ในทฤษฎีเซตจำนวน เชิง คาร์ดินัลปกติ (Regular Cardinal)คือ จำนวนเชิงคาร์ดินัลที่มีค่าเท่ากับค่าโคฟินาลิตี้ (cofinality) ของตัวมันเอง กล่าวให้ชัดเจนยิ่งขึ้นก็คือ จำนวนเชิงคาร์ดินัลปกติจะมี ค่าเท่ากับจำนวนเชิงคาร์ดินัลปกติก็ต่อเมื่อเซตย่อย ที่ไม่ จำกัด ทุกเซตมีค่าเท่ากับจำนวนเชิงคาร์ดินัลปกติ จำนวนเชิงคาร์ดินัลที่มีลำดับดี (well-ordered) ที่ เป็นอนันต์แต่ไม่ใช่จำนวนเชิงคาร์ดินัลปกติ เรียกว่าจำนวนเชิงคาร์ดินัลเอก ฐาน (Singular Cardinal ) ส่วนจำนวนเชิงคาร์ดินัลจำกัดนั้น โดยทั่วไปจะไม่เรียกว่าจำนวนเชิงคาร์ดินัลปกติหรือจำนวนเชิงคาร์ดินัลเอกฐาน ${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle C\subseteq \kappa }$${\displaystyle \kappa }$

ในกรณีที่มีสัจพจน์ของการเลือกจำนวนเชิงคาร์ดินัลใดๆ ก็สามารถเรียงลำดับได้ดี ดังนั้นสิ่งต่อไปนี้จึงเทียบเท่ากัน:

1. ${\displaystyle \kappa }$เป็นนกคาร์ดินัลธรรมดา
2. ถ้าและสำหรับทุกสิ่งแล้ว.${\displaystyle \kappa =\textstyle \sum _{i\in I}\lambda _{i}}$${\displaystyle \lambda _{i}<\kappa }$${\displaystyle i}$${\displaystyle |I|\geq \คัปปา }$
3. ถ้าและถ้าและสำหรับทุกแล้วนั่นคือ การรวมกันของเซตที่น้อยกว่า น้อยกว่า จะ เล็กกว่า${\displaystyle S=\textstyle \bigcup _{i\in I}S_{i}}$${\displaystyle |I|<\kappa }$${\displaystyle |S_{i}|<\คัปปา }$${\displaystyle i}$${\displaystyle |S|<\kappa }$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \kappa }$
4. หมวดหมู่ ของเซตที่มีจำนวนสมาชิกน้อยกว่าและฟังก์ชันทั้งหมดระหว่างเซตเหล่านั้น ปิดภายใต้ลิมิตร่วม ที่มีจำนวนสมาชิก น้อยกว่า${\displaystyle \operatorname {Set} _{<\kappa }}$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \kappa }$
5. ${\displaystyle \kappa }$เป็นลำดับปกติ (ดูด้านล่าง)

โดยคร่าวๆ แล้ว นั่นหมายความว่าจำนวนนับปกติ คือจำนวนที่ไม่สามารถแบ่งย่อยออกเป็นส่วนเล็กๆ จำนวนน้อยได้

สถานการณ์จะซับซ้อนขึ้นเล็กน้อยในบริบทที่สัจพจน์ของการเลือกอาจใช้ไม่ได้ผล เพราะในกรณีนั้น จำนวนเชิงคาร์ดินัลทั้งหมดไม่จำเป็นต้องเป็นจำนวนเชิงคาร์ดินัลของเซตที่มีลำดับที่ดีเสมอไป ในกรณีนั้น ความสมมูลข้างต้นจะใช้ได้กับจำนวนเชิงคาร์ดินัลที่มีลำดับที่ดีเท่านั้น

จำนวนเชิงอนันต์ (infinite ordinal) เรียก ว่า จำนวนเชิงปกติ (regular ordinal)ถ้าเป็นจำนวนเชิงลิมิตที่ไม่ใช่ลิมิตของเซตของจำนวนเชิงอนันต์ที่เล็กกว่า ซึ่งเซตนั้นมีประเภทลำดับ (order type ) น้อยกว่า จำนวนเชิงปกติมักเป็น จำนวนเชิงเริ่มต้น (initial ordinal) เสมอแม้ว่าจำนวนเชิงเริ่มต้นบางจำนวนจะไม่ใช่จำนวนเชิงปกติก็ตาม เช่น(ดูตัวอย่างด้านล่าง) ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \โอเมก้า _{\โอเมก้า }}$

