ในทฤษฎีเซตแผนผังสัจพจน์ของการแทนที่คือแผนผังสัจพจน์ในทฤษฎีเซตของ Zermelo–Fraenkel (ZF) ซึ่งยืนยันว่าภาพของเซต ใดๆ ภายใต้การแมป ที่กำหนดได้ใดๆ ก็เป็นเซตเช่นกัน แผนผังนี้จำเป็นสำหรับการสร้างเซตอนันต์บางประเภทใน ZF

โครงร่างของสัจพจน์นี้มีแรงจูงใจมาจากแนวคิดที่ว่า การที่คลาสใดคลาส หนึ่ง จะเป็นเซตหรือไม่นั้น ขึ้นอยู่กับจำนวน สมาชิก ของคลาสนั้นเท่านั้น ไม่ได้ขึ้นอยู่กับลำดับของสมาชิก ดังนั้น หากคลาสหนึ่ง "เล็กพอ" ที่จะเป็นเซต และมีการส่งแบบทั่วถึงจากคลาสนั้นไปยังคลาสที่สอง สัจพจน์จะระบุว่าคลาสที่สองก็เป็นเซตเช่นกัน อย่างไรก็ตาม เนื่องจากZFCกล่าวถึงเฉพาะเซต ไม่ใช่คลาสที่แท้จริง โครงร่างจึงระบุไว้เฉพาะสำหรับการส่งแบบทั่วถึงที่สามารถนิยามได้ ซึ่งระบุด้วยสูตร นิยามของ มัน

สมมติว่าเป็นความสัมพันธ์ทวิภาค ที่กำหนดได้ (ซึ่งอาจเป็นคลาสที่เหมาะสม ) โดยที่สำหรับทุกเซตจะมีเซต ที่ไม่ซ้ำกันเพียงเซตเดียวที่ทำให้ เป็นจริง มีฟังก์ชันที่กำหนดได้ที่สอดคล้องกันโดยที่ก็ต่อเมื่อพิจารณาคลาส (อาจเป็นคลาสที่เหมาะสม) ที่กำหนดโดยที่ สำหรับทุกเซตก็ต่อเมื่อมี ที่มีเรียกว่าภาพของภายใต้และเขียนแทนด้วยหรือ (โดยใช้สัญกรณ์การสร้างเซต )${\displaystyle P}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle P(x,y)}$${\displaystyle F_{P}}$${\displaystyle F_{P}(x)=y}$${\displaystyle P(x,y)}$${\displaystyle B}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y\in B}$${\displaystyle x\in A}$${\displaystyle F_{P}(x)=y}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle F_{P}}$${\displaystyle F_{P}[A]}$${\displaystyle \{F_{P}(x):x\in A\}}$

โครงร่างสัจพจน์ของการแทนที่ระบุว่า ถ้าเป็นฟังก์ชันคลาสที่กำหนดได้ ดังที่กล่าวมาข้างต้น และเป็นเซตใดๆ แล้ว ภาพที่ได้ก็จะเป็นเซตเช่นกัน นี่อาจมองได้ว่าเป็นหลักการของความเล็ก: สัจพจน์ระบุว่า ถ้ามีขนาดเล็กพอที่จะเป็นเซตได้ แล้วก็มีขนาดเล็กพอที่จะเป็นเซตได้เช่นกัน ซึ่งเป็นสิ่งที่แฝงอยู่ในสัจพจน์ที่เข้มงวดกว่าเกี่ยว กับการจำกัดขนาด${\displaystyle F}$${\displaystyle A}$${\displaystyle F[A]}$${\displaystyle A}$${\displaystyle F[A]}$

