ในทางคณิตศาสตร์พื้นที่พาราคอมแพ็กต์คือพื้นที่โทโพโลยีซึ่งการคลุมแบบเปิด ทุกแบบ มีการปรับปรุง แบบเปิด ที่จำกัดเฉพาะที่พื้นที่เหล่านี้ได้รับการแนะนำโดยDieudonné (1944) พื้นที่คอมแพ็กต์ทุก พื้นที่ เป็นพาราคอมแพ็กต์^{[ 1 ]}พื้นที่เฮาส์ดอร์ฟพาราคอมแพ็กต์ทุก พื้นที่ เป็นปกติและพื้นที่เฮาส์ดอร์ฟเป็นพาราคอมแพ็กต์ก็ต่อเมื่อ^{[ 2 ]}ยอมรับการแบ่งส่วนของเอกภาพที่อยู่ภายใต้การคลุมแบบเปิดใดๆ บางครั้งพื้นที่พาราคอมแพ็กต์ถูกกำหนดให้เป็นเฮาส์ดอร์ฟเสมอ

ทุกปริภูมิย่อยปิด ของปริภูมิพาราคอมแพ็กต์จะเป็นปริภูมิพาราคอมแพ็กต์ด้วย ในขณะที่เซตย่อยคอมแพ็กต์ของปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟจะเป็นเซตปิดเสมอ แต่สิ่งนี้ไม่เป็นจริงสำหรับเซตย่อยพาราคอมแพ็กต์ ปริภูมิที่ทุกปริภูมิย่อยของมันเป็นปริภูมิพาราคอมแพ็กต์เรียกว่าปริภูมิพาราคอมแพ็กต์โดยกรรมพันธุ์ซึ่งเทียบเท่ากับการกำหนดให้ทุก ปริภูมิย่อย เปิดต้องเป็นปริภูมิพาราคอมแพ็กต์

แนวคิดของปริภูมิพาราคอมแพ็กต์ยังได้รับการศึกษาในโทโพโลยีไร้จุดซึ่งมีพฤติกรรมที่ดีกว่า ตัวอย่างเช่นผลคูณของโลเคลพาราคอมแพ็กต์ จำนวนใดๆ ก็ เป็นโลเคลพาราคอมแพ็กต์ แต่ผลคูณของปริภูมิพาราคอมแพ็กต์สองปริภูมิอาจไม่ใช่พาราคอมแพ็กต์^{[ 3 ] [ 4 ]} เปรียบเทียบกับทฤษฎีบทของไทโคนอฟซึ่งระบุว่าผลคูณของปริภูมิโทโพโลยีคอมแพ็กต์ใดๆ ก็เป็นคอมแพ็กต์ อย่างไรก็ตาม ผลคูณของปริภูมิพาราคอมแพ็กต์และปริภูมิคอมแพ็กต์จะเป็นพาราคอมแพ็กต์เสมอ

ปริภูมิเมตริกทุก ปริภูมิ เป็นพาราคอมแพ็กต์ ปริภูมิเชิงทอพอโลยีจะเป็นปริภูมิเมตริกได้ก็ต่อเมื่อเป็นปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟที่เป็น พาราคอมแพ็กต์และ สามารถกำหนดเมตริกได้ในระดับท้องถิ่น

เซตปกคลุม (cover)ของเซต คือ กลุ่มของเซตย่อย ของเซต ซึ่งผลรวม ของ เซตย่อยนั้น ประกอบด้วยเซตย่อยเหล่านั้นในทางสัญลักษณ์ ถ้าเป็นกลุ่มของเซตย่อยของเซต ที่มีดัชนีกำกับ แล้วจะเป็นเซตปกคลุมของเซตถ้า ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U=\{U_{\alpha }:\alpha \in A\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle X\subseteq \bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha }.}$

เซตคลุมของปริภูมิเชิงทอพอโลยีเรียกว่าเซตเปิดถ้าสมาชิกทั้งหมดของเซตคลุมนั้นเป็นเซตเปิดการปรับปรุงเซตคลุมของปริภูมิคลุมคือเซตคลุมใหม่ของปริภูมิคลุมเดิม โดยที่ทุกเซตในเซตคลุมใหม่เป็นเซตย่อยของบางเซตในเซตคลุมเดิม ในเชิงสัญลักษณ์ เซตคลุมจะเป็นการปรับปรุงเซตคลุมก็ต่อเมื่อสำหรับทุกในจะมีบางในที่ ทำให้${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle V=\{V_{\beta }:\beta \in B\}}$${\displaystyle U=\{U_{\alpha }:\alpha \in A\}}$${\displaystyle V_{\beta }}$${\displaystyle V}$${\displaystyle U_{\alpha }}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V_{\beta }\subseteq U_{\alpha }}$

