ในทางคณิตศาสตร์จำนวนคาร์ดินัลหรือ เรียกสั้น ๆ ว่า คาร์ดินัล คือ จำนวนชนิดหนึ่งที่ใช้วัดจำนวนสมาชิกของเซตกล่าวคือ จำนวนสมาชิกในเซตนั้น ๆ จำนวนคาร์ดินัลที่เกี่ยวข้องกับเซตโดยทั่วไป${\displaystyle A}$จะใช้สัญลักษณ์ โดยมีเส้น${\displaystyle \vert A\vert }$แนวตั้งอยู่ด้านข้างแต่ละด้าน^{[ 1 ]}แม้ว่าอาจจะใช้สัญลักษณ์ หรือก็ได้^{[ 8 ]}${\displaystyle A}$${\displaystyle \operatorname {card} (A),}$${\displaystyle \#A.}$

จำนวนสมาชิกของเซตถูกกำหนดโดยใช้ ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง ( bijective functions ) เซตสองเซตจะมีจำนวนสมาชิกเท่ากันก็ต่อเมื่อมีการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่ง (bijection) ระหว่างสมาชิกของเซตทั้งสอง จำนวนสมาชิกของเซตจำกัดสามารถระบุได้ด้วยจำนวนธรรมชาติซึ่งสามารถหาได้ง่ายๆ โดยการนับจำนวนสมาชิก ตัวอย่างเช่น เซต⁠ ⁠${\displaystyle \{1,2,3\}}$และ⁠ ⁠${\displaystyle \{4,5,6\}}$ต่างก็มีจำนวนสมาชิกเท่ากันคือ 3 ดังที่เห็นได้จากการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง ⁠ ⁠${\displaystyle \{1\mapsto 4,2\mapsto 5,3\mapsto 6\}}$

พฤติกรรมของจำนวนสมาชิกของเซตอนันต์ นั้นซับซ้อนกว่า ตัวอย่างเช่น มีการจับคู่แบบ หนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงระหว่างเซตของจำนวนธรรมชาติทั้งหมดกับเซต ของจำนวนตรรกยะ ทั้งหมด และดังนั้นแม้ว่าจะเป็นเซตย่อยแท้ของซึ่งเป็น สิ่งที่ไม่อาจเกิดขึ้น ได้ กับเซตย่อยแท้ของเซตจำกัด อย่างไรก็ตามทฤษฎีบทพื้นฐานของจอร์จ แคนเตอร์ แสดงให้เห็นว่า เป็นไป ได้${\displaystyle \mathbb {N} }$ที่เซตอนันต์สองเซตอนันต์จะมีจำนวนสมาชิกต่างกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง จำนวนสมาชิกของเซตของจำนวนจริงจะ มากกว่าจำนวน สมาชิกของ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \vert \mathbb {N} \vert =\vert \mathbb {Q} \vert }$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {N} }$

โดยทั่วไปแล้ว จำนวนสมาชิกของเซต ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {N} }$จะถูกแทนด้วย⁠ ⁠${\displaystyle \aleph _{0}}$ ( aleph-null ) เนื่องจากเป็นจำนวนอะเลฟที่ เล็กที่สุด คุณสมบัติของจำนวนอะเลฟอื่นๆ และจำนวนเชิงอนันต์โดยทั่วไปขึ้นอยู่กับข้อความที่ไม่ขึ้นอยู่กับทฤษฎีเซตของ Zermelo–Fraenkelเช่นสัจพจน์ของการเลือกและสมมติฐานความต่อเนื่องตัวอย่างเช่น จำนวนเชิงอนันต์ทั้งหมดเป็นจำนวนอะเลฟก็ต่อเมื่อสัจพจน์ของการเลือกเป็นจริง

จำนวนเชิง คาร์ดินัลได้รับการศึกษาในตัวของมันเองในฐานะส่วนหนึ่งของทฤษฎีเซตนอกจากนี้ยังเป็นเครื่องมือที่ใช้ในสาขาคณิตศาสตร์ต่างๆ รวมถึงทฤษฎีแบบจำลองคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียง พีชคณิตนามธรรมและการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ในทฤษฎีหมวดหมู่จำนวนเชิงคาร์ดินัลเป็นโครงสร้างพื้นฐานของหมวดหมู่ของเซต

จำนวนธรรมชาติสามารถใช้ได้สองวัตถุประสงค์ คือ เพื่ออธิบายขนาดของเซต หรือเพื่ออธิบายตำแหน่งของสมาชิกในลำดับ แนวคิดทั้งสองนี้จะแตกต่างกันเมื่อนำไปใช้กับเซตและลำดับอนันต์ โดยแง่มุมของตำแหน่งจะนำไปสู่จำนวนเชิงอันดับ (ordinal numbers ) และแง่มุมของขนาดจะนำไปสู่จำนวนเชิงปริมาณ (cardinal numbers)

เมื่อพิจารณาขนาดของเซต ควรแยกเอกลักษณ์ของสมาชิกแต่ละตัวออกไปการเปลี่ยนแปลงสมาชิกแต่ละตัวไม่ควรส่งผลต่อขนาดของเซต ตราบใดที่พวกเขายังคงแตกต่างกัน^{[ 9 ]}ตัวอย่างเช่น เซต⁠ ⁠${\displaystyle \{1,2,3\}}$มีสามองค์ประกอบ ดังนั้นเมื่อแทนที่สมาชิกตามการแมป⁠ ⁠${\displaystyle \{1\mapsto 4,2\mapsto 5,3\mapsto 6\}}$เซตที่ได้ ⁠ ⁠${\displaystyle \{4,5,6\}}$ก็ยังคงมีสามองค์ประกอบ เป็นเรื่องสมเหตุสมผลที่จะตั้งสมมติฐานเพิ่มเติมว่าเซตสองเซต⁠ ⁠${\displaystyle X}$และ⁠ ${\displaystyle Y}$⁠มีขนาดเท่ากันก็ต่อเมื่อ มี การแมปดังกล่าว—การจับคู่แบบ หนึ่งต่อหนึ่ง —จาก⁠ ⁠${\displaystyle X}$ไปยัง⁠ ⁠${\displaystyle Y}$นี่คือวิธีการกำหนด แนวคิดอย่างเป็นทางการของ จำนวนสมาชิก

