ในทางคณิตศาสตร์จำนวนเชิงอันดับนับไม่ได้ตัวแรกซึ่งโดยทั่วไปจะใช้สัญลักษณ์หรือบางครั้งใช้สัญลักษณ์ ก็คือ จำนวนเชิงอันดับที่เล็กที่สุดที่เป็นประเภทลำดับของเซตที่มีลำดับดี ที่นับ ไม่ได้มันคือค่าสูงสุด (ขอบเขตบนที่น้อยที่สุด) ของจำนวนเชิงอันดับนับได้ทั้งหมด ในการแสดงแทนของฟอน นอยมันน์องค์ประกอบของคือจำนวนเชิงอันดับนับได้ (รวมถึงจำนวนเชิงอันดับจำกัด) ^{[ 1 ]}ซึ่งมีจำนวนนับไม่ได้ ${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \omega _{1}}$

จำนวนสมาชิกของเซต คือ จำนวนเชิงซ้อนที่นับไม่ได้ตัวแรก( อะ เล ฟ-หนึ่ง ) ดังนั้นลำดับที่ จึงเป็น ลำดับเริ่มต้นของเช่นเดียวกับลำดับเริ่มต้นอื่นๆ ทั้งหมดของจำนวนเชิงซ้อนอนันต์เป็นลำดับจำกัดกล่าวคือ ไม่มีลำดับใดที่ในทางทฤษฎี จำนวนเชิงซ้อนมักจะถูกแทนด้วยลำดับเริ่มต้น ซึ่งในกรณีนี้และถือว่าเท่ากันในฐานะเซต โดยทั่วไปแล้ว สำหรับลำดับใดๆจะหมายถึงลำดับเริ่ม ต้นของจำนวนเชิงซ้อน${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \aleph _{1}}$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \aleph _{1}}$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \omega _{1}=\alpha +1}$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \aleph _{1}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \โอเมก้า _{\อัลฟา }}$${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$

สมมติฐานความต่อเนื่อง (CH) ระบุว่า⁠ ⁠${\displaystyle \beth _{1}=\aleph _{1}}$ (โดยที่⁠ ⁠${\displaystyle \beth _{1}=2^{\aleph _{0}}=\vert \mathbb {R} \vert }$คือจำนวนเบธ ที่สอง ) ซึ่งหมายความว่า⁠ ⁠${\displaystyle \vert \omega _{1}\vert =\vert \mathbb {R} \vert }$ กล่าว คือ จำนวนเชิงอันดับนับได้มี จำนวน เท่ากับจำนวนจริงหาก CH ไม่เป็นจริง แต่สัจพจน์ของการเลือก (AC) เป็นจริง ดังนั้น⁠ ⁠${\displaystyle \vert \omega _{1}\vert }$ซึ่งเป็นจำนวนเชิงคาร์ดินัลที่นับไม่ได้ที่เล็กที่สุด จึงน้อยกว่า⁠ ⁠${\displaystyle \vert \mathbb {R} \vert }$ อย่างเคร่งครัด หาก AC ไม่เป็นจริงด้วย⁠ ⁠${\displaystyle \vert \omega _{1}\vert }$อาจเปรียบเทียบกับ⁠ ⁠ ${\displaystyle \vert \mathbb {R} \vert }$^ไม่ ได้ แต่จะไม่มีวันมากกว่า⁠ ⁠${\displaystyle \vert \mathbb {R} \vert }$ [ ^{2 ]}

การมีอยู่ของไม่ขึ้นอยู่กับ AC เนื่องจากสามารถสร้างขึ้นได้อย่างชัดเจนในฐานะจำนวน Hartogsของ⁠ ⁠กล่าวให้ชัดเจนยิ่งขึ้น เซตของการเรียงลำดับที่ดีทั้งหมดบน⁠ ⁠สามารถสร้างขึ้นได้ในฐานะเซตย่อยของความสัมพันธ์ทวิภาคทั้งหมดบน⁠ ⁠และด้วยเหตุนี้ การใช้สัจพจน์ของการแทนที่ เพื่อ แทนที่ การเรียงลำดับที่ดีทุกรายการด้วยประเภทลำดับของมันจะให้⁠ ⁠${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{0}=\mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \omega _{1}}$

จำนวนเชิงอันดับใดๆ สามารถแปลงเป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีได้โดยใช้ทอพอโลยีเชิงอันดับเมื่อมองในฐานะปริภูมิเชิงทอพอโลยีมักจะเขียนเป็นเพื่อเน้นว่ามันคือปริภูมิที่ประกอบด้วยจำนวนเชิงอันดับทั้งหมดที่เล็กกว่า ${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle [0,\โอเมก้า _{1})}$${\displaystyle \omega _{1}}$

ถ้าสัจพจน์ของการเลือกที่นับได้ เป็นจริง ลำดับ ω ที่เพิ่มขึ้นทุก ลำดับ ขององค์ประกอบของจะลู่เข้าสู่ลิมิตในเหตุผลก็คือการรวมกัน (เช่น ค่าสูงสุด) ของเซตที่นับได้ของลำดับที่นับได้ทุกเซต จะเป็นลำดับที่นับได้อีกชุดหนึ่ง ${\displaystyle [0,\โอเมก้า _{1}]}$${\displaystyle [0,\โอเมก้า _{1}]}$

ปริภูมิเชิงทอพอโลยีมีความกะทัดรัดตามลำดับแต่ไม่กะทัดรัดดังนั้นจึงไม่สามารถกำหนดเมตริกได้อย่างไรก็ตาม มันมีความกะทัดรัดแบบนับได้และด้วยเหตุนี้จึงไม่ใช่ ปริภูมิ Lindelöf (ปริภูมิที่กะทัดรัดแบบนับได้จะกะทัดรัดก็ต่อเมื่อมันเป็นปริภูมิ Lindelöf) ในแง่ของสัจพจน์ของการนับได้มันเป็นปริภูมิที่นับได้อันดับแรกแต่ไม่เป็นทั้ง ปริภูมิ ที่แยกได้และ นับ ได้ อันดับสอง${\displaystyle [0,\โอเมก้า _{1})}$${\displaystyle [0,\โอเมก้า _{1})}$

ปริภูมิดังกล่าวมีขนาดกะทัดรัดและไม่สามารถนับได้เป็นอันดับแรกใช้เพื่อกำหนดเส้นตรงยาวและแผ่นไทโคนอฟซึ่งเป็นตัวอย่างค้านที่สำคัญสองประการในทางโทโพโลยี ${\displaystyle [0,\โอเมก้า _{1}]=\โอเมก้า _{1}+1}$${\displaystyle \omega _{1}}$

• จำนวนเอปซิลอน (คณิตศาสตร์)
• ลำดับที่นับได้ขนาดใหญ่
• เลขคณิตเชิงลำดับ