ในทางคณิตศาสตร์กลุ่มไคลน์ (Kleinian group) ^คือกลุ่มย่อยแบบไม่ต่อเนื่องของกลุ่มไอโซเมตรีที่รักษาทิศทางของ ปริภูมิ ไฮเปอร์โบลิก 3 มิติH₃ซึ่งระบุได้ด้วยPSL(2, C )เป็นกลุ่มผลหาร ของ เมทริกซ์เชิงซ้อน 2x2 ที่มีดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับ 1 หารด้วยจุดศูนย์กลางซึ่งประกอบด้วยเมทริกซ์เอกลักษณ์และผลคูณของเมทริกซ์เอกลักษณ์กับ-1 PSL(2, C )มีการแสดงแทนตามธรรมชาติในรูปของการแปลงคอนฟอร์มอลที่ รักษา ทิศทางของทรงกลมรีมันน์และการแปลงคอนฟอร์มอล^{ที่รักษา} ทิศทางของ ลูกบอลหน่วยเปิดB₃ในR₃กลุ่มการแปลงโมเบียสก็มีความเกี่ยวข้องเช่นกันในฐานะกลุ่มไอโซเมตรีที่ไม่รักษาทิศทางของH₃ PGL ( 2, C ) ดังนั้น กลุ่มไคลน์ ^จึงสามารถมองได้ว่าเป็นกลุ่มย่อยแบบไม่ต่อเนื่องที่กระทำบนปริภูมิใดปริภูมิหนึ่งเหล่านี้

ทฤษฎีของกลุ่ม Kleinian ทั่วไปก่อตั้งขึ้นโดย Felix Klein ^{[ 1 ]}และ Henri Poincaré ^{[ 2 ]}ซึ่งตั้งชื่อตามFelix Kleinกรณีพิเศษของกลุ่ม Schottkyได้รับการศึกษาเมื่อไม่กี่ปีก่อนหน้านั้น ในปี 1877 โดยFriedrich Schottky

นิยามสมัยใหม่หนึ่งของกลุ่ม Kleinian คือกลุ่มที่กระทำบน3-ball ในฐานะกลุ่มแยกย่อยของการแปลงไอโซเมตรีไฮเปอร์โบลิกปริภูมิ 3 มิติไฮเปอร์โบลิกมีขอบเขตตามธรรมชาติ ในแบบจำลองลูกบอลสามารถระบุขอบเขตนี้ได้ด้วยทรงกลม 2 มิติ เราเรียกมันว่าทรงกลมที่อนันต์และใช้สัญลักษณ์แทนด้วย การ แปลงไอโซเมตรีไฮเปอร์โบลิกขยายไปสู่การแปลงโฮมีโอเมอร์ฟิซึมแบบคอนฟอร์มอลของทรงกลมที่อนันต์ (และในทางกลับกัน การแปลงโฮมีโอเมอร์ฟิซึมแบบคอนฟอร์มอลทุกตัวบนทรงกลมที่อนันต์จะขยายไปสู่การแปลงไอโซเมตรีไฮเปอร์โบลิกบนลูกบอลได้อย่างไม่ซ้ำกันโดยการขยายแบบ Poincaré ) ^{[ 3 ]}เป็นผลลัพธ์มาตรฐานจากการวิเคราะห์เชิงซ้อนที่ว่าการแปลงโฮมีโอเมอร์ฟิซึมแบบคอนฟอร์มอลบนทรงกลมรีมันน์คือการแปลงโมเบียสซึ่งสามารถระบุได้ว่าเป็นองค์ประกอบของกลุ่มเชิงเส้นเชิงโปรเจกที ฟ PGL(2, C ) ^{[ 3 ]}ดังนั้น กลุ่ม Kleinian จึงสามารถกำหนดเป็นกลุ่มย่อย Γ ของ PGL(2, C ) ได้เช่นกัน ตามหลักการดั้งเดิม กลุ่มไคลน์จะต้องกระทำการอย่างไม่ต่อเนื่องอย่างเหมาะสมบนเซตย่อยเปิดที่ไม่ว่างเปล่าของทรงกลมรีมันน์ แต่การใช้งานสมัยใหม่นั้นอนุญาตให้ใช้กลุ่มย่อยแบบไม่ต่อเนื่องใดๆ ก็ได้${\displaystyle B^{3}}$${\displaystyle S_{\infty }^{2}}$

เมื่อ Γ มีโครงสร้างสมมาตรกับกลุ่มพื้นฐาน ของไฮเปอร์โบลิก 3 มิติปริภูมิผลหาร H 3 ^/ Γ จะกลายเป็นแบบจำลองไคลน์ของแมนิโฟลด์นั้น ผู้เขียนหลายคนใช้คำว่าแบบจำลองไคลน์และกลุ่มไคลน์สลับกันไปมา โดยให้คำหนึ่งแทนอีกคำหนึ่ง${\displaystyle \pi _{1}}$

ความเป็นแบบไม่ต่อเนื่องหมายความว่าจุดต่างๆ ภายในปริภูมิไฮเปอร์โบลิก 3 มิติจะมีตัวรักษาเสถียรภาพ แบบจำกัด และวงโคจร แบบไม่ต่อเนื่อง ภายใต้กลุ่ม Γ ในทางกลับกัน วงโคจร Γ pของจุดpโดยทั่วไปจะสะสมอยู่บนขอบของ ทรง กลมปิด${\displaystyle {\bar {B}}^{3}}$

เซตของจุดสะสมของ Γ pในเรียกว่าเซตลิมิตของΓ และโดยทั่วไปจะใช้สัญลักษณ์ ส่วนเติมเต็มเรียกว่าโดเมนของความไม่ต่อเนื่องหรือเซตธรรมดาหรือเซตปกติทฤษฎีบทความจำกัดของ Ahlforsบ่งชี้ว่า ถ้ากลุ่ม ถูกสร้างขึ้นอย่างจำกัดแล้วจะเป็น ออร์บิโฟลด์ พื้นผิวรีมันน์ชนิดจำกัด${\displaystyle S_{\infty }^{2}}$ ${\displaystyle \แลมบ์ดา (\แกมมา )}$${\displaystyle \Omega (\Gamma )=S_{\infty }^{2}-\Lambda (\Gamma )}$${\displaystyle \Omega (\Gamma )/\Gamma }$

ทรงกลมหน่วยB ³ที่มีโครงสร้างเชิงคอนฟอร์มอลคือแบบจำลองปวงกาเรของปริภูมิไฮเปอร์โบลิก 3 มิติเมื่อเราคิดถึงมันในเชิงเมตริก ด้วยเมตริก

${\displaystyle ds^{2}={\frac {4\,\left|dx\right|^{2}}{\left(1-|x|^{2}\right)^{2}}}}$

เป็นแบบจำลองของปริภูมิไฮเปอร์โบลิก 3 มิติH ³เซตของการแปลงแบบคอนฟอร์มอลของB ³จะกลายเป็นเซตของการแปลงแบบไอโซเมตริก (เช่น การแปลงที่รักษาระยะทาง) ของH ³ภายใต้การระบุนี้ การแปลงดังกล่าวจำกัดอยู่เฉพาะการแปลงแบบคอนฟอร์มอลของซึ่งเป็นการแปลงแบบโมเบียสมีไอโซมอร์ฟิซึมอยู่${\displaystyle S_{\infty }^{2}}$

${\displaystyle \operatorname {Mob} (S_{\infty }^{2})\cong \operatorname {Conf} (B^{3})\cong \operatorname {Isom} (\mathbf {H} ^{3}).}$

กลุ่มย่อยของกลุ่มเหล่านี้ซึ่งประกอบด้วย การแปลง ที่รักษาทิศทางทั้งหมดเป็นไอโซมอร์ฟิกกับกลุ่มเมทริกซ์เชิงโปรเจกทีฟ: PSL(2, C ) ผ่านการระบุทรงกลมหน่วย ตามปกติ กับเส้นเชิงโปรเจกทีฟเชิงซ้อนP ¹ ( C )

• กล่าวได้ว่ากลุ่มไคลเนียนเป็นกลุ่มประเภทจำกัดหากบริเวณที่ไม่ต่อเนื่องของกลุ่มนั้นมีจำนวนวงโคจรของส่วนประกอบภายใต้การกระทำของกลุ่มที่จำกัด และผลหารของแต่ละส่วนประกอบด้วยตัวรักษาเสถียรภาพของมันคือพื้นผิวรีมันน์แบบกระชับที่มีจุดถูกลบออกไปจำนวนจำกัด และการปกคลุมนั้นมีการแตกแขนงที่จุดจำนวนจำกัด
• กลุ่มไคลน์เนียนเรียกว่ากลุ่มที่สร้างขึ้นโดยจำนวนจำกัดถ้ามันมีจำนวนตัวสร้างที่จำกัดทฤษฎีบทความจำกัดของอาห์ลฟอร์สกล่าวว่ากลุ่มดังกล่าวเป็นกลุ่มประเภทจำกัด
• กลุ่มไคลเนียน Γ มีปริมาตรจำกัดถ้าH ³ /Γ มีปริมาตรจำกัด กลุ่มไคลเนียนใดๆ ที่มีปริมาตรจำกัด จะมีจำนวนสมาชิกที่สร้างขึ้นอย่างจำกัด
• กลุ่มไคลเนียนเรียกว่ากลุ่มจำกัดทางเรขาคณิตก็ต่อเมื่อมีทรงหลายเหลี่ยมพื้นฐาน (ในปริภูมิไฮเปอร์โบลิก 3 มิติ) ที่มีจำนวนด้านจำกัด อห์ลฟอร์สแสดงให้เห็นว่าถ้าเซตลิมิตไม่ใช่ทรงกลมรีมันน์ทั้งหมดแล้ว เซตลิมิตจะมีขนาดเป็น 0
• กลุ่มไคลเนียน Γ เรียกว่ากลุ่มเลขคณิตถ้ามันสอดคล้องกับสมาชิกที่มีนอร์มกลุ่ม 1 ของอันดับของพีชคณิตควอเทอร์เนียนAที่แตกแขนงที่ตำแหน่งจริงทั้งหมดเหนือฟิลด์จำนวนkที่มีตำแหน่งเชิงซ้อนเพียงหนึ่งตำแหน่ง กลุ่มไคลเนียนเลขคณิตมีปริมาตรร่วมจำกัด
• กลุ่มไคลเนียน Γ เรียกว่าโคคอมแพ็กต์ถ้าH ³ /Γ เป็นคอมแพ็กต์ หรือเทียบเท่ากับ SL(2, C )/Γ เป็นคอมแพ็กต์ กลุ่มไคลเนียนโคคอมแพ็กต์มีปริมาตรโคคอมแพ็กต์จำกