ในสาขาวิชาคณิตศาสตร์ทฤษฎีเซตมีหลายวิธีในการอธิบายลำดับ เชิงนับที่เฉพาะ เจาะจง ลำดับ ที่เล็กที่สุดสามารถแสดงได้อย่างมีประโยชน์และไม่วนซ้ำในรูปของรูปแบบปกติของแคนเตอร์นอกจากนั้น ลำดับจำนวนมากที่มีความเกี่ยวข้องกับทฤษฎีการพิสูจน์ยังคงมีสัญกรณ์เชิงลำดับที่คำนวณได้ (ดูการวิเคราะห์เชิงลำดับ ) อย่างไรก็ตาม เป็นไปไม่ได้ที่จะตัดสินได้อย่างมีประสิทธิภาพว่าสัญกรณ์เชิงลำดับที่กำหนดให้เป็นสัญกรณ์หรือไม่ (ด้วยเหตุผลที่คล้ายคลึงกับความไม่สามารถแก้ปัญหาการหยุด ) มีวิธีการที่ชัดเจนกว่าหลายวิธีในการกำหนดลำดับที่มีสัญกรณ์อย่างแน่นอน

เนื่องจากมีสัญลักษณ์เพียงจำนวนนับได้เท่านั้น จำนวนเชิงอันดับทั้งหมดที่มีสัญลักษณ์จึงหมดไปตั้งแต่จำนวนเชิงอันดับนับไม่ได้ตัวแรก ω ₁แล้วค่าสูงสุดของจำนวนเชิงอันดับ เหล่านี้ เรียกว่าChurch–Kleene ω ₁หรือ ω^ซีเค₁(อย่าสับสนกับลำดับที่นับไม่ได้ตัวแรก ω ₁ ) ซึ่งจะอธิบายต่อไปลำดับที่น้อยกว่า ω^ซีเค₁คือ ลำดับเชิงซ้อน แบบเวียนเกิด (ดูด้านล่าง ) ลำดับเชิงนับที่ใหญ่กว่านี้อาจยังคงสามารถกำหนดได้ แต่ไม่มีสัญลักษณ์กำกับ

เนื่องจากเนื้อหาเน้นที่จำนวนเชิงลำดับที่นับได้จึงใช้เลขคณิตเชิงลำดับ ตลอดทั้งเล่ม ยกเว้นในกรณีที่ระบุไว้เป็นอย่างอื่น จำนวนเชิงลำดับที่กล่าวถึงในที่นี้ไม่ได้มีขนาดใหญ่เท่ากับจำนวนเชิงลำดับที่กล่าวถึงในจำนวน คาร์ดินัลขนาดใหญ่แต่ก็ถือว่ามีขนาดใหญ่ในบรรดาจำนวนเชิงลำดับที่มีสัญลักษณ์ (คำอธิบาย) เชิงสร้างสรรค์ จำนวนเชิงลำดับที่ใหญ่ขึ้นเรื่อยๆ สามารถนิยามได้ แต่การอธิบายจำนวนเชิงลำดับเหล่านั้นก็จะยากขึ้นเรื่อยๆ เช่นกัน

จำนวนเชิงอันดับคำนวณได้ (หรือจำนวนเชิงอันดับแบบเวียนซ้ำ) คือจำนวนเชิงอันดับนับได้บางประเภท กล่าวอย่างคร่าวๆ คือจำนวนเชิงอันดับที่แสดงโดยฟังก์ชันที่คำนวณได้มีคำจำกัดความที่เทียบเท่ากันหลายอย่าง คำจำกัดความที่ง่ายที่สุดคือ จำนวนเชิงอันดับคำนวณได้คือประเภทลำดับของการเรียงลำดับที่ดีแบบเวียนซ้ำ (เช่น คำนวณได้) ของจำนวนธรรมชาติดังนั้น โดยพื้นฐานแล้ว จำนวนเชิงอันดับจะเป็นแบบเวียนซ้ำเมื่อเราสามารถนำเสนอเซตของจำนวนเชิงอันดับที่เล็กกว่าในลักษณะที่คอมพิวเตอร์ (เช่นเครื่องจักรทัวริง) สามารถจัดการ (และโดยพื้นฐานแล้ว เปรียบเทียบ) พวกมันได้

นิยามที่แตกต่างออกไปใช้ ระบบ สัญกรณ์ลำดับ ของ คลีน (Kleene 's system of ordinal notations ) โดยสรุป สัญกรณ์ลำดับคือชื่อศูนย์ (ซึ่งอธิบายลำดับที่ 0) หรือตัวถัดไปของสัญกรณ์ลำดับ (ซึ่งอธิบายตัวถัดไปของลำดับที่อธิบายโดยสัญกรณ์นั้น) หรือเครื่องจักรทัวริง (ฟังก์ชันที่คำนวณได้) ที่สร้างลำดับของสัญกรณ์ลำดับที่เพิ่มขึ้น (ซึ่งอธิบายลำดับที่เป็นลิมิตของลำดับ) และสัญกรณ์ลำดับจะถูกจัดเรียง (บางส่วน) เพื่อให้ตัวถัดไปของoมากกว่าoและทำให้ลิมิตมากกว่าพจน์ใด ๆ ของลำดับ (ลำดับนี้สามารถคำนวณได้ อย่างไรก็ตาม เซตOของสัญกรณ์ลำดับนั้นไม่สามารถเรียกซ้ำได้สูง เนื่องจากเป็นไปไม่ได้ที่จะตัดสินว่าเครื่องจักรทัวริงที่กำหนดนั้นสร้างลำดับของสัญกรณ์ได้จริงหรือไม่) ดังนั้น ลำดับที่เรียกซ้ำได้จึงเป็นลำดับที่อธิบายโดยสัญกรณ์ลำดับบางอย่าง

จำนวนเชิงอันดับใดๆ ที่เล็กกว่าจำนวนเชิงอันดับแบบเวียนเกิด ก็จะเป็นจำนวนเชิงอันดับแบบเวียนเกิดเช่นกัน ดังนั้น เซตของจำนวนเชิงอันดับแบบเวียนเกิดทั้งหมดจึงก่อให้เกิดจำนวนเชิงอันดับ (ที่นับได้) ชนิดหนึ่ง ซึ่งก็คือจำนวนเชิงอันดับเชิร์ช-คลีน (ดูด้านล่าง)