การคลุมแบบเปิดของปริภูมิหนึ่งเรียกว่าจำกัดเฉพาะที่ถ้าทุกจุดในปริภูมินั้นมีบริเวณใกล้เคียงที่ตัดกับเซตในคลุมเพียงจำนวนจำกัด เท่านั้น ในเชิงสัญลักษณ์ การคลุมแบบ เปิดจะจำกัดเฉพาะที่ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุก ๆในจะมีบริเวณใกล้เคียงของ บางจุด ที่ทำให้เซตนั้นตัดกับเซตอื่น ${\displaystyle X}$${\displaystyle U=\{U_{\alpha }:\alpha \in A\}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle V}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle \left\{\alpha \in A:U_{\alpha }\cap V\neq \varnothing \right\}}$

มีค่าจำกัด ปริภูมิเชิงทอพอโลยีจะเรียกว่าเป็นปริภูมิพาราคอมแพ็กต์ได้ ก็ต่อ เมื่อทุกการคลุมด้วยเซตเปิดมีการปรับปรุงเซตเปิดที่มีค่าจำกัดในระดับท้องถิ่น ${\displaystyle X}$

นิยามนี้ขยายไปถึงโลเคิลได้โดยตรง ยกเว้นกรณีที่โลเคิลจำกัด: การคลุมด้วยเซตเปิดของจะโลเคิลจำกัดก็ต่อเมื่อเซตของเซตเปิดที่ตัดกับเซตเปิดใน เพียงจำนวนจำกัดเท่านั้นก็เป็นการคลุมของ ด้วยเช่นกันโปรดทราบว่า การคลุมด้วยเซตเปิดบนปริภูมิเชิงทอพอโลยี จะโลเคิลจำกัดก็ต่อเมื่อเป็นการคลุมแบบโลเคิลจำกัดของโลเคิลพื้นฐาน ${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle V}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$

• พื้นที่ขนาดกะทัดรัดทุกแห่งล้วนเป็นพื้นที่ขนาดกะทัดรัดพิเศษ
• พื้นที่ Lindelöf ปกติ ทุก พื้นที่ เป็นพาราคอมแพ็กต์ ตามทฤษฎีบทของ Michaelในกรณี Hausdorff ^{[ 5 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่งพื้นที่Hausdorff ที่นับได้ลำดับที่สองแบบ กระชับเฉพาะที่ทุกพื้นที่เป็นพาราคอมแพ็กต์
• เส้นซอร์เกนเฟรย์เป็นพาราคอมแพ็กต์ แม้ว่าจะไม่ใช่ทั้งคอมแพ็กต์ โลคัลคอมแพ็กต์ ซิมิทีนเคานต์ หรือเมตริกก็ตาม
• คอมเพล็กซ์ CWทุกตัวเป็นแบบพาราคอมแพ็กต์^{[ 6 ]}
• ( ทฤษฎีบทของAH Stone ) ปริภูมิเมตริกทุกปริภูมิเป็นพาราคอมแพ็กต์^{[ 7 ]} การพิสูจน์ในยุคแรกค่อนข้างซับซ้อน แต่M. E. Rudinได้ ค้นพบการพิสูจน์แบบพื้นฐาน ^{[ 8 ]} การพิสูจน์ที่มีอยู่ต้องใช้สัจพจน์ของการเลือกสำหรับกรณีที่ไม่สามารถแยกได้มีการแสดงให้เห็นว่า ทฤษฎี ZFไม่เพียงพอที่จะพิสูจน์ได้ แม้หลังจากเพิ่มสัจพจน์ที่อ่อนกว่าของการเลือกแบบขึ้นอยู่กัน^{[ 9 ]}
• ปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟที่ยอมรับการหมดสิ้นโดยเซตกระชับเรียกว่าปริภูมิพาราคอมแพ็กต์

ตัวอย่างของพื้นที่ที่ไม่ใช่พาราคอมแพ็กต์ ได้แก่:

• ตัวอย่างค้านที่โด่งดังที่สุดคือเส้นยาว (long line ) ซึ่งเป็นแมนิโฟลด์เชิงทอพอโลยีที่ ไม่เป็นพาราคอมแพ็ก ต์ (เส้นยาวเป็นแมนิโฟลด์ที่กระชับเฉพาะที่ แต่ไม่ใช่แมนิโฟลด์ที่นับได้ลำดับที่สอง)
• ตัวอย่างค้านอีกประการหนึ่งคือผลคูณของสำเนาจำนวนนับไม่ถ้วนของ ปริภูมิดิส ครีต อนันต์ เซตอนันต์ใดๆ ที่มีโทโพโลยีจุดเฉพาะ นั้น จะไม่เป็นพาราคอมแพ็กต์ อันที่จริงแล้วมันไม่ใช่แม้แต่เมตาคอมแพ็กต์ด้วยซ้ำ
• ระนาบPrüfer Pเป็นพื้นผิวที่ไม่เป็นพาราคอมแพ็กต์ (สามารถหาการปกคลุมแบบเปิดที่นับไม่ได้ของP ได้ง่าย โดยไม่ต้องมีการปรับแต่งใดๆ)
• ทฤษฎีบทปี่สกอตแสดงให้เห็นว่ามีชั้นสมมูลเชิงโทโพโลยี 2 ^{ℵ ₁}ของพื้นผิวที่ไม่เป็นพาราคอมแพ็กต์
• ระนาบซอร์เกนเฟรย์ไม่ใช่ระนาบพาราคอมแพ็กต์ แม้ว่าจะเป็นผลผลิตจากพื้นที่พาราคอมแพ็กต์สองแห่งก็ตาม

ความกะทัดรัดแบบพาราคอมแพ็กต์สืบทอดได้แบบอ่อน กล่าวคือ ปริภูมิย่อยปิดทุกปริภูมิของปริภูมิพาราคอมแพ็กต์จะเป็นพาราคอมแพ็กต์ด้วย ซึ่งสามารถขยายไปยัง ปริภูมิย่อย F-ซิกมาได้เช่นกัน^{[ 10 ]}

• ( ทฤษฎีบทของไมเคิล ) ปริภูมิปกติเรียกว่าปริภูมิพาราคอมแพ็กต์ ถ้าการคลุมด้วยเซตเปิดทุกเซตยอมรับการปรับละเอียดแบบจำกัดเฉพาะที่ ซึ่งไม่จำเป็นต้องเป็นเซตเปิด โดยเฉพาะอย่างยิ่งปริภูมิ Lindelöf ปกติทุกปริภูมิ เป็นปริภูมิพาราคอมแพ็กต์
• ( ทฤษฎีบทการกำหนดเมตริกของ Smirnov ) ปริภูมิเชิงทอพอโลยีสามารถกำหนดเมตริกได้ก็ต่อเมื่อเป็นปริภูมิพาราคอมแพ็กต์ ปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟ และปริภูมิที่สามารถกำหนดเมตริกได้ในระดับท้องถิ่น
• ทฤษฎีบทการเลือกของไมเคิลกล่าวว่า ฟังก์ชันหลาย ค่ากึ่งต่อเนื่องล่างจากXไปยังเซตย่อยนูนปิดที่ไม่ว่างในปริภูมิบานาคยอมรับการเลือกแบบต่อเนื่องก็ต่อเมื่อXเป็นพาราคอมแพ็กต์

แม้ว่าผลิตภัณฑ์จากพื้นที่พาราคอมแพคไม่จำเป็นต้องเป็นพาราคอมแพคเสมอไป แต่ข้อเท็จจริงต่อไปนี้เป็นจริง:

• ผลลัพธ์ของการผสมผสานระหว่างพื้นที่แบบพาราคอมแพคและพื้นที่แบบคอมแพคคือ พื้นที่แบบพาราคอมแพค
• ผลคูณของปริภูมิเมตาคอมแพ็กต์และปริภูมิคอมแพ็กต์ก็คือปริภูมิเมตาคอมแพ็กต์เช่นกัน

ผลลัพธ์ทั้งสองนี้สามารถพิสูจน์ได้โดยใช้ทฤษฎีบทท่อ (tube lemma)ซึ่งใช้ในการพิสูจน์ว่าผลคูณของ ปริภูมิกระชับ จำนวนจำกัดเป็นปริภูมิกระชับ

พื้นที่ขนาดกะทัดรัดบางครั้งจำเป็นต้องมีโครงสร้างแบบเฮาส์ดอร์ฟ เพิ่มเติม เพื่อขยายคุณสมบัติของพื้นที่นั้น ๆ

• ( ทฤษฎีบทของJean Dieudonné ) ปริภูมิ Hausdorff ที่มีคุณสมบัติ paracompact ทุกปริภูมิเป็นปริภูมิปกติ
• ปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟแบบพาราคอมแพ็กต์ทุกปริภูมิเป็นปริภูมิหดตัวกล่าวคือ การคลุมแบบเปิดทุกแบบของปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟแบบพาราคอมแพ็กต์มีการหดตัวอีกแบบหนึ่ง ซึ่งระบุด้วยเซตเดียวกัน โดยที่การปิดของทุกเซตในการคลุมแบบใหม่จะอยู่ภายในเซตที่สอดคล้องกันในการคลุมแบบเดิม
• บนปริภูมิ Hausdorff พาราคอมแพ็กต์ โคฮอโมโลยีชีฟและโคฮอโมโลยีเช็กจะเท่ากัน^{[ 11 ]}

คุณสมบัติที่สำคัญที่สุดของปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟ แบบพาราคอมแพ็กต์ คือ ปริภูมิเหล่านี้ยอมรับพาร์ทิชันของเอกภาพที่อยู่ภายใต้การคลุมแบบเปิดใดๆ ซึ่งหมายความว่า ถ้าXเป็นปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟแบบพาราคอมแพ็กต์ที่มีการคลุมแบบเปิดที่กำหนดให้แล้ว จะมีชุดของฟังก์ชันต่อเนื่อง บน Xที่มีค่าอยู่ในช่วงหน่วย [0, 1] เช่นนั้น:

• สำหรับทุกฟังก์ชันf :  X  →  R จากชุดข้อมูล จะ มีเซตเปิดUจากชุดข้อมูลปกคลุมซึ่งส่วนรองรับของfอยู่ในU
• สำหรับทุกจุดxในXจะมีบริเวณใกล้เคียงVของxซึ่งฟังก์ชันเกือบทั้งหมดในบริเวณใกล้เคียง V มีค่าเป็น 0 ในVและผลรวมของฟังก์ชันที่มีค่าไม่เป็นศูนย์จะมีค่าเป็น 1 ในV

อันที่จริงแล้ว ปริภูมิ T ₁จะเป็นปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟและปริภูมิพาราคอมแพ็กต์ก็ต่อเมื่อมันยอมรับพาร์ทิชันของเอกภาพที่อยู่ภายใต้การปกคลุมแบบเปิดใดๆ (ดูด้านล่าง ) คุณสมบัตินี้บางครั้งใช้ในการกำหนดปริภูมิพาราคอมแพ็กต์ (อย่างน้อยในกรณีของเฮาส์ดอร์ฟ)

การแบ่งส่วนเอกภาพมีประโยชน์เพราะมักช่วยให้เราขยายการสร้างในระดับท้องถิ่นไปยังปริภูมิทั้งหมดได้ ตัวอย่างเช่น ปริพันธ์ของรูปแบบเชิงอนุพันธ์บนแมนิโฟลด์พารา คอมแพ็กต์ นั้นถูกกำหนดขึ้นในระดับท้องถิ่นก่อน (โดยที่แมนิโฟลด์มีลักษณะคล้ายปริภูมิยุคลิดและปริพันธ์เป็นที่รู้จักกันดี) จากนั้นจึงขยายคำจำกัดความนี้ไปยังปริภูมิทั้งหมดผ่านการแบ่งส่วนเอกภาพ

(คลิก "แสดง" ทางด้านขวาเพื่อดูหลักฐาน หรือ "ซ่อน" เพื่อซ่อนหลักฐาน)

ปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟเป็นปริภูมิพาราคอมแพ็กต์ก็ต่อเมื่อปริภูมิคลุมเปิดทุกอันของมันยอมรับพาร์ทิชันย่อยของเอกภาพ เงื่อนไข " ถ้า" นั้นเข้าใจง่าย ส่วนเงื่อนไข "ก็ต่อเมื่อเท่านั้น"นั้น เราจะทำในหลายขั้นตอน ${\displaystyle X\,}$

บทตั้งที่ 1:ถ้าเป็นการคลุมแบบเปิดที่มีขอบเขตจำกัดเฉพาะที่แล้ว จะมีเซตเปิดสำหรับแต่ละเช่นนั้นแต่ละและเป็นการปรับปรุงที่มีขอบเขตจำกัดเฉพาะที่${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {O}}\,}$${\displaystyle W_{U}\,}$${\displaystyle U\in {\mathcal {O}}\,}$${\displaystyle {\bar {W_{U}}}\subseteq U\,}$${\displaystyle \{W_{U}:U\in {\คณิตศาสตร์ {O}}\}\,}$

