ในทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์และสาขาคณิตศาสตร์และปรัชญาที่ใช้ทฤษฎีนี้สัจพจน์ของอนันต์เป็นหนึ่งในสัจพจน์ของทฤษฎีเซต Zermelo–Fraenkel ซึ่งรับประกันการมีอยู่ของ เซตอนันต์อย่างน้อยหนึ่ง เซต นั่นคือเซตที่ประกอบด้วยจำนวนธรรมชาติ สัจพจน์ นี้ได้รับการตีพิมพ์ครั้งแรกโดยErnst Zermeloในฐานะส่วนหนึ่งของทฤษฎีเซต ของเขา ในปี 1908 ^{[ 1 ]}

โดยใช้ สัญลักษณ์พื้นฐานของ ตรรกะลำดับแรกสัจพจน์สามารถแสดงได้ดังนี้: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \exists \mathrm {I} \ (\exists o\ (o\in \mathrm {I} \ \land \lnot \exists n\ (n\in o))\ \land \ \forall x\ (x\in \mathrm {I} \Rightarrow \exists y\ (y\in \mathrm {I} \ \land \ \forall a\ (a\in y\Leftrightarrow (a\in x\ \lor \ a=x))))).}$

ถ้าเรากำหนดให้เป็นเซตว่างและพิจารณาการดำเนินการสืบทอด: ${\displaystyle \varnothing }$

${\displaystyle \exists \mathrm {I} \,(\varnothing \in \mathrm {I} \,\land \,\forall x\,(x\in \mathrm {I} \Rightarrow \,(x\cup \{x\})\in \mathrm {I} )).}$

นักคณิตศาสตร์บางคนอาจเรียกเซตที่สร้างขึ้นในลักษณะนี้ว่าเซต อุปนัย

การเขียนสัจพจน์นี้ในภาษาธรรมชาติอาจเขียนได้ดังนี้: " มีเซต𝐈 อยู่ เซตหนึ่งซึ่งเซตว่างเป็นสมาชิกของเซต 𝐈 นั้น และสำหรับทุกสมาชิกของ𝐈นั้น จะมีสมาชิกของ𝐈 อีกตัวหนึ่ง ซึ่งสมาชิก ของ 𝐈 นั้น ประกอบด้วยตัวมันเองและสมาชิกของ 𝐈 นั้น" ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

สัจพจน์นี้มีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับการสร้างจำนวนธรรมชาติของฟอน นอยมันน์ในทฤษฎีเซต ซึ่งตัวสืบทอดของxถูกกำหนดให้เป็นx ∪ { x } ถ้าxเป็นเซตแล้ว ก็จะเป็นไปตามสัจพจน์อื่นๆ ของทฤษฎีเซตว่าตัวสืบทอดนี้ก็เป็นเซตที่ถูกกำหนดอย่างไม่ซ้ำกันเช่นกัน ตัวสืบทอดถูกใช้เพื่อกำหนดการเข้ารหัสเชิงเซตตามปกติของจำนวนธรรมชาติในการเข้ารหัสนี้ ศูนย์คือเซตว่าง:

0 = {}.

เลข 1 เป็นเลขที่มาถัดจากเลข 0:

1 = 0 ∪ {0} = {} ∪ {0} = {0} = {{}}.

ในทำนองเดียวกัน 2 เป็นตัวสืบทอดของ 1:

2 = 1 ∪ {1} = {0} ∪ {1} = {0, 1} = { {}, {{}} },

และอื่นๆ:

3 = {0, 1, 2} = { {}, {{}}, {{}, {{}}} };

4 = {0, 1, 2, 3} = { {}, {{}}, { {}, {{}} }, { {}, {{}}, {{}, {{}}} } }.

ผลที่ตามมาจากการนิยามนี้คือ จำนวนธรรมชาติทุกจำนวนเท่ากับเซตของจำนวนธรรมชาติทั้งหมดที่อยู่ก่อนหน้า จำนวนสมาชิกในแต่ละเซตในระดับบนสุดจะเท่ากับจำนวนธรรมชาติที่แสดง และระดับความลึกของการซ้อนของเซตว่างที่ซ้อนลึกที่สุด {} รวมถึงการซ้อนในเซตที่แสดงจำนวนที่มันเป็นส่วนหนึ่งอยู่ ก็เท่ากับจำนวนธรรมชาติที่เซตนั้นแสดงด้วย

โครงสร้างนี้ก่อให้เกิดจำนวนธรรมชาติ อย่างไรก็ตาม สัจพจน์อื่นๆ ไม่เพียงพอที่จะพิสูจน์การมีอยู่ของเซตของจำนวนธรรมชาติทั้งหมดดังนั้น การมีอยู่ของเซตนี้จึงถูกนำมาใช้เป็นสัจพจน์ – สัจพจน์แห่งอนันต์ สัจพจน์นี้กล่าวว่า มีเซตIที่ประกอบด้วย 0 และปิดภายใต้การดำเนินการเลือกตัวถัดไป กล่าวคือ สำหรับแต่ละสมาชิกของIตัวถัดไปของสมาชิกนั้นก็อยู่ในIด้วย ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$

ดังนั้นสาระสำคัญของสัจพจน์นี้คือ:

มีเซตหนึ่งชื่อIซึ่งประกอบด้วยจำนวนธรรมชาติทั้งหมด

สัจพจน์ของอนันต์ก็เป็นหนึ่งในสัจพจน์ของฟอน นอยมันน์-เบอร์เนย์ส-เกอเดล เช่น กัน

เซตอนันต์Iเป็นเซตย่อยของจำนวนธรรมชาติ เพื่อแสดงว่าจำนวนธรรมชาติเองก็เป็นเซตได้เช่นกัน เราสามารถใช้หลักการของสัจพจน์ในการกำหนดคุณสมบัติ เพื่อกำจัดองค์ประกอบที่ไม่ต้องการออกไป เหลือไว้เพียงเซต Nซึ่งประกอบด้วยจำนวนธรรมชาติทั้งหมด เซตนี้มีเพียงหนึ่งเดียวตามสัจพจน์ของความครอบคลุม

ในการแยกแยะจำนวนธรรมชาติ เราจำเป็นต้องมีนิยามของเซตที่เป็นจำนวนธรรมชาติ จำนวนธรรมชาติสามารถนิยามได้ในลักษณะที่ไม่ต้องอาศัยสัจพจน์ใดๆ ยกเว้นสัจพจน์ของการขยายและสัจพจน์ของการอุปมานกล่าวคือ จำนวนธรรมชาติเป็นได้ทั้งศูนย์หรือตัวสืบทอด และแต่ละองค์ประกอบของมันเป็นได้ทั้งศูนย์หรือตัวสืบทอดขององค์ประกอบอื่น ในภาษาทางการ นิยามกล่าวว่า:

${\displaystyle \forall n(n\in \mathbf {N} \iff ([n=\emptyset \,\,\lor \,\,\exists k(n=k\cup \{k\})]\,\,\land \,\,\forall m\in n[m=\emptyset \,\,\lor \,\,\exists k\in n(m=k\cup \{k\})])).}$

หรือในรูปแบบที่เป็นทางการยิ่งกว่านั้น:

${\displaystyle \forall n(n\in \mathbf {N} \iff ([\forall k(\lnot k\in n)\lor \exists k\forall j(j\in n\iff (j\in k\lor j=k))]\;\land }$

${\displaystyle \forall m(m\in n\Rightarrow [\forall k(\lnot k\in m)\lor \exists k(k\in n\land \forall j(j\in m\iff (j\in k\lor j=k)))]))).}$

อีกวิธีหนึ่งคือดังต่อไปนี้ ให้เป็นสูตรที่กล่าวว่า "x เป็นแบบอุปนัย" กล่าวคือโดยไม่เป็นทางการ เราจะหาจุดตัดของเซตแบบอุปนัยทั้งหมด โดยเป็นทางการมากขึ้น เราต้องการพิสูจน์การมีอยู่ของเซตที่ไม่ซ้ำกันเพียงเซตเดียวซึ่งทำให้ ${\displaystyle \Phi (x)}$${\displaystyle \Phi (x)=(\emptyset \in x\wedge \forall y(y\in x\to (y\cup \{y\}\in x)))}$${\displaystyle W}$