ความเท่ากันของจำนวนสมาชิกเป็นความสัมพันธ์สมมูลบางครั้งเรียกว่าความเท่าเทียมกันของศักยภาพความเท่าเทียม กันของจำนวนสมาชิก หรือความเท่าเทียมกันของจำนวนสมาชิกจึงกล่าวได้ว่าเซตสองเซตที่มีจำนวนสมาชิกเท่ากันนั้น มีความเท่าเทียมกันของศักยภาพ ความเท่าเทียมกันของ จำนวน สมาชิกหรือความเท่าเทียมกันของ จำนวนสมาชิก ตาม ลำดับ ชั้นสมมูล ของเซต ทุก ชั้นภายใต้ความเท่าเทียมกัน ของจำนวนสมาชิกจะสอดคล้องกับจำนวนเชิงคาร์ดินัลหนึ่งจำนวน

สำหรับเซตจำกัด จำนวนเชิงคาร์ดินัลที่นิยามไว้เช่นนี้จะสอดคล้องกับแนวคิดเชิงสัญชาตญาณของจำนวนสมาชิก (เช่นเดียวกับจำนวนธรรมชาติ) แต่เซตอนันต์แสดงพฤติกรรมที่ซับซ้อนกว่า ตัวอย่างคลาสสิกคือปรากฏการณ์ขัดแย้งของฮิลเบิร์ตเกี่ยวกับโรงแรมแกรนด์ซึ่งใช้การแมปดังต่อไปนี้:

1 ↦ 2

2 ↦ 3

3 ↦ 4

...

n ↦ n + 1

...

นี่เป็นการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างเซต⁠ ⁠${\displaystyle \{1,2,3,...\}}$และ⁠ ⁠${\displaystyle \{2,3,4,...\}}$ดังนั้นเซตทั้งสองจึงมีจำนวนสมาชิกเท่ากัน⁠ ⁠${\displaystyle \aleph _{0}}$แม้ว่าเซตที่สองจะเป็นเซตย่อยแท้ของเซตแรกก็ตาม ดังนั้นสัญชาตญาณที่ว่าขนาดของเซตย่อยแท้ของ⁠ ⁠${\displaystyle X}$จะน้อยกว่าขนาดของ⁠ ⁠${\displaystyle X}$ อย่างเคร่งครัดเสมอ มักจะ^{[ a ]}ใช้ได้เฉพาะกับเซตจำกัดเท่านั้น ในทางกลับกัน สิ่งนี้ยังแสดงให้เห็นว่า⁠ ⁠${\displaystyle \aleph _{0}+1=\aleph _{0}}$ (จำนวนสมาชิกของ⁠ ⁠${\displaystyle \{2,3,4,...\}}$บวกกับจำนวนสมาชิกของ⁠ ⁠${\displaystyle \{1\}}$เท่ากับจำนวนสมาชิกของ⁠ ⁠${\displaystyle \{1,2,3,...\}}$ ) และดังนั้นการดำเนินการ "บวกหนึ่ง" จึงไม่ได้สร้างจำนวนสมาชิกใหม่เสมอไปเหมือนกับที่เกิดขึ้นกับจำนวนธรรมชาติ

อย่างไรก็ตามการให้เหตุผลแบบทแยงมุมของแคนเตอร์แสดงให้เห็นว่า การดำเนินการ เซตกำลังส่งผลให้จำนวนสมาชิกมากกว่าอย่างชัดเจนเสมอ ทำให้สามารถสร้างจำนวนสมาชิกที่มากกว่าจากจำนวนสมาชิกอนันต์ใดๆ ได้ ตัวอย่างเช่น สามารถแสดงได้ว่าจำนวนสมาชิกของเซตของจำนวนจริงเท่ากับ⁠ ⁠${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$และดังนั้นจึงมีจำนวนจริงมากกว่าจำนวนธรรมชาติอย่างชัดเจน

ฟังก์ชันจำนวนสมาชิกเป็นฟังก์ชันจำนวนสมาชิกที่รับเซตและส่งคืนค่าจำนวนสมาชิกของเซตนั้น: ⁠ ⁠อย่างไรก็ตาม การกำหนด "จำนวนสมาชิก" อย่างเป็นทางการค่อนข้างยาก โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับเซตอนันต์ ดังนั้น จำนวนสมาชิกจึงมักไม่ถูกพิจารณาในแง่ของคำจำกัดความอย่างเป็นทางการ แต่พิจารณาในแง่ของคุณสมบัติทางเลขคณิต/พีชคณิต^{[ 10 ]}ข้อกำหนดพื้นฐานเพียงอย่างเดียวสำหรับฟังก์ชันจำนวนสมาชิกคือ: ^{[ 11 ]} สมมติฐานที่ว่ามี ฟังก์ชัน บางอย่างที่ตรงตามข้อกำหนดนี้บางครั้งเรียกว่าสัจพจน์ของจำนวนสมาชิก^{[ 12 ]}หรือหลักการของฮิวม์ [ ^{13 ] จะ}แสดงให้เห็นในภายหลังว่าสามารถสร้างฟังก์ชันดังกล่าวได้โดยไม่จำเป็นต้องกำหนดสัจพจน์ ${\displaystyle A}$${\displaystyle A\mapsto \vert A\vert }$${\displaystyle A\mapsto |A|}$$${\displaystyle A\sim B\iff |A|=|B|.}$$

