การวัดเชิงอัตถิภาวะ

พิมพ์	ตัวระบุปริมาณ
สนาม	ตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์
คำแถลง	${\displaystyle \exists xP(x)}$เป็นจริงเมื่อเป็นจริงสำหรับค่าอย่างน้อยหนึ่งค่าของ${\displaystyle P(x)}$${\displaystyle x}$
คำแถลงเชิงสัญลักษณ์	${\displaystyle \exists xP(x)}$

ในตรรกศาสตร์ภาคแสดงการกำหนดปริมาณแบบมีอยู่ (existential quantification)เป็นประเภทของตัวกำหนดปริมาณที่ยืนยันการมีอยู่ของวัตถุที่มีคุณสมบัติ ที่กำหนด โดยปกติจะใช้สัญลักษณ์ตัวดำเนินการทางตรรกะ ∃ ซึ่งเมื่อใช้ร่วมกับตัวแปรภาคแสดง จะเรียกว่าตัวกำหนดปริมาณแบบมีอยู่ (" ∃ x " หรือ " ∃( x ) " หรือ " (∃ x )" ^{[ 1 ]} ) อ่านว่า "มีอยู่" "มีอย่างน้อยหนึ่ง" หรือ "สำหรับบางส่วน" การกำหนดปริมาณแบบมีอยู่แตกต่างจากการกำหนดปริมาณแบบสากล ("สำหรับทั้งหมด") ซึ่งยืนยันว่าคุณสมบัติหรือความสัมพันธ์นั้นเป็นจริงสำหรับ สมาชิก ทั้งหมดของโดเมน^{[ 2 ] [ 3 ]}บางแหล่งข้อมูลใช้คำว่าexistentializationเพื่ออ้างถึงการกำหนดปริมาณแบบมีอยู่^{[ 4 ]}

โดยทั่วไปแล้ว การกำหนดปริมาณจะกล่าวถึงในบทความเรื่องการกำหนดปริมาณ (ตรรกศาสตร์)ตัวกำหนดปริมาณเชิงมีอยู่จะถูกเข้ารหัสเป็นU+2203 ∃ THERE EXISTSในUnicodeและ\existsในLaTeXและโปรแกรมแก้ไขสูตรที่เกี่ยวข้อง

พิจารณาประโยค ที่เป็นทางการ

สำหรับจำนวนธรรมชาติบางจำนวน.${\displaystyle n}$${\displaystyle n\times n=25}$

นี่คือประโยคบอกเล่าเดี่ยวๆ ที่ใช้การระบุปริมาณเชิงการมีอยู่ โดยคร่าวๆ แล้วคล้ายกับประโยคไม่เป็นทางการว่า "ไม่ว่าจะเป็นหรือ หรือหรือหรือ... และอื่นๆ" แต่มีความแม่นยำกว่า เพราะไม่จำเป็นต้องให้เราอนุมานความหมายของวลี "และอื่นๆ" (โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ประโยคนี้ระบุขอบเขตของการสนทนา อย่างชัดเจน ว่าเป็นจำนวนธรรมชาติ ไม่ใช่จำนวนจริง เป็นต้น ) ${\displaystyle 0\times 0=25}$${\displaystyle 1\times 1=25}$${\displaystyle 2\times 2=25}$

ตัวอย่างนี้เป็นจริง เพราะ 5 เป็นจำนวนธรรมชาติ และเมื่อเราแทนค่า 5 ลงในnเราจะได้ข้อความที่เป็นจริงไม่สำคัญว่า " " จะเป็นจริงเฉพาะกับจำนวนธรรมชาติเพียงจำนวนเดียวคือ 5 หรือไม่ การมี คำตอบเพียงหนึ่งเดียวก็เพียงพอที่จะพิสูจน์ว่าการหาปริมาณเชิงมีอยู่จริงนี้เป็นจริง ${\displaystyle 5\times 5=25}$${\displaystyle n\times n=25}$

ในทางตรงกันข้าม "สำหรับจำนวนคู่บางจำนวน ... " นั้นเป็นเท็จ เพราะไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนคู่ ดังนั้นขอบเขตของการพิจารณาซึ่งระบุค่าที่ตัวแปรnสามารถรับได้ จึงมีความสำคัญต่อความจริงหรือความเท็จของข้อความการเชื่อมทางตรรกะใช้เพื่อจำกัดขอบเขตของการพิจารณาให้สอดคล้องกับภาคแสดงที่กำหนด ตัวอย่างเช่น ประโยค ${\displaystyle n}$${\displaystyle n\times n=25}$

สำหรับจำนวนคี่บวกบางจำนวน${\displaystyle n}$${\displaystyle n\times n=25}$

มีความหมายเชิงตรรกะเทียบเท่ากับประโยค

สำหรับจำนวนธรรมชาติบางจำนวนจะเป็นจำนวนคี่และ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n\times n=25}$

การพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ของข้อความแสดงการมีอยู่ของวัตถุ "บางอย่าง" สามารถทำได้ทั้งโดยการพิสูจน์เชิงสร้างสรรค์ซึ่งแสดงให้เห็นถึงวัตถุที่สอดคล้องกับข้อความ "บางอย่าง" หรือโดยการพิสูจน์ที่ไม่ใช่เชิงสร้างสรรค์ซึ่งแสดงให้เห็นว่าต้องมีวัตถุดังกล่าวอยู่โดยไม่ต้องแสดงวัตถุนั้นออกมาอย่างเป็นรูปธรรม

ในตรรกศาสตร์เชิงสัญลักษณ์ “∃” (ตัวอักษร “ E ” กลับหัวใน แบบอักษร sans-serif , Unicode U+2203) ใช้เพื่อระบุปริมาณเชิงการมีอยู่ ตัวอย่างเช่น สัญลักษณ์นี้แทนประโยค (ที่เป็นจริง) ${\displaystyle \exists {n}{\in }\mathbb {N} :n\times n=25}$

มีจำนวนธรรมชาติบางจำนวนในเซตของจำนวนธรรมชาติที่ทำให้.${\displaystyle n}$${\displaystyle n\times n=25}$

เชื่อกันว่าสัญลักษณ์นี้ถูกใช้ครั้งแรกโดยGiuseppe PeanoในFormulario mathematico (1896) ต่อมาBertrand Russellได้ทำให้การใช้สัญลักษณ์นี้เป็นที่นิยมในฐานะตัวบ่งปริมาณเชิงมีอยู่จริง จากการวิจัยทฤษฎีเซต Peano ยังได้แนะนำสัญลักษณ์และเพื่อใช้แทนการตัดกันและการรวมกันของเซตตามลำดับ^{[ 5 ]}${\displaystyle \cap }$${\displaystyle \cup }$

ฟังก์ชันเชิงประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณเป็นประโยค ดังนั้น เช่นเดียวกับประโยค ฟังก์ชันที่มีตัวบ่งปริมาณจึงสามารถถูกปฏิเสธได้โดยใช้สัญลักษณ์ √ เพื่อแสดงการปฏิเสธ ${\displaystyle \lnot \ }$

ตัวอย่างเช่น ถ้าP ( x ) คือประโยคแสดงคุณลักษณะ " xมากกว่า 0 และน้อยกว่า 1" แล้ว สำหรับขอบเขตการพิจารณาXของจำนวนธรรมชาติทั้งหมด ประโยคแสดงปริมาณการมีอยู่ "มีจำนวนธรรมชาติxที่มากกว่า 0 และน้อยกว่า 1" สามารถเขียนในเชิงสัญลักษณ์ได้ดังนี้:

${\displaystyle \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)}$

สามารถพิสูจน์ได้ว่าสิ่งนี้เป็นเท็จ ความจริงแล้วต้องกล่าวว่า "ไม่มีจำนวนธรรมชาติxใดที่มากกว่า 0 และน้อยกว่า 1" หรือในเชิงสัญลักษณ์คือ:

${\displaystyle \lnot \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)}$.

หากไม่มีองค์ประกอบใดในขอบเขตของการสนทนาที่ข้อความนั้นเป็นจริง ข้อความนั้นก็ต้องเป็นเท็จสำหรับองค์ประกอบทั้งหมดเหล่านั้น นั่นคือ การปฏิเสธของ

${\displaystyle \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)}$

มีความหมายเชิง ตรรกะเทียบเท่ากับ "สำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆx x จะไม่มากกว่า 0 และน้อยกว่า 1" หรือ:

${\displaystyle \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot P(x)}$

โดยทั่วไปแล้ว การปฏิเสธของการกำหนดปริมาณเชิงมีอยู่ของฟังก์ชันประพจน์ คือ การกำหนดปริมาณเชิงสากลของการปฏิเสธของฟังก์ชันประพจน์นั้น ในเชิงสัญลักษณ์

${\displaystyle \lnot \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\equiv \ \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot P(x)}$

(นี่คือการขยายกฎของเดอ มอร์แกนไปสู่ตรรกศาสตร์เชิงภาคแสดง)

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยคือ การกล่าวว่า "ไม่ใช่ทุกคนที่แต่งงานแล้ว" (เช่น "ไม่มีบุคคลที่แต่งงานแล้ว") ในขณะที่ความหมายที่ถูกต้องคือ "ไม่ใช่ทุกคนที่แต่งงานแล้ว" (เช่น "มีบุคคลที่ไม่ได้แต่งงาน")

${\displaystyle \lnot \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\equiv \ \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot P(x)\not \equiv \ \lnot \ \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\equiv \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot P(x)}$

การปฏิเสธยังสามารถแสดงออกได้ผ่านประโยค "ไม่เลย" ซึ่งแตกต่างจาก "บางส่วน":

${\displaystyle \nexists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\equiv \lnot \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)}$

ต่างจากตัวบ่งปริมาณสากล ตัวบ่งปริมาณเชิงการมีอยู่จะกระจายตัวไปตามการเชื่อมโยงเชิงตรรกะแบบ "หรือ":

${\displaystyle \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\lor Q(x)\to \ (\exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\lor \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,Q(x))}$

กฎการอนุมานคือ กฎที่ใช้อธิบายขั้นตอนเชิงตรรกะจากสมมติฐานไปสู่ข้อสรุป มีกฎการอนุมานหลายข้อที่ใช้ตัวบ่งปริมาณเชิงการมีอยู่

บทนำเชิงการมีอยู่ (∃I) สรุปได้ว่า หากทราบว่าฟังก์ชันเชิงประพจน์เป็นจริงสำหรับองค์ประกอบเฉพาะในขอบเขตของการสนทนาแล้ว ก็ต้องเป็นจริงด้วยว่ามีองค์ประกอบหนึ่งที่ฟังก์ชันเชิงประพจน์นั้นเป็นจริง ในเชิงสัญลักษณ์

${\displaystyle P(a)\to \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)}$

การสร้างอินสแตนซ์เชิงการมีอยู่เมื่อดำเนินการในการอนุมานแบบ Fitch จะดำเนินไปโดยการเข้าสู่การอนุมานย่อยใหม่ ในขณะที่แทนที่ตัวแปรที่มีปริมาณเชิงการมีอยู่ด้วยประธาน—ซึ่งไม่ปรากฏในการอนุมานย่อยที่ใช้งานอยู่ หากสามารถได้ข้อสรุปภายในการอนุมานย่อยนี้ซึ่งประธานที่ถูกแทนที่ไม่ปรากฏ ก็สามารถออกจากการอนุมานย่อยนั้นพร้อมกับข้อสรุปนั้นได้ เหตุผลเบื้องหลังการกำจัดเชิงการมีอยู่ (∃E) มีดังนี้: หากกำหนดว่ามีองค์ประกอบหนึ่งที่ฟังก์ชันประพจน์เป็นจริง และหากสามารถได้ข้อสรุปโดยการตั้งชื่อให้กับองค์ประกอบนั้นโดยพลการ ข้อสรุปนั้นจะต้องเป็นจริงอย่างแน่นอน ตราบใดที่มันไม่มีชื่อนั้นอยู่ ในเชิงสัญลักษณ์ สำหรับ cใดๆและสำหรับประพจน์Qซึ่งcไม่ปรากฏ:

${\displaystyle \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\to \ ((P(c)\to \ Q)\to \ Q)}$

${\displaystyle P(c)\to \ Q}$เงื่อนไข นี้ต้องเป็นจริงสำหรับค่าc ทั้งหมด บนโดเมนX เดียวกัน มิฉะนั้น ตรรกะจะไม่เป็นไปตามนั้น: ถ้าcไม่ใช่ค่าที่กำหนดขึ้นเอง แต่เป็นองค์ประกอบเฉพาะของโดเมนที่กล่าวถึง การระบุว่าP ( c ) อาจให้ข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับวัตถุนั้นโดยไม่จำเป็น

สูตร นี้ เป็นเท็จเสมอ ไม่ว่าP ( x ) จะเป็นอย่างไรก็ตาม เนื่องจากหมายถึงเซตว่างและไม่มีxใดๆ ไม่ว่าจะเป็นลักษณะใดก็ตาม หรือแม้แต่xที่ตรงตามเงื่อนไขP ( x ) ที่กำหนดให้ อยู่ในเซตว่าง ดูข้อมูลเพิ่มเติมได้ที่ ความจริงที่ว่างเปล่า (Vacuous truth )${\displaystyle \exists {x}{\in }\varnothing \,P(x)}$${\displaystyle \varnothing }$

ในทฤษฎีหมวดหมู่และทฤษฎีโทโพอิพื้นฐานตัวบ่งปริมาณเชิงมีอยู่สามารถเข้าใจได้ว่าเป็นตัวผกผันซ้ายของฟังก์ชันระหว่างเซตกำลังซึ่ง เป็นฟังก์ชัน ภาพผกผันของฟังก์ชันระหว่างเซต ในทำนองเดียวกันตัวบ่งปริมาณสากลคือ ตัว ผกผันขวา^{[ 6 ]}

• ประโยคแสดงการมีอยู่
• ทฤษฎีบทการมีอยู่
• ตรรกะลำดับที่หนึ่ง
• ตัวบ่งปริมาณของลินด์สตรอม
• รายการสัญลักษณ์ตรรกะ – สำหรับสัญลักษณ์ยูนิโค้ด ∃
• ความแปรปรวนของตัวบ่งปริมาณ
• การวัดปริมาณความเป็นเอกลักษณ์