ทฤษฎีเซตทั่วไป ( GST ) เป็น ชื่อที่ George Boolos (1998) ตั้งให้กับส่วนหนึ่งของทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์Z GST เพียงพอสำหรับคณิตศาสตร์ทุกแขนงที่ไม่ต้องการเซตอนันต์และเป็นทฤษฎีเซตที่อ่อนที่สุดเท่าที่รู้จักซึ่งทฤษฎีบท ของมัน รวมถึงสัจพจน์ Peanoอันดับ แรก

ออนโทโลยีของ GST นั้นเหมือนกับของZFCทุกประการ ดังนั้นจึงถือเป็นแบบแผนอย่างสมบูรณ์ GST มี แนวคิด ทางออ นโทโลยี พื้นฐาน เพียงหนึ่งเดียว คือเซตและมีข้อสมมติทางออนโทโลยีเพียงหนึ่งเดียว คือ บุคคลทั้งหมดในเอกภพของการสนทนา (ดังนั้นวัตถุทางคณิตศาสตร์ ทั้งหมด ) เป็นเซต มีความสัมพันธ์ทวิภาคพื้นฐาน เพียงหนึ่งเดียว คือการเป็นสมาชิกของเซต กล่าว คือ เซตaเป็นสมาชิกของเซตbเขียนได้ว่าa ∈ b (โดยทั่วไปอ่านว่า " aเป็นสมาชิกของb ")

สัจพจน์เชิงสัญลักษณ์ด้านล่างนี้มาจาก Boolos (1998: 196) และควบคุมพฤติกรรมและการปฏิสัมพันธ์ของเซต เช่นเดียวกับZตรรกะพื้นฐานของ GST คือตรรกะอันดับหนึ่งที่มีเอกลักษณ์อันที่จริง GST เป็นส่วนหนึ่งของ Z ที่ได้มาจากการละเว้นสัจพจน์ยูเนียนเซตกำลังเซตพื้นฐาน (โดยพื้นฐานแล้วคือการจับคู่ ) และอนันต์แล้วนำทฤษฎีบทของ Z คือ การเชื่อมโยง มาเป็นสัจพจน์ เวอร์ชันภาษาธรรมชาติของสัจพจน์เหล่านี้มีจุดประสงค์เพื่อช่วยให้เข้าใจได้ง่ายขึ้น

1) สัจพจน์ของความเป็นเซตเดียวกัน : เซตxและyเป็นเซตเดียวกันก็ต่อเมื่อเซตทั้งสองมีสมาชิกเหมือนกัน

${\displaystyle \forall x\forall y[\forall z[z\in x\leftrightarrow z\in y]\rightarrow x=y].}$

บทกลับของสัจพจน์นี้ได้มาจากคุณสมบัติการแทนที่ของความเท่าเทียมกัน

2) แผนผังสัจพจน์ของการกำหนดคุณสมบัติ (หรือการแยกส่วนหรือความเข้าใจที่จำกัด ): ถ้าzเป็นเซต และเป็นคุณสมบัติใดๆ ที่อาจเป็นไปได้สำหรับสมาชิกทั้งหมด บางส่วน หรือไม่มีสมาชิกใดในz ที่มีคุณสมบัตินั้น แล้วจะมีเซตย่อยyของzที่ประกอบด้วยเฉพาะสมาชิกxในzที่ตรงตามคุณสมบัตินั้นข้อจำกัดที่ กำหนดให้เฉพาะ zนั้นจำเป็นเพื่อหลีกเลี่ยงความขัดแย้งของรัสเซลล์และรูปแบบต่างๆ ของมัน กล่าวอย่างเป็นทางการมากขึ้น ให้เป็นสูตรใดๆ ในภาษาของ GST ที่xสามารถปรากฏได้อย่างอิสระและyไม่สามารถปรากฏได้อย่างอิสระ แล้วทุกกรณีของแผนผังต่อไปนี้จะเป็นสัจพจน์: ${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi (x)}$

${\displaystyle \forall z\exists y\forall x[x\in y\leftrightarrow (x\in z\land \phi (x))].}$