แนวทางอื่นคือการกำหนดความสัมพันธ์ความเท่าเทียมกันสำหรับจำนวนเชิงคาร์ดินัลซึ่งอาจ${\displaystyle =_{c}}$แตกต่างจากความสัมพันธ์ความเท่าเทียมกันสำหรับเซต และใช้ความสัมพันธ์ดังกล่าวเพื่อ${\displaystyle =_{c}}$พัฒนาทฤษฎีของจำนวนเชิงคาร์ดินัล โดยเฉพาะอย่างยิ่ง Moschovakis กำหนดการกำหนดค่าเชิงคาร์ดินัล( แบบ อ่อน ${\displaystyle A\mapsto \vert A\vert }$)เป็นการดำเนินการที่สอดคล้องกับ(${\displaystyle A\sim \vert A\vert }$โดยมีแรงจูงใจว่าจำนวนเชิงคาร์ดินัลของควรแสดง${\displaystyle A}$ด้วยวัตถุ "นามธรรม" ที่มี${\displaystyle \vert A\vert }$จำนวนเท่ากับ) [ ${\displaystyle A}$^{b ] ความ}สัมพันธ์ดังกล่าว${\displaystyle =_{c}}$จึงเหมือนกับความสัมพันธ์จำนวนเท่ากันระหว่าง${\displaystyle \sim }$เซต หากการกำหนดค่าเชิงคาร์ดินัลสอดคล้องกับด้วยแล้วการ${\displaystyle A\sim B\iff \vert A\vert =\vert B\vert }$ กำหนดค่า เชิงคาร์ดินัลนั้นก็จะเป็นแบบ เข้มแข็ง ^{[ 14 ]}

การกำหนดจำนวนเชิงคาร์ดินัลที่ใช้กันทั่วไปมากที่สุด (แบบเข้มแข็ง) ซึ่งอาศัยสัจพจน์ของการเลือกคือการกำหนดจำนวนเชิงคาร์ดินัลของฟอน นอยมันน์ซึ่งแสดง${\displaystyle X}$ถึงจำนวนสมาชิกของเซตด้วย (การแสดงแทนของฟอน นอยมัน น์) จำนวนเชิงลำดับ ที่น้อยที่สุดซึ่งทำให้มีการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงระหว่างและ จำนวนเชิงลำดับนี้เรียกอีกอย่างว่าจำนวนเชิงลำดับเริ่มต้นของจำนวนเชิงคาร์ดินัล${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \vert X\vert }$

เมื่อ⁠ ⁠${\displaystyle X}$เป็นเซตจำกัด การเรียงลำดับที่ดีที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ⁠ ⁠ จะมี ${\displaystyle X}$ประเภทลำดับเดียวกันในทางกลับกัน จำนวนเชิงอันดับจำกัดทั้งหมดจะมีจำนวนสมาชิกที่แตกต่างกัน ดังนั้น จำนวนเชิงอันดับจำกัดทั้งหมดจึงเป็นจำนวนเชิงอันดับเริ่มต้น ภายใต้การแสดงแทนแบบฟอน นอยมันน์ จำนวนเชิงอันดับจำกัดและจำนวนเชิงอันดับจำกัดจะถูกระบุว่าเป็นจำนวนธรรมชาติแบบฟอน นอยมันน์และการคำนวณเลขคณิตของจำนวนเชิงอันดับและจำนวนเชิงอันดับ (การบวก การคูณ การยกกำลัง การลบที่ถูกต้อง) จะให้คำตอบเดียวกันสำหรับจำนวนจำกัด

ในทางกลับกัน จำนวนเชิงอนันต์หลายๆ จำนวนอาจมีจำนวนสมาชิกเท่ากันได้ ตัวอย่างเช่น จำนวนเชิงอนันต์แรก⁠ ⁠${\displaystyle \omega }$มีจำนวนสมาชิกเท่ากับ⁠ ⁠${\displaystyle \omega +1}$ , ⁠ ⁠${\displaystyle \omega ^{2}}$ , ⁠ ⁠${\displaystyle \omega ^{\omega }}$ , ... ซึ่งทั้งหมดเป็น จำนวนเชิงอนันต์ ที่นับได้ในบรรดาจำนวนเหล่านี้ มีเพียง⁠ ⁠ เท่านั้น ที่เป็นจำนวนเชิงอนันต์เริ่มต้น ${\displaystyle \epsilon _{0}}$${\displaystyle \omega }$

จำนวนเชิงลำดับเริ่มต้นอนันต์ลำดับที่ n เขียนว่า จำนวนสมาชิกของมันเขียนว่า( จำนวนอะเลฟลำดับที่ n ) ตัวอย่างเช่น⁠ ⁠เขียนได้อีกแบบว่า⁠ ⁠และจำนวนสมาชิกของมัน (จำนวนสมาชิกของเซตที่นับได้ใดๆ) เขียนว่า⁠ ⁠การกำหนดจำนวนเชิงลำดับของฟอน นอยมันน์ ระบุ ⁠ ⁠ ว่า n แต่สัญลักษณ์ ⁠ ⁠ ใช้สำหรับเขียนจำนวนเชิงลำดับ และ ⁠ ⁠ ใช้ สำหรับเขียนจำนวนเชิงลำดับ นี่เป็นสิ่งสำคัญเพราะการคำนวณเลขคณิตบนจำนวนเชิงลำดับแตกต่างจากการคำนวณเลขคณิตบนจำนวนเชิงลำดับตัวอย่างเช่นในการคำนวณเลขคณิตเชิงลำดับ ⁠ ⁠ ว่า n ในขณะที่ในการคำนวณเลขคณิตเชิงลำดับ ⁠ ⁠ ว่า n แม้ว่าภายใต้การกำหนดจำนวนเชิงลำดับของฟอน นอยมันน์⁠ ⁠และ⁠ ⁠จะถูกแทนด้วยเซตเดียวกันก็ตาม ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \omega _{\alpha }}$${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega _{0}}$${\displaystyle \aleph _{0}}$${\displaystyle \omega _{\alpha }}$${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$${\displaystyle \omega _{\alpha }}$${\displaystyle 2^{\omega }=\omega <\omega ^{2}}$${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}>\aleph _{0}=\aleph _{0}^{2}}$${\displaystyle \aleph _{0}}$${\displaystyle \omega }$

นอกจากนี้ ยังเป็นลำดับที่เล็กที่สุดที่นับไม่ได้ (เพื่อดูว่ามีอยู่จริงหรือไม่ ให้พิจารณาเซตของชั้นสมมูลของการเรียงลำดับที่ดีของจำนวนธรรมชาติ การเรียงลำดับที่ดีแต่ละแบบจะกำหนดลำดับที่นับได้ และคือประเภทลำดับของเซตนั้น) ยังเป็นลำดับที่เล็กที่สุดที่มีจำนวนสมาชิกมากกว่าและอื่นๆ และคือลิมิตของสำหรับจำนวนธรรมชาติ(ลิมิตของจำนวนสมาชิกใดๆ ก็เป็นจำนวนสมาชิก ดังนั้นลิมิตนี้จึงเป็นจำนวนสมาชิกตัวแรกหลังจากจำนวนสมาชิกทั้งหมด) ${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{2}}$${\displaystyle \aleph _{1}}$${\displaystyle \omega _{\omega }}$${\displaystyle \omega _{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \omega _{n}}$

ลำดับเริ่มต้นที่ไม่มีที่สิ้นสุดคือลำดับจำกัด การใช้เลขคณิตลำดับหมายถึงและ 1 ≤ α < ω _βหมายถึงα ·ω _β = ω _βและ 2 ≤ α < ω _βหมายถึงα ^{ω _β} = ω _βการใช้ลำดับชั้น Veblen β ≠ 0 และα < ω _βหมายถึงและ Γ _{ω β} = ω _βแน่นอนว่าเราสามารถไปไกลกว่านี้ได้ ดังนั้นในฐานะลำดับ ลำดับเริ่มต้นที่ไม่สิ้นสุดจึงเป็นขีดจำกัดที่แข็งแกร่งมาก ${\displaystyle \alpha <\omega _{\beta }}$${\displaystyle \alpha +\omega _{\beta }=\omega _{\beta }}$${\displaystyle \varphi _{\alpha }(\omega _{\beta })=\omega _{\beta }\,}$

หากไม่ถือว่าสัจพจน์ของการเลือกนั้นมีอยู่จริง ก็จำเป็นต้องใช้วิธีการที่แตกต่างออกไป นิยามที่เก่าแก่ที่สุดของจำนวนสมาชิกของเซตX (โดยนัยในงานของ Cantor และโดยชัดแจ้งในงานของ Frege และPrincipia Mathematica ) คือ คลาส [ X ] ของเซตทั้งหมดที่มีจำนวนสมาชิกเท่ากับX นิยาม นี้ใช้ไม่ได้ในZFCหรือระบบทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์ อื่นๆ ที่เกี่ยวข้อง เพราะถ้าXไม่ว่างเปล่า กลุ่มนี้จะมีขนาดใหญ่เกินกว่าจะเป็นเซตได้ อันที่จริง สำหรับX ≠ ∅ จะมีการส่งค่าจากเอกภพไปยัง [ X ] โดยการแมปเซตmไปยัง { m } × Xดังนั้นโดยสัจพจน์ของการจำกัดขนาด [ X ] จึงเป็นคลาสที่แท้จริง อย่างไรก็ตาม นิยามนี้ใช้ได้ในทฤษฎีประเภทและในNew Foundationsและระบบที่เกี่ยวข้อง อย่างไรก็ตาม หากเราจำกัดจากคลาสนี้ไปยังคลาสที่มีจำนวนเท่ากับX ที่มี ลำดับต่ำสุดก็จะใช้งานได้ (นี่เป็นเทคนิคของDana Scott : ^{[ 15 ]}มันใช้งานได้เพราะคอลเลกชันของวัตถุที่มีลำดับที่กำหนดใดๆ ก็ตามเป็นเซต)

บางแหล่งข้อมูลใช้คำจำกัดความแบบผสมระหว่างคาร์ดินัลของฟอนนอยมันน์และคาร์ดินัลของสก็อตต์ ตัวอย่างเช่น Lévy ^{[ 16 ]}กำหนดให้⁠ ⁠${\displaystyle \vert X\vert }$เป็นคาร์ดินัลของฟอนนอยมันน์เมื่อ⁠ ⁠${\displaystyle X}$สามารถเรียงลำดับได้ดี และเป็นคาร์ดินัลของสก็อตต์ในกรณีอื่น^{[ c ]}ข้อตกลงนี้ยังคงรักษาความสะดวกที่ได้รับจากการแสดงแทนของฟอนนอยมันน์สำหรับการศึกษาคาร์ดินัลที่เรียงลำดับได้ดีซึ่งยังคงเป็นส่วนสำคัญของการศึกษาคาร์ดินัลแม้ว่าจะไม่ได้สมมติสัจพจน์ของการเลือกก็ตาม