เนื่องจากเป็นไปไม่ได้ที่จะหาปริมาณของฟังก์ชันที่กำหนดได้ในตรรกศาสตร์ลำดับที่หนึ่งจึงมีการรวมตัวอย่างของแบบแผนไว้หนึ่งตัวอย่างสำหรับแต่ละสูตรในภาษาของทฤษฎีเซตที่มีตัวแปรอิสระอยู่แต่ไม่ใช่ตัวแปรอิสระใน ในภาษาที่เป็นทางการของทฤษฎีเซต แบบแผนของสัจพจน์คือ: ${\displaystyle \phi }$${\displaystyle w_{1},\dotsc ,w_{n},A,x,y}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\forall w_{1},\ldots ,w_{n}\,\forall A\,([\forall x\in A&\,\exists !y\,\phi (x,y,w_{1},\ldots ,w_{n},A)]\ \Longrightarrow \ \exists B\,\forall y\,[y\in B\Leftrightarrow \exists x\in A\,\phi (x,y,w_{1},\ldots ,w_{n},A)])\end{aligned}}}$

สำหรับความหมายของ โปรดดูที่ การวัดปริมาณความเป็นเอกลักษณ์${\displaystyle \exists !}$

เพื่อให้เข้าใจง่ายขึ้น ในกรณีที่ไม่มีตัวแปรใดๆสมการนี้จะลดรูปเหลือดังนี้: ${\displaystyle w_{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\forall A\,([\forall x\in A&\,\exists !y\,\phi (x,y,A)]\ \Longrightarrow \ \exists B\,\forall y\,[y\in B\Leftrightarrow \exists x\in A\,\phi (x,y,A)])\end{aligned}}}$

ดังนั้นเมื่อใดก็ตามที่ระบุการจับคู่ที่ไม่ซ้ำกันแบบ-to- ซึ่งคล้ายกับฟังก์ชันบนแล้วค่าทั้งหมดที่ได้มาด้วยวิธีนี้สามารถรวบรวมไว้ในเซตได้ซึ่ง คล้ายกับ${\displaystyle \phi }$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle F}$${\displaystyle A}$${\displaystyle y}$${\displaystyle B}$${\displaystyle F[A]}$

โครงร่างสัจพจน์ของการแทนที่นั้นไม่จำเป็นสำหรับการพิสูจน์ทฤษฎีบทส่วนใหญ่ในคณิตศาสตร์ทั่วไป อันที่จริงทฤษฎีเซตของ Zermelo (Z) สามารถตีความเลขคณิตอันดับสองและทฤษฎีประเภท ส่วนใหญ่ ในประเภทจำกัดได้แล้ว ซึ่งในทางกลับกันก็เพียงพอที่จะทำให้คณิตศาสตร์ส่วนใหญ่เป็นทางการได้ แม้ว่าโครงร่างสัจพจน์ของการแทนที่จะเป็นสัจพจน์มาตรฐานในทฤษฎีเซตในปัจจุบัน แต่ก็มักถูกละเว้นจากระบบทฤษฎีประเภทและระบบพื้นฐานในทฤษฎี โทโพ ส

อย่างไรก็ตาม โครงสร้างสัจพจน์ช่วยเพิ่มความแข็งแกร่งของ ZF อย่างมาก ทั้งในแง่ของทฤษฎีบทที่สามารถพิสูจน์ได้ เช่น เซตที่แสดงให้เห็นว่ามีอยู่จริง และในแง่ของ ความสอดคล้อง เชิงทฤษฎีการพิสูจน์เมื่อเทียบกับ Z ตัวอย่างที่สำคัญบางส่วนมีดังต่อไปนี้:

• โดยใช้คำจำกัดความสมัยใหม่ของฟอน นอยมันน์ การพิสูจน์การมีอยู่ของจำนวนเชิงอันดับจำกัด ใดๆ ที่มากกว่าต้องใช้สัจพจน์การแทนที่จำนวนเชิงอันดับเป็นจำนวนเชิงอันดับแรกดังกล่าว อันที่จริงสัจพจน์ของอนันต์ยืนยันการมีอยู่ของเซตอนันต์เราอาจหวังที่จะกำหนดให้เป็นการรวมกันของลำดับอย่างไรก็ตามกลุ่มของจำนวนเชิงอันดับดังกล่าวไม่จำเป็นต้องเป็นเซต ตัวอย่างเช่น กลุ่มของจำนวนเชิงอันดับทั้งหมด ไม่ใช่เซต การแทนที่ทำให้เราสามารถแทนที่จำนวนจำกัดแต่ละจำนวนในด้วย ที่สอดคล้องกันและรับประกันว่ากลุ่มนี้เป็นเซต เพื่อความชัดเจน โปรดทราบว่าเราสามารถสร้างเซตที่มีลำดับที่ดีซึ่งสม isomorphic กับ ได้อย่างง่ายดาย โดยไม่ต้องใช้การแทนที่ เพียงแค่นำการรวมกันที่ไม่ซ้ำกันของสำเนาสองชุดของโดยสำเนาชุดที่สองมากกว่าชุดแรก อย่างไรก็ตาม นั่นไม่ใช่จำนวนเชิงอันดับ เนื่องจากมันไม่ได้เรียงลำดับโดยสมบูรณ์โดยการรวม${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \โอเมก้า +\โอเมก้า }$${\displaystyle \omega =\{0,1,2,\dots \}}$${\displaystyle \โอเมก้า +\โอเมก้า }$${\displaystyle \{\omega ,\omega +1,\omega +2,\dots \}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega +n}$${\displaystyle \โอเมก้า +\โอเมก้า }$${\displaystyle \omega }$

• จำนวนเชิงอันดับขนาดใหญ่พึ่งพาการแทนที่น้อยกว่าโดยตรง ตัวอย่างเช่นจำนวนเชิงอันดับนับไม่ได้ตัวแรกสามารถสร้างได้ดังนี้: เซตของลำดับที่ดีที่นับได้มีอยู่เป็นเซตย่อยของโดยอาศัยสัจพจน์ของการแยกและเซตกำลัง ( ความสัมพันธ์บนเป็นเซตย่อยของและเป็นองค์ประกอบของ เซตของความสัมพันธ์จึงเป็นเซตย่อยของ) แทนที่เซตที่มีลำดับที่ดีแต่ละเซตด้วยจำนวนเชิงอันดับของมัน นี่คือเซตของจำนวนเชิงอันดับนับได้ซึ่งสามารถแสดงได้ว่าเป็นจำนวนนับไม่ได้ การสร้างนี้ใช้การแทนที่สองครั้ง ครั้งแรกเพื่อให้แน่ใจว่ามีการกำหนดจำนวนเชิงอันดับให้กับแต่ละเซตที่มีลำดับที่ดี และอีกครั้งเพื่อแทนที่เซตที่มีลำดับที่ดีด้วยจำนวนเชิงอันดับของมัน นี่เป็นกรณีพิเศษของผลลัพธ์ของจำนวนฮาร์ทอกส์และกรณีทั่วไปสามารถพิสูจน์ได้ในทำนองเดียวกัน${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle P({\mathbb {N} }\times {\mathbb {N} })}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A\times A}$${\displaystyle P(A\times A)}$${\displaystyle P(A\times A)}$${\displaystyle \omega _{1}}$

• จากที่กล่าวมาข้างต้น การกำหนดค่าลำดับให้กับเซตที่มีลำดับที่ดีทุกเซตนั้น จำเป็นต้องมีการแทนที่เช่นกัน ในทำนองเดียวกันการกำหนดค่าจำนวนเชิงคาร์ดินัลของฟอน นอยมันน์ซึ่งกำหนดจำนวนเชิงคาร์ดินัล ให้กับแต่ละเซต นั้นจำเป็นต้องมีการแทนที่ เช่นเดียวกับสัจพจน์ของการเลือก

• สำหรับเซตของทูเปิลที่นิยามแบบเวียนซ้ำและสำหรับค่า ขนาดใหญ่เซตดังกล่าวมีอันดับสูงเกินไปจนไม่สามารถพิสูจน์การมีอยู่ได้จากทฤษฎีเซตโดยใช้เพียงสัจพจน์ของเซตกำลัง การเลือก และการแทนที่แบบไม่ซ้ำกัน${\displaystyle A^{n}=A^{n-1}\times A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \{A^{n}\mid n\in {\mathbb {N} }\}}$

