การวัดปริมาณแบบสากล

พิมพ์	ตัวระบุปริมาณ
สนาม	ตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์
คำแถลง	${\displaystyle \forall xP(x)}$เป็นจริงเมื่อเป็นจริงสำหรับค่าทั้งหมดของ${\displaystyle P(x)}$${\displaystyle x}$
คำแถลงเชิงสัญลักษณ์	${\displaystyle \forall xP(x)}$

ในตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์ตัวบ่งปริมาณสากล (universal quantification)เป็นประเภทหนึ่งของตัวบ่งปริมาณ (quantifier) ​​ซึ่งเป็นค่าคงที่ทางตรรกะ ที่ ตีความได้ว่า " กำหนดให้สิ่งใด ๆ " " สำหรับทุกสิ่ง " " สำหรับทุก ๆ " หรือ " กำหนดให้องค์ประกอบใด ๆ " มันแสดงว่าภาคแสดง (predicate)สามารถเป็นจริงได้สำหรับทุกสมาชิกในขอบเขตของการพิจารณา (domain of discourse ) กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ มันคือการกำหนดคุณสมบัติหรือความสัมพันธ์ให้กับทุกสมาชิกในขอบเขตนั้น มันยืนยันว่าภาคแสดงที่อยู่ในขอบเขตของตัวบ่งปริมาณสากลนั้นเป็นจริงสำหรับทุกค่าของตัวแปรภาคแสดง (predicate variable )

โดยทั่วไปจะใช้สัญลักษณ์ตัวดำเนินการตรรกะA (∀) แทน ซึ่งเมื่อใช้ร่วมกับตัวแปรภาคแสดง จะเรียกว่า ตัวบ่งปริมาณสากล (" ∀ x ", " ∀( x ) " หรือบางครั้งใช้เพียง " ( x ) " ) เท่านั้น) การบ่งปริมาณสากลนั้นแตกต่างจากการบ่งปริมาณเชิงมีอยู่ ("มีอยู่") ซึ่งยืนยันเพียงว่าคุณสมบัติหรือความสัมพันธ์นั้นเป็นจริงสำหรับสมาชิกอย่างน้อยหนึ่งตัวในโดเมนเท่านั้น

โดยทั่วไปแล้ว การกำหนดปริมาณจะกล่าวถึงในบทความเรื่องการกำหนดปริมาณ (ตรรกศาสตร์)ตัวกำหนดปริมาณสากลจะถูกเข้ารหัสเป็นU+2200 ∀ FOR ALLในUnicodeและ\forallในLaTeXและโปรแกรมแก้ไขสูตรที่เกี่ยวข้อง

สมมติว่ากำหนดให้

2·0 = 0 + 0, และ 2·1 = 1 + 1, และ2·2 = 2 + 2 , ..., และ 2 · 100 = 100 + 100, และ ..., เป็นต้น

ดูเหมือนว่านี่จะเป็นการเชื่อมโยงเชิงตรรกะ ที่ไม่มีที่สิ้นสุด เนื่องจากการใช้คำว่า "และ" ซ้ำๆ กัน อย่างไรก็ตาม "ฯลฯ" ไม่สามารถตีความได้ว่าเป็นการเชื่อมโยงในตรรกะเชิงรูปธรรมดังนั้นจึงต้องเรียบเรียงประโยคใหม่ดังนี้:

สำหรับจำนวนธรรมชาติn ทุกจำนวน จะได้ ว่า2· n = n + n

นี่คือข้อความเดียวที่ใช้การวัดปริมาณแบบสากล

อาจกล่าวได้ว่าข้อความนี้มีความแม่นยำกว่าข้อความเดิม ในขณะที่ "ฯลฯ" โดยไม่เป็นทางการนั้นรวมถึงจำนวนธรรมชาติและไม่มีอะไรมากไปกว่านั้น แต่ในที่นี้ไม่ได้ระบุไว้อย่างเคร่งครัด ในทางกลับกัน ในการกำหนดปริมาณแบบสากลนั้น จำนวนธรรมชาติถูกกล่าวถึงอย่างชัดเจน