เป็นเรื่องที่น่าสนใจที่จะลืมเรื่องสัญกรณ์เชิงลำดับไปเสีย แล้วพูดถึงเฉพาะเชิงลำดับแบบเวียนซ้ำเท่านั้น: และมีการกล่าวถึงเชิงลำดับแบบเวียนซ้ำบางประเด็นซึ่งในความเป็นจริงแล้วเกี่ยวข้องกับสัญกรณ์สำหรับเชิงลำดับเหล่านั้น อย่างไรก็ตาม วิธีนี้ทำให้เกิดความยากลำบาก เพราะแม้แต่เชิงลำดับอนันต์ที่เล็กที่สุดอย่าง ω ก็ยังมีสัญกรณ์หลายแบบ ซึ่งบางแบบก็ไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่าเทียบเท่ากับสัญกรณ์ที่ชัดเจน (โปรแกรมที่ง่ายที่สุดที่แจงนับจำนวนธรรมชาติทั้งหมด)

มีความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนเชิงอันดับคำนวณได้กับระบบเชิงรูปธรรม บางระบบ (ซึ่งประกอบด้วยเลขคณิตกล่าวคือ อย่างน้อยก็เป็นส่วนย่อยที่เหมาะสมของเลขคณิตของพีอาโน )

จำนวนเชิงอันดับคำนวณได้บางจำนวนมีขนาดใหญ่มาก จนถึงแม้ว่าจะสามารถแสดงได้ด้วยสัญลักษณ์เชิงอันดับo บางอย่าง แต่ระบบเชิงรูปธรรมที่กำหนดอาจไม่มีประสิทธิภาพเพียงพอที่จะแสดงให้เห็นว่าoเป็นสัญลักษณ์เชิงอันดับจริง ๆ กล่าวคือ ระบบดังกล่าวไม่แสดงการเหนี่ยวนำแบบอนันต์สำหรับจำนวนเชิงอันดับขนาดใหญ่เช่นนี้

ตัวอย่างเช่นสัจพจน์ลำดับที่หนึ่ง ของ Peano ทั่วไป ไม่สามารถพิสูจน์การเหนี่ยวนำอนันต์สำหรับ (หรือเกินกว่า) ε ₀ได้: ในขณะที่ลำดับ ε ₀สามารถอธิบายทางเลขคณิตได้ง่าย (มันเป็นจำนวนนับได้) แต่สัจพจน์ของ Peano นั้นไม่แข็งแกร่งพอที่จะแสดงว่ามันเป็นลำดับจริง ๆ ในความเป็นจริง การเหนี่ยวนำอนันต์บน ε ₀พิสูจน์ความสอดคล้องของสัจพจน์ของ Peano (ทฤษฎีบทโดยGentzen ) ดังนั้นตามทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ข้อที่สองของ Gödelสัจพจน์ของ Peano จึงไม่สามารถทำให้การให้เหตุผลนั้นเป็นทางการได้ (นี่เป็นพื้นฐานของทฤษฎีบท Kirby–Parisเกี่ยวกับลำดับ Goodstein ) เนื่องจากเลขคณิตของ Peano สามารถพิสูจน์ได้ว่าลำดับใด ๆ ที่น้อยกว่า ε ₀มีลำดับที่ดี เราจึงกล่าวว่า ε ₀วัดความแข็งแกร่งเชิงทฤษฎีการพิสูจน์ของสัจพจน์ของ Peano

แต่เราสามารถทำเช่นนี้ได้สำหรับระบบที่อยู่นอกเหนือสัจพจน์ของ Peano มาก ตัวอย่างเช่น ความแข็งแกร่งเชิงทฤษฎีการพิสูจน์ของทฤษฎีเซต Kripke–Platekคือลำดับ Bachmann–Howardและในความเป็นจริง การเพิ่มสัจพจน์ที่ระบุถึงการเรียงลำดับที่ดีของลำดับทั้งหมดที่ต่ำกว่าลำดับ Bachmann–Howard เข้าไปในสัจพจน์ของ Peano ก็เพียงพอที่จะได้ผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดของทฤษฎีเซต Kripke–Platek แล้ว

เราได้กล่าวถึง ลำดับที่ε ₀ ไปแล้ว (ดู รูปแบบปกติของแคนเตอร์ ) ซึ่งเป็นลำดับที่เล็กที่สุดที่สอดคล้องกับสมการดังนั้นจึงเป็นลิมิตของลำดับ 0, 1, , , , ... ลำดับถัดไปที่สอดคล้องกับสมการนี้เรียกว่า ε ₁ : ซึ่งเป็นลิมิตของลำดับ ${\displaystyle \omega ^{\alpha }=\alpha }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \โอเมก้า ^{\โอเมก้า }}$${\displaystyle \โอเมก้า ^{\โอเมก้า ^{\โอเมก้า }}}$

${\displaystyle \varepsilon _{0}+1,\qquad \omega ^{\varepsilon _{0}+1}=\varepsilon _{0}\cdot \omega ,\qquad \omega ^{\omega ^{\varepsilon _{0}+1}}=(\varepsilon _{0})^{\omega },\qquad {\text{เป็นต้น}}}$

โดยทั่วไปแล้วอันดับลำดับที่ n ซึ่ง n = 1 เรียกว่าn_n เราอาจกำหนดให้ n_n เป็นอันดับลำดับที่เล็กที่สุดซึ่ง n = 1 แต่เนื่องจากอักษรกรีกไม่มีตัวอักษรมากเกินอนันต์ จึงควรใช้สัญลักษณ์ที่แข็งแกร่งกว่า: กำหนดอันดับลำดับโดยการอุปมานแบบอนันต์ดังนี้: ให้ n_n และให้ n_n เป็นจุดตรึงลำดับที่ n ของ n_n (นั่นคืออันดับลำดับที่ n ซึ่ง n = 1 ; ดังนั้นตัวอย่างเช่น n_n = 1 ) และเมื่อn_n เป็นอันดับลำดับลิมิต ให้กำหนด n_n เป็นจุดตรึงร่วมลำดับที่ n ของ n_n สำหรับทุก n_n ตระกูลของฟังก์ชันนี้เรียกว่าลำดับชั้นของเวเบลน (มีการเปลี่ยนแปลงที่ไม่สำคัญในคำจำกัดความ เช่น การให้ n_n สำหรับอันดับลำดับลิมิตเป็นลิมิตของ n_n สำหรับ n_n ซึ่งโดยพื้นฐานแล้วเป็นการเลื่อนดัชนีไป 1 ซึ่งไม่มีอันตราย) n_n เรียกว่าฟังก์ชันเวเบลน (ฐาน n ) ${\displaystyle \iota }$${\displaystyle \omega ^{\alpha }=\alpha }$${\displaystyle \varepsilon _{\iota }}$${\displaystyle \zeta _{0}}$${\displaystyle \varepsilon _{\alpha }=\alpha }$${\displaystyle \varphi _{\gamma }(\beta )}$${\displaystyle \varphi _{0}(\beta )=\โอเมก้า ^{\beta }}$${\displaystyle \varphi _{\gamma +1}(\beta )}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \varphi _{\gamma }}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \varphi _{\gamma }(\alpha )=\alpha }$${\displaystyle \varphi _{1}(\beta )=\varepsilon _{\beta }}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \varphi _{\เดลต้า }(\alpha )}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \varphi _{\gamma }}$${\displaystyle \gamma <\delta }$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \varphi _{\เดลต้า }(\alpha )}$${\displaystyle \varphi _{\gamma }(\alpha )}$${\displaystyle \gamma <\delta }$${\displaystyle \varphi _{\gamma }}$${\displaystyle \gamma ^{th}}$${\displaystyle \omega }$

ลำดับ: ก็ต่อเมื่อ ( และ) หรือ ( และ) หรือ ( และ) เท่านั้น${\displaystyle \varphi _{\alpha }(\beta )<\varphi _{\gamma }(\delta )}$${\displaystyle \alpha =\gamma }$${\displaystyle \beta <\เดลต้า }$${\displaystyle \alpha <\gamma }$${\displaystyle \beta <\varphi _{\gamma }(\delta )}$${\displaystyle \alpha >\gamma }$${\displaystyle \varphi _{\alpha }(\beta )<\delta }$

จำนวนเชิงอันดับเล็กที่สุดที่มีลักษณะดังกล่าวเรียกว่า จำนวนเชิงอันดับเฟเฟอร์มัน-ชุตเต (Feferman– Schütte ordinal) และโดยทั่วไปเขียนว่าสามารถอธิบายได้ว่าเป็นเซตของจำนวนเชิงอันดับทั้งหมดที่สามารถเขียนได้ในรูปนิพจน์จำกัด โดยเริ่มจากศูนย์ โดยใช้เพียงลำดับชั้นของเวเบลน (Veblen hierarchy) และการบวกเท่านั้น จำนวนเชิงอันดับเฟเฟอร์มัน-ชุตเตมีความสำคัญเพราะในความหมายที่ซับซ้อนซึ่งอธิบายให้ชัดเจนได้ยากนั้น มันคือจำนวนเชิงอันดับ (อนันต์) ที่เล็กที่สุดที่ไม่สามารถอธิบายได้ ( ในเชิงทำนาย ) โดยใช้จำนวนเชิงอันดับที่เล็กกว่า มันใช้วัดความแข็งแกร่งของระบบต่างๆ เช่น " การเรียกซ้ำแบบทรานส์ไฟไนต์เชิงเลขคณิต " (arithmetical transfinite recursion )${\displaystyle \varphi _{\อัลฟา }(0)=\อัลฟา }$${\displaystyle \Gamma _{0}}$

โดยทั่วไปแล้ว Γ _αจะแจงนับลำดับที่ไม่สามารถได้มาจากลำดับที่เล็กกว่าโดยใช้การบวกและฟังก์ชันของ Veblen

แน่นอนว่าเราสามารถอธิบายลำดับขั้นที่นอกเหนือไปจากลำดับขั้นของเฟเฟอร์แมน-ชุตเต้ได้ เราสามารถค้นหาจุดคงที่ต่อไปในลักษณะที่ซับซ้อนขึ้นเรื่อยๆ กล่าวคือ แจกแจงจุดคงที่ของ จากนั้นแจกแจงจุดคงที่ ของ และต่อไปเรื่อยๆ แล้วจึงมองหาลำดับขั้นแรกαที่ทำให้ได้α ใน αขั้นตอนของกระบวนการนี้ และดำเนินการหาค่าทแยงมุมต่อไปใน ลักษณะ เฉพาะกิจ นี้ ซึ่งนำไปสู่การกำหนดนิยามของลำดับขั้นเวเบลน " ขนาดเล็ก " และ " ขนาดใหญ่ " ${\displaystyle \alpha \mapsto \Gamma _{\alpha }}$

เพื่อให้ก้าวไปไกลกว่าลำดับขั้นของ Feferman–Schütte จำเป็นต้องนำวิธีการใหม่ๆ มาใช้ น่าเสียดายที่ยังไม่มีวิธีการมาตรฐานใดๆ ในการทำเช่นนั้น ผู้เขียนทุกคนในสาขานี้ดูเหมือนจะคิดค้นระบบสัญลักษณ์ของตนเองขึ้นมา และการแปลระหว่างระบบต่างๆ นั้นค่อนข้างยาก ระบบแรกดังกล่าวได้รับการแนะนำโดยBachmannในปี 1950 (ใน ลักษณะ เฉพาะกิจ ) และส่วนขยายและรูปแบบต่างๆ ของระบบนี้ได้รับการอธิบายโดย Buchholz, Takeuti (แผนภาพลำดับขั้น), Feferman (ระบบ θ), Aczel , Bridge, Schütteและ Pohlers อย่างไรก็ตาม ระบบส่วนใหญ่ใช้แนวคิดพื้นฐานเดียวกัน คือการสร้างลำดับขั้นที่นับได้ใหม่โดยใช้การมีอยู่ของลำดับขั้นที่นับไม่ได้บางอย่าง นี่คือตัวอย่างของคำจำกัดความดังกล่าว ซึ่งอธิบายในรายละเอียดมากขึ้นในบทความเกี่ยวกับฟังก์ชันการยุบลำดับขั้น :

• ψ( α ) ถูกกำหนดให้เป็นลำดับที่เล็กที่สุดที่ไม่สามารถสร้างขึ้นได้โดยเริ่มต้นจาก 0, 1, ω และ Ω แล้วนำการบวก การคูณ และการยกกำลังมาใช้ซ้ำๆ และ ψ กับลำดับที่สร้างขึ้นก่อนหน้านี้ (ยกเว้นว่า ψ สามารถใช้ได้กับอาร์กิวเมนต์ที่น้อยกว่าα เท่านั้น เพื่อให้แน่ใจว่ามันถูกกำหนดไว้อย่างดี)

ในที่นี้ Ω = ω ₁คือลำดับที่นับไม่ได้ตัวแรก เราใส่ Ω เข้าไปเพราะมิฉะนั้นฟังก์ชัน ψ จะ "ติดอยู่" ที่ลำดับที่เล็กที่สุดσซึ่งทำให้ ε _σ = σ : โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ψ( α )= σสำหรับลำดับ α ใดๆ ที่สอดคล้องกับσ ≤ α ≤Ω อย่างไรก็ตาม การที่เรารวม Ω เข้าไปด้วยทำให้เราผ่านจุดนี้ไปได้: ψ(Ω+1) มากกว่าσคุณสมบัติสำคัญของ Ω ที่เราใช้คือ มันมากกว่าลำดับใดๆ ที่สร้างขึ้นโดย ψ

เพื่อสร้างลำดับที่ใหญ่ขึ้น เราสามารถขยายคำจำกัดความของ ψ โดยเพิ่มวิธีการสร้างลำดับที่นับไม่ได้เข้าไปอีก มีหลายวิธีในการทำเช่นนี้ ซึ่งได้อธิบายไว้บ้างแล้วในบทความเกี่ยวกับ ฟังก์ชันการ ยุบ ลำดับ

ลำดับBachmann–Howard (บางครั้งเรียกว่าลำดับ Howard เฉยๆ, ψ ₀ (ε _Ω+1 ) ด้วยสัญลักษณ์ข้างต้น) เป็นลำดับที่สำคัญ เพราะมันอธิบายถึงความแข็งแกร่งเชิงทฤษฎีการพิสูจน์ของทฤษฎีเซต Kripke–Platekแท้จริงแล้ว ความสำคัญหลักของลำดับขนาดใหญ่เหล่านี้ และเหตุผลที่ต้องอธิบายพวกมัน คือความสัมพันธ์กับระบบเชิงรูปธรรมบางอย่างดังที่ได้อธิบายไว้ข้างต้น อย่างไรก็ตาม ระบบเชิงรูปธรรมที่ทรงพลังเช่นเลขคณิตอันดับสอง แบบสมบูรณ์ หรือแม้แต่ทฤษฎีเซต Zermelo–Fraenkelดูเหมือนจะเกินเอื้อมในขณะนี้

นอกเหนือจากนี้ ยังมีลำดับเชิงเวียนเกิดอีกหลายลำดับที่ไม่เป็นที่รู้จักมากนักเมื่อเทียบกับลำดับก่อนหน้า ลำดับแรกคือลำดับของ Buchholzซึ่งกำหนดเป็นย่อเป็น โดยใช้สัญลักษณ์ก่อนหน้า เป็นลำดับเชิงทฤษฎีการพิสูจน์ของ [ 1 ] ซึ่งเป็นทฤษฎี^{ลำดับแรก}ของเลขคณิตที่อนุญาตให้มีการกำหนดปริมาณเหนือจำนวนธรรมชาติและเซตของจำนวนธรรมชาติ และ ซึ่งเป็น "ทฤษฎีเชิงรูปแบบของนิยามอุปนัยที่ ^ทำซ้ำอย่างจำกัด" ^{[ 2 ]}${\displaystyle \psi _{0}(\โอเมก้า _{\omega })}$${\displaystyle \psi (\โอเมก้า _{\omega })}$${\displaystyle \Pi _{1}^{1}-CA_{0}}$${\displaystyle ID_{<\omega }}$

เนื่องจากไฮดราจากเกมไฮดราของบุชโฮลซ์มีลักษณะสมมาตรกับสัญกรณ์เชิงลำดับของบุชโฮลซ์ ดังนั้นลำดับจนถึงจุดนี้จึงสามารถแสดงได้โดยใช้ไฮดราจากเกม^{[ 3 ]หน้า 136}ตัวอย่างเช่นสอดคล้องกับ ${\displaystyle +(0(\omega ))}$${\displaystyle \psi (\โอเมก้า _{\omega })}$

ถัดไปคือลำดับ Takeuti-Feferman-Buchholzซึ่งเป็นลำดับเชิงทฤษฎีการพิสูจน์ของ; ^{[ 4 ]}และระบบย่อยอื่นของเลขคณิตลำดับที่สอง: - ความเข้าใจ + การเหนี่ยวนำอนันต์ และ, "ทฤษฎีอย่างเป็นทางการของคำจำกัดความเหนี่ยวนำที่ทำซ้ำ - ครั้ง" ^{[ 5 ]}ในสัญกรณ์นี้ มันถูกกำหนดให้เป็น. มันคือค่าสูงสุดของช่วงของฟังก์ชัน psi ของ Buchholz ^{[ 6 ]}มันถูกตั้งชื่อครั้งแรกโดย David Madore ${\displaystyle \Pi _{1}^{1}-CA+BI}$${\displaystyle \Pi _{1}^{1}}$${\displaystyle ID_{\omega }}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \psi _{0}(\varepsilon _{\Omega _{\omega }+1})}$

ลำดับถัดไปถูกกล่าวถึงในโค้ดส่วนหนึ่งที่อธิบายลำดับนับขนาดใหญ่และจำนวนในภาษา Agdaและถูกกำหนดโดย "AndrasKovacs" ว่า. ${\displaystyle \psi _{0}(\Omega _{\omega +1}\cdot \varepsilon _{0})}$

ลำดับถัดไปถูกกล่าวถึงในโค้ดส่วนเดียวกันกับที่กล่าวไว้ก่อนหน้านี้ และถูกกำหนดให้เป็น. มันคือลำดับเชิงพิสูจน์ของ. ${\displaystyle \psi _{0}(\Omega _{\omega ^{\omega }})}$${\displaystyle ID_{<\omega ^{\omega }}}$

ลำดับถัดไปนี้ ถูกกล่าวถึงอีกครั้งในโค้ดส่วนเดียวกันนี้ โดยกำหนดให้เป็น ซึ่งเป็นลำดับเชิงทฤษฎีการพิสูจน์ของโดยทั่วไปแล้ว ลำดับเชิงทฤษฎีการพิสูจน์ของจะเท่ากับ— โปรดสังเกตว่าในกรณีนี้แทน ซึ่งเป็นลำดับที่ไม่เป็นศูนย์ตัวแรก ${\displaystyle \psi _{0}(\Omega _{\varepsilon _{0}})}$${\displaystyle ID_{<\varepsilon _{0}}}$${\displaystyle ID_{<\nu }}$${\displaystyle \psi _{0}(\Omega _{\nu })}$${\displaystyle \Omega _{0}}$${\displaystyle 1}$

ถัดไปคือลำดับที่ไม่มีชื่อ ซึ่งเดวิด มาดอร์เรียกว่าการยุบตัวแบบ "นับได้" ของ[ ^{5 ] โดย}ที่ เป็นจำนวนคาร์ดินัล ที่ไม่สามารถเข้าถึงได้ (= ไม่สามารถอธิบายได้) ตัวแรกนี่คือลำดับเชิงทฤษฎีการพิสูจน์ของทฤษฎีเซต Kripke-Platekที่เสริมด้วยความไม่สามารถเข้าถึงได้แบบเวียนซ้ำของคลาสของลำดับ (KPi) หรือในด้านเลขคณิตของความเข้าใจแบบ -comprehension + การเหนี่ยวนำแบบอนันต์ ค่าของมันเท่ากับการใช้ฟังก์ชันที่ไม่รู้จัก ${\displaystyle \varepsilon _{I+1}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle \Pi _{0}^{1}}$${\displaystyle \Delta _{2}^{1}}$${\displaystyle \psi (\varepsilon _{I+1})}$

