ในทฤษฎีเซตจำนวนเชิงลำดับลิมิตคือจำนวนเชิงลำดับที่ไม่ใช่ทั้งศูนย์และจำนวนเชิงลำดับถัดไปกล่าวอีกนัยหนึ่ง จำนวนเชิงลำดับ λ เป็นจำนวนเชิงลำดับลิมิต ถ้ามีจำนวนเชิงลำดับที่น้อยกว่า λ และเมื่อใดก็ตามที่ β เป็นจำนวนเชิงลำดับที่น้อยกว่า λ แล้วจะมีจำนวนเชิงลำดับ γ อยู่จริง โดยที่ β < γ < λ จำนวนเชิงลำดับทุกจำนวนจะเป็นอย่างใดอย่างหนึ่งระหว่างศูนย์ จำนวนเชิงลำดับถัดไป หรือจำนวนเชิงลำดับลิมิต

ตัวอย่างเช่น จำนวนเชิงอันดับลิมิตที่เล็กที่สุดคือωซึ่งเป็นจำนวนเชิงอันดับที่เล็กที่สุดที่มากกว่าจำนวนธรรมชาติ ทุก จำนวน นี่เป็นจำนวนเชิงอันดับลิมิตเพราะสำหรับจำนวนเชิงอันดับที่เล็กกว่าใดๆ (เช่น สำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ) nเราสามารถหาจำนวนธรรมชาติอื่นที่มากกว่ามันได้ (เช่นn + 1) แต่ยังคงน้อยกว่า ω จำนวนเชิงอันดับลิมิตที่เล็กกว่าถัดไปคือ ω+ω เรื่องนี้จะกล่าวถึงเพิ่มเติมในบทความต่อไป

ตามนิยามของจำนวนเชิงอันดับของฟอน นอยมันน์ จำนวนเชิงอันดับทุกจำนวนคือเซตที่มีลำดับที่ดีของจำนวนเชิงอันดับที่เล็กกว่าทั้งหมด ดังนั้น การรวมกันของเซตจำนวนเชิงอันดับที่ไม่ว่างเปล่าซึ่งไม่มีสมาชิกที่ใหญ่ที่สุดจะเป็นจำนวนเชิงอันดับลิมิตเสมอ และตามการกำหนดจำนวนเชิงคาร์ดินัลของฟอน นอยมันน์จำนวนเชิงคาร์ดินัลอนันต์ทุก จำนวน ก็เป็นจำนวนเชิงอันดับลิมิตเช่นกัน

วิธีการอื่นๆ ในการกำหนดลำดับลิมิต ได้แก่:

• มันเท่ากับค่าสูงสุดของลำดับทั้งหมดที่อยู่ต่ำกว่ามัน แต่ไม่ใช่ศูนย์ (เปรียบเทียบกับลำดับถัดไป: เซตของลำดับที่อยู่ต่ำกว่ามันมีค่าสูงสุด ดังนั้นค่าสูงสุดจึงเป็นค่าสูงสุดนั้น ซึ่งก็คือลำดับก่อนหน้า)
• มันไม่ใช่ศูนย์และไม่มีค่าสูงสุด
• สามารถเขียนได้ในรูปแบบ ωα สำหรับ α > 0 นั่นคือ ในรูปแบบปกติของแคนเตอร์ไม่มีจำนวนจำกัดเป็นพจน์สุดท้าย และลำดับจะไม่เป็นศูนย์
• เป็นจุดลิมิตของกลุ่มจำนวนเชิงอันดับ โดยสัมพันธ์กับโทโพโลยีเชิงอันดับ (จำนวนเชิงอันดับอื่นๆ เป็นจุดโดดเดี่ยว )

มีข้อโต้แย้งอยู่บ้างว่าควรจัด 0 เป็นลำดับลิมิตหรือไม่ เนื่องจากไม่มีตัวก่อนหน้าโดยตรง ตำราเรียนบางเล่มรวม 0 ไว้ในกลุ่มลำดับลิมิต^{[ 1 ]}ในขณะที่บางเล่มไม่รวมไว้^{[ 2 ]}

เนื่องจากกลุ่มของจำนวนเชิงอันดับมีการเรียงลำดับที่ดีจึงมีจำนวนเชิงอันดับจำกัดอนันต์ที่เล็กที่สุด ซึ่งแทนด้วย ω (โอเมกา) จำนวนเชิงอันดับ ω นี้ยังเป็นจำนวนเชิงอันดับอนันต์ที่เล็กที่สุด (โดยไม่คำนึงถึงลิมิต ) เพราะเป็นขอบเขตบนที่น้อยที่สุดของจำนวนธรรมชาติดังนั้น ω จึงแสดงถึงประเภทลำดับของจำนวนธรรมชาติ จำนวนเชิงอันดับจำกัดถัดจากอันดับแรกคือ ω + ω = ω·2 ซึ่งสามารถขยายเป็น ω· n สำหรับจำนวนธรรมชาติ nใดๆเมื่อนำ ω·n ทั้งหมดมา รวมกัน ( การดำเนินการหา ค่าสูงสุด บน เซต ของจำนวนเชิงอันดับ ใดๆ) เราจะได้ ω·ω = ω² ^ซึ่งสามารถขยายเป็น ωn ^{สำหรับ}จำนวนธรรมชาติn ใดๆ กระบวนการนี้สามารถทำซ้ำได้ต่อไปดังนี้เพื่อสร้าง:

${\displaystyle \omega ^{3},\omega ^{4},\ldots ,\omega ^{\omega },\omega ^{\omega ^{\omega }},\ldots ,\varepsilon _{0}=\omega ^{\omega ^{\omega ^{~\cdot ^{~\cdot ^{~\cdot }}}}},\ldots }$

โดยทั่วไปแล้ว นิยามแบบเวียนซ้ำทั้งหมดนี้ผ่านการคูณ การยกกำลัง การยกกำลังซ้ำ ฯลฯ จะให้ผลลัพธ์เป็นจำนวนเชิงอันดับลิมิต จำนวนเชิงอันดับทั้งหมดที่กล่าวมาแล้วยังคงเป็น จำนวนเชิงอันดับ ที่นับได้อย่างไรก็ตาม ไม่มีแผนการแจงนับแบบเวียนซ้ำใด ที่จะ สามารถตั้งชื่อจำนวนเชิงอันดับทั้งหมดที่น้อยกว่าจำนวนเชิงอันดับเชิร์ช-คลีนซึ่งเป็นจำนวนเชิงอันดับที่นับได้ได้ อย่างเป็นระบบ

นอกเหนือจากจำนวนนับได้แล้วจำนวนเชิงอันดับนับไม่ได้ตัวแรกมักจะใช้สัญลักษณ์ ω ₁ซึ่งเป็นจำนวนเชิงอันดับลิมิตเช่นกัน

เมื่อดำเนินการต่อ เราจะได้สิ่งต่อไปนี้ (ซึ่งทั้งหมดนี้มีจำนวนสมาชิกเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ):

${\displaystyle \omega _{2},\omega _{3},\ldots ,\omega _{\omega },\omega _{\omega +1},\ldots ,\omega _{\omega _{\omega }},\ldots }$

โดยทั่วไปแล้ว เราจะได้ลำดับลิมิตเสมอเมื่อนำเซตของลำดับที่ไม่ว่างเปล่าซึ่งไม่มีสมาชิก สูงสุดมา รวมกัน

