำหรับการมีอยู่ของ การเลือก แบบต่อเนื่อง :

• Xเป็น ปริภูมิ พาราคอมแพ็กต์
• Yคือปริภูมิบานาค ;
• Fคือค่ากึ่งต่อเนื่องล่าง ;
• สำหรับทุกxในXเซตF ( x ) ไม่ว่างนูนและปิด

ทฤษฎีบทการเลือกโดยประมาณ^{[ 3 ]}ระบุไว้ดังนี้:

สมมติว่าXเป็นปริภูมิเมตริกกระชับ (compact metric space), Y เป็นเซต ย่อยกระชับและนูนที่ไม่ว่างของปริภูมิเวกเตอร์แบบมีบรรทัดฐาน (normed vector space ) และ Φ: X → Y เป็นฟังก์ชันหลายค่า (multifunction) ซึ่งค่าทั้งหมดของ ฟังก์ชันนี้เป็นเซตกระชับและนูน ถ้า graph(Φ) เป็นเซตปิด แล้วสำหรับทุก ε > 0 จะมีฟังก์ชันต่อเนื่องf  : X → Yที่ graph( f ) ⊂ [graph(Φ)] _ε${\displaystyle {\mathcal {P}}(Y)}$

ในที่นี้หมายถึงการขยายขนาดของซึ่งก็คือการรวมกันของทรงกลมเปิดรัศมี ที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดในทฤษฎีบทนี้บ่งชี้ถึงการมีอยู่ของการเลือก โดยประมาณแบบ ต่อเนื่อง${\displaystyle [S]_{\varepsilon }}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle S}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle S}$

^{เงื่อนไขที่เพียงพออีกชุดหนึ่งสำหรับการมีอยู่ของการเลือกโดยประมาณแบบต่อเนื่อง นั้น}กำหนดโดยทฤษฎีบท Deutsch–Kenderov [ ^{4 ]}ซึ่งเงื่อนไขนั้นทั่วไปกว่าทฤษฎีบทของ Michael (และดังนั้นการเลือกจึงเป็นเพียงการประมาณเท่านั้น):

• Xเป็น ปริภูมิ พาราคอมแพ็กต์
• Yคือปริภูมิเวกเตอร์แบบมีบรรทัดฐาน ;
• F เกือบจะ เป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องล่างนั่นคือ ที่แต่ละค่าสำหรับแต่ละย่านใกล้เคียงของจะมีย่านใกล้เคียงของที่ทำให้;${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle V}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle U}$${\displaystyle x}$${\textstyle \bigcap _{u\in U}\{F(u)+V\}\neq \emptyset }$
• สำหรับทุกxในXเซตF ( x ) ไม่ว่างเปล่าและ เป็นเซต แบบนูน

ในบันทึกต่อมา Xu พิสูจน์ว่าทฤษฎีบท Deutsch–Kenderov ยังคงใช้ได้หากเป็นปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอ พอโล ยี แบบนูนเฉพาะที่ ^{[ 5 ]}${\displaystyle Y}$

ทฤษฎีบทการเลือกของ Yannelis-Prabhakar ^{[ 6 ]}กล่าวว่าเงื่อนไขต่อไปนี้เพียงพอสำหรับการมีอยู่ของ การเลือก แบบต่อเนื่อง :

• Xคือปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟแบบพาราคอม แพ็กต์
• Yคือปริภูมิเชิงทอพอโลยีเชิงเส้น ;
• สำหรับทุกxในXเซตF ( x ) ไม่ว่างเปล่าและ เป็นเซต แบบนูน
• สำหรับทุกyในYเซตผกผันF ⁻¹ ( y ) เป็นเซตเปิดในX

ทฤษฎีบทการเลือกที่วัดได้ของ Kuratowski และ Ryll-Nardzewskiกล่าวว่า ถ้าXเป็นปริภูมิ PolishและBorel σ-algebraของมันเป็นเซตของเซตย่อยปิดที่ไม่ว่างของXเป็นปริภูมิที่วัดได้และเป็น แผนที่ที่วัดได้ แบบอ่อน (นั่นคือ สำหรับทุกเซตย่อยเปิดเรามี)แล้วจะมีการเลือกที่ วัด ได้แบบอ่อน^{[ 7 ]}${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \mathrm {Cl} (X)}$${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})}$${\displaystyle F:\Omega \to \mathrm {Cl} (X)}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle U\subseteq X}$${\displaystyle \{\omega \in \Omega :F(\omega )\cap U\neq \emptyset \}\in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle ({\mathcal {F}},{\mathcal {B}})}$

ทฤษฎีบทการเลือกอื่นๆ สำหรับฟังก์ชันค่าเซต ได้แก่:

• ทฤษฎีบทการเลือกแบบต่อเนื่องเชิงทิศทางของเบรสซาน-โคลอมโบ
• ทฤษฎีบทการแทนการหล่อ
• การเลือกแผนที่แบบแยกส่วน Fryszkowski
• ทฤษฎีบทการเลือกของเฮลลี
• ทฤษฎีบทการเลือกของไมเคิลมิติศูนย์
• ทฤษฎีบทการเลือกที่วัดได้ของโรเบิร์ต ออมันน์

• ทฤษฎีบทการเลือกของ Blaschke
• ทฤษฎีบทสูงสุด