จำนวนเชิงอันดับน้อยกว่าเป็นจำนวนจำกัด ลำดับจำกัดของจำนวนเชิงอันดับจำกัดจะมีค่าสูงสุดจำกัดเสมอ ดังนั้น จึงไม่สามารถเป็นลิมิตของลำดับประเภทน้อยกว่าใดๆที่มีองค์ประกอบเป็นจำนวนเชิงอันดับน้อยกว่าและด้วยเหตุนี้จึงเป็นจำนวนเชิงอันดับปกติ( aleph-null ) เป็นจำนวนเชิงอันดับปกติเพราะจำนวนเชิงอันดับเริ่มต้นของมันคือ เป็นจำนวนเชิงอันดับปกติ นอกจากนี้ยังสามารถเห็นได้โดยตรงว่าเป็นจำนวนเชิงอันดับปกติ เนื่องจากผลรวมเชิงจำนวนของจำนวนเชิงอันดับจำกัดจำนวนหนึ่งนั้นเป็นจำนวนจำกัดเช่นกัน ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \aleph _{0}}$${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \omega +1}$เป็นจำนวนเชิงอันดับถัดไปที่มากกว่าเป็นจำนวนเอกฐาน เนื่องจากไม่ใช่จำนวนเชิงอันดับลิมิตเป็นจำนวนเชิงอันดับลิมิตถัดไปหลังจากสามารถเขียนได้เป็นลิมิตของลำดับ, , , , และอื่นๆ ลำดับนี้มีประเภทอันดับดังนั้น จึงเป็นลิมิตของลำดับประเภท น้อยกว่าซึ่งมีองค์ประกอบเป็นจำนวนเชิงอันดับที่น้อยกว่าดังนั้นจึงเป็นจำนวนเอกฐาน ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega +\omega }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega +1}$${\displaystyle \omega +2}$${\displaystyle \omega +3}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega +\omega }$${\displaystyle \omega +\omega }$${\displaystyle \omega +\omega }$

${\displaystyle \aleph _{1}}$คือจำนวนเชิงซ้อนถัดไปที่มากกว่าดังนั้นจำนวนเชิงซ้อนที่น้อยกว่าจึงเป็นจำนวนนับได้ (จำกัดหรือนับได้) โดยสมมติว่าเป็นไปตามสัจพจน์ของการเลือก การรวมกันของเซตที่นับได้ของเซตที่นับได้เองก็เป็นเซตที่นับได้เช่นกัน ดังนั้น จึงไม่สามารถเขียนเป็นผลรวมของเซตที่นับได้ของจำนวนเชิงซ้อนที่นับได้ และเป็นเซตปกติ ${\displaystyle \aleph _{0}}$${\displaystyle \aleph _{1}}$${\displaystyle \aleph _{1}}$

${\displaystyle \aleph _{\omega }}$เป็นจำนวนคาร์ดินัลถัดไปหลังจากลำดับ, , , , และอื่นๆ ลำดับเริ่มต้นของมันคือลิมิตของลำดับ, , , , และอื่นๆ ซึ่งมีประเภทลำดับดังนั้นจึงเป็นเอกฐาน และดังนั้นจึงเป็นเอกฐาน สมมติว่ามีสัจพจน์ของการเลือก จะ เป็นจำนวนคาร์ดินัลอนันต์ตัวแรกที่เป็นเอกฐาน ( ลำดับอนันต์ตัวแรกที่เป็นเอกฐานคือและลำดับลิมิต อนันต์ตัวแรก ที่เป็นเอกฐานคือ) การพิสูจน์การมีอยู่ของจำนวนคาร์ดินัลเอกฐานต้องใช้สัจพจน์ของการแทนที่และในความเป็นจริง ความไม่สามารถพิสูจน์การมีอยู่ของในทฤษฎีเซตของ Zermeloเป็นสิ่งที่ทำให้Fraenkelตั้งสมมติฐานสัจพจน์นี้^{[ 1 ]}${\displaystyle \aleph _{0}}$${\displaystyle \aleph _{1}}$${\displaystyle \aleph _{2}}$${\displaystyle \aleph _{3}}$${\displaystyle \omega _{\omega }}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{2}}$${\displaystyle \omega _{3}}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega _{\omega }}$${\displaystyle \aleph _{\omega }}$${\displaystyle \aleph _{\omega }}$${\displaystyle \omega +1}$${\displaystyle \omega +\omega }$${\displaystyle \aleph _{\omega }}$

จำนวนเชิงคาร์ดินัลลิมิต ที่ นับไม่ได้ (อ่อน) ซึ่งเป็นจำนวนเชิงคาร์ดินัลปกติด้วย เรียกว่าจำนวนเชิงคาร์ดินัลที่เข้าถึง ไม่ได้ (อ่อน) ไม่สามารถพิสูจน์การมีอยู่ของจำนวนเชิงคาร์ดินัลเหล่านี้ได้ภายใน ZFC แม้ว่าการมีอยู่ของพวกมันจะไม่เป็นที่ทราบกันว่าขัดแย้งกับ ZFC ก็ตาม บางครั้งการมีอยู่ของพวกมันถูกนำมาใช้เป็นสัจพจน์เพิ่มเติม จำนวนเชิงคาร์ดินัลที่เข้าถึงไม่ได้จำเป็นต้องเป็นจุดตรึงของฟังก์ชันอะเลฟแม้ว่าจุดตรึงทั้งหมดจะไม่ใช่จำนวนเชิงคาร์ดินัลปกติก็ตาม ตัวอย่างเช่น จุดตรึงแรกเป็นลิมิตของลำดับ-sequence และดังนั้นจึงเป็นจุดเอกฐาน ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \aleph _{0},\aleph _{\omega },\aleph _{\omega _{\omega }},...}$