ตามหลักการแล้ว ลำดับระหว่างจำนวนเชิงคาร์ดินัลถูกกำหนดดังนี้: | X | ≤ | Y | หมายความว่ามีฟังก์ชันหนึ่งต่อ หนึ่ง จากXไปยังY ทฤษฎีบท แคนเตอร์-เบิร์นสไตน์-ชโรเดอร์กล่าวว่า ถ้า | X | ≤ | Y | และ | Y | ≤ | X | แล้ว | X | = | Y | สัจพจน์ของการเลือกเทียบเท่ากับข้อความที่ว่า เมื่อกำหนดเซตสองเซตXและYแล้ว | X | ≤ | Y | หรือ | Y | ≤ | X | ^{[ 17 ] [ 18 ]}

เซตXเรียกว่า เซตอนันต์ เดเดคินด์ (Dedekind-infinite)ถ้ามีเซตย่อยแท้YของXที่ทำให้ | X | = | Y | และเรียกว่า เซตจำกัดเดเดคินด์ (Dedekind-finite)ถ้าไม่มีเซตย่อยดังกล่าว จำนวนเชิงคาร์ดินัล จำกัดก็คือจำนวนธรรมชาติ n นั่นเอง ในความหมายที่ว่า ตามนิยามแล้ว เซตXเป็นเซตจำกัดก็ต่อเมื่อ | X | = | n | = nสำหรับจำนวนธรรมชาติnบางตัว เซตอื่นใดเป็น เซตอนันต์ สามารถพิสูจน์ได้ (โดยไม่ต้องใช้สัจพจน์ของการเลือก) ว่าเซตอนันต์เดเดคินด์ใดๆ ก็เป็นเซตอนันต์ เช่นกันหากสมมติว่ามีสัจพจน์ของการเลือก ก็สามารถพิสูจน์ได้ว่าแนวคิดของเดเดคินด์สอดคล้องกับแนวคิดมาตรฐาน

จำนวนอะเลฟ (aleph numbers) คือจำนวนสมาชิกของ เซตอนันต์ ที่เรียงลำดับได้ดี (well-orderable infinite sets) โดยใช้อักษรฮีบรู ( aleph ) แทน และมีตัวห้อยแสดงลำดับชั้นของจำนวนอะเลฟ เนื่องจากจำนวนอะเลฟสามารถระบุได้ด้วยลำดับเริ่มต้น (ordinals) ของมัน จึงเกิดเป็นลำดับอนันต์ (transfinite sequence ) กล่าวคือ สำหรับทุกลำดับจะมีจำนวนอะเลฟ อยู่ถ้าสัจพจน์ของการเลือก (axiom of choice ) เป็นจริง แล้ว เซต ทั้งหมดจะเรียงลำดับได้ดี (well-orderable) (ตามทฤษฎีบทการเรียงลำดับได้ดี ) ดังนั้นจำนวนสมาชิกอนันต์ทั้งหมดจึงเป็นจำนวนอะเลฟ กล่าวคือ ลำดับอนันต์นี้แท้จริงแล้วคือรายการของจำนวนสมาชิกอนันต์ทั้งหมด ${\displaystyle \aleph }$$${\displaystyle \aleph _{0}=|\mathbb {N} |,\;\aleph _{1},\;\aleph _{2},\;\ldots ,\;\aleph _{\alpha },\;\ldots .}$$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$

ถ้าสัจพจน์ของการเลือกไม่เป็นจริง (ดูสัจพจน์ของการเลือก § ความเป็นอิสระ ) แล้วจะมีเซตที่ไม่สามารถเรียงลำดับได้ดี และด้วยเหตุนี้จึงมีคาร์ดินัลอนันต์ที่ไม่ใช่จำนวนอะเลฟ คาร์ดินัลดังกล่าวจะต้อง ไม่สามารถ เปรียบเทียบกับจำนวนอะเลฟบางจำนวนได้ตามทฤษฎีบทของฮาร์ทอกส์ดังนั้นในกรณีนี้จึงเป็นไปไม่ได้ที่จะเขียนจำนวนคาร์ดินัลทั้งหมดในลำดับ ที่เรียงลำดับได้อย่างสมบูรณ์

เราสามารถกำหนดการ ดำเนินการ ทางคณิตศาสตร์บนจำนวนเชิงคาร์ดินัลที่ขยายขอบเขตของการดำเนินการปกติสำหรับจำนวนธรรมชาติได้ สามารถแสดงได้ว่าสำหรับจำนวนเชิงคาร์ดินัลจำกัด การดำเนินการเหล่านี้จะตรงกับการดำเนินการปกติสำหรับจำนวนธรรมชาติ ยิ่งไปกว่านั้น การดำเนินการเหล่านี้ยังมีคุณสมบัติหลายอย่างร่วมกับการคำนวณทางคณิตศาสตร์ทั่วไป

ถ้าสัจพจน์ของการเลือกเป็นจริง จำนวนเชิงคาร์ดินัลκ ทุกตัว จะมีตัวสืบทอด ซึ่งเขียนแทนด้วยκ ⁺โดยที่κ ⁺ > κและไม่มีจำนวนเชิงคาร์ดินัลใดอยู่ระหว่างκกับตัวสืบทอดของมัน (หากไม่มีสัจพจน์ของการเลือก สามารถใช้ทฤษฎีบทของ Hartogsเพื่อแสดงได้ว่า สำหรับจำนวนเชิงคาร์ดินัลκ ใดๆ จะมีจำนวนเชิงคาร์ดินัลขั้นต่ำκ ⁺เช่นนั้น) สำหรับจำนวนเชิงคาร์ดินัลจำกัด ตัวสืบทอดคือκ +1 สำหรับจำนวนเชิงคาร์ดินัลอนันต์ จำนวนเชิงคาร์ดินัลตัวสืบทอด จะ แตกต่างจากจำนวนเชิงอันดับตัวสืบทอด${\displaystyle \kappa ^{+}\nleq \kappa .}$

