สัจพจน์ของความขยาย [ ^{1 ] [ 2 ]}หรือที่เรียกว่า^{สัจพจน์}ของขอบเขต [ ^{3 ] [ 4 ]}เป็นสัจพจน์ที่ใช้ในทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์ หลายรูป ^แบบเช่น ทฤษฎีเซต ของZermelo–Fraenkel ^{[ 5 ] [ 6 ]}สัจพจน์นี้กำหนดว่าเซตคือ อะไร ^{[ 1 ]}โดยทั่วไป สัจพจน์นี้หมายความว่าเซตA และ B เท่ากันก็ต่อเมื่อAและBมีสมาชิกเหมือนกัน

คำว่าextensionalityที่ใช้ใน'สัจพจน์ของ extensionality'มีรากฐานมาจากตรรกศาสตร์นิยามเชิงความหมายอธิบาย เงื่อนไข ที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการใช้คำกับวัตถุ ตัวอย่างเช่น " จำนวนคู่คือจำนวนเต็มที่หาร ด้วย 2 ลงตัว " ส่วนนิยามเชิงความหมายจะแสดงรายการวัตถุทั้งหมดที่คำนั้นใช้ได้ ตัวอย่างเช่น "จำนวนคู่คือจำนวนเต็มใดๆ ต่อไปนี้: 0, 2, 4, 6, 8..., -2, -4, -6, -8..." ในตรรกศาสตร์ ส่วนขยายของภาคแสดงคือเซตของสิ่งต่างๆ ทั้งหมดที่ภาคแสดงนั้นเป็นจริง^{[ 7 ]}

คำศัพท์เชิงตรรกะนี้ถูกนำมาใช้ในทฤษฎีเซตในปี พ.ศ. 2336 กอตต์ล็อบ เฟรเกพยายามใช้แนวคิดเรื่องการขยายอย่างเป็นทางการในกฎพื้นฐานของเลขคณิต (ภาษาเยอรมัน: Grundgesetze der Arithmetik ) ^{[ 8 ] [ 9 ]}โดยที่ ถ้าเป็นภาคแสดง การขยาย (ภาษาเยอรมัน: Umfang ) ของมัน คือเซตของวัตถุทั้งหมดที่สอดคล้องกับ[ ^{10 ] ตัวอย่าง}เช่น ถ้าคือ "x เป็นเลขคู่" แล้วคือเซต ในงานของเขา เขาได้กำหนด กฎพื้นฐานข้อที่ 5ที่มีชื่อเสียงของเขาไว้ดังนี้: ^{[ 11 ]}โดยระบุว่าถ้าภาคแสดงสองภาคแสดงมีการขยายเหมือนกัน (พวกมันสอดคล้องกับเซตของวัตถุเดียวกัน) แล้วพวกมันจะเทียบเท่ากันทางตรรกะ อย่างไรก็ตาม ต่อมาได้มีการกำหนดว่าสัจพจน์นี้ทำให้เกิดความขัดแย้งของรัสเซลล์ คำกล่าวที่ชัดเจนครั้งแรกของสัจพจน์สมัยใหม่ของความขยายได้เกิดขึ้นในปี 1908 โดยErnst Zermeloในบทความเกี่ยวกับทฤษฎีบทการเรียงลำดับที่ดีซึ่งเขาได้นำเสนอทฤษฎีเซตสัจพจน์แรก ซึ่งปัจจุบันเรียกว่าทฤษฎีเซตของ Zermeloซึ่งกลายเป็นพื้นฐานของทฤษฎีเซตสมัยใหม่^{[ 12 ]}คำเฉพาะสำหรับ "ความขยายได้" ที่ Zermelo ใช้คือ "Bestimmtheit" คำภาษาอังกฤษเฉพาะ "extensionality" เพิ่งกลายเป็นที่นิยมในตำราคณิตศาสตร์และตรรกศาสตร์ในช่วงทศวรรษ 1920 และ 1930 ^{[ 13 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่งกับการกำหนดรูปแบบของตรรกศาสตร์และทฤษฎีเซตโดยบุคคลต่างๆ เช่นAlfred TarskiและJohn von Neumann ${\displaystyle F}$${\displaystyle \varepsilon F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F(x)}$${\displaystyle \varepsilon F}$${\displaystyle \{\cdots ,-4,-2,0,2,4,\cdots \}}$$${\displaystyle \varepsilon F=\varepsilon G\equiv \forall x(F(x)\equiv G(x))}$$

ในภาษาที่เป็นทางการของสัจพจน์ Zermelo–Fraenkel สัจพจน์นั้นมีดังนี้:

${\displaystyle \forall x\forall y\,[\forall z\,(\left.z\in x\right.\leftrightarrow \left.z\in y\right.)\rightarrow x=y]}$^{[ 14 ] [ 15 ] [ 16 ]}

หรือกล่าวเป็นคำพูดได้ว่า:

ถ้าเซตและมีสมาชิกเหมือนกัน เซตทั้งสองก็จะเป็นเซตเดียวกัน^{[ 14 ] [ 1 ]}${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

ในทฤษฎีเซตบริสุทธิ์สมาชิกทั้งหมดของเซตล้วนเป็นเซต แต่ในทฤษฎีเซตที่มี องค์ประกอบพื้นฐาน (urelements ) นั้นไม่เป็นเช่นนั้น ประโยชน์ของสัจพจน์นี้สามารถเห็นได้จากข้อเท็จจริงที่ว่า หากยอมรับว่าโดยที่เป็นเซต และเป็นสูตรที่ปรากฏอย่างอิสระใน แต่ไม่ปรากฏใน แล้วสัจพจน์นี้จะรับประกันว่ามีเซตที่ไม่ซ้ำกันเพียงเซตเดียวซึ่งสมาชิกคือวัตถุใดๆ ก็ตาม (องค์ประกอบพื้นฐานหรือเซต แล้วแต่กรณี) ที่สอดคล้องกับสูตร${\displaystyle \exists A\,\forall x\,(x\in A\iff \Phi (x))}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \Phi (x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \Phi (x)}$

บทกลับของสัจพจน์เป็นผลมาจากคุณสมบัติการแทนที่ของความเท่าเทียมกันอย่างไรก็ตาม บางครั้งสัจพจน์ก็ถูกกำหนดโดยตรงเป็น^{เงื่อนไข}สองทางเช่น^{[ 1} ]${\displaystyle \forall x\forall y\,[x=y\rightarrow \forall z\,(\left.z\in x\right.\leftrightarrow \left.z\in y\right.)]}$${\displaystyle \forall x\forall y\,[\forall z\,(\left.z\in x\right.\leftrightarrow \left.z\in y\right.)\leftrightarrow x=y]}$

ทฤษฎีเซต New Foundations (NF) ของQuineในการนำเสนอแบบดั้งเดิมของ Quine นั้น ถือว่าสัญลักษณ์สำหรับความเท่าเทียมหรือเอกลักษณ์เป็นตัวย่อที่มีคำจำกัดความในแง่ของ⁠ ⁠แทนที่จะเป็นสัญลักษณ์พื้นฐานของภาษาเชิงรูปธรรมเหมือนในการนำเสนอทฤษฎีเซต ZF ทั่วไป มีคำจำกัดความดังกล่าวสองแบบ แบบหนึ่งต้องการสัจพจน์ของการขยายตัวแยกต่างหาก และอีกแบบหนึ่งแสดงถึงหลักการของการขยายตัวในตัวมันเองอยู่แล้ว ${\displaystyle =}$${\displaystyle \in }$

ในNew Foundations for Mathematical Logic ของ Quine (1937) ^{[ 17 ]} ซึ่ง เป็นเอกสารต้นฉบับของ NF นิยาม D8 กำหนดให้⁠ ⁠${\displaystyle x=y}$เป็นคำย่อสำหรับ⁠ ⁠ ${\displaystyle \forall z\,(x\in z\rightarrow y\in z)}$^{[หมายเหตุ 1 ]}นิยามนี้อิงตามเจตนามากกว่าการขยายความ เนื่องจากสามารถอ่านได้ว่า "วัตถุสองชิ้นเท่ากันก็ต่อเมื่อวัตถุชิ้นหนึ่งอยู่ในเซตทั้งหมดที่วัตถุอีกชิ้นหนึ่งอยู่ในเซตนั้น (กล่าวคือ มีคุณสมบัติทั้งหมดที่วัตถุอีกชิ้นหนึ่งมี)" นิยามนี้ รวมถึงรูปแบบที่แทนที่เงื่อนไขด้วยเงื่อนไขสองทางเป็นที่นิยมในสมัยของ Quine ^{[ 18 ] : 136} ชื่อ " หลักการของการขยายความ " จึงถูกตั้งให้กับสมมติฐาน P1, , ^{[หมายเหตุ 2 ]}ซึ่งเทียบเท่าทางตรรกะกับสัจพจน์ของการขยายความของ ZF ${\displaystyle x\subset y\rightarrow (y\subset x\rightarrow x=y)}$

ในตรรกศาสตร์คณิตศาสตร์ ของเขา (1951) ^{[ 18 ]} Quine นิยาม⁠ ⁠${\displaystyle x=y}$ว่าเป็น⁠ ⁠${\displaystyle \forall z\,(z\in x\leftrightarrow z\in y)}$ (นิยาม D10) ^{[หมายเหตุ 3 ]}ซึ่งเทียบเท่ากับเงื่อนไขเบื้องต้นของสัจพจน์ ZF ของความขยายได้ โดยอิงจากหลักการที่ว่า "คลาสจะเหมือนกันเมื่อสมาชิกของคลาสนั้นเหมือนกัน" แม้ว่า Quine ดูเหมือนจะถือว่าหลักการนี้เป็นที่ยอมรับอยู่แล้ว ณ จุดนี้ และไม่ได้กล่าวถึง "ความขยายได้" อย่างชัดเจน การเปลี่ยนแปลงนิยามนี้เกิดจากความปรารถนาที่จะเข้ากันได้กับคลาสที่เหมาะสม^{[ 18 ] : 130–131,136,175} Quine ยังต้องแนะนำสัจพจน์การทดแทน อีกด้วย ^{[ 18 ] : 162}