ตัวอย่างนี้เป็นจริงเพราะเราสามารถใช้จำนวนธรรมชาติใดๆ แทนn ได้ และข้อความ "2· n = n + n " ก็จะเป็นจริง ในทางตรงกันข้าม

สำหรับจำนวนธรรมชาติn ทุกจำนวน จะได้ว่า 2· n > 2 + n

เป็นเท็จเพราะถ้า แทน nด้วย 1 ตัวอย่างเช่น ข้อความ "2·1 > 2 + 1" จะเป็นเท็จ ไม่สำคัญว่า "2· n > 2 + n " จะเป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติn ส่วนใหญ่ หรือไม่ แม้แต่ ตัวอย่างค้านเพียงตัวเดียวก็เพียงพอที่จะพิสูจน์ว่าการกำหนดปริมาณแบบสากลนั้นเป็นเท็จ

ในทางกลับกัน สำหรับจำนวนประกอบn ทั้งหมด จะได้ว่า 2· n > 2 + n เป็นจริง เพราะไม่มีตัวอย่างค้านใดเป็นจำนวนประกอบ นี่แสดงให้เห็นถึงความสำคัญของขอบเขตการพิจารณาซึ่งระบุว่าnสามารถรับค่าใดได้บ้าง^{[หมายเหตุ 1 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่ง โปรดสังเกตว่า หากขอบเขตการพิจารณาถูกจำกัดให้ประกอบด้วยเฉพาะวัตถุที่ตรงตามเงื่อนไขบางประการเท่านั้น สำหรับการกำหนดปริมาณแบบสากล จะต้องใช้เงื่อนไขเชิงตรรกะตัวอย่างเช่น

สำหรับจำนวนประกอบn ทุกจำนวน จะได้ว่า 2· n > 2 + n

เทียบเท่าทางตรรกะกับ

สำหรับ จำนวนธรรมชาติn ทุกจำนวน ถ้าnเป็นจำนวนประกอบแล้ว 2· n > 2 + n

โครงสร้าง "ถ้า...แล้ว" ในที่นี้บ่งชี้ถึงเงื่อนไขเชิงตรรกะ

ในตรรกศาสตร์เชิงสัญลักษณ์ สัญลักษณ์ตัวบ่งปริมาณสากล(ตัว " A " กลับหัวใน แบบอักษร sans-serifรหัส Unicode U+2200) ใช้เพื่อระบุปริมาณสากลGerhard Gentzen เป็นผู้ใช้สัญลักษณ์นี้เป็นครั้งแรก ในปี พ.ศ. 2478 โดยเปรียบเทียบกับ สัญลักษณ์ ของGiuseppe Peano (ตัว E กลับหัว) สำหรับปริมาณเชิงมีอยู่และการใช้สัญลักษณ์ของ Peano ในภายหลังโดยBertrand Russell ^{[ 1 ]}${\displaystyle \forall }$${\displaystyle \exists }$

ตัวอย่างเช่น ถ้าP ( n ) คือ述语 "2· n > 2 + n " และNคือเซตของจำนวนธรรมชาติแล้ว

${\displaystyle \forall n\!\in \!\mathbb {N} \;P(n)}$

เป็นข้อความ (เท็จ)

"สำหรับจำนวนธรรมชาติn ทุกจำนวน จะมี 2· n > 2 + n "

ในทำนองเดียวกัน ถ้าQ ( n ) คือ述语 " nเป็นจำนวนประกอบ" แล้ว

${\displaystyle \forall n\!\in \!\mathbb {N} \;{\bigl (}Q(n)\rightarrow P(n){\bigr )}}$

เป็นข้อความ (ที่ถูกต้อง)

"สำหรับจำนวนธรรมชาติn ทุกจำนวน ถ้าnเป็นจำนวนประกอบแล้ว2· n > 2 + n "

ตัวอย่างสัญลักษณ์สำหรับการระบุปริมาณ (ซึ่งสามารถใช้ได้กับทุกรูปแบบ) สามารถพบได้ในบทความเรื่อง ตัวบ่งชี้ปริมาณ

การปฏิเสธของฟังก์ชันที่มีตัวบ่งปริมาณสากลนั้นได้มาจากการเปลี่ยนตัวบ่งปริมาณสากลให้เป็นตัวบ่งปริมาณที่มีอยู่ แล้วปฏิเสธสูตรที่มีตัวบ่งปริมาณนั้น กล่าวคือ

${\displaystyle \lnot \forall x\;P(x)\quad {\text{is equivalent to}}\quad \exists x\;\lnot P(x)}$

โดยที่หมายถึงการปฏิเสธ ${\displaystyle \lnot }$

ตัวอย่างเช่น ถ้าP ( x )คือฟังก์ชันเชิงประพจน์ " xแต่งงานแล้ว" แล้วสำหรับเซตXของมนุษย์ที่ยังมีชีวิตอยู่ทั้งหมด การกำหนดปริมาณแบบสากล

หากกำหนดให้บุคคลที่มีชีวิตอยู่คนใดคนหนึ่ง(x ) บุคคลนั้นแต่งงานแล้ว

เขียนไว้ว่า

${\displaystyle \forall x\in X\,P(x)}$

คำกล่าวนี้เป็นเท็จ ความจริงแล้ว มีคำกล่าวว่า

ไม่ใช่ว่าบุคคลใดๆ ที่ยังมีชีวิตอยู่xจะต้องแต่งงานแล้วเสมอไป

หรือในเชิงสัญลักษณ์:

${\displaystyle \lnot \ \forall x\in X\,P(x)}$.

ถ้าฟังก์ชันP ( x )ไม่เป็นจริงสำหรับทุกองค์ประกอบของXแล้วจะต้องมีอย่างน้อยหนึ่งองค์ประกอบที่ข้อความนั้นเป็นเท็จ กล่าวคือ การปฏิเสธของ P (x ) เทียบเท่าทางตรรกะกับ "มีบุคคลที่มีชีวิตอยู่xที่ยังไม่ได้แต่งงาน" หรือ: ${\displaystyle \forall x\in X\,P(x)}$

${\displaystyle \exists x\in X\,\lnot P(x)}$

เป็นการเข้าใจผิดหากนำประโยค "ไม่ใช่ทุกคนที่แต่งงานแล้ว" (เช่น "ไม่มีบุคคลที่แต่งงานแล้ว") มาเปรียบเทียบกับประโยค "ไม่ใช่ทุกคนที่แต่งงานแล้ว" (เช่น "มีบุคคลที่ไม่ได้แต่งงาน")

${\displaystyle \lnot \ \exists x\in X\,P(x)\equiv \ \forall x\in X\,\lnot P(x)\not \equiv \ \lnot \ \forall x\in X\,P(x)\equiv \ \exists x\in X\,\lnot P(x)}$

ตัวบ่งปริมาณสากล (และเชิงการดำรงอยู่) จะเคลื่อนที่โดยไม่เปลี่ยนแปลงไปตามตัวเชื่อมตรรกะ∧ , ∨ , →และ↚ตราบใดที่ตัวถูกดำเนินการอื่นไม่ได้รับผลกระทบ^{[ 2 ]}นั่นคือ:

${\displaystyle {\begin{aligned}P(x)\land (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\land Q(y))\\P(x)\lor (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\lor Q(y)),&{\text{provided that }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \\P(x)\to (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\to Q(y)),&{\text{provided that }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \\P(x)\nleftarrow (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\nleftarrow Q(y))\\P(x)\land (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\land Q(y)),&{\text{provided that }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \\P(x)\lor (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\lor Q(y))\\P(x)\to (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\to Q(y))\\P(x)\nleftarrow (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\nleftarrow Q(y)),&{\text{provided that }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \end{aligned}}}$