ลำดับของรูปแบบ ω²α สำหรับ α > 0 คือลิมิตของลิมิต เป็นต้น

กลุ่มของจำนวนเชิงอันดับผู้สืบทอดและจำนวนเชิงอันดับจำกัด (ที่มีความสิ้นสุดร่วม กันหลายแบบ ) รวมถึงศูนย์ ครอบคลุมกลุ่มของจำนวนเชิงอันดับทั้งหมด ดังนั้นกรณีเหล่านี้จึงมักถูกใช้ในการพิสูจน์โดยการอุปมานแบบอนันต์หรือนิยามโดยการเรียกซ้ำแบบอนันต์จำนวนเชิงอันดับจำกัดแสดงถึง "จุดเปลี่ยน" ในกระบวนการดังกล่าว ซึ่งจำเป็นต้องใช้การดำเนินการจำกัด เช่น การรวมจำนวนเชิงอันดับก่อนหน้าทั้งหมด ในหลักการแล้ว เราสามารถทำอะไรก็ได้ที่จำนวนเชิงอันดับจำกัด แต่การรวมนั้นต่อเนื่องในโทโพโลยีเชิงอันดับ และโดยทั่วไปแล้วเป็นสิ่งที่พึงปรารถนา

ถ้าเราใช้การกำหนดจำนวนเชิงคาร์ดินัลของฟอน นอยมันน์จำนวนเชิงคาร์ดินัลอนันต์ทุก จำนวน ก็จะเป็นจำนวนเชิงลำดับลิมิตด้วย (และนี่เป็นการสังเกตที่เหมาะสม เพราะคำว่าคาร์ดินัลมาจากภาษาละตินcardoซึ่งหมายถึงบานพับหรือจุดเปลี่ยน ) การพิสูจน์ข้อเท็จจริงนี้ทำได้โดยการแสดงให้เห็นว่าจำนวนเชิงลำดับผู้สืบทอดอนันต์ทุกจำนวนมีจำนวนเท่ากับจำนวนเชิงลำดับลิมิตผ่านข้อโต้แย้ง เรื่องโรงแรมอนันต์

จำนวนนับมีแนวคิดเรื่องลำดับการสืบทอดและขีดจำกัดเฉพาะตัว (ทุกอย่างจะได้รับการยกระดับไปสู่ระดับที่สูงขึ้น)

ไม่สามารถสลายตัวได้โดยการเติม

ลิมิตลำดับ α เรียกว่าไม่สามารถแยกส่วนได้แบบบวก หากไม่สามารถแสดงเป็นผลรวมของลำดับ β < α ที่น้อยกว่า α ได้ ตัวเลขเหล่านี้คือลำดับใดๆ ในรูปแบบที่ β เป็นลำดับ ตัวเลขที่เล็กที่สุดเขียนว่า ตัวเลขที่สองเขียนว่า เป็นต้น^{[ 3 ]}${\displaystyle \โอเมก้า ^{\beta }}$${\displaystyle \gamma _{0}}$${\displaystyle \gamma _{1}}$

ไม่สามารถแยกย่อยได้โดยการคูณ

ลิมิตลำดับ α เรียกว่าไม่สามารถแยกส่วนได้ด้วยการคูณ หากไม่สามารถแสดงเป็นผลคูณของลำดับ β < α ที่น้อยกว่า α ได้ ตัวเลขเหล่านี้คือลำดับใดๆ ในรูปแบบที่ β เป็นลำดับ ตัวเลขที่เล็กที่สุดเขียนว่า, ตัวเลขที่สองเขียนว่า, เป็นต้น^{[ 3 ]}${\displaystyle \โอเมก้า ^{\โอเมก้า ^{\beta }}}$${\displaystyle \delta _{0}}$${\displaystyle \delta _{1}}$

ไม่สามารถแยกย่อยได้ในเชิงเลขชี้กำลังและเกินกว่านั้น

คำว่า "ไม่สามารถแยกส่วนได้แบบเอกซ์โพเนนเชียล" ไม่ได้หมายถึงลำดับที่ไม่สามารถแสดงเป็นผลคูณเอกซ์โพเนนเชียล(?)ของลำดับ β < α ที่น้อยกว่า α แต่หมายถึงจำนวนเอปซิลอน "ไม่สามารถแยกส่วนได้แบบเตตระเทชัน" หมายถึงจำนวนซีตา "ไม่สามารถแยกส่วนได้แบบเพนเทชัน" หมายถึงจำนวนอีตา เป็นต้น^{[ 3 ]}

• เลขคณิตเชิงลำดับ
• ขีดจำกัดจำนวนนับ
• ลำดับพื้นฐาน (ลำดับ)