บทตั้งที่ 2:ถ้าเป็นการคลุมแบบเปิดที่มีขอบเขตจำกัดเฉพาะที่แล้ว จะมีฟังก์ชันต่อเนื่องเช่นนั้นและ เช่นนั้นเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องซึ่งไม่เป็นศูนย์และมีค่าจำกัดเสมอ${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {O}}\,}$${\displaystyle f_{U}:X\to [0,1]\,}$${\displaystyle \operatorname {supp} ~f_{U}\subseteq U\,}$${\displaystyle f:=\sum _{U\in {\mathcal {O}}}f_{U}\,}$

ทฤษฎีบท:ในปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟแบบพาราคอมแพ็กต์ถ้าเป็นการคลุมแบบเปิดแล้ว จะมีพาร์ทิชันของเอกภาพที่อยู่ภายใต้การคลุมนั้น${\displaystyle X\,}$${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {O}}\,}$

บทพิสูจน์ (บทตั้งที่ 1):

ให้เป็นเซตของเซตเปิดที่ตัดกับเซตใน เพียงจำนวนจำกัดและส่วนปิดของเซตเปิดเหล่านี้บรรจุอยู่ในเซตในเราสามารถตรวจสอบได้เป็นการฝึกฝนว่าสิ่งนี้ให้การปรับปรุงแบบเปิด เนื่องจากปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟแบบพาราคอมแพ็กต์เป็นปริภูมิปกติ และเนื่องจากเป็นปริภูมิจำกัดเฉพาะที่ ทีนี้ ให้แทนที่ด้วยการปรับปรุงแบบเปิดจำกัดเฉพาะที่ เราสามารถตรวจสอบได้อย่างง่ายดายว่าแต่ละเซตในการปรับปรุงนี้มีคุณสมบัติเดียวกันกับที่กำหนดลักษณะของเซตปิดเดิม${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {V}}\,}$${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {O}}\,}$${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {O}}}$${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {O}}\,}$${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {V}}\,}$

ต่อไปนี้เราจะกำหนดคุณสมบัติของรับประกันว่าทุกบรรจุอยู่ใน บางดังนั้น จึงเป็นการปรับปรุงแบบเปิดของเนื่องจากเรามีการครอบคลุมนี้จึงจำกัดเฉพาะที่ในทันที${\displaystyle W_{U}=\bigcup \{A\in {\mathcal {V}}:{\bar {A}}\subseteq U\}\,}$${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {V}}\,}$${\displaystyle A\in {\คณิตศาสตร์ {V}}}$${\displaystyle W_{U}}$${\displaystyle \{W_{U}:U\in {\คณิตศาสตร์ {O}}\}\,}$${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {O}}\,}$${\displaystyle W_{U}\subseteq U}$

ตอนนี้เราต้องการแสดงว่าแต่ละ. สำหรับทุกเราจะพิสูจน์ว่า. เนื่องจากเราเลือกให้เป็นขอบเขตจำกัดเฉพาะที่ จึงมีบริเวณใกล้เคียงของเช่นนั้นจะมีเซตจำนวนจำกัดใน ที่มีจุดตัดที่ไม่ว่างกับและเราสังเกตเซตเหล่านั้นในนิยามของดังนั้นเราจึงสามารถแยก ออกเป็นสองส่วน: เซตที่ตัดกับ และส่วนที่เหลือที่ไม่ตัดกับ ซึ่งหมายความว่าเซตเหล่านั้นอยู่ในเซตปิดตอนนี้เรามี. เนื่องจากและเราจึงมีสำหรับทุก. และเนื่องจากเป็นส่วนเติมเต็มของบริเวณใกล้เคียงของจึงไม่ได้อยู่ใน เช่นกันดังนั้นเราจึงมี.${\displaystyle {\bar {W_{U}}}\subseteq U\,}$${\displaystyle x\notin U}$${\displaystyle x\notin {\bar {W_{U}}}}$${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {V}}}$${\displaystyle V[x]}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {V}}}$${\displaystyle V[x]}$${\displaystyle A_{1},...,A_{n},...\in {\mathcal {V}}}$${\displaystyle W_{U}}$${\displaystyle W_{U}}$${\displaystyle A_{1},...,A_{n}\in {\mathcal {V}}}$${\displaystyle V[x]}$${\displaystyle A\in {\คณิตศาสตร์ {V}}}$${\displaystyle C:=X\setminus V[x]}$${\displaystyle {\bar {W_{U}}}\subseteq {\bar {A_{1}}}\cup ...\cup {\bar {A_{n}}}\cup C}$${\displaystyle {\bar {A_{i}}}\subseteq U}$${\displaystyle x\notin U}$${\displaystyle x\notin {\bar {A_{i}}}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle C}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle C}$${\displaystyle x\notin {\bar {W_{U}}}}$