ในทางกลับกัน สำหรับตัวเชื่อมตรรกะ↑ , ↓ , ↛และ←ตัวบ่งปริมาณจะสลับกัน:

${\displaystyle {\begin{aligned}P(x)\uparrow (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\uparrow Q(y))\\P(x)\downarrow (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\downarrow Q(y)),&{\text{provided that }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \\P(x)\nrightarrow (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\nrightarrow Q(y)),&{\text{provided that }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \\P(x)\gets (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\gets Q(y))\\P(x)\uparrow (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\uparrow Q(y)),&{\text{provided that }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \\P(x)\downarrow (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\downarrow Q(y))\\P(x)\nrightarrow (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\nrightarrow Q(y))\\P(x)\gets (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\gets Q(y)),&{\text{provided that }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \\\end{aligned}}}$

กฎการอนุมานคือ กฎที่ใช้อธิบายขั้นตอนเชิงตรรกะจากสมมติฐานไปสู่ข้อสรุป มีกฎการอนุมานหลายข้อที่ใช้ตัวบ่งปริมาณสากล

การพิสูจน์แบบสากลสรุปได้ว่า หากทราบว่าฟังก์ชันเชิงประพจน์นั้นเป็นจริงในระดับสากลแล้ว ฟังก์ชันนั้นจะต้องเป็นจริงสำหรับองค์ประกอบใดๆ ก็ตามในเอกภพของการพิจารณา ในเชิงสัญลักษณ์ สิ่งนี้แสดงได้ดังนี้

${\displaystyle \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\to P(c)}$

โดยที่cเป็นองค์ประกอบที่กำหนดขึ้นโดยพลการอย่างสมบูรณ์ในขอบเขตของการพิจารณา

การสรุปทั่วไปในระดับสากลสรุปได้ว่า ฟังก์ชันเชิงประพจน์จะต้องเป็นจริงในระดับสากล หากมันเป็นจริงสำหรับองค์ประกอบใดๆ ก็ตามในจักรวาลของการสนทนา ในเชิงสัญลักษณ์ สำหรับ c ใดๆ ก็ตาม

${\displaystyle P(c)\to \ \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x).}$

องค์ประกอบ  cต้องเป็นค่าที่กำหนดขึ้นเองโดยสมบูรณ์ มิฉะนั้นตรรกะจะไม่เป็นไปตามนั้น: หากcไม่ใช่ค่าที่กำหนดขึ้นเอง แต่เป็นองค์ประกอบเฉพาะของขอบเขตการพิจารณา P( c ) จะหมายถึงเพียงการกำหนดปริมาณเชิงมีอยู่ของฟังก์ชันประพจน์เท่านั้น

ตามธรรมเนียมแล้ว สูตรนี้จะเป็นจริงเสมอ ไม่ว่าสูตรP ( x ) จะเป็นอย่างไรก็ตาม โปรดดูความจริงที่ว่างเปล่า ${\displaystyle \forall {x}{\in }\emptyset \,P(x)}$

การปิดแบบสากลของสูตร φ คือสูตรที่ไม่มีตัวแปรอิสระซึ่งได้มาจากการเพิ่มตัวบ่งปริมาณแบบสากลสำหรับตัวแปรอิสระทุกตัวใน φ ตัวอย่างเช่น การปิดแบบสากลของ

${\displaystyle P(y)\land \exists xQ(x,z)}$

เป็น

${\displaystyle \forall y\forall z(P(y)\land \exists xQ(x,z))}$.