ถัดไปคือลำดับที่ไม่มีชื่ออีกอันหนึ่ง ซึ่งเดวิด มาดอร์เรียกว่าการยุบตัวแบบ "นับได้" ของ[ ^{5 ] โดย}ที่ เป็น จำนวนคาร์ดินัล Mahloตัวแรกนี่คือลำดับเชิงทฤษฎีการพิสูจน์ของ KPM ซึ่งเป็นการขยายทฤษฎีเซต Kripke-Platekโดยอิงจากจำนวนคาร์ดินัล Mahlo ^{[ 7 ]}ค่าของมันเท่ากับการใช้ฟังก์ชัน psi ต่างๆ ของ Buchholz ^{[ 8 ]}${\displaystyle \varepsilon _{M+1}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \psi (\varepsilon _{M+1})}$

ถัดไปคือลำดับที่ไม่มีชื่ออีกอันหนึ่ง ซึ่งเดวิด มาดอร์เรียกว่าการยุบตัวแบบ "นับได้" ของ[ ^{5 ] โดย}ที่ เป็นจำนวนคาร์ดินัล ที่กระชับอ่อนตัวแรก(= - อธิบายไม่ได้) นี่คือลำดับเชิงทฤษฎีการพิสูจน์ของทฤษฎีเซต Kripke-Platek + Π3 - Ref ค่าของมันเท่ากับการใช้ฟังก์ชัน Psi ของ Rathjen ^{[ 9 ]}${\displaystyle \varepsilon _{K+1}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \Pi _{1}^{1}}$${\displaystyle \Psi (\varepsilon _{K+1})}$

ถัดไปคือลำดับที่ไม่มีชื่ออีกอันหนึ่ง ซึ่งเดวิด มาดอร์เรียกว่าการยุบตัวแบบ "นับได้" ของ[ ^{5 ] โดย}ที่เป็นจำนวนคาร์ดินัลที่ไม่สามารถอธิบายได้ตัวแรกนี่คือลำดับเชิงทฤษฎีการพิสูจน์ของทฤษฎีเซต Kripke-Platek + Πω-Ref ค่าของมันเท่ากับการใช้ฟังก์ชัน Psi ของ Stegert โดยที่= ( ; ; , , 0) ^{[ 10 ]}${\displaystyle \varepsilon _{\Xi +1}}$${\displaystyle \Xi }$${\displaystyle \Pi _{0}^{2}}$${\displaystyle \Psi _{X}^{\varepsilon _{\Xi +1}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \omega ^{+}}$${\displaystyle P_{0}}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \epsilon }$

ถัดไปคือลำดับสุดท้ายที่ไม่มีชื่อ ซึ่งเดวิด มาดอร์เรียกว่าลำดับทฤษฎีการพิสูจน์ของเสถียรภาพ^{[ 5 ]}นี่คือลำดับทฤษฎีการพิสูจน์ของเสถียรภาพ ซึ่งเป็นส่วนขยายของทฤษฎีเซตของคริปเก-เพลเทค ค่าของมันเท่ากับการใช้ฟังก์ชัน Psi ของสเตเกิร์ต โดยที่= ( ; ; , , 0) ^{[ 10 ]}${\displaystyle \Psi _{X}^{\varepsilon _{\Upsilon +1}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \omega ^{+}}$${\displaystyle P_{0}}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \epsilon }$

ถัดไปเป็นกลุ่มของจำนวนเชิงอันดับซึ่งไม่ค่อยมีใครรู้จักมากนัก แต่ก็มีความสำคัญพอสมควร (เรียงจากน้อยไปมาก):

• ลำดับการพิสูจน์เชิงทฤษฎีของเลขคณิตอันดับสอง
• ขีดจำกัดที่เป็นไปได้ของระบบการเขียนตัวเลขลำดับ C ของทารานอฟสกี (เป็นการคาดเดา โดยสมมติว่าระบบการเขียนตัวเลขนี้มีพื้นฐานที่มั่นคง)
• ลำดับเชิงพิสูจน์ทางทฤษฎีของZFC

โดยการละทิ้งข้อกำหนดของการมีคำอธิบายที่เป็นรูปธรรม เราสามารถได้ลำดับนับแบบเวียนซ้ำที่ใหญ่ขึ้นได้อีก โดยใช้ลำดับที่วัดความแข็งแกร่งของทฤษฎีที่แข็งแกร่งต่างๆ กล่าวโดยคร่าวๆ ลำดับเหล่านี้คือประเภทลำดับที่เล็กที่สุดของสัญกรณ์ลำดับ "ธรรมชาติ" ที่ทฤษฎีเหล่านั้นไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่ามีลำดับที่ดี โดยการนำทฤษฎีที่แข็งแกร่งขึ้นเรื่อยๆ มาใช้ เช่นเลขคณิตอันดับสอง ทฤษฎีเซต ของZermelo ทฤษฎีเซต ของZermelo–Fraenkelหรือทฤษฎีเซตของ Zermelo–Fraenkel ที่มี สัจพจน์จำนวน เชิงคาร์ดินัลขนาดใหญ่ ต่างๆ เราจะได้ลำดับเวียนซ้ำขนาดใหญ่มาก (โดยเคร่งครัดแล้ว ยังไม่เป็นที่ทราบแน่ชัดว่าทั้งหมดนี้เป็นลำดับจริงๆ หรือไม่ เพราะโดยการสร้างแล้ว ความแข็งแกร่งของลำดับของทฤษฎีหนึ่งๆ สามารถพิสูจน์ได้ว่าเป็นลำดับจากทฤษฎีที่แข็งแกร่งกว่าเท่านั้น ดังนั้นสำหรับสัจพจน์จำนวนเชิงคาร์ดินัลขนาดใหญ่ เรื่องนี้จึงค่อนข้างไม่ชัดเจน)

ค่าสูงสุดของเซตของลำดับเชิงเวียนเกิดคือ ลำดับที่เล็กที่สุดที่ไม่สามารถอธิบายได้ด้วยวิธีเชิงเวียนเกิด (มันไม่ใช่ประเภทลำดับของการเรียงลำดับที่ดีเชิงเวียนเกิดใดๆ ของจำนวนเต็ม) ลำดับนั้นคือลำดับที่นับได้ เรียกว่าลำดับเชิร์ช-คลีน (Church–Kleene ordinal ) ดังนั้น จึงเป็นลำดับที่ไม่เชิงเวียนเกิดที่เล็กที่สุด และไม่มีหวังที่จะ "อธิบาย" ลำดับใดๆ ได้อย่างแม่นยำจากจุดนี้ไป—เราทำได้เพียงกำหนดนิยามของมันเท่านั้น แต่มันก็ยังน้อยกว่าลำดับที่นับไม่ได้ตัวแรก มากอย่างไรก็ตาม ดังที่สัญลักษณ์ของมันบ่งบอก มันมีพฤติกรรมหลายอย่างคล้ายกับ ตัวอย่างเช่น เราสามารถกำหนดฟังก์ชันยุบลำดับโดยใช้แทนที่จะใช้ ${\displaystyle \omega _{1}^{\mathrm {CK} }}$${\displaystyle \omega _{1}^{\mathrm {CK} }}$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{1}^{\mathrm {CK} }}$${\displaystyle \omega _{1}}$