${\displaystyle \forall x(x\in W\leftrightarrow \forall I(\Phi (I)\to x\in I)).}$ (*)

สำหรับการดำรงอยู่ เราจะใช้สัจพจน์ของอนันต์ร่วมกับแผนผังสัจพจน์ของการกำหนดคุณสมบัติให้เป็นเซตอุปนัยที่รับประกันโดยสัจพจน์ของอนันต์ จากนั้นเราใช้แผนผังสัจพจน์ของการกำหนดคุณสมบัติเพื่อกำหนดเซตของเรา– กล่าวคือเป็นเซตของสมาชิกทั้งหมดของซึ่งเป็นสมาชิกของเซตอุปนัยอื่น ๆ ทุกเซตด้วย สิ่งนี้สอดคล้องกับสมมติฐานของ (*) อย่างชัดเจน เนื่องจากถ้าแล้วอยู่ในทุกเซตอุปนัย และถ้าอยู่ในทุกเซตอุปนัย โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มันอยู่ในดังนั้น มันต้องอยู่ในด้วย ${\displaystyle I}$${\displaystyle W=\{x\in I:\forall J(\Phi (J)\to x\in J)\}}$${\displaystyle W}$${\displaystyle I}$${\displaystyle x\in W}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle I}$${\displaystyle W}$

สำหรับความเป็นเอกลักษณ์ ก่อนอื่นให้สังเกตว่าเซตใดๆ ที่สอดคล้องกับ (*) นั้นเป็นเซตอุปนัยด้วยตัวมันเอง เนื่องจาก 0 อยู่ในเซตอุปนัยทั้งหมด และถ้าสมาชิกอยู่ในเซตอุปนัยทั้งหมดแล้ว โดยคุณสมบัติอุปนัย สมาชิกถัดไปของสมาชิกนั้นก็จะอยู่ในเซตอุปนัยด้วยเช่นกัน ดังนั้น ถ้ามีเซตอื่นที่สอดคล้องกับ (*) เราจะได้ว่าเนื่องจากเป็นเซตอุปนัย และเนื่องจากเป็นเซตอุปนัย ดังนั้นให้แทนสมาชิกที่ไม่ซ้ำกันนี้ ${\displaystyle x}$${\displaystyle W'}$${\displaystyle W'\subseteq W}$${\displaystyle W}$${\displaystyle W\subseteq W'}$${\displaystyle W'}$${\displaystyle W=W'}$${\displaystyle \omega }$

นิยามนี้สะดวกเพราะหลักการอุปนัยสามารถนำมาใช้ได้ทันที: ถ้าเป็นแบบอุปนัยแล้ว ก็จะเป็นแบบอุปนัยเช่นกัน ดังนั้น${\displaystyle I\subseteq \omega }$${\displaystyle \omega \subseteq I}$${\displaystyle I=\omega }$

วิธีการทั้งสองนี้สร้างระบบที่สอดคล้องกับสัจพจน์ของเลขคณิตอันดับสองเนื่องจากสัจพจน์ของเซตกำลังทำให้เราสามารถกำหนดปริมาณเหนือเซตกำลังของได้ เช่นเดียวกับในตรรกศาสตร์อันดับสองดังนั้นทั้งสองวิธีจึงกำหนด ระบบ ที่สมมาตรกัน ได้อย่างสมบูรณ์ และเนื่องจากระบบทั้งสองสมมาตรกันภายใต้แผนที่เอกลักษณ์จึงต้องเท่ากัน ในความเป็น จริง ${\displaystyle \omega }$

ตำราเก่าบางเล่มใช้สัจพจน์ของอนันต์ในรูปแบบที่ดูเหมือนจะอ่อนกว่า ดังนี้:

${\displaystyle \exists x\,(\exists y\,(y\in x)\,\land \,\forall y(y\in x\,\rightarrow \,\exists z(z\in x\,\land \,y\subsetneq z)))\,.}$

ข้อความนี้กล่าวว่าxไม่ว่างเปล่า และสำหรับทุกองค์ประกอบyของxจะมีองค์ประกอบz อีกตัวหนึ่ง ของxที่yเป็นเซตย่อยของzและyไม่เท่ากับzนี่หมายความว่าxเป็นเซตอนันต์โดยไม่ได้กล่าวถึงโครงสร้างของมันมากนัก อย่างไรก็ตาม ด้วยความช่วยเหลือของสัจพจน์อื่นๆ ของ ZF เราสามารถแสดงให้เห็นว่าสิ่งนี้บ่งชี้ถึงการมีอยู่ของ ω ก่อนอื่น ถ้าเราเลือกเซตกำลังของเซตอนันต์x ใดๆ เซตกำลังจะมีองค์ประกอบที่เป็นเซตย่อยของxที่มีขนาดจำกัดทุกขนาด (รวมถึงเซตย่อยอื่นๆ ของxด้วย) การพิสูจน์การมีอยู่ของเซตย่อยจำกัดเหล่านั้นอาจต้องใช้สัจพจน์ของการแยกหรือสัจพจน์ของการจับคู่และการรวมกัน จากนั้นเราสามารถใช้สัจพจน์ของการแทนที่เพื่อแทนที่แต่ละองค์ประกอบของเซตกำลังของxด้วยจำนวนลำดับเริ่มต้น ที่มีขนาดเท่ากัน (หรือศูนย์ ถ้าไม่มีจำนวนลำดับดังกล่าว) ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นเซตอนันต์ของจำนวนลำดับ จากนั้นเราสามารถใช้สัจพจน์ของการรวมกันเพื่อให้ได้ลำดับที่มากกว่าหรือเท่ากับ ω

ไม่สามารถพิสูจน์สัจพจน์ของอนันต์ได้จากสัจพจน์อื่นๆ ของ ZFC หากสัจพจน์เหล่านั้นสอดคล้องกัน (เพื่อดูเหตุผล โปรดสังเกตว่า ZFC บ่งชี้ถึงความสอดคล้องกันของ ZFC − อนันต์ และใช้ทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ข้อที่สอง ของเกอเดล )

การปฏิเสธของสัจพจน์อนันต์ไม่สามารถอนุมานได้จากสัจพจน์อื่นๆ ของ ZFC หากสัจพจน์เหล่านั้นสอดคล้องกัน (ซึ่งเทียบเท่ากับการกล่าวว่า ZFC สอดคล้องกัน หากสัจพจน์อื่นๆ สอดคล้องกัน) ดังนั้น ZFC จึงไม่ได้บ่งชี้ถึงสัจพจน์อนันต์หรือการปฏิเสธของมัน และเข้ากันได้กับทั้งสองอย่าง

อันที่จริง การใช้ลำดับชั้นของฟอน นอยมันน์ เราสามารถสร้างแบบจำลองของ ZFC − Infinity + (¬Infinity) ได้ ซึ่งก็คือกลุ่มของเซตจำกัดที่สืบทอดได้โดยมีความสัมพันธ์ของการเป็นสมาชิกที่สืบทอดมา โปรดสังเกตว่า หากไม่นำสัจพจน์ของเซตว่างมาเป็นส่วนหนึ่งของระบบนี้ (เนื่องจากสามารถอนุมานได้จาก ZF – Empty) แล้วโดเมนว่างก็จะสอดคล้องกับ ZFC − Infinity + ¬Infinity ด้วยเช่นกัน เพราะสัจพจน์ทั้งหมดของมันถูกวัดปริมาณแบบสากล และดังนั้นจึงเป็นไปตามเงื่อนไขโดยปริยายหากไม่มีเซตอยู่ ${\displaystyle V_{\omega }\!}$

จำนวนสมาชิกของเซตของจำนวนธรรมชาติอเลฟศูนย์ ( ) มีคุณสมบัติหลายอย่างของจำนวนเชิงคาร์ดินัลขนาดใหญ่ดังนั้น สัจพจน์ของอนันต์จึงบางครั้งถูกมองว่าเป็นสัจพจน์ของจำนวนเชิงคาร์ดินัลขนาดใหญ่ ข้อแรก และในทางกลับกัน สัจพจน์ของจำนวนเชิงคาร์ดินัลขนาดใหญ่บางครั้งก็ถูกเรียกว่าสัจพจน์ของอนันต์ที่แข็งแกร่งกว่า ${\displaystyle \aleph _{0}}$

• ความจำกัด
• สัจพจน์ของพีอาโน