${\displaystyle \blacksquare \,}$(เลม 1)

บทพิสูจน์ (บทตั้งที่ 2):

โดยใช้ Lemma 1 ให้ และเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่มีและ(โดย Lemma ของ Urysohn สำหรับเซตปิดที่ไม่ทับซ้อนกันในปริภูมิปกติ ซึ่งปริภูมิ Hausdorff แบบ paracompact เป็นเช่นนั้น) โปรดทราบว่าโดยส่วนรองรับของฟังก์ชัน เราหมายถึงจุดที่ไม่แมปไปยังศูนย์ (และไม่ใช่ส่วนปิดของเซตนี้) เพื่อแสดงว่ามีค่าจำกัดและไม่เป็นศูนย์เสมอ ให้เลือกและให้ย่านใกล้เคียงของที่พบกับเซตเพียงจำนวนจำกัดในดังนั้น จึงเป็นของเซตเพียงจำนวนจำกัดในดังนั้นสำหรับทุก ยกเว้นจำนวนจำกัดนอกจากนี้สำหรับบางดังนั้นดังนั้น จึงมีค่าจำกัดและเพื่อพิสูจน์ความต่อเนื่อง ให้เลือกเช่นเดิม และให้ซึ่งเป็นค่าจำกัด จากนั้นซึ่งเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ดังนั้นภาพผกผันภายใต้ของย่านใกล้เคียงของจะเป็นย่านใกล้เคียงของ${\displaystyle f_{U}:X\to [0,1]\,}$${\displaystyle f_{U}\upharpoonright {\bar {W}}_{U}=1\,}$${\displaystyle \operatorname {supp} ~f_{U}\subseteq U\,}$${\displaystyle f=\sum _{U\in {\mathcal {O}}}f_{U}\,}$${\displaystyle x\in X\,}$${\displaystyle N\,}$${\displaystyle x\,}$${\displaystyle {\mathcal {O}}\,}$${\displaystyle x\,}$${\displaystyle {\mathcal {O}}\,}$${\displaystyle f_{U}(x)=0\,}$${\displaystyle U\,}$${\displaystyle x\in W_{U}\,}$${\displaystyle U\,}$${\displaystyle f_{U}(x)=1\,}$${\displaystyle f(x)\,}$${\displaystyle \geq 1\,}$${\displaystyle x,N\,}$${\displaystyle S=\{U\in {\mathcal {O}}:N{\text{ meets }}U\}\,}$${\displaystyle f\upharpoonright N=\sum _{U\in S}f_{U}\upharpoonright N\,}$${\displaystyle f\,}$${\displaystyle f(x)\,}$${\displaystyle x\,}$

${\displaystyle \blacksquare \,}$(เลม 2)

บทพิสูจน์ (ทฤษฎีบท):

พิจารณาซับคัฟเวอร์แบบจำกัดเฉพาะที่ของรีฟินิชั่นคัฟเวอร์: . เมื่อใช้เลมมา 2 เราจะได้ฟังก์ชันต่อเนื่องที่มี(ดังนั้นเวอร์ชันปิดปกติของส่วนรองรับจะบรรจุอยู่ในบางส่วนสำหรับแต่ละ; ซึ่งผลรวมของพวกมันประกอบเป็น ฟังก์ชัน ต่อเนื่องซึ่งมีค่าจำกัดและไม่เป็นศูนย์เสมอ (ดังนั้น จึงเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบวกที่มีค่าจำกัด) ดังนั้นเมื่อแทนที่แต่ละด้วยเราจึงได้ว่า — โดยที่ทุกอย่างยังคงเหมือนเดิม — ผลรวมของพวกมันคือทุกที่. สุดท้ายสำหรับให้เป็นย่านใกล้เคียงของที่พบกับเซตจำนวนจำกัดในเราจะได้สำหรับทุก ยกเว้นจำนวนจำกัดเนื่องจากแต่ละ. ดังนั้นเราจึงมีพาร์ทิชันของเอกภาพที่อยู่ภายใต้คัฟเวอร์แบบเปิดดั้งเดิม${\displaystyle {\mathcal {O}}^{*}\,}$${\displaystyle \{V{\text{ open }}:(\exists {U\in {\mathcal {O}}}){\bar {V}}\subseteq U\}\,}$${\displaystyle f_{W}:X\to [0,1]\,}$${\displaystyle \operatorname {supp} ~f_{W}\subseteq W\,}$${\displaystyle U\in {\mathcal {O}}\,}$${\displaystyle W\in {\mathcal {O}}^{*}\,}$${\displaystyle 1/f\,}$${\displaystyle f_{W}\,}$${\displaystyle f_{W}/f\,}$${\displaystyle 1\,}$${\displaystyle x\in X\,}$${\displaystyle N\,}$${\displaystyle x\,}$${\displaystyle {\mathcal {O}}^{*}\,}$${\displaystyle f_{W}\upharpoonright N=0\,}$${\displaystyle W\in {\mathcal {O}}^{*}\,}$${\displaystyle \operatorname {supp} ~f_{W}\subseteq W\,}$

