ในทฤษฎีเซตเซตสากลคือเซตที่ประกอบด้วยวัตถุทั้งหมดในทฤษฎี รวมทั้งตัวมันเองด้วย^{[ 1 ]}ในทฤษฎีเซตตามสูตรปกติ สามารถพิสูจน์ได้หลายวิธีว่าเซตสากลไม่มีอยู่จริง อย่างไรก็ตาม ทฤษฎีเซตบางรูปแบบที่ไม่เป็นมาตรฐานมีเซตสากลอยู่ด้วย

ทฤษฎีเซตหลายทฤษฎีไม่อนุญาตให้มีเซตสากล มีข้อโต้แย้งหลายประการที่สนับสนุนการไม่มีอยู่ของเซตสากล โดยขึ้นอยู่กับการเลือกสัจพจน์ ที่แตกต่างกันของ ทฤษฎีเซต

ความขัดแย้งของรัสเซลเกี่ยวข้องกับความเป็นไปไม่ได้ของเซตของเซต ซึ่งสมาชิกทั้งหมดเป็นเซตที่ไม่บรรจุตัวเอง หากเซตดังกล่าวมีอยู่จริง เซตนั้นจะไม่สามารถบรรจุตัวเองได้ (เพราะสมาชิกทั้งหมดของเซตนั้นไม่บรรจุตัวเอง) และจะไม่สามารถหลีกเลี่ยงการบรรจุตัวเองได้ (เพราะหากเป็นเช่นนั้น เซตนั้นจะต้องถูกรวมเป็นหนึ่งในสมาชิก) ^{[ 2 ]}ความขัดแย้งนี้ขัดขวางการมีอยู่ของเซตสากลในทฤษฎีเซตที่รวมถึงสัจพจน์ของZermelo เกี่ยวกับการเข้าใจที่จำกัด หรือสัจพจน์ของความสม่ำเสมอและสัจพจน์ของการจับคู่

ในทฤษฎีเซตของ Zermelo–Fraenkelสัจพจน์ของความสม่ำเสมอและสัจพจน์ของการจับคู่ป้องกันไม่ให้เซตใดๆ บรรจุตัวเอง สำหรับเซตใดๆเซต(ที่สร้างขึ้นโดยใช้การจับคู่) จำเป็นต้องมีองค์ประกอบที่ไม่ซ้ำซ้อนกับ โดยอาศัยความสม่ำเสมอ เนื่องจากองค์ประกอบเดียวของมันคือจึงต้องเป็นกรณีที่ไม่ซ้ำซ้อนกับและดังนั้น จึงไม่มีตัวเอง เนื่องจากเซตสากลจำเป็นต้องมีตัวเอง จึงไม่สามารถมีอยู่ได้ภายใต้สัจพจน์เหล่านี้^{[ 3 ]}${\displaystyle A}$${\displaystyle \{A\}}$${\displaystyle \{A\}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \{A\}}$${\displaystyle A}$

ความขัดแย้งของรัสเซลล์ขัดขวางการมีอยู่ของเซตสากลในทฤษฎีเซตที่รวมถึงสัจพจน์ของZermelo เกี่ยวกับการเข้าใจที่จำกัด สัจพจน์นี้ระบุว่าสำหรับสูตรใดๆและเซตใดๆจะมีเซต ที่มีองค์ประกอบที่แน่นอนของที่สอดคล้องกับ^{[ 2 ]}${\displaystyle \varphi (x)}$${\displaystyle A}$$${\displaystyle \{x\in A\mid \varphi (x)\}}$$${\displaystyle x}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \varphi }$

หากสัจพจน์นี้สามารถนำไปใช้กับเซตสากลได้โดยกำหนดให้เป็นภาคแสดงมันจะระบุถึงการมีอยู่ของเซตที่ขัดแย้งของรัสเซลล์ ซึ่งก่อให้เกิดความขัดแย้ง ความขัดแย้งนี้เองที่นำไปสู่การกำหนดสัจพจน์ของความเข้าใจในรูปแบบที่จำกัด โดยยืนยันถึงการมีอยู่ของเซตย่อยของเซตที่กำหนด แทนที่จะเป็นการมีอยู่ของเซตของเซตทั้งหมดที่ตรงตามสูตรที่กำหนด^{[ 2 ]}${\displaystyle A}$${\displaystyle \varphi (x)}$${\displaystyle x\notin x}$

เมื่อใช้สัจพจน์ของการเข้าใจแบบจำกัดกับเซตใดๆร่วมกับภาคแสดงจะได้เซตย่อยของสมาชิกในเซตนั้นที่ไม่ประกอบด้วยตัวมันเอง ซึ่งไม่สามารถเป็นสมาชิกของเซตนั้นได้เพราะถ้าเป็นสมาชิก ก็จะถูกนับรวมเป็นสมาชิกของเซตนั้นด้วย ตามนิยาม ซึ่งขัดแย้งกับข้อเท็จจริงที่ว่ามันไม่สามารถประกอบด้วยตัวมันเองได้ ด้วยวิธีนี้ จึงสามารถสร้างพยานยืนยันถึงความไม่เป็นสากลของเซตได้แม้ในทฤษฎีเซตบางเวอร์ชันที่อนุญาตให้เซตประกอบด้วยตัวมันเองได้ และข้อเท็จจริงนี้ยังคงใช้ได้กับการเข้าใจเชิงภาคแสดงและตรรกะเชิงสัญชาตญาณด้วย ${\displaystyle A}$${\displaystyle \varphi (x)\equiv x\notin x}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

อีกหนึ่งความยากลำบากของแนวคิดเรื่องเซตสากลนั้นเกี่ยวข้องกับเซตกำลังของเซตของเซตทั้งหมด เนื่องจากเซตกำลังนี้เป็นเซตของเซต ดังนั้นมันจึงจำเป็นต้องเป็นเซตย่อยของเซตของเซตทั้งหมด หากทั้งสองเซตมีอยู่จริง อย่างไรก็ตาม สิ่งนี้ขัดแย้งกับทฤษฎีบทของแคนเตอร์ที่กล่าวว่า เซตกำลังของเซตใดๆ (ไม่ว่าจะเป็นอนันต์หรือไม่) จะมีจำนวนสมาชิกมากกว่าเซตนั้นเอง เสมอ

ความยากลำบากที่เกี่ยวข้องกับเซตสากลสามารถหลีกเลี่ยงได้โดยการใช้ทฤษฎีเซตแบบอื่นซึ่งจำกัดสัจพจน์ของการเข้าใจในบางลักษณะ หรือโดยการใช้วัตถุสากลที่ไม่ถือว่าเป็นเซต

มีทฤษฎีเซตที่ทราบกันว่าสอดคล้องกัน (หากทฤษฎีเซตทั่วไปสอดคล้องกัน) ซึ่งเซตสากลVมีอยู่จริง (และ เป็นจริง) ในทฤษฎีเหล่านี้ สัจพจน์ความเข้าใจของ Zermelo ไม่เป็นจริงโดยทั่วไป และสัจพจน์ความเข้าใจของทฤษฎีเซตแบบง่ายถูกจำกัดในรูปแบบที่แตกต่างกัน ทฤษฎีเซตที่มีเซตสากลจำเป็นต้องเป็นทฤษฎีเซตที่ไม่มั่นคงทฤษฎีเซตที่มีการศึกษาอย่างกว้างขวางที่สุดที่มีเซตสากลคือNew FoundationsของWillard Van Orman Quine Alonzo ChurchและArnold Oberschelpก็ได้ตีพิมพ์ผลงานเกี่ยวกับทฤษฎีเซตดังกล่าวเช่นกัน Church คาดการณ์ว่าทฤษฎีของเขาอาจขยายได้ในลักษณะที่สอดคล้องกับของ Quine ^{[ 4 ]}แต่สิ่งนี้เป็นไปไม่ได้สำหรับของ Oberschelp เนื่องจากในนั้นฟังก์ชันเอกพจน์สามารถพิสูจน์ได้ว่าเป็นเซต^{[ 5 ]}ซึ่งนำไปสู่ความขัดแย้งใน New Foundations ทันที^{[ 6 ]}${\displaystyle V\in V}$

อีกตัวอย่างหนึ่งคือทฤษฎีเซตเชิงบวกซึ่งสัจพจน์ของการเข้าใจนั้นจำกัดให้ใช้ได้เฉพาะกับสูตรเชิงบวก (สูตรที่ไม่ประกอบด้วยการปฏิเสธ) เท่านั้น ทฤษฎีเซตดังกล่าวได้รับแรงบันดาลใจจากแนวคิดเรื่องการปิดในทางโทโพโลยี

แนวคิดเรื่องเซตสากลดูเหมือนจะเป็นสิ่งที่พึงปรารถนาโดยสัญชาตญาณในทฤษฎีเซตของ Zermelo–Fraenkelโดยเฉพาะอย่างยิ่งเพราะทฤษฎีส่วนใหญ่ในเวอร์ชันนี้อนุญาตให้ใช้ตัวบ่งปริมาณกับเซตทั้งหมดได้ (ดูตัวบ่งปริมาณสากล ) วิธีหนึ่งที่จะอนุญาตให้มีวัตถุที่มีพฤติกรรมคล้ายกับเซตสากลโดยไม่ก่อให้เกิดความขัดแย้ง คือการอธิบายVและกลุ่มขนาดใหญ่ที่คล้ายกันว่าเป็นคลาสที่แท้จริงแทนที่จะเป็นเซต ความขัดแย้งของ Russell ไม่สามารถนำมาใช้ในทฤษฎีเหล่านี้ได้ เพราะสัจพจน์ของการเข้าใจนั้นใช้กับเซต ไม่ใช่กับคลาส

หมวดหมู่ของเซตอาจถือได้ว่าเป็นวัตถุสากลที่ไม่ใช่เซตเสียเอง มันมีเซตทั้งหมดเป็นสมาชิก และยังรวมถึงลูกศรสำหรับฟังก์ชันทั้งหมดจากเซตหนึ่งไปยังอีกเซตหนึ่งด้วย เช่นเดียวกัน มันไม่ได้บรรจุตัวเองอยู่ภายใน เพราะตัวมันเองไม่ใช่เซต

• จักรวาลโกรเทนดิค
• ขอบเขตของการสนทนา
• ทฤษฎีเซตของฟอน นอยมันน์-เบอร์เนย์ส-เกอเดล — ส่วนขยายของ ZFC ที่ยอมรับคลาสของเซตทั้งหมด

• ไวส์สไตน์, เอริก ดับเบิลยู. "ชุดสากล" . แมทเวิลด์ .
• บรรณานุกรม: ทฤษฎีเซตที่มีเซตสากลซึ่งริเริ่มโดย ที.อี. ฟอร์สเตอร์ และได้รับการพัฒนาต่อโดย แรนดัล โฮล์มส์