ในตรรกศาสตร์แคลคูลัสเอปซิลอนของฮิลเบิร์ตเป็นการขยายภาษาเชิงรูปธรรมโดยใช้ตัวดำเนินการเอปซิลอน โดยที่ตัวดำเนินการเอปซิลอนจะแทนที่ตัวบ่งปริมาณในภาษาดังกล่าวเป็นวิธีการที่นำไปสู่การพิสูจน์ความสอดคล้องสำหรับภาษาเชิงรูปธรรมที่ขยายแล้ว โดยทั่วไปแล้ว ตัวดำเนินการเอปซิลอนและวิธีการแทนที่เอปซิลอนจะถูกนำไปใช้กับแคลคูลัสภาคแสดงลำดับที่หนึ่งตามด้วยการสาธิตความสอดคล้อง แคลคูลัสที่ขยายด้วยเอปซิลอนจะถูกขยายและวางนัยทั่วไปเพิ่มเติมเพื่อครอบคลุมวัตถุทางคณิตศาสตร์ คลาส และหมวดหมู่ที่ต้องการแสดงความสอดคล้อง โดยอาศัยความสอดคล้องที่แสดงไว้ก่อนหน้านี้ในระดับก่อนหน้า^{[ 1 ]}

สำหรับภาษาเชิงรูปธรรมใดๆLให้ขยายLโดยการเพิ่มตัวดำเนินการเอปซิลอนเพื่อกำหนดนิยามใหม่ของการหาปริมาณ:

• ${\displaystyle (\exists x)A(x)\ \equiv \ A(\epsilon x\ A)}$
• ${\displaystyle (\forall x)A(x)\ \equiv \ \neg \exists x\neg A(x)\leftrightarrow \neg {\big (}\neg A(\epsilon x\ \neg A){\big )}\leftrightarrow A(\epsilon x\ (\neg A))}$

การตีความที่ตั้งใจไว้ของ ϵ x Aคือx บางตัวที่สอดคล้องกับAถ้ามีอยู่ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ϵ x A จะส่งคืน เทอมtบางตัวที่ทำให้A ( t ) เป็นจริง มิฉะนั้นจะส่งคืนเทอมเริ่มต้นหรือเทอมใดๆ ก็ได้ หากมีเทอมมากกว่าหนึ่งเทอมที่สอดคล้องกับAเทอมใดๆ เหล่านี้ (ซึ่งทำให้Aเป็นจริง) สามารถเลือกได้แบบไม่แน่นอน ต้องมีการกำหนดความเท่าเทียมกันภายใต้Lและกฎเดียวที่จำเป็นสำหรับLที่ขยายโดยตัวดำเนินการเอปซิลอนคือmodus ponensและการแทนที่A ( ​​t ) เพื่อแทนที่A ( ​​x ) สำหรับ เทอมtใดๆ^{[ 2 ]}

ในสัญลักษณ์เทา-สแควร์จากทฤษฎีเซตของ N. Bourbaki ตัวบ่งปริมาณจะถูกกำหนดดังนี้:

• ${\displaystyle (\exists x)A(x)\ \equiv \ (\tau _{x}(A)|x)A}$
• ${\displaystyle (\forall x)A(x)\ \equiv \ \neg (\tau _{x}(\neg A)|x)\neg A\ \equiv \ (\tau _{x}(\neg A)|x)A}$

โดยที่Aคือความสัมพันธ์ในL , xคือตัวแปร และวาง a ไว้ข้างหน้าAแทนที่x ทุกตัว ด้วยและเชื่อมโยงกลับไปยังจากนั้นให้Yเป็นกลุ่ม(Y|x)A หมายถึง การ แทนที่ตัวแปรx ทั้งหมด ในAด้วยY${\displaystyle \tau _{x}(A)}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \square }$${\displaystyle \tau }$

สัญลักษณ์นี้เทียบเท่ากับสัญลักษณ์ของฮิลเบิร์ตและอ่านเหมือนกัน บูร์บากีใช้สัญลักษณ์นี้ในการกำหนดการกำหนดค่าจำนวนนับเนื่องจากพวกเขาไม่ได้ใช้สัจพจน์ของการแทนที่

การกำหนดตัวบ่งปริมาณในลักษณะนี้ทำให้เกิดความไม่มีประสิทธิภาพอย่างมาก ตัวอย่างเช่น การขยายคำจำกัดความดั้งเดิมของ Bourbaki เกี่ยวกับเลขหนึ่งโดยใช้สัญกรณ์นี้มีความยาวประมาณ 4.5 × 10 ¹²และสำหรับ Bourbaki ฉบับต่อมาที่รวมสัญกรณ์นี้เข้ากับคำจำกัดความของKuratowski เกี่ยวกับ คู่ลำดับ จำนวนนี้จะเพิ่มขึ้นเป็นประมาณ 2.4 × 10 ^{54 [ 3 ]}

โครงการของฮิลเบิร์ตสำหรับคณิตศาสตร์คือการพิสูจน์ว่าระบบที่เป็นทางการ เหล่านั้น มีความสอดคล้องกับระบบเชิงสร้างสรรค์หรือกึ่งสร้างสรรค์ ในขณะที่ผลลัพธ์ของเกอเดลเกี่ยวกับความไม่สมบูรณ์ได้หักล้างโครงการของฮิลเบิร์ตไปมาก นักวิจัยสมัยใหม่พบว่าแคลคูลัสเอปซิลอนเป็นทางเลือกอื่นในการพิสูจน์ความสอดคล้องเชิงระบบตามที่อธิบายไว้ในวิธีการแทนที่เอปซิลอน

ทฤษฎีที่จะตรวจสอบความสอดคล้องกันนั้น จะต้องฝังอยู่ในแคลคูลัสเอปซิลอนที่เหมาะสมก่อน ประการที่สอง จะต้องพัฒนากระบวนการเขียนทฤษฎีบทเชิงปริมาณใหม่เพื่อแสดงในรูปของการดำเนินการเอปซิลอนโดยใช้วิธีการแทนที่เอปซิลอน สุดท้าย จะต้องแสดงให้เห็นว่ากระบวนการเขียนใหม่นั้นเป็นมาตรฐาน เพื่อให้ทฤษฎีบทที่เขียนใหม่เป็นไปตามสัจพจน์ของทฤษฎีบท^{[ 4 ]}