ในทฤษฎีหมวดหมู่และทฤษฎีโทโพอิพื้นฐานตัวบ่งปริมาณสากลสามารถเข้าใจได้ว่าเป็นตัวผกผันทางขวาของฟังก์ชันระหว่างเซตกำลังซึ่ง เป็นฟังก์ชัน ภาพผกผันของฟังก์ชันระหว่างเซต ในทำนองเดียวกันตัวบ่งปริมาณเชิงมีอยู่คือ ตัว ผกผันทางซ้าย^{[ 3 ]}

สำหรับเซตให้แทนเซตกำลัง ของเซตนั้น สำหรับฟังก์ชันใดๆระหว่างเซตและจะมีฟังก์ชันภาพผกผันระหว่างเซตกำลัง ซึ่งแปลงเซตย่อยของโคโดเมนของfกลับไปเป็นเซตย่อยของโดเมนของ f ตัวผกผันทางซ้ายของฟังก์ชันนี้คือตัวบ่งปริมาณเชิงมีอยู่และตัวผกผันทางขวาคือตัวบ่งปริมาณเชิงสากล ${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {P}}X}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f^{*}:{\mathcal {P}}Y\to {\mathcal {P}}X}$${\displaystyle \exists _{f}}$${\displaystyle \forall _{f}}$

นั่นคือเป็นฟังก์ชันที่สำหรับแต่ละเซตย่อยจะให้เซตย่อยที่กำหนดโดย ${\displaystyle \exists _{f}\colon {\mathcal {P}}X\to {\mathcal {P}}Y}$${\displaystyle S\subset X}$${\displaystyle \exists _{f}S\subset Y}$

${\displaystyle \exists _{f}S=\{y\in Y\;|\;\exists x\in X.\ f(x)=y\quad \land \quad x\in S\},}$

สิ่งเหล่านั้นในภาพของภายใต้ในทำนองเดียวกัน ตัวบ่งปริมาณสากลเป็นฟังก์ชันที่สำหรับแต่ละเซตย่อยจะให้เซตย่อยที่กำหนดโดย ${\displaystyle y}$${\displaystyle S}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \forall _{f}\colon {\mathcal {P}}X\to {\mathcal {P}}Y}$${\displaystyle S\subset X}$${\displaystyle \forall _{f}S\subset Y}$

${\displaystyle \forall _{f}S=\{y\in Y\;|\;\forall x\in X.\ f(x)=y\quad \implies \quad x\in S\},}$

ผู้ที่มีรูปต้นแบบอยู่ ใต้ . ${\displaystyle y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle S}$

รูปแบบที่คุ้นเคยมากกว่าของตัวบ่งปริมาณที่ใช้ในตรรกศาสตร์ลำดับที่หนึ่งได้มาจากการกำหนดให้ฟังก์ชันfเป็นฟังก์ชันเดียวโดยที่เป็นเซตสององค์ประกอบที่เก็บค่าจริงและเท็จ เซตย่อยSคือเซตย่อยที่เงื่อนไขเป็น จริง และ ${\displaystyle !:X\to 1}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(1)=\{T,F\}}$${\displaystyle S(x)}$

${\displaystyle {\begin{array}{rl}{\mathcal {P}}(!)\colon {\mathcal {P}}(1)&\to {\mathcal {P}}(X)\\T&\mapsto X\\F&\mapsto \{\}\end{array}}}$

${\displaystyle \exists _{!}S=\exists x.S(x),}$

ซึ่งจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อไม่ว่างเปล่า และ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \forall _{!}S=\forall x.S(x),}$

ซึ่งจะเป็นเท็จหาก S ไม่ใช่ X

ตัวบ่งปริมาณสากลและเชิงการดำรงอยู่ดังที่กล่าวมาข้างต้น สามารถนำไปใช้กับหมวดหมู่พรีชีฟได้

• การวัดเชิงอัตถิภาวะ
• ตรรกะลำดับที่หนึ่ง
• รายการสัญลักษณ์ตรรกะ —สำหรับสัญลักษณ์ยูนิโค้ด ∀

• ความหมายของคำว่า"ทุกๆ"ในพจนานุกรมวิกิพีเดีย