${\displaystyle \blacksquare \,}$(ธัม)

มีความคล้ายคลึงกันระหว่างนิยามของความกะทัดรัดและความกะทัดรัดแบบพาราคอมแพ็กต์: สำหรับความกะทัดรัดแบบพาราคอมแพ็กต์นั้น "subcover" ถูกแทนที่ด้วย "open refinement" และ "finite" ถูกแทนที่ด้วย "locally finite" การเปลี่ยนแปลงทั้งสองนี้มีความสำคัญ: หากเรานำนิยามของความกะทัดรัดแบบพาราคอมแพ็กต์มาเปลี่ยน "open refinement" กลับไปเป็น "subcover" หรือ "locally finite" กลับไปเป็น "finite" เราจะได้ปริภูมิที่กะทัดรัดในทั้งสองกรณี

ความกะทัดรัดแบบพาราคอมแพ็กต์นั้นแทบไม่มีส่วนเกี่ยวข้องกับแนวคิดเรื่องความกะทัดรัดเลย แต่เกี่ยวข้องกับการแบ่งเอนทิตีของพื้นที่เชิงทอพอโลยีออกเป็นส่วนย่อยๆ ที่จัดการได้มากกว่า

ความกะทัดรัดระดับพาราคอมแพคต์นั้นคล้ายคลึงกับความกะทัดรัดในระดับคอมแพคต์ในประเด็นต่อไปนี้:

• เซตย่อยปิดทุกเซตของปริภูมิพาราคอมแพ็กต์เป็นปริภูมิพาราคอมแพ็กต์เช่นกัน
• พื้นที่ Hausdorff พาราคอมแพ็ก ^ต์ทุกแห่งเป็นปกติ^[ 10 ^]

มันแตกต่างกันในประเด็นเหล่านี้:

• เซตย่อยพาราคอมแพ็กต์ของปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟไม่จำเป็นต้องเป็นเซตปิด อันที่จริง สำหรับปริภูมิเมตริก เซตย่อยทั้งหมดเป็นพาราคอมแพ็กต์
• ผลคูณของปริภูมิพาราคอมแพ็กต์ไม่จำเป็นต้องเป็นปริภูมิพารา คอมแพ็กต์ เสมอไป กำลังสองของเส้นจำนวนจริงRในโทโพโลยีลิมิตล่างเป็นตัวอย่างคลาสสิกของเรื่องนี้

แนวคิดเรื่องพาราคอมแพ็กต์เนสมีหลายรูปแบบ ในการนิยามรูปแบบเหล่านั้น เราจำเป็นต้องขยายรายการคำศัพท์ข้างต้นก่อน:

ปริภูมิเชิงทอพอโลยีคือ:

• เมตาคอมแพ็กต์ถ้าการคลุมแบบเปิดทุกอันมีการปรับแต่งแบบจำกัดจุดแบบเปิด
• ออร์โธคอมแพ็กต์ถ้าเซตคลุมแบบเปิดทุกเซตมีการปรับแต่งแบบเปิด โดยที่จุดตัดของเซตแบบเปิดทั้งหมดรอบจุดใดๆ ในการปรับแต่งนี้เป็นเซตแบบเปิด
• ถือว่าปกติอย่างสมบูรณ์หากฝาครอบที่เปิดอยู่ทุกอันมีการปรับแต่งดาว เปิด และถือว่าปกติอย่างสมบูรณ์ T ₄หากปกติอย่างสมบูรณ์และT ₁ (ดูหลักการแยก )

สามารถเพิ่ม คำวิเศษณ์ " นับได้ " เข้าไปในคำคุณศัพท์ "paracompact", "metacompact" และ "fully normal" เพื่อให้ข้อกำหนดนี้ใช้ได้เฉพาะกับฝาครอบแบบเปิด ที่นับได้ เท่านั้น

ปริภูมิพาราคอมแพ็กต์ทุกปริภูมิเป็นเมตาคอมแพ็กต์ และปริภูมิเมตาคอมแพ็กต์ทุกปริภูมิเป็นออร์โธคอมแพ็กต์