ลำดับ Church–Kleene เกี่ยวข้องกับทฤษฎีเซต Kripke–Platek อีกครั้ง แต่ในรูปแบบที่แตกต่างออกไป: ในขณะที่ลำดับ Bachmann–Howard (ที่อธิบายไว้ข้างต้น ) เป็นลำดับที่เล็กที่สุดที่ KP ไม่สามารถพิสูจน์การเหนี่ยวนำอนันต์ได้ ลำดับ Church–Kleene เป็นค่าα ที่เล็กที่สุด ที่ทำให้การสร้างเอกภพ Gödel , L , จนถึงขั้นα , ให้แบบจำลองของ KP ลำดับดังกล่าวเรียกว่า ลำดับ ที่ยอมรับได้ดังนั้น จึงเป็นลำดับที่ยอมรับได้ที่เล็กที่สุด (นอกเหนือจาก ω ในกรณีที่ ไม่ได้รวม สัจพจน์ของอนันต์ไว้ใน KP) ${\displaystyle L_{\alpha }}$${\displaystyle \omega _{1}^{\mathrm {CK} }}$

ตามทฤษฎีบทของFriedman , JensenและSacksลำดับที่ยอมรับได้นับได้คือลำดับที่สร้างขึ้นในลักษณะที่คล้ายกับลำดับ Church–Kleene แต่สำหรับเครื่องจักร Turing ที่มีออราเคิล[ ^{11 ] [ 12 ] บาง}ครั้งเราเขียนสำหรับลำดับที่ -th ซึ่งเป็นได้ทั้งที่ยอมรับได้หรือเป็นลิมิตของลำดับที่ยอมรับได้ที่เล็กกว่า ${\displaystyle \omega _{\alpha }^{\mathrm {CK} }}$${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \omega _{\omega }^{\mathrm {CK} }}$เป็นขีดจำกัดที่เล็กที่สุดของลำดับที่ยอมรับได้ (กล่าวถึงในภายหลัง) แต่ลำดับนั้นเองก็ไม่สามารถยอมรับได้ นอกจากนี้ยังเป็นค่าที่เล็กที่สุดที่ทำให้เป็นแบบจำลองของความเข้าใจ^{[ 5 ] [ 13 ]}${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle L_{\alpha }\cap P(\omega )}$${\displaystyle \Pi _{1}^{1}}$

ลำดับที่ทั้งยอมรับได้และเป็นขีดจำกัดของลำดับที่ยอมรับได้ หรือเทียบเท่ากับ ลำดับที่ยอมรับได้ ที่ -th เรียกว่าไม่สามารถเข้าถึงได้แบบเวียนซ้ำและลำดับที่ไม่สามารถเข้าถึงได้แบบเวียนซ้ำที่เล็กที่สุดอาจใช้สัญลักษณ์[ ^{14 ] ลำดับ}ที่ทั้งไม่สามารถเข้าถึงได้แบบเวียนซ้ำและเป็นขีดจำกัดของลำดับที่ไม่สามารถเข้าถึงได้แบบเวียนซ้ำ เรียกว่าไม่สามารถ เข้าถึงได้แบบเวียนซ้ำขั้นสูง ^{[ 5 ]}มีทฤษฎีของลำดับขนาดใหญ่ในลักษณะนี้ซึ่งขนานกับทฤษฎีของจำนวนคาร์ดินัลขนาดใหญ่ (ขนาดเล็ก) อย่างมาก ตัวอย่างเช่น เราสามารถกำหนดลำดับ Mahlo แบบเวียนซ้ำได้ : ลำดับเหล่านี้คือ ลำดับ ที่ทุกเซตย่อยปิดที่ไม่จำกัดขอบเขตแบบเวียนซ้ำ -recursive ของประกอบด้วยลำดับที่ยอมรับได้ (อนาล็อกแบบเวียนซ้ำของคำจำกัดความของจำนวนคาร์ดินัล Mahlo ) ส่วนที่ 1 ของฟังก์ชันของ Harrington เท่ากับ โดยที่คือลำดับ Mahlo แบบเวียนซ้ำที่เล็กที่สุด^{[ 15 ]หน้า 171}${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \omega _{1}^{E_{1}}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle {}^{2}S^{\#}}$${\displaystyle L_{\rho }\cap {\mathcal {P}}(\omega )}$${\displaystyle \rho }$

แต่โปรดสังเกตว่าเรายังคงพูดถึงจำนวนเชิงอันดับที่เป็นไปได้ที่นับได้อยู่ (ในขณะที่การมีอยู่ของจำนวนเชิงอันดับที่เข้าถึงไม่ได้หรือจำนวนเชิงอันดับ Mahlo ไม่สามารถพิสูจน์ได้ในทฤษฎีเซตของ Zermelo–Fraenkel แต่การมีอยู่ ของจำนวนเชิงอันดับที่เข้าถึงไม่ได้แบบเวียนซ้ำหรือจำนวนเชิงอันดับ Mahlo แบบเวียนซ้ำเป็นทฤษฎีบทของ ZFC: อันที่จริงจำนวนเชิงอันดับปกติ ใดๆ ก็เป็นจำนวนเชิงอันดับ Mahlo แบบเวียนซ้ำและอื่นๆ อีกมากมาย แต่แม้ว่าเราจะจำกัดตัวเองอยู่เฉพาะจำนวนเชิงอันดับที่นับได้ ZFC ก็พิสูจน์การมีอยู่ของจำนวนเชิงอันดับ Mahlo แบบเวียนซ้ำได้ อย่างไรก็ตาม สิ่งเหล่านี้อยู่นอกเหนือขอบเขตของทฤษฎีเซตของ Kripke–Platek)