ถ้าXและYเป็น เซต ที่ไม่ซ้ำกันการบวกจะเท่ากับผลรวมของXและYถ้าเซตทั้งสองไม่ใช่เซตที่ไม่ซ้ำกันอยู่แล้ว ก็สามารถแทนที่ด้วยเซตที่ไม่ซ้ำกันที่มีขนาดสมาชิกเท่ากันได้ (เช่น แทนที่Xด้วยX ×{0} และYด้วยY ×{1})

${\displaystyle |X|+|Y|=|X\cup Y|.}$^{[ 19 ]}

ศูนย์คือเอกลักษณ์การบวกκ + 0 = 0 + κ = κ

การบวกเป็นแบบเชื่อมโยง ( κ + μ ) + ν = κ + ( μ + ν )

การ บวกเป็นการสับเปลี่ยนκ + μ = μ + κ

การบวกเป็นฟังก์ชันที่ไม่ลดทอนในทั้งสองตัวแปร:

${\displaystyle (\kappa \leq \mu )\rightarrow ((\kappa +\nu \leq \mu +\nu ){\mbox{ and }}(\nu +\kappa \leq \nu +\mu )).}$

หากสมมติว่าเป็นไปตามสัจพจน์ของการเลือก การบวกจำนวนเชิงคาร์ดินัลอนันต์นั้นง่าย ถ้าκหรือμ ตัวใด ตัวหนึ่งเป็นอนันต์แล้ว

${\displaystyle \kappa +\mu =\max\{\kappa ,\mu \}\,.}$

โดยถือว่าสัจพจน์ของการเลือกเป็นจริง และกำหนดให้จำนวนเชิงคาร์ดินัลอนันต์σและจำนวนเชิงคาร์ดินัลμจะมีจำนวนเชิงคาร์ดินัลκ อยู่จำนวนหนึ่ง ซึ่งμ + κ = σก็ต่อเมื่อμ ≤ σ และจำนวนเชิง คาร์ดินัล κ นี้จะมีเพียงหนึ่งเดียว (และเท่ากับσ ) ก็ต่อเมื่อμ < σ

ผลคูณของจำนวนนับได้มาจากผลคูณคาร์ทีเซียน

${\displaystyle |X|\cdot |Y|=|X\times Y|}$^{[ 19 ]}

ศูนย์เป็นองค์ประกอบดูดซับ แบบทวีคูณ : κ ·0 = 0· κ = 0

ไม่มีตัวหารศูนย์ที่ ไม่ไม่สำคัญ : κ · μ = 0 → ( κ = 0 หรือμ = 0)

หนึ่งคืออัตลักษณ์การคูณ: κ · 1 = 1· κ = κ

การคูณเป็นแบบเชื่อมโยง: ( κ · μ )· ν = κ ·( μ · ν )

การคูณเป็นแบบ สับเปลี่ยน : κ · μ = μ · κ

การคูณจะไม่ลดลงในอาร์กิวเมนต์ทั้งสอง: κ ≤ μ → ( κ · ν ≤ μ · νและν · κ ≤ ν · μ )

การคูณจะกระจายส่วนการบวก: κ · ( μ + ν ) = κ · μ + κ · νและ ( μ + ν )· κ = μ · κ + ν · κ

หากสมมติว่าเป็นไปตามสัจพจน์ของการเลือก การคูณจำนวนเชิงคาร์ดินัลอนันต์ก็ทำได้ง่ายเช่นกัน ถ้าκ หรือμเป็นอนันต์และทั้งคู่ไม่เป็นศูนย์แล้ว

${\displaystyle \kappa \cdot \mu =\max\{\kappa ,\mu \}.}$

ดังนั้น ผลคูณของจำนวนเชิงคาร์ดินัลอนันต์สองจำนวนจึงเท่ากับผลรวมของจำนวนทั้งสองนั้น

โดยสมมติว่ามีสัจพจน์ของการเลือก และกำหนดให้π เป็นจำนวนเชิงคาร์ดินัลอนันต์ และ μเป็นจำนวนเชิงคาร์ดินัลที่ไม่เป็นศูนย์จะมีจำนวนเชิงคาร์ดินัลκ อยู่จำนวนหนึ่ง ซึ่งμ · κ = πก็ต่อเมื่อμ ≤ π เท่านั้น และจำนวนเชิงคาร์ดินัล κ นี้จะมีเพียงหนึ่งเดียว (และเท่ากับπ ) ก็ต่อเมื่อμ < πเท่านั้น

การยกกำลังมีค่าดังนี้

${\displaystyle |X|^{|Y|}=\left|X^{Y}\right|,}$

โดยที่X ^Yคือเซตของฟังก์ชัน ทั้งหมด จากYไปยังX [ ^{19 ] ตรวจ}สอบได้ง่ายว่าด้านขวาขึ้นอยู่กับและเท่านั้น ${\displaystyle {|X|}}$${\displaystyle {|Y|}}$

κ ⁰ = 1 (โดยเฉพาะ 0 ⁰ = 1) ดูฟังก์ชันว่าง

ถ้าμ ≥ 1 แล้ว 0 ^μ = 0

1 ^μ = 1.

κ ¹ = κ .

κ ^{μ + ν} = κ ^μ · κ ^ν .

κ ^{μ · ν} = ( κ ^μ ) ^ν .

( κ · μ ) ^ν = κ ^ν · μ ^ν .

การยกกำลังเป็นฟังก์ชันที่ไม่ลดลงในทั้งสองตัวแปร:

(1 ≤ νและκ ≤ μ ) → ( ν ^κ ≤ ν ^μ ) และ

( κ ≤ μ ) → ( κ ^ν ≤ μ ^ν )

2 ^{| X |}คือจำนวนสมาชิกของเซตกำลังของเซตXและข้อโต้แย้งแนวทแยงของแคนเตอร์แสดงให้เห็นว่า 2 ^{| X |} > | X | สำหรับเซตX ใดๆ สิ่งนี้พิสูจน์ว่าไม่มีจำนวนคาร์ดินัลที่ใหญ่ที่สุด (เพราะสำหรับจำนวนคาร์ดินัลκ ใดๆ เราสามารถหาจำนวนคาร์ดินัลที่ใหญ่กว่า 2 ^κ ได้เสมอ ) อันที่จริงชั้นของจำนวนคาร์ดินัลเป็นชั้นที่แท้จริง (ข้อพิสูจน์นี้ใช้ไม่ได้ในทฤษฎีเซตบางทฤษฎี โดยเฉพาะอย่างยิ่งในทฤษฎีพื้นฐานใหม่ )

ข้อเสนอที่เหลือทั้งหมดในส่วนนี้ถือว่าสัจพจน์ของการเลือกเป็นจริง:

ถ้าκและμ ต่างก็ มีขอบเขตจำกัดและมากกว่า 1 และνมีค่าอนันต์ ดังนั้นκ ^ν = μ ^ν

ถ้าκเป็นอนันต์ และμเป็นอนันต์และไม่เป็นศูนย์ดังนั้นκ ^μ = κ

ถ้า 2 ≤ κและ 1 ≤ μและอย่างน้อยหนึ่งค่าเป็นอนันต์ แล้ว:

สูงสุด ( κ , 2 ^μ ) ≤ κ ^μ ≤ สูงสุด (2 ^κ , 2 ^μ )

เมื่อใช้ทฤษฎีบทของโคนิกเราสามารถพิสูจน์κ < κ cf ^{( κ )}และκ < cf(2 ^κ ) สำหรับคาร์ดินัลอนันต์κ ใดๆ โดยที่ cf( κ ) คือcofinalityของκ

โดยถือว่าสัจพจน์ของการเลือกเป็นจริง และกำหนดให้คาร์ดินัลκ เป็นอนันต์ และคาร์ดินัลμ เป็นจำนวนจำกัด ที่มากกว่า 0 คาร์ดินัลνที่สอดคล้องกับเงื่อนไขนี้จะเป็น ${\displaystyle \nu ^{\mu }=\kappa }$${\displaystyle \kappa }$

โดยถือว่าสัจพจน์ของการเลือกเป็นจริง และกำหนดให้จำนวนเชิงคาร์ดินัลอนันต์κและจำนวนเชิงคาร์ดินัลจำกัดμที่มากกว่า 1 อาจมีหรือไม่มีจำนวน เชิงคาร์ดินัล λ ที่สอดคล้องกับเงื่อนไข ดังกล่าว อย่างไรก็ตาม หากมีจำนวนเชิงคาร์ดินัลดังกล่าวอยู่จริง จำนวนนั้นจะต้องเป็นอนันต์และน้อยกว่าκและจำนวนเชิงคาร์ดินัลจำกัดν ใดๆ ที่ มากกว่า 1 ก็จะสอดคล้องกับเงื่อนไขดัง กล่าวเช่นกัน${\displaystyle \mu ^{\lambda }=\kappa }$${\displaystyle \nu ^{\lambda }=\kappa }$

ลอการิทึมของจำนวนคาร์ดินัลอนันต์κถูกกำหนดให้เป็นจำนวนคาร์ดินัลที่น้อยที่สุดμโดยที่κ ≤ 2 ^μลอการิทึมของจำนวนคาร์ดินัลอนันต์มีประโยชน์ในบางสาขาของคณิตศาสตร์ เช่น ในการศึกษาตัวแปรคาร์ดินัลของปริภูมิเชิงทอพอโลยีแม้ว่าจะขาดคุณสมบัติบางอย่างที่ลอการิทึมของจำนวนจริงบวกมีก็ตาม^{[ 20 ] [ 21 ] [ 22 ]}

สมมติฐานความต่อเนื่อง (CH) ระบุว่าไม่มีจำนวนเชิงคาร์ดินัลใดๆ ที่อยู่ระหว่างและ อย่างเคร่งครัด จำนวนเชิงคาร์ดินัลหลังนี้มักจะใช้สัญลักษณ์ แทนด้วย; ซึ่งเป็นจำนวนสมาชิกของความต่อเนื่อง (เซตของจำนวนจริง ) ในกรณีนี้${\displaystyle \aleph _{0}}$${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}.}$${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}.}$

ในทำนองเดียวกันสมมติฐานความต่อเนื่องทั่วไป (GCH) ระบุว่า สำหรับจำนวนเชิงอนันต์ทุกจำนวนจะไม่มีจำนวนเชิงใดๆ ที่อยู่ระหว่างและ อย่างเคร่งครัด ทั้งสมมติฐานความต่อเนื่องและสมมติฐานความต่อเนื่องทั่วไปได้รับการพิสูจน์แล้วว่าไม่ขึ้นอยู่กับสัจพจน์ทั่วไปของทฤษฎีเซต สัจพจน์ของ Zermelo–Fraenkel พร้อมกับสัจพจน์ของการเลือก ( ZFC ) ${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle 2^{\kappa }}$