• เมื่อกำหนดเซตปกคลุมและจุดหนึ่งแล้วเซตดาวของจุดในเซตปกคลุมนั้นคือการรวมกันของเซตทั้งหมดในเซตปกคลุมที่ประกอบด้วยจุดนั้น ในเชิงสัญลักษณ์ เซตดาวของxในU = { U _α  : α ในA } คือ

${\displaystyle \mathbf {U} ^{*}(x):=\bigcup _{U_{\alpha }\ni x}U_{\alpha }.}$

สัญลักษณ์ที่ใช้แทนเครื่องหมายดาวนั้นยังไม่มีมาตรฐานในเอกสารทางวิชาการ และนี่เป็นเพียงความเป็นไปได้หนึ่งเท่านั้น

• การปรับปรุงแบบดาว ( star refinement)ของชุดคลุมของปริภูมิXคือชุดคลุมของปริภูมิเดียวกัน โดยที่เมื่อกำหนดจุดใดๆ ในปริภูมิแล้ว สตาร์ของจุดในชุดคลุมใหม่จะเป็นเซตย่อยของเซตบางเซตในชุดคลุมเดิม ในเชิงสัญลักษณ์VคือการปรับปรุงแบบดาวของU = { U _α  : α ในA } ถ้าสำหรับx ใดๆ ในXจะมีU _αในU อยู่ ซึ่งV ^* ( x ) บรรจุอยู่ในU _α
• เซตปกคลุมของปริภูมิXเรียกว่า เซต ปกคลุมแบบจุดจำกัด (หรือเซตจำกัดจุด ) ถ้าทุกจุดในปริภูมิ X เป็นสมาชิกของเซตในเซตปกคลุมเพียงจำนวนจำกัดเท่านั้น ในเชิงสัญลักษณ์Uเป็นเซตปกคลุมแบบจุดจำกัด ถ้าสำหรับทุกxในXเซต x ∈ U เป็นเซตจำกัด${\displaystyle \left\{\alpha \in A:x\in U_{\alpha }\right\}}$

ดังที่ชื่อบ่งบอก พื้นที่ปกติสมบูรณ์ก็คือพื้นที่ปกติและพื้นที่ T₄ สมบูรณ์_ก็คือพื้นที่ T₄ _{พื้นที่T₄}สมบูรณ์ทุกพื้นที่เป็นพาราคอมแพ็กต์ อันที่จริง สำหรับพื้นที่เฮาส์ดอร์ฟ ความเป็นพาราคอมแพ็กต์และความเป็นปกติสมบูรณ์นั้นเทียบเท่ากัน ดังนั้น พื้นที่ T₄ สมบูรณ์ก็_คือพื้นที่เฮาส์ดอร์ฟที่เป็นพาราคอมแพ็กต์นั่นเอง

หากไม่มีคุณสมบัติของเฮาส์ดอร์ฟ พื้นที่ขนาดกะทัดรัดแบบพาราคอมแพ็กต์ก็ไม่จำเป็นต้องเป็นพื้นที่ปกติโดยสมบูรณ์เสมอไป พื้นที่ขนาดกะทัดรัดใดๆ ที่ไม่เป็นไปตามรูปแบบปกติก็ถือเป็นตัวอย่างหนึ่ง

หมายเหตุทางประวัติศาสตร์: พื้นที่ปกติโดยสมบูรณ์ได้รับการกำหนดไว้ก่อนพื้นที่พาราคอมแพ็กต์ในปี พ.ศ. 2483 โดยJohn W. Tukey [ ^{12 ] การ} พิสูจน์ว่าพื้นที่เมตริกซ์ทั้งหมดเป็นพื้นที่ปกติโดยสมบูรณ์นั้นง่าย เมื่อ AH Stone พิสูจน์ว่าสำหรับพื้นที่ Hausdorff ความปกติโดยสมบูรณ์และความพาราคอมแพ็กต์นั้นเทียบเท่ากัน เขาจึงพิสูจน์โดยปริยายว่าพื้นที่เมตริกซ์ทั้งหมดเป็นพาราคอมแพ็กต์ ต่อมาErnest Michael ได้ให้การพิสูจน์โดยตรงของข้อเท็จจริงหลัง และ ME Rudinได้ให้การพิสูจน์พื้นฐานอีกแบบหนึ่ง

• พื้นที่พาราคอมแพ็กต์
• พื้นที่เหนือธรรมชาติ

• "ปริภูมิพาราคอมแพ็กต์" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]