3) สัจพจน์ของการเชื่อมโยง : ถ้าxและyเป็นเซต จะมีเซตwซึ่งเป็นการ^{เชื่อม}โยงของxและyโดยมีสมาชิกคือyและสมาชิกของx เท่านั้น ^{[ 1} ]

${\displaystyle \forall x\forall y\exists w\forall z[z\in w\leftrightarrow (z\in x\lor z=y)].}$

การเชื่อมโยง (Adjunction)หมายถึงการดำเนินการพื้นฐานบนเซตสองเซต และไม่มีความเกี่ยวข้องกับการใช้คำนั้นในที่อื่น ๆ ทางคณิตศาสตร์ รวมถึงในทฤษฎีหมวดหมู่ (Category Theory )

ST คือ GST ที่แทนที่แบบแผนสัจพจน์ของการกำหนดคุณสมบัติด้วยสัจพจน์ของเซตว่าง :

${\displaystyle \exists x\forall y[y\notin x].}$

โปรดทราบว่า Specification เป็นโครงร่างสัจพจน์ ทฤษฎีที่กำหนดโดยสัจพจน์เหล่านี้ไม่สามารถทำให้เป็นสัจพจน์ได้แบบจำกัด Montague ( 1961) แสดงให้เห็นว่าZFCไม่สามารถทำให้เป็นสัจพจน์ได้แบบจำกัด และข้อโต้แย้งของเขาสามารถนำไปใช้กับ GST ได้ ดังนั้น การทำให้ GST เป็นสัจพจน์ใดๆ จะต้องมีโครงร่างสัจพจน์ อย่างน้อยหนึ่งโครงร่าง ด้วยสัจพจน์ที่เรียบง่าย GST จึงไม่ได้รับผลกระทบจากความขัดแย้งที่สำคัญสามประการของทฤษฎีเซตแบบง่ายได้แก่ ความ ขัดแย้ง ของ Russell , Burali-FortiและCantor

GST สามารถตีความได้ในพีชคณิตเชิงสัมพันธ์ เนื่องจากไม่มีส่วนใดของสัจพจน์ GST ที่อยู่ในขอบเขตของ ตัวบ่งปริมาณมากกว่าสามตัวนี่คือเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอที่ระบุไว้ใน Tarski และ Givant (1987)

การกำหนดφ ( x ) ในการแยกเป็นx ≠ xและสมมติว่าโดเมนไม่ว่างเปล่า ทำให้มั่นใจได้ว่าเซตว่าง มี อยู่จริงการเชื่อมโยงบ่งชี้ว่าถ้าxเป็นเซตแล้ว ก็เป็นเซตเช่นกันเมื่อกำหนดการเชื่อมโยง แล้ว การสร้างลำดับที่สืบทอดจากเซตว่าง ตามปกติ สามารถดำเนินต่อไปได้ โดยที่จำนวนธรรมชาติถูกกำหนดเป็นดูสัจพจน์ของ Peano GST สามารถตีความร่วมกันได้กับเลขคณิตของ Peano (ดังนั้นจึงมีความแข็งแกร่งทางทฤษฎีบทการพิสูจน์เช่นเดียวกับ PA) ${\displaystyle S(x)=x\cup \{x\}}$${\displaystyle \varnothing ,\,S(\varnothing ),\,S(S(\varnothing )),\,\ldots ,}$

ข้อเท็จจริงที่น่าทึ่งที่สุดเกี่ยวกับ ST (และด้วยเหตุนี้ GST) คือ ชิ้นส่วนเล็กๆ ของทฤษฎีเซตเหล่านี้ก่อให้เกิดอภิคณิตศาสตร์ที่อุดมสมบูรณ์เช่นนี้ ในขณะที่ ST เป็นชิ้นส่วนเล็กๆ ของทฤษฎีเซตแบบแคนอนิกที่รู้จักกันดีอย่างZFCและNBGนั้น ST ตีความเลขคณิตของโรบินสัน (Q) ดังนั้น ST จึงสืบทอดอภิคณิตศาสตร์ที่ไม่ธรรมดาของ Q ตัวอย่างเช่น ST นั้นไม่สามารถตัดสินได้โดยพื้นฐานเพราะ Q ก็เป็นเช่นนั้น และทฤษฎีที่สอดคล้องกันทุกทฤษฎีที่มีทฤษฎีบทที่รวมถึงสัจพจน์ของ ST ก็ไม่สามารถตัดสินได้โดยพื้นฐานเช่นกัน^{[ 2 ] [ 3 ]}ซึ่งรวมถึง GST และทฤษฎีเซตสัจพจน์ทุกทฤษฎีที่ควรค่าแก่การพิจารณา โดยสมมติว่าทฤษฎีเหล่านี้สอดคล้องกัน อันที่จริงความไม่สามารถตัดสินได้ ของ ST บ่งบอกถึงความไม่สามารถตัดสินได้ของตรรกะลำดับที่หนึ่งที่มี ตัวอักษรภาคแสดงไบนารีตัวเดียว^{[ 4 ]}

Q ก็ไม่สมบูรณ์ในความหมายของทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ของเกอเดลเช่นกัน ทฤษฎีใดๆ ที่สามารถกำหนดเป็นสัจพจน์ได้ เช่น ST และ GST ซึ่งทฤษฎีบทต่างๆ รวมถึงสัจพจน์ของ Q ก็ไม่สมบูรณ์เช่นกัน ยิ่งไปกว่านั้น ความสอดคล้องของ GST ไม่สามารถพิสูจน์ได้ภายใน GST เอง เว้นแต่ว่า GST จะไม่สอดคล้องกันจริงๆ

เมื่อกำหนดแบบจำลองM ใดๆ ของ ZFC แล้ว ชุดของเซตจำกัดที่สืบทอดได้ในMจะสอดคล้องกับสัจพจน์ของ GST ดังนั้น GST จึงไม่สามารถพิสูจน์การมีอยู่ของแม้แต่เซตอนันต์ที่ นับได้ นั่นคือเซตที่มีจำนวนสมาชิกเท่ากับ n ได้ แม้ว่า GST จะสามารถพิสูจน์การมีอยู่ของเซตอนันต์ที่นับได้ แต่ GST ก็ไม่สามารถพิสูจน์การมีอยู่ของเซตที่มีจำนวนสมาชิกเท่ากับ n ได้ เพราะ GST ขาดสัจพจน์ของเซตกำลังดังนั้น GST จึงไม่สามารถเป็นพื้นฐาน ของ การวิเคราะห์และเรขาคณิตได้ และอ่อนแอเกินกว่าที่จะใช้เป็นรากฐานของคณิตศาสตร์ ${\displaystyle \aleph _{0}}$${\displaystyle \aleph _{1}}$

บูโลสสนใจ GST เพียงในฐานะส่วนหนึ่งของZที่มีประสิทธิภาพเพียงพอที่จะตีความเลขคณิตของพีอาโนเขาไม่เคยพิจารณา GST อย่างละเอียดถี่ถ้วน เพียงแต่กล่าวถึงมันสั้นๆ ในเอกสารหลายฉบับที่กล่าวถึงระบบGrundlagenและGrundgesetzeของเฟรเกและวิธีการปรับเปลี่ยนระบบเหล่านั้นเพื่อขจัดความขัดแย้งของรัสเซลล์ระบบAξ' [δ ₀ ] ใน Tarski และ Givant (1987: 223) นั้นโดยพื้นฐานแล้วคือ GST ที่มีโครงร่างสัจพจน์ของการเหนี่ยวนำมาแทนที่Specificationและมีการสมมติอย่างชัดเจนว่า มี เซตว่าง อยู่

GST เรียกว่า STZ ใน Burgess (2005) หน้า 223 ^{[ 5 ]}ทฤษฎี ST ของ Burgess ^{[ 6 ]}คือ GST ที่มีเซตว่างมาแทนที่แบบแผนสัจพจน์ของการกำหนดคุณสมบัติ การที่ตัวอักษร "ST" ปรากฏใน "GST" เป็นเพียงความบังเอิญ

• สารานุกรมปรัชญาแห่งสแตนฟอร์ด : ทฤษฎีเซต —โดย โทมัส เจค