สำหรับชุดสูตรจำนวนเชิงอันดับจำกัดเรียกว่า-สะท้อนหากอันดับเป็นไปตามคุณสมบัติการสะท้อนบางอย่างสำหรับแต่ละ- สูตร^{[ 16 ]}จำนวนเชิงอันดับเหล่านี้ปรากฏในการวิเคราะห์เชิงอันดับของทฤษฎีต่างๆ เช่นKP+Π ₃ -refซึ่งเป็นทฤษฎีที่เสริมทฤษฎีเซต Kripke-Platekด้วยแบบแผนการสะท้อน พวกมันยังสามารถถือได้ว่าเป็น "อนาล็อกแบบเวียนซ้ำ" ของจำนวนนับที่นับไม่ได้บางจำนวน เช่นจำนวนกระชับแบบอ่อนและจำนวนที่ไม่สามารถอธิบายได้^{[ 17 ]}ตัวอย่างเช่น จำนวนเชิงอันดับที่- สะท้อนเรียกว่ากระชับแบบอ่อนแบบเวียนซ้ำ [ ^{18 ] สำหรับ}จำนวนจำกัด จำนวนเชิงอันดับที่ -สะท้อน น้อยที่สุดยังเป็นค่าสูงสุดของจำนวนเชิงอันดับปิดของคำจำกัดความอุปนัยแบบโมโนโทนิกซึ่งกราฟคือ^Π m ₊₁ ⁰ [ ^{18 ]}${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle L_{\alpha }}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \Pi _{3}}$${\displaystyle \Pi _{3}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \Pi _{n}}$

โดยเฉพาะอย่างยิ่งลำดับสะท้อนยังมีลักษณะเฉพาะโดยใช้ฟังก์ชันประเภทสูงกว่าบนฟังก์ชันลำดับ ทำให้ได้รับชื่อว่า ลำดับที่ยอมรับ ได้2 ^{[ 18 ]}บทความที่ยังไม่ได้ตีพิมพ์โดยSolomon Fefermanระบุคุณสมบัติที่คล้ายกันซึ่งสอดคล้องกับการสะท้อน สำหรับแต่ละค่าจำกัด ^{[ 19 ]}${\displaystyle \Pi _{3}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \Pi _{n}}$

ลำดับที่ยอมรับได้เรียกว่าไม่สามารถฉายได้หากไม่มีฟังก์ชันอินเจกทีฟแบบเรียกซ้ำ ทั้งหมด ที่แมปไปยังลำดับที่เล็กกว่า (นี่เป็นความจริงโดยปริยายสำหรับคาร์ดินัลปกติ อย่างไรก็ตาม เราสนใจลำดับที่นับได้เป็นหลัก) การไม่สามารถฉายได้เป็นเงื่อนไขที่แข็งแกร่งกว่าการยอมรับได้ การเข้าถึงแบบเรียกซ้ำไม่ได้ หรือแม้แต่ Mahlo แบบเรียกซ้ำ^{[ 13 ]}โดยวิธีของโปรเจกตาของ Jensen ^{[ 20 ]}ข้อความนี้เทียบเท่ากับข้อความที่ว่าเอกภพ Gödel , L , จนถึงขั้น α, ให้แบบจำลองของการแยก KP+ อย่างไรก็ตามการแยกเพียงอย่างเดียว (ไม่ใช่ในกรณีที่มี) ไม่ใช่แบบแผนสัจพจน์ ที่แข็งแกร่งพอ ที่จะบ่งบอกถึงการไม่สามารถฉายได้ ในความเป็นจริงมีแบบจำลองแบบถ่ายทอดของ การแยก + ของความสูงที่ยอมรับได้ที่นับได้ใดๆ^{[ 21 ]}${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle L_{\alpha }}$${\displaystyle \Sigma _{1}}$${\displaystyle \Sigma _{1}}$${\displaystyle V=L}$${\displaystyle KP}$${\displaystyle \Sigma _{1}}$${\displaystyle >\omega }$

ลำดับที่ไม่สามารถฉายได้นั้นเชื่อมโยงกับ งาน ของ Jensenเกี่ยวกับโปรเจกตา^{[ 5 ] [ 22 ]}ลำดับที่น้อยที่สุดที่ไม่สามารถฉายได้เมื่อเทียบกับเซตที่กำหนดนั้นเชื่อมโยงกับการสร้างคลาส Spector 2 ที่สะท้อนที่เล็กที่สุดของ Harrington ^{[ 15 ]หน้า 174}

เราสามารถจินตนาการถึงจำนวนเชิงอันดับที่มีขนาดใหญ่กว่านั้นได้อีก ซึ่งยังคงนับได้อยู่ ตัวอย่างเช่น ถ้าZFCมีแบบจำลองที่ถ่ายทอดได้ (สมมติฐานที่แข็งแกร่งกว่าสมมติฐานเรื่องความสอดคล้องธรรมดา และได้มาจากการมีอยู่ของจำนวนเชิงคาร์ดินัลที่เข้าถึงไม่ได้) แล้วก็จะมีจำนวนนับได้อยู่จำนวนหนึ่งซึ่งเป็นแบบจำลองของ ZFC จำนวนเชิงอันดับดังกล่าวอยู่เหนือความแข็งแกร่งของ ZFC ในแง่ที่ว่ามันไม่สามารถพิสูจน์การมีอยู่ของมันได้ (โดยการสร้าง) ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle L_{\alpha }}$

ถ้าเป็นทฤษฎีเซตที่นับได้แบบเรียกซ้ำซึ่งสอดคล้องกับV = Lแล้วค่าต่ำสุดที่น้อยกว่าลำดับเสถียรต่ำสุดซึ่งเป็นไปตามนั้น^{[ 23 ]}${\displaystyle T}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle (L_{\alpha },\in )\vDash T}$

ลำดับที่นับได้ขนาดใหญ่กว่าที่เรียกว่าลำดับเสถียรสามารถกำหนดได้ด้วยเงื่อนไขที่ไม่สามารถอธิบายได้ หรือเป็นเงื่อนไขที่ทำให้เป็นแบบจำลองย่อยΣ ₁ -พื้นฐาน ของLการมีอยู่ของลำดับเหล่านี้สามารถพิสูจน์ได้ใน ZFC ^{[ 24 ]}และมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับลำดับที่ไม่สามารถฉายภาพได้จากมุมมองทฤษฎีแบบจำลอง^{[ 5 ] : 6} สำหรับลำดับที่นับได้ความเสถียรของเทียบเท่ากับ^{[ 5 ]}${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle L_{\alpha }}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle L_{\alpha }\prec _{\Sigma _{1}}L_{\omega _{1}}}$

ระดับที่เสถียรน้อยที่สุดของมีคุณสมบัติที่เกี่ยวข้องกับความสามารถในการกำหนดบางประการ ให้เป็นระดับที่น้อยที่สุด โดยที่: ${\displaystyle L}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle L_{\sigma }\prec _{1}L}$

• เซตจะมีนิยามในก็ต่อเมื่อเป็นสมาชิกของ[ ^{5 ] หน้า 6}${\displaystyle \Sigma _{1}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle L_{\sigma }}$
• เซตจะเป็นเซตก็ต่อเมื่อเป็นสมาชิกของเซต^{[ 5 ]หน้า 6}${\displaystyle x\subseteq \mathbb {N} }$${\displaystyle \Delta _{2}^{1}}$${\displaystyle L_{\sigma }}$
• เซตจะเป็น เซต ที่สามารถแจงนับได้แบบเรียกซ้ำได้ก็ต่อเมื่อเป็นเซตที่สามารถแจงนับได้แบบเรียกซ้ำ ในศัพท์เฉพาะของทฤษฎีการเรียกซ้ำแบบอัลฟา^{[ 5 ]หน้า 6}${\displaystyle x\subseteq \mathbb {N} }$${\displaystyle \Sigma _{2}^{1}}$${\displaystyle \sigma }$

สิ่งเหล่านี้เป็นรูปแบบที่อ่อนแอลงของลำดับเสถียร มีลำดับที่มีคุณสมบัติเหล่านี้ที่เล็กกว่าลำดับที่ไม่สามารถฉายภาพได้น้อยที่สุดที่กล่าวถึงข้างต้น^{[ 5 ]}ตัวอย่างเช่น ลำดับจะเสถียรก็ต่อเมื่อมันสะท้อนสำหรับธรรมชาติทั้งหมด^{[ 18 ]}${\displaystyle (+1)}$${\displaystyle \Pi _{n}^{0}}$${\displaystyle n}$

• ลำดับที่นับได้เรียกว่าเสถียรก็ต่อเมื่อ^{[ 5 ]}${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle (+\beta )}$${\displaystyle L_{\alpha }\prec _{\Sigma _{1}}L_{\alpha +\beta }}$
• ลำดับที่นับได้เรียกว่าเสถียร - ก็ต่อเมื่อโดยที่ เป็น ลำดับที่ยอมรับได้น้อยที่สุด ที่ ใหญ่กว่า^{[ 5 ] [ 25 ]}${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle (^{+})}$${\displaystyle L_{\alpha }\prec _{\Sigma _{1}}L_{\beta }}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha }$
• ลำดับที่นับได้เรียกว่าเสถียร - ก็ต่อเมื่อโดยที่เป็นลำดับที่ยอมรับได้ น้อยที่สุด ที่ใหญ่กว่าลำดับที่ยอมรับได้ที่ใหญ่กว่า^{[ 25 ]}${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle (^{++})}$${\displaystyle L_{\alpha }\prec _{\Sigma _{1}}L_{\beta }}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha }$
• ลำดับที่นับได้เรียกว่าไม่เสถียรต่อการเข้าถึงก็ต่อเมื่อโดยที่ เป็นลำดับที่ไม่สามารถเข้าถึงได้แบบเวียนซ้ำที่เล็กที่สุดที่ ใหญ่กว่า^{[ 5 ]}${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle L_{\alpha }\prec _{\Sigma _{1}}L_{\beta }}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha }$
• ลำดับที่นับได้เรียกว่า Mahlo-stable ก็ต่อเมื่อโดยที่เป็นลำดับ Mahlo ขั้นต่ำที่มากกว่า^{[ 5 ]}${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle L_{\alpha }\prec _{\Sigma _{1}}L_{\beta }}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha }$
• ลำดับที่นับได้เรียกว่าเสถียร สองเท่าก็ต่อ เมื่อมีลำดับเสถียรซึ่ง. ^{[ 5 ]}${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle (+1)}$${\displaystyle (+1)}$${\displaystyle \beta >\alpha }$${\displaystyle L_{\alpha }\prec _{\Sigma _{1}}L_{\beta }}$

การลดทอนเสถียรภาพที่รุนแรงยิ่งขึ้นได้ปรากฏในสิ่งพิมพ์เชิงทฤษฎีการพิสูจน์ รวมถึงการวิเคราะห์ระบบย่อยของเลขคณิตอันดับสอง^{[ 26 ]}

ในระบบสัญลักษณ์ของ Kleeneบางส่วนแสดงถึงลำดับ และบางส่วนไม่แสดง เราสามารถกำหนดลำดับสมบูรณ์แบบเวียนซ้ำได้ ซึ่งเป็นเซตย่อยของสัญลักษณ์ Kleene และมีส่วนเริ่มต้นที่เรียงลำดับได้ดีด้วยประเภทลำดับเซตย่อยที่ไม่ว่างเปล่าที่สามารถแจงนับได้แบบเวียนซ้ำ (หรือแม้แต่ไฮเปอร์อะริธเมติก) ของลำดับสมบูรณ์นี้จะมีสมาชิกที่เล็กที่สุดดังนั้นจึงคล้ายกับการเรียงลำดับที่ดีในบางแง่มุม ตัวอย่างเช่น เราสามารถกำหนดการดำเนินการทางคณิตศาสตร์บนมันได้ อย่างไรก็ตาม เป็นไปไม่ได้ที่จะระบุได้อย่างมีประสิทธิภาพว่าส่วนที่เรียงลำดับได้ดีในตอนเริ่มต้นสิ้นสุดลงที่ใด และส่วนที่ขาดสมาชิกที่เล็กที่สุดเริ่มต้นที่ใด ${\displaystyle \omega _{1}^{\mathrm {CK} }}$

เพื่อเป็นตัวอย่างของลำดับ pseudowell แบบเรียกซ้ำ ให้ S เป็นATR ₀หรือทฤษฎีอื่นที่สามารถกำหนดสัจพจน์แบบเรียกซ้ำได้ ซึ่งมีแบบจำลอง ω แต่ไม่มีแบบจำลอง ω แบบไฮเปอร์อะริธเมทิคัล ​​และ (ถ้าจำเป็น) ขยาย S อย่างระมัดระวังด้วยฟังก์ชัน Skolemให้ T เป็นต้นไม้ของแบบจำลอง ω บางส่วนแบบจำกัด (โดยพื้นฐานแล้ว) ของ S: ลำดับของจำนวนธรรมชาติอยู่ใน T ก็ต่อเมื่อ S บวก ∃m φ(m) ⇒ φ(x _⌈φ⌉ ) (สำหรับสูตร φ n สูตรแรกที่มีตัวแปรอิสระเชิงตัวเลขหนึ่งตัว; ⌈φ⌉ คือจำนวน Gödel) ไม่มีบทพิสูจน์ความไม่สอดคล้องกันที่สั้นกว่า n ดังนั้นลำดับ Kleene–Brouwerของ T จึงเป็นลำดับ pseudowell แบบเรียกซ้ำ ${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}}$

โครงสร้างดังกล่าวจะต้องมีประเภทลำดับโดยที่คือประเภทลำดับของและเป็นลำดับแบบเรียกซ้ำ^{[ 27 ]}${\displaystyle \omega _{1}^{CK}\times (1+\eta )+\rho }$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle (\mathbb {Q} ,<)}$${\displaystyle \rho }$