อันที่จริงทฤษฎีบทของอีสตันแสดงให้เห็นว่า สำหรับจำนวนเชิงคาร์ดินัลปกติ ข้อจำกัดเพียงอย่างเดียวที่ ZFC กำหนดไว้สำหรับจำนวนเชิงคาร์ดินัลคือและฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็นฟังก์ชันไม่ลดลง ${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle 2^{\kappa }}$${\displaystyle \kappa <\operatorname {cf} (2^{\kappa })}$

แนวคิดเรื่องจำนวนสมาชิกตามที่เข้าใจกันในปัจจุบันนั้น ได้รับการกำหนดขึ้นโดยGeorg Cantorผู้ริเริ่มทฤษฎีเซตในช่วงปี 1874–1884 Cantor ตั้งข้อสังเกตว่ามีการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างเซตจำกัดสองเซตก็ต่อเมื่อเซตทั้งสองมีจำนวนสมาชิกเท่ากัน และได้นำแนวคิดการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งนี้ไปใช้กับเซตอนันต์^{[ 23 ]} (ตัวอย่างเช่น เซตของจำนวนธรรมชาติN = {0, 1, 2, 3, ...}) ดังนั้น เขาจึงเรียกเซตทั้งหมดที่มีการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งกับN ว่า เซตที่นับได้ (อนันต์แบบนับได้)ซึ่งมีจำนวนสมาชิกเท่ากันทั้งหมด เขาเรียกจำนวนสมาชิกของเซตอนันต์ว่า จำนวนสมาชิกอนันต์

แคนเตอร์พิสูจน์ว่าเซตย่อยใดๆ ที่ไม่มีขอบเขตของNจะมีจำนวนสมาชิกเท่ากับNแม้ว่าสิ่งนี้อาจดูขัดแย้งกับสัญชาตญาณก็ตาม เขายังพิสูจน์อีกว่าเซตของคู่ลำดับ ทั้งหมด ของจำนวนธรรมชาติเป็นเซตที่นับได้ ซึ่งหมายความว่าเซตของจำนวนตรรกยะ ทั้งหมด ก็เป็นเซตที่นับได้เช่นกัน เนื่องจากจำนวนตรรกยะทุกจำนวนสามารถแทนด้วยคู่ของจำนวนเต็มได้ ต่อมาเขายังพิสูจน์อีกว่าเซตของจำนวนพีชคณิต จริงทั้งหมด ก็เป็นเซตที่นับได้เช่นกัน จำนวนพีชคณิตจริงแต่ละจำนวนz สามารถเข้ารหัส ได้เป็นลำดับจำกัดของจำนวนเต็ม ซึ่งเป็นสัมประสิทธิ์ในสมการพหุนามที่มันเป็นคำตอบ กล่าวคือn -tuple ที่เรียงลำดับ ( a₀ _, a₁ _, ..., aₙ ₎โดยที่_{aᵢ ∈} Z พร้อมด้วยคู่ของจำนวนตรรกยะ ( b₀ _, b₁ ₎โดยที่zเป็นรากเดียว (ถ้ามี) ของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์ ( a₀ , a₁ , ..., aₙ ₎ซึ่ง อยู่ _ในช่วง( _b₀ , b₁ ₎

ในบทความปี 1874 ของเขาเรื่อง " เกี่ยวกับคุณสมบัติของกลุ่มจำนวนพีชคณิตจริงทั้งหมด " แคนเตอร์พิสูจน์ว่ามีจำนวนเชิงคาร์ดินัลลำดับสูงกว่า โดยแสดงให้เห็นว่าเซตของจำนวนจริงมีจำนวนสมาชิกมากกว่าNการพิสูจน์ของเขาใช้การให้เหตุผลด้วยช่วงซ้อนกันแต่ในบทความปี 1891 เขาพิสูจน์ผลลัพธ์เดียวกันโดยใช้การให้เหตุผลแบบทแยงมุม ที่ชาญฉลาดและง่ายกว่ามาก จำนวนเชิงคาร์ดินัลใหม่ของเซตของจำนวนจริงเรียกว่าจำนวนเชิงคาร์ดินัลของคอนติเนียมและแคนเตอร์ใช้สัญลักษณ์สำหรับมัน ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$

แคนเตอร์ยังได้พัฒนาทฤษฎีทั่วไปของจำนวนเชิงคาร์ดินัลส่วนใหญ่ด้วย เขาพิสูจน์ว่า (โดยสมมติว่าเป็นไปตามสัจพจน์ของการเลือก) มีจำนวนเชิงคาร์ดินัลอนันต์ที่เล็กที่สุด ( , อเลฟ-นัลล์) และสำหรับจำนวนเชิงคาร์ดินัลทุกจำนวน จะมีจำนวนเชิงคาร์ดินัลที่ใหญ่กว่าถัดไป ${\displaystyle \aleph _{0}}$

${\displaystyle (\aleph _{1},\aleph _{2},\aleph _{3},\ldots ).}$

แคนเตอร์ได้กำหนดสมมติฐานความต่อเนื่องขึ้นในปี 1878 ในปี 1940 เคิร์ท เกอเดลได้แสดงให้เห็นว่าสมมติฐานความต่อเนื่องไม่สามารถถูกหักล้างได้จาก ZFC และในปี 1963 พอล โคเฮนได้แสดงให้เห็นว่าไม่สามารถพิสูจน์ได้จาก ZFC เช่นกัน ซึ่งเป็นการยืนยันความเป็นอิสระ ของสมมติฐาน นี้

• "จำนวนเชิงปริมาณ" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]