ในการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันซึ่งเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ทฤษฎีบทการเลือกของไมเคิลเป็นทฤษฎีบทการเลือกที่ตั้งชื่อตามเออร์เนสต์ ไมเคิลในรูปแบบที่เป็นที่นิยมมากที่สุด ทฤษฎีบทนี้กล่าวไว้ดังนี้: ^{[ 1 ]}

ในทางกลับกันถ้ามัลติแมปแบบกึ่งต่อเนื่องล่างใดๆ จากปริภูมิเชิงทอพอโลยีXไปยังปริภูมิบานาค ซึ่งมีค่าปิดนูนที่ไม่ว่างเปล่า ยอมรับการเลือก แบบต่อเนื่องได้ แล้วXจะเป็นพาราคอมแพ็กต์ นี่เป็นการให้ลักษณะเฉพาะอีกแบบหนึ่งสำหรับความเป็นพาราคอมแพ็กต์

ฟังก์ชันซึ่งแสดงด้วยพื้นที่สีเทาในรูปด้านขวา เป็นฟังก์ชันค่าเซตจากช่วงจำนวนจริง [0,1] ไปยังตัวมันเอง ฟังก์ชันนี้ตรงตามเงื่อนไขทั้งหมดของไมเคิล และที่จริงแล้วมันมีการเลือกแบบต่อเนื่อง ตัวอย่างเช่นหรือ${\displaystyle F(x)=[1-x/2,~1-x/4]}$${\displaystyle f(x)=1-x/2}$${\displaystyle f(x)=1-3x/8}$

ฟังก์ชัน

${\displaystyle F(x)={\begin{cases}3/4&0\leq x<0.5\\\left[0,1\right]&x=0.5\\1/4&0.5<x\leq 1\end{cases}}}$

เป็นฟังก์ชันค่าเซตจากช่วงจริง [0,1] ไปยังตัวมันเอง มีค่าปิดนูนที่ไม่ว่างเปล่า อย่างไรก็ตาม มันไม่มีความต่อเนื่องครึ่งล่างที่ 0.5 อันที่จริง ทฤษฎีบทของไมเคิลใช้ไม่ได้ และฟังก์ชันไม่มีการเลือกแบบต่อเนื่อง: การเลือกใดๆ ที่ 0.5 จะต้องไม่ต่อเนื่อง^{[ 2 ]}

ทฤษฎีบทการเลือกของไมเคิลสามารถนำมาใช้เพื่อแสดงให้เห็นว่าการรวมเชิงอนุพันธ์

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}(t)\in F(t,x(t)),\quad x(t_{0})=x_{0}}$

มี คำตอบ C ¹เมื่อFเป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องล่างและF ( t ,  x ) เป็นเซตปิดและนูนที่ไม่ว่างสำหรับทุก ( t ,  x ) เมื่อF เป็นฟังก์ชันค่าเดียว นี่คือ ทฤษฎีบทการมีอยู่ของ Peanoแบบคลาสสิก

ทฤษฎีบทของ Deutsch และ Kenderov ได้ขยายทฤษฎีบทการเลือกของ Michel ไปสู่ความสมมูลที่เชื่อมโยงการเลือกโดยประมาณกับความต่อเนื่องเกือบต่ำกว่า (almost lower hemicontinuity ) โดยที่จะเรียกว่ามีความต่อเนื่องเกือบต่ำกว่า ถ้าที่แต่ละ ในทุกย่านของจะมีย่านของ อยู่เช่นนั้น${\displaystyle F}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle V}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle U}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \cap _{u\in U}\{F(u)+V\}\neq \emptyset .}$

กล่าวคือ ทฤษฎีบท Deutsch–Kenderov ระบุว่า ถ้าเป็นพาราคอมแพ็ก ต์ เป็นปริภูมิเวกเตอร์บรรทัดฐานและเป็นนูนที่ไม่ว่างสำหรับแต่ละแล้วเกือบจะเป็นเฮมิคอนทินิวอัสล่างก็ต่อเมื่อมีการเลือกโดยประมาณแบบต่อเนื่อง นั่นคือ สำหรับแต่ละย่านใกล้เคียง^ของในจะมีฟังก์ชันต่อเนื่องเช่นนั้นสำหรับแต่ละ[ ^{3 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle F(x)}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle V}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f\colon X\mapsto Y}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle f(x)\in F(X)+V}$

ในบันทึก Xu พิสูจน์ว่าทฤษฎีบท Deutsch–Kenderov ยังคงใช้ได้หากเป็นปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอ พอโล ยี แบบนูนเฉพาะที่ ^{[ 4 ]}${\displaystyle Y}$

• ทฤษฎีบทการเลือกของไมเคิลมิติศูนย์
• ทฤษฎีบทการเลือก
• ทฤษฎีบทสูงสุด

• Repovš, Dušan ; Semenov, Pavel V. (2014). "การเลือกอย่างต่อเนื่องของแผนที่หลายค่า" ใน Hart, KP; van Mill, J.; Simon, P. (บรรณาธิการ). ความก้าวหน้าล่าสุดในโทโพโลยีทั่วไปเล่มที่ III. เบอร์ลิน: Springer. หน้า  711–749 . arXiv : 1401.2257 . Bibcode : 2014arXiv1401.2257R . doi : 10.2991/978-94-6239-024-9_17 (ไม่ใช้งาน 27 กรกฎาคม 2025). ISBN 978-94-6239-023-2.{{cite book}}: CS1 maint: DOI ไม่ใช้งานแล้วตั้งแต่เดือนกรกฎาคม 2025 ( ลิงก์ )
• ออบิน, ฌอง-ปิแอร์; เซลลินา, อาร์ริโก (1984) การรวมส่วนต่าง แผนที่มูลค่าเซต และทฤษฎีความมีชีวิต กรันเดิล. เดอร์คณิตศาสตร์ วิส. ฉบับที่ 264. เบอร์ลิน: สปริงเกอร์-แวร์แลกไอเอสบีเอ็น 3-540-13105-1.
• ออบิน, ฌอง-ปิแอร์; แฟรงโควสกา, เอช. (1990) การ วิเคราะห์มูลค่าชุดบาเซิล: Birkhäuser. ไอเอสบีเอ็น 3-7643-3478-9.
• เดมลิง, เคลาส์ (1992) สมการเชิงอนุพันธ์หลายค่า วอลเตอร์ เดอ กรอยเตอร์. ไอเอสบีเอ็น 3-11-013212-5.
• Repovš, ดูซาน ; เซเมนอฟ, พาเวล วี. (1998) การเลือกการแมปแบบหลายค่าอย่างต่อเนื่อง Dordrecht: สำนักพิมพ์ทางวิชาการของ Kluwer. ไอเอสบีเอ็น 0-7923-5277-7.
• Repovš, Dušan ; Semenov, Pavel V. (2008). "Ernest Michael และทฤษฎีของการเลือกแบบต่อเนื่อง" Topology and Its Applications . 155 (8): 755– 763. arXiv : 0803.4473 . doi : 10.1016/j.topol.2006.06.011 .
• Aliprantis, Charalambos D.; Border, Kim C. (2007). การวิเคราะห์มิติอนันต์: คู่มือนักเดินทาง (ฉบับที่ 3). Springer. ISBN 978-3-540-32696-0.
• Hu, S.; Papageorgiou, N. (31 ตุลาคม 1997). คู่มือการวิเคราะห์ค่าหลายค่าเล่มที่ 1. Kluwer. ISBN 0-7923-4682-3.