ถ้า⁠ ⁠${\displaystyle \phi }$เป็นอะตอม และ⁠ ⁠${\displaystyle \phi '}$ถูกสร้างขึ้นจาก⁠ ⁠${\displaystyle \phi }$โดยการใส่⁠ ⁠${\displaystyle \alpha '}$สำหรับการเกิดขึ้นของ⁠ ⁠${\displaystyle \alpha }$แล้ว⁠ ⁠${\displaystyle \vdash \ulcorner \alpha =\alpha '\;.\supset \,.\,\phi \supset \phi '\urcorner }$

เพื่อชดเชยการเปลี่ยนแปลงคำจำกัดความนี้

บัญชีสมัยใหม่ของ NF มักจะอิงตามตรรกะลำดับแรกที่มีความเท่าเทียมกัน (โดยที่ สัญลักษณ์ ⁠ ⁠${\displaystyle =}$ถือเป็นแบบดั้งเดิมโดยอัตโนมัติ) และยอมรับสัจพจน์ของการขยายในรูปแบบ ZF ^{[ 19 ] [ 20 ]}

ใน ทฤษฎีเซต Scott–Potter (ZU) “หลักการขยาย” ถูกกำหนดให้เป็นทฤษฎีบทแทนที่จะเป็นสัจพจน์ ซึ่งได้รับการพิสูจน์จากนิยามของ “คอลเลกชัน” ^{[ 21 ]}${\displaystyle (\forall x)(\left.x\in a\right.\Leftrightarrow \left.x\in b\right.)\Rightarrow a=b}$

องค์ประกอบดั้งเดิม (ur-element)คือสมาชิกของเซตที่ไม่ใช่เซต ในสัจพจน์ของ Zermelo–Fraenkel ไม่มีองค์ประกอบดั้งเดิม แต่มีการรวมอยู่ในสัจพจน์ทางเลือกบางอย่างของทฤษฎีเซต^{[ 22 ]} องค์ประกอบดั้งเดิมสามารถถือได้ว่าเป็นประเภทตรรกะ ที่แตกต่าง จากเซต ในกรณีนี้จะไม่มีความหมายหากเป็นองค์ประกอบดั้งเดิม ดังนั้นสัจพจน์ของความขยายจึงใช้ได้กับเซตเท่านั้น^{[ 23 ]}${\displaystyle B\in A}$${\displaystyle A}$

อีกทางเลือกหนึ่ง ในตรรกศาสตร์ที่ไม่ระบุประเภท เราสามารถกำหนด ให้เป็นเท็จได้เมื่อใดก็ตามที่เป็นองค์ประกอบพื้นฐาน ในกรณีนี้ สัจพจน์ปกติของการขยายขอบเขตจะบ่งชี้ว่าองค์ประกอบพื้นฐานทุกตัวเท่ากับเซตว่างเพื่อหลีกเลี่ยงผลลัพธ์นี้ เราสามารถแก้ไขสัจพจน์ของการขยายขอบเขตให้ใช้ได้เฉพาะกับเซตที่ไม่ว่างเท่านั้น ดังนั้นจึงมีข้อความดังนี้: ${\displaystyle B\in A}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle \forall A\,\forall B\,(\exists X\,(X\in A)\implies [\forall Y\,(Y\in A\iff Y\in B)\implies A=B]\,).}$

นั่นคือ:

กำหนดให้เซตAและเซตB ใดๆ ถ้าA เป็นเซตที่ไม่ว่าง (กล่าวคือ ถ้ามีสมาชิกXของA ) แล้วถ้าAและBมีสมาชิกเหมือนกันทุกประการ เซตทั้งสองก็จะเท่ากัน

อีกทางเลือกหนึ่งในตรรกศาสตร์ไร้ประเภทคือการกำหนดให้ตัวเองเป็นองค์ประกอบเดียวของเซต เมื่อใดก็ตามที่เป็นองค์ประกอบดั้งเดิม เซตดังกล่าวเรียกว่าอะตอมของควิน (Quine atom ) แม้ว่าวิธีการนี้จะช่วยรักษาสัจพจน์ของการขยายตัวได้ แต่สัจพจน์ของความสม่ำเสมอจะต้องได้รับการปรับเปลี่ยนแทน ${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

• การขยายตัว
• บริบทเชิงขยาย
• ส่วนขยาย (ตรรกศาสตร์ภาคแสดง)
• ทฤษฎีเซต
• คำศัพท์เฉพาะของทฤษฎีเซต