ถ้าสัจพจน์ของการเลือก เป็นจริง จำนวนคาร์ดินัลผู้สืบทอดทุกตัวจะเป็นจำนวนคาร์ดินัลปกติ ดังนั้น ความปกติหรือความเป็นเอกลักษณ์ของจำนวนอะเลฟส่วนใหญ่สามารถตรวจสอบได้ขึ้นอยู่กับว่าจำนวนคาร์ดินัลนั้นเป็นจำนวนคาร์ดินัลผู้สืบทอดหรือจำนวนคาร์ดินัลลิมิต จำนวนคาร์ดินัลบางจำนวนไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่าเท่ากับอะเลฟใดๆ โดยเฉพาะ ตัวอย่างเช่นจำนวนคาร์ดินัลของคอนติเนียมซึ่งค่าใน ZFC อาจเป็นจำนวนคาร์ดินัลนับไม่ได้ใดๆ ที่มีโคฟินาลิตี้แบบนับไม่ได้ (ดูทฤษฎีบทของอีสตัน ) สมมติฐานของคอนติเนียมตั้งสมมติฐานว่าจำนวนคาร์ดินัลของคอนติเนียมเท่ากับซึ่งเป็นจำนวนคาร์ดินัลปกติหากสมมติว่ามีการเลือก ${\displaystyle \aleph _{1}}$

หากปราศจากสัจพจน์ของการเลือก จะมีจำนวนเชิงคาร์ดินัลที่ไม่สามารถเรียงลำดับได้ดี ยิ่งไปกว่านั้น ผลรวมเชิงคาร์ดินัลของกลุ่มใดๆ ก็ไม่สามารถนิยามได้ ดังนั้น มีเพียงจำนวนอะเลฟ เท่านั้น ที่สามารถเรียกว่าเป็นจำนวนเชิงคาร์ดินัลปกติหรือจำนวนเชิงคาร์ดินัลเอกฐานได้อย่างมีความหมาย นอกจากนี้ อะเลฟตัวถัดไปไม่จำเป็นต้องเป็นจำนวนเชิงคาร์ดินัลปกติ ตัวอย่างเช่น การรวมกันของเซตที่นับได้ของเซตที่นับได้ไม่จำเป็นต้องเป็นเซตที่นับได้เสมอไป สอดคล้องกับZFที่ว่าเป็นลิมิตของลำดับที่นับได้ของจำนวนเชิงอันดับนับได้ เช่นเดียวกับเซตของจำนวนจริงที่เป็นการรวมกันที่นับได้ของเซตที่นับได้ ยิ่งไปกว่านั้น สอดคล้องกับ ZF เมื่อไม่รวม AC ที่ว่าอะเลฟทุกตัวที่มากกว่าเป็นจำนวนเชิงคาร์ดินัลเอกฐาน (ผลลัพธ์ที่พิสูจน์โดยMoti Gitik ) ${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \aleph _{0}}$

ถ้าเป็นลิมิตเชิงอันดับจะเป็นปกติก็ต่อเมื่อเซตของที่เป็นจุดวิกฤตของ- การฝังตัวพื้นฐานที่มีเป็นคลับใน^{[ 2 ]}${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \alpha <\kappa }$${\displaystyle \Sigma _{1}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle j(\alpha )=\kappa }$${\displaystyle \kappa }$

สำหรับจำนวนเชิงคาร์ดินัลให้กล่าวว่าการฝังตัวพื้นฐานเป็นการฝังตัวขนาดเล็กถ้าเป็นแบบถ่ายทอดและ จำนวน เชิง คาร์ดินัลเป็นจำนวนนับไม่ได้และปกติก็ต่อเมื่อมีเช่นนั้นสำหรับทุกจะมีการฝังตัวขนาดเล็ก[ ^{3 ] บทสรุป 2.2}${\displaystyle \kappa <\theta }$${\displaystyle j:M\to H(\theta )}$${\displaystyle M}$${\displaystyle j({\textrm {crit}}(j))=\kappa }$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \alpha >\kappa }$${\displaystyle \theta >\alpha }$${\displaystyle j:M\to H(\theta )}$

• พระคาร์ดินัลที่เข้าถึงไม่ได้