ในทฤษฎีเซตเซตอนันต์คือเซตที่ไม่ใช่เซตจำกัด เซต อนันต์อาจเป็นเซตที่นับได้หรือนับไม่ได้ก็ได้^{[ 1 ]}

เซตของจำนวนธรรมชาติ (ซึ่งการมีอยู่ของมันถูกกำหนดโดยสัจพจน์ของอนันต์ ) เป็นอนันต์^{[ 1 ]}เป็นเซตเดียวที่สัจพจน์ ต้องการโดยตรง ให้เป็นอนันต์ การมีอยู่ของเซตอนันต์อื่นใดสามารถพิสูจน์ได้ในทฤษฎีเซตของ Zermelo–Fraenkel (ZFC) แต่ทำได้โดยการแสดงให้เห็นว่าเป็นผลมาจากการมีอยู่ของจำนวนธรรมชาติเท่านั้น

เซตจะเป็นอนันต์ก็ต่อเมื่อสำหรับจำนวนธรรมชาติทุกจำนวน เซตจะมีเซตย่อยที่มีขนาดเท่ากับจำนวนธรรมชาตินั้น^{[ 2 ]}

ถ้าสัจพจน์ของการเลือกเป็นจริง เซตจะเป็นอนันต์ก็ต่อเมื่อเซตนั้นมีเซตย่อยอนันต์ที่นับได้อยู่ภายใน

ถ้าเซตของเซตเป็นอนันต์หรือมีองค์ประกอบอนันต์ การรวมกันของเซตนั้นจะเป็นอนันต์เซตกำลังของเซตอนันต์เป็นอนันต์^{[ 3 ]}ซูเปอร์เซตใดๆของเซตอนันต์เป็นอนันต์ ถ้าเซตอนันต์ถูกแบ่งออกเป็นเซตย่อยจำนวนจำกัด อย่างน้อยหนึ่งเซตย่อยจะต้องเป็นอนันต์ เซตใดๆ ที่สามารถแมปไปยังเซตอนันต์ได้จะเป็นอนันต์ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซตอนันต์และเซตที่ไม่ว่างเปล่าเป็นอนันต์ ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซตจำนวนอนันต์ ซึ่งแต่ละเซตมีองค์ประกอบอย่างน้อยสองตัว จะเป็นเซตว่างหรืออนันต์ ถ้าสัจพจน์ของการเลือกเป็นจริง ผลคูณคาร์ทีเซียนจะเป็นอนันต์

ถ้าเซตอนันต์เป็นเซตที่มีลำดับที่ดีแล้วเซตอนันต์นั้นจะต้องมีเซตย่อยที่ไม่ว่างเปล่าและไม่เป็นเซตศูนย์ ซึ่งไม่มีสมาชิกที่ใหญ่ที่สุด

ใน ZF เซตจะเป็นอนันต์ก็ต่อเมื่อเซตกำลังของเซตกำลังเป็นเซตอนันต์เดเดคินด์ซึ่งมีเซตย่อยแท้ที่มีจำนวนเท่ากับตัวมันเอง^{[ 4 ]}หากสัจพจน์ของการเลือกเป็นจริงด้วยแล้ว เซตอนันต์ก็คือเซตอนันต์เดเดคินด์นั่นเอง

ถ้าเซตอนันต์เป็นเซตที่เรียงลำดับได้ดีแล้วเซตอนันต์นั้นจะมีลำดับที่ดีหลายลำดับที่ไม่สมมาตรกัน

แนวคิดสำคัญที่ David Burton กล่าวถึงในหนังสือThe History of Mathematics: An Introductionได้แก่ วิธีการกำหนด "องค์ประกอบ" หรือส่วนต่างๆ ของเซต วิธีการกำหนดองค์ประกอบที่ไม่ซ้ำกันในเซต และวิธีการพิสูจน์อนันต์^{[ 5 ]} Burton ยังกล่าวถึงการพิสูจน์อนันต์ประเภทต่างๆ รวมถึงเซตที่นับได้และนับไม่ได้^{[ 5 ]} หัวข้อที่ใช้ในการเปรียบเทียบเซตอนันต์และเซตจำกัด ได้แก่เซตเรียงลำดับ จำนวน สมาชิกความเท่าเทียมกันระนาบ พิกัด เซตสากลการแมป เซตย่อย ความต่อเนื่อง และ การ เหนือธรรมชาติ^{[ 5 ]} แนวคิดเซต ของ Cantorได้รับอิทธิพลจากตรีโกณมิติและจำนวนอตรรกยะ แนวคิดสำคัญอื่นๆ ในทฤษฎีเซตอนันต์ที่ Burton, Paula, Narli และ Rodger กล่าวถึง ได้แก่ จำนวนจริง เช่นπจำนวนเต็ม และจำนวนของออยเลอ^ร์ [ ^{5 ] [ 6 ] [ 7 ]}

ทั้งเบอร์ตันและโรเจอร์สใช้เซตจำกัดเพื่อเริ่มต้นอธิบายเซตอนันต์โดยใช้แนวคิดการพิสูจน์ เช่น การแมป การพิสูจน์โดยการอุปมาน หรือการพิสูจน์โดยการขัดแย้ง^{[ 5 ] [ 7 ]}ต้นไม้ทางคณิตศาสตร์ยังสามารถใช้เพื่อทำความเข้าใจเซตอนันต์ได้อีกด้วย^{[ 8 ]}เบอร์ตันยังกล่าวถึงการพิสูจน์เซตอนันต์รวมถึงแนวคิดต่างๆ เช่น ยูเนียนและเซตย่อย^{[ 5 ]}

ในบทที่ 12 ของThe History of Mathematics: An Introductionเบอร์ตันเน้นย้ำว่านักคณิตศาสตร์เช่นZermelo , Dedekind , Galileo , Kronecker , Cantor และBolzanoได้ทำการวิจัยและมีอิทธิพลต่อทฤษฎีเซตอนันต์ นักคณิตศาสตร์เหล่านี้หลายคนได้ถกเถียงเรื่องอนันต์หรือเพิ่มเติมแนวคิดเกี่ยวกับเซตอนันต์ อิทธิพลทางประวัติศาสตร์ที่อาจเกิดขึ้น เช่น ประวัติศาสตร์ของปรัสเซียในช่วงปี 1800 ส่งผลให้ความรู้ทางคณิตศาสตร์เชิงวิชาการเพิ่มขึ้น รวมถึงทฤษฎีเซตอนันต์ของ Cantor ด้วย^{[ 5 ]}

การประยุกต์ใช้ทฤษฎีเซตอนันต์ที่เป็นไปได้ประการหนึ่งคือในด้านพันธุศาสตร์และชีววิทยา^{[ 9 ]}

เซตของจำนวนเต็ม ทั้งหมด {..., −1, 0, 1, 2, ...} เป็นเซตอนันต์ที่นับได้ เซตของจำนวนเต็มคู่ทั้งหมดก็เป็นเซตอนันต์ที่นับได้เช่นกัน แม้ว่าจะเป็นเซตย่อยแท้ของจำนวนเต็มก็ตาม^{[ 3 ]}

เซตของจำนวนตรรกยะ ทั้งหมด เป็นเซตอนันต์ที่นับได้ เนื่องจากมีการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งกับเซตของจำนวนเต็ม^{[ 3 ]}

เซตของจำนวนจริง ทั้งหมด เป็นเซตอนันต์ที่นับไม่ได้ เซตของจำนวนอตรรกยะ ทั้งหมด ก็เป็นเซตอนันต์ที่นับไม่ได้เช่นกัน^{[ 3 ]}

เซตของเซตย่อยทั้งหมดของจำนวนเต็มนั้นมีจำนวนอนันต์ที่นับไม่ได้

• เลขอะเลฟ
• จำนวนนับ
• ลำดับที่

• หลักสูตรเร่งรัดเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ของเซตอนันต์