• ในทำนองเดียวกันฮาร์วีย์ ฟรีดแมนแสดงให้เห็นว่าอย่างน้อยบางกรณีของการแทนที่นั้นจำเป็นต่อการแสดงให้เห็นว่าเกมบอเรลนั้นถูกกำหนดไว้แล้วผลลัพธ์ที่ได้รับการพิสูจน์แล้วคือทฤษฎีบทความแน่นอนของบอเรลของโดนัลด์ เอ. มาร์ ติน การวิเคราะห์อย่างละเอียดถี่ถ้วนมากขึ้นในภายหลังโดยมาร์ตินเกี่ยวกับผลลัพธ์นี้แสดงให้เห็นว่าจำเป็นต้องมีการแทนที่เฉพาะสำหรับฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็น ลำดับ เชิงนับใด ๆเท่านั้น

• ZF (ซึ่งรวมถึงการแทนที่) พิสูจน์ความสอดคล้องของ Z เนื่องจากเซตนี้เป็นแบบจำลองของ Z ซึ่งสามารถพิสูจน์การมีอยู่ได้ใน ZF จำนวนเชิงคาร์ดินัลคือจำนวนเชิงคาร์ดินัลที่เล็กที่สุดที่สามารถแสดงให้เห็นว่ามีอยู่ใน ZF แต่ไม่มีอยู่ใน Z เพื่อความกระจ่าง โปรดทราบว่าทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ข้อที่สองของเกอเดลแสดงให้เห็นว่าทฤษฎีแต่ละทฤษฎีเหล่านี้มีประโยคที่ "แสดง" ความสอดคล้องของทฤษฎี นั้น เองซึ่งไม่สามารถพิสูจน์ได้ในทฤษฎีนั้น หากทฤษฎีนั้นมีความสอดคล้อง ผลลัพธ์นี้มักแสดงออกมาอย่างหลวมๆ ว่าเป็นการอ้างว่าไม่มีทฤษฎีใดสามารถพิสูจน์ความสอดคล้องของตนเองได้ หากทฤษฎีนั้นมีความสอดคล้อง${\displaystyle V_{\โอเมก้า +\โอเมก้า }}$${\displaystyle \aleph _{\โอเมก้า }}$

อาจมีการลดความซับซ้อนบางประการในแผนผังสัจพจน์ของการแทนที่เพื่อให้ได้เวอร์ชันที่เทียบเท่ากันที่แตกต่างกันAzriel Lévyแสดงให้เห็นว่าเวอร์ชันของการแทนที่โดยที่พารามิเตอร์ถูกลบออก กล่าวคือแผนผังต่อไปนี้ เทียบเท่ากับรูปแบบดั้งเดิม โดยเฉพาะอย่างยิ่งความเทียบเท่านี้เกิดขึ้นในกรณีที่มีสัจพจน์ของการขยาย การจับคู่ การรวม และเซตกำลัง^{[ 1 ]}

${\displaystyle \forall A\,([\forall x\,\exists !y\,\phi (x,y,A)]\ \Longrightarrow \ \exists B\,\forall y\,[y\in B\Leftrightarrow \exists x\in A\,\phi (x,y,A)])}$

แผนผังสัจพจน์ของการรวบรวมมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดและมักสับสนกับแผนผังสัจพจน์ของการแทนที่ เหนือสัจพจน์ ZF ที่เหลือ มันเทียบเท่ากับแผนผังสัจพจน์ของการแทนที่ สัจพจน์ของการรวบรวมนั้นแข็งแกร่งกว่าการแทนที่ในกรณีที่ไม่มีสัจพจน์เซตกำลัง^{[ 2 ]}หรือคู่ตรงข้ามเชิงสร้างสรรค์ของ ZFและใช้ในกรอบของ IZF ซึ่งขาดกฎของส่วนกลางที่ถูกยกเว้นแทนที่จะใช้การแทนที่ซึ่งอ่อนแอกว่า^{[ 3 ]}

ในขณะที่การแทนที่สามารถตีความได้ว่า ภาพของเซตที่กำหนดภายใต้ฟังก์ชันก็เป็นเซตเช่นกัน การรวบรวมพูดถึงภาพของความสัมพันธ์ แล้วจึงกล่าวเพียงว่า คลาสบางคลาสที่มีภาพก่อนหน้าเชิงสัมพันธ์เป็นเซตที่กำหนด ก็เป็นเซตเช่นกัน กล่าวอีกนัยหนึ่ง เซตที่ได้ไม่มีข้อกำหนดขั้นต่ำ กล่าวคือ รูปแบบนี้ยังขาดข้อกำหนดความไม่ซ้ำกันบนนั่นคือ ความสัมพันธ์ที่กำหนดโดยไม่จำเป็นต้องเป็นฟังก์ชัน—บางค่าอาจสอดคล้องกับหลายค่าในในกรณีนี้ เซตภาพที่ยืนยันการมีอยู่จะต้องมีอย่างน้อยหนึ่งค่าดังกล่าวสำหรับแต่ละในเซตดั้งเดิม โดยไม่มีการรับประกันว่าจะมีเพียงค่าเดียว ${\displaystyle B}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle x\in A}$${\displaystyle y}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$

สมมติว่าตัวแปรอิสระของอยู่ในกลุ่ม; แต่ทั้งและ ไม่ใช่ตัวแปรอิสระในดังนั้นโครงร่างสัจพจน์คือ: ${\displaystyle \phi }$${\displaystyle w_{1},\dotsc ,w_{n},x,y}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \forall w_{1},\ldots ,w_{n}\,[(\forall x\,\exists y\,\phi (x,y,w_{1},\ldots ,w_{n}))\Rightarrow \forall A\,\exists B\,\forall x\in A\,\exists y\in B\,\phi (x,y,w_{1},\ldots ,w_{n})]}$

บางครั้งมีการระบุโครงร่างสัจพจน์โดยไม่มีข้อจำกัดล่วงหน้า (นอกเหนือจากที่ไม่ปรากฏอย่างอิสระใน) บนภาคแสดง: ${\displaystyle B}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \forall w_{1},\ldots ,w_{n}\,\forall A\,\exists B\,\forall x\in A\,[\exists y\phi (x,y,w_{1},\ldots ,w_{n})\Rightarrow \exists y\in B\,\phi (x,y,w_{1},\ldots ,w_{n})]}$

ในกรณีนี้ อาจมีองค์ประกอบบางอย่างในที่ไม่ได้เชื่อมโยงกับเซตอื่นใดเลยอย่างไรก็ตาม แผนผังสัจพจน์ตามที่ระบุไว้กำหนดว่า หากองค์ประกอบของเชื่อมโยงกับเซตอย่างน้อยหนึ่งเซตแล้ว เซตภาพจะประกอบด้วยองค์ประกอบดังกล่าวอย่างน้อยหนึ่งองค์ประกอบ แผนผังสัจพจน์ที่ได้นี้เรียกอีกอย่างว่าแผนผัง สัจพจน์ของขอบเขต${\displaystyle x}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle x}$${\displaystyle A}$${\displaystyle y}$${\displaystyle B}$${\displaystyle y}$

แผนผังสัจพจน์ของการแยกซึ่งเป็นแผนผังสัจพจน์อีกแบบหนึ่งใน ZFC นั้น ได้รับการอนุมานจากแผนผังสัจพจน์ของการแทนที่และสัจพจน์ของเซตว่างโปรดจำไว้ว่าแผนผังสัจพจน์ของการแยกนั้นรวมถึง

${\displaystyle \forall A\,\exists B\,\forall C\,(C\in B\Leftrightarrow [C\in A\land \theta (C)])}$

สำหรับแต่ละสูตรในภาษาของทฤษฎีเซตซึ่งไม่เป็นอิสระ กล่าวคือไม่ได้กล่าวถึง ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle B}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle B}$

การพิสูจน์มีดังนี้: อาจมีองค์ประกอบบางอย่างที่ตรงตามเงื่อนไขหรืออาจไม่มี ในกรณีหลัง การเลือกเซตว่างสำหรับจะตรงตามตัวอย่างที่เกี่ยวข้องของแบบแผนสัจพจน์ของการแยก และก็เสร็จสิ้นหนึ่งขั้นตอน มิฉะนั้น ให้เลือกค่าคงที่ ใน ที่ตรงตามเงื่อนไขจากนั้นกำหนดสำหรับใช้กับการแทนที่ โดยใช้สัญกรณ์ฟังก์ชันสำหรับตัวบ่งชี้ นี้มันจะทำหน้าที่เหมือนเอกลักษณ์เมื่อใดก็ตามที่เป็นจริง และเหมือนฟังก์ชันคงที่เมื่อใดก็ตามที่เป็นเท็จ จากการวิเคราะห์กรณี ค่าที่เป็นไปได้นั้นมีเอกลักษณ์สำหรับ ใดๆซึ่งหมายความว่าเป็นฟังก์ชันของคลาสอย่างแท้จริง ในทางกลับกัน ภาพของภายใต้นั่นคือคลาสได้รับการยอมรับว่าเป็นเซตโดยสัจพจน์ของการแทนที่ ซึ่งเป็นการตรวจสอบสัจพจน์ของการแยกอย่างแม่นยำ ${\displaystyle A}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \theta (a)}$${\displaystyle B}$${\displaystyle a}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \theta (a)}$${\displaystyle \phi (x,y):=(\theta (x)\land y=x)\lor (\neg \theta (x)\land y=a)}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle F_{a}(x)=x}$${\displaystyle \theta (x)}$${\displaystyle F_{a}(x)=a}$${\displaystyle \theta (x)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle F_{a}}$${\displaystyle B:=\{F_{a}(x):x\in A\}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle F_{a}}$${\displaystyle A\cap \{x:\theta (x)\}}$${\displaystyle B}$

ผลลัพธ์นี้แสดงให้เห็นว่าสามารถกำหนดสัจพจน์ของ ZFC ได้ด้วยแผนผังสัจพจน์อนันต์เพียงแผนผังเดียว เนื่องจากจำเป็นต้องมีแผนผังอนันต์อย่างน้อยหนึ่งแผนผัง (ZFC ไม่สามารถกำหนดสัจพจน์ได้ด้วยจำนวนจำกัด) จึงแสดงให้เห็นว่าแผนผังสัจพจน์ของการแทนที่สามารถทำหน้าที่เป็นแผนผังสัจพจน์อนันต์เพียงแผนผังเดียวใน ZFC ได้หากต้องการ เนื่องจากแผนผังสัจพจน์ของการแยกไม่เป็นอิสระ จึงมักถูกละเว้นจากข้อความร่วมสมัยของสัจพจน์ Zermelo–Fraenkel

อย่างไรก็ตาม การแยกยังคงมีความสำคัญสำหรับการใช้งานในส่วนย่อยของ ZFC เนื่องจากข้อพิจารณาทางประวัติศาสตร์ และสำหรับการเปรียบเทียบกับการกำหนดสัจพจน์ทางเลือกอื่น ๆ ของทฤษฎีเซต การกำหนดทฤษฎีเซตที่ไม่รวมสัจพจน์ของการแทนที่ มักจะรวมสัจพจน์ของการแยกในรูปแบบใดรูปแบบหนึ่ง เพื่อให้แน่ใจว่าแบบจำลองนั้นมีเซตที่หลากหลายเพียงพอ ในการศึกษาแบบจำลองของทฤษฎีเซต บางครั้งการพิจารณาแบบจำลองของ ZFC ที่ไม่มีสัจพจน์ของการแทนที่ เช่น แบบจำลองในลำดับชั้นของฟอน นอยมันน์ก็ มีประโยชน์${\displaystyle V_{\delta }}$

บทพิสูจน์ที่กล่าวมาข้างต้นตั้งอยู่บนสมมติฐานของกฎการยกเว้นตรงกลางสำหรับประพจน์ที่อยู่ในเซตที่ตรวจสอบความถูกต้องและสำหรับกรณีใดๆเมื่อกำหนดว่าความสัมพันธ์นั้นเป็นฟังก์ชัน สัจพจน์การแยกส่วนถูกรวมไว้อย่างชัดเจนในทฤษฎีเซตเชิงสร้างสรรค์หรือรูปแบบที่มีขอบเขตจำกัดของทฤษฎีดังกล่าว ${\displaystyle A}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta (x)}$${\displaystyle \phi }$

หลักการสะท้อนของ Lévy สำหรับ ZFC เทียบเท่ากับแผนผังสัจพจน์ของการแทนที่ โดยถือว่าสัจพจน์ของอนันต์ หลักการของ Lévy มีดังนี้: ^{[ 4 ]}

สำหรับสูตรอันดับหนึ่งใดๆ และสูตรใดๆจะมีค่า อยู่ค่า หนึ่ง ที่ทำให้${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$${\displaystyle \phi (x_{1},\ldots ,x_{n})}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \phi (x_{1},\ldots ,x_{n})\iff \phi ^{V_{\alpha }}(x_{1},\ldots ,x_{n})}$

นี่คือแผนผังที่ประกอบด้วยข้อความจำนวนนับได้ โดยแต่ละข้อความแทนสูตรหนึ่งสูตรในที่นี้หมายถึงสูตรที่มีตัวบ่งปริมาณทั้งหมดจำกัดอยู่ที่เช่นแต่ทุกๆ ตัวอย่างของและจะถูกแทนที่ด้วยและตามลำดับ ${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi ^{M}}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle M}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \exists x}$${\displaystyle \forall x}$${\displaystyle \exists (x\in V_{\alpha })}$${\displaystyle \forall (x\in V_{\alpha })}$

แผนผังสัจพจน์ของการแทนที่ไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของการวางสัจพจน์ของทฤษฎีเซตของErnst Zermelo ในปี 1908 ( Z ) มีการประมาณค่าอย่างไม่เป็นทางการในงานที่ไม่ได้รับการตีพิมพ์ของCantor และปรากฏอีกครั้งอย่างไม่เป็นทางการใน Mirimanoff (1917) ^{[ 5 ]}

การตีพิมพ์โดยAbraham Fraenkelในปี 1922 ทำให้ทฤษฎีเซตสมัยใหม่กลายเป็นทฤษฎีเซต Zermelo– Fraenkel ( ZFC ) สัจพจน์นี้ถูกค้นพบและประกาศโดยThoralf Skolem อย่างอิสระ ในเวลาต่อมาในปีเดียวกัน (และตีพิมพ์ในปี 1923) Zermelo เองได้รวมสัจพจน์ของ Fraenkel ไว้ในระบบที่ปรับปรุงใหม่ของเขาที่ตีพิมพ์ในปี 1930 ซึ่งรวมถึงสัจพจน์พื้นฐานของ von Neumann เป็นสัจพจน์ ใหม่ด้วย ^{[ 6 ]}แม้ว่าจะเป็นรายการสัจพจน์เวอร์ชันลำดับแรกของ Skolem ที่เราใช้ในปัจจุบัน^{[ 7 ]}แต่โดยปกติแล้วเขาไม่ได้รับการยกย่องเนื่องจากสัจพจน์แต่ละข้อได้รับการพัฒนามาก่อนหน้านี้โดย Zermelo หรือ Fraenkel วลี “ทฤษฎีเซต Zermelo–Fraenkel” ถูกใช้ครั้งแรกในงานเขียนโดย von Neumann ในปี 1928 ^{[ 8 ]}

Zermelo และ Fraenkel ได้ติดต่อกันอย่างมากในปี 1921 โดยสัจพจน์ของการแทนที่ถือเป็นหัวข้อหลักของการแลกเปลี่ยนนี้^{[ 7 ]} Fraenkel เริ่มติดต่อกับ Zermelo ในช่วงเดือนมีนาคม 1921 อย่างไรก็ตาม จดหมายของเขาก่อนฉบับลงวันที่ 6 พฤษภาคม 1921 สูญหายไป Zermelo ยอมรับเป็นครั้งแรกว่ามีช่องโหว่ในระบบของเขาในการตอบกลับ Fraenkel ลงวันที่ 9 พฤษภาคม 1921 ในวันที่ 10 กรกฎาคม 1921 Fraenkel ได้เขียนและส่งบทความ (ตีพิมพ์ในปี 1922) ที่อธิบายสัจพจน์ของเขาว่าอนุญาตให้มีการแทนที่โดยพลการ: "ถ้าMเป็นเซต และแต่ละองค์ประกอบของMถูกแทนที่ด้วย [เซตหรือองค์ประกอบดั้งเดิม] แล้วMจะกลายเป็นเซตอีกครั้ง" (การเติมเต็มในวงเล็บและการแปลโดย Ebbinghaus) บทความที่ Fraenkel ตีพิมพ์ในปี 1922 ได้ขอบคุณ Zermelo สำหรับข้อโต้แย้งที่เป็นประโยชน์ ก่อนการตีพิมพ์นี้ Fraenkel ได้ประกาศสัจพจน์ใหม่ของเขาต่อสาธารณะในการประชุมของสมาคมคณิตศาสตร์เยอรมันที่จัดขึ้นในเมืองเยนาเมื่อวันที่ 22 กันยายน พ.ศ. 2464 Zermelo อยู่ในการประชุมนี้ด้วย ในการอภิปรายหลังจากการบรรยายของ Fraenkel เขาได้ยอมรับสัจพจน์ของการแทนที่ในแง่ทั่วไป แต่ได้แสดงข้อสงวนเกี่ยวกับขอบเขตของมัน^{[ 7 ]}

Thoralf Skolem เปิดเผยการค้นพบช่องว่างในระบบของ Zermelo (ช่องว่างเดียวกันกับที่ Fraenkel พบ) ในการบรรยายที่เขาให้ไว้เมื่อวันที่ 6 กรกฎาคม พ.ศ. 2465 ในการประชุมนักคณิตศาสตร์สแกนดิเนเวีย ครั้งที่ 5 ซึ่งจัดขึ้นที่เฮลซิงกิ ; รายงานการประชุมนี้ได้รับการตีพิมพ์ในปี พ.ศ. 2466 Skolem นำเสนอวิธีแก้ปัญหาในแง่ของการแทนที่ที่กำหนดลำดับแรก: "ให้Uเป็นข้อเสนอที่แน่นอนซึ่งใช้ได้กับคู่ ( a , b ) บางคู่ในโดเมนB ; สมมติเพิ่มเติมว่าสำหรับทุกa จะมี bไม่เกินหนึ่งตัวที่ทำให้Uเป็นจริง จากนั้น เมื่อ aครอบคลุมองค์ประกอบของเซตM _a , bจะครอบคลุมองค์ประกอบทั้งหมดของเซตM _b " ในปีเดียวกันนั้น Fraenkel ได้เขียนบทวิจารณ์บทความของ Skolem ซึ่ง Fraenkel เพียงแค่ระบุว่าการพิจารณาของ Skolem สอดคล้องกับของเขาเอง^{[ 7 ]}

Zermelo เองไม่เคยยอมรับสูตรของ Skolem เกี่ยวกับแผนผังสัจพจน์ของการทดแทน^{[ 7 ]}ในบางจุดเขาเรียกแนวทางของ Skolem ว่า “ทฤษฎีเซตของผู้ที่ยากจน” Zermelo จินตนาการถึงระบบที่จะอนุญาตให้มีคาร์ดินัลขนาดใหญ่ [ ^{9 ] เขา}ยังคัดค้านอย่างรุนแรงต่อนัยยะทางปรัชญาของแบบจำลองที่นับได้ของทฤษฎีเซตซึ่งสืบเนื่องมาจากสัจพจน์ลำดับแรกของ Skolem ^{[ 8 ]}ตามชีวประวัติของ Zermelo โดยHeinz-Dieter Ebbinghausการที่ Zermelo ไม่เห็นด้วยกับแนวทางของ Skolem ถือเป็นจุดสิ้นสุดของอิทธิพลของ Zermelo ต่อการพัฒนาทฤษฎีเซตและตรรกศาสตร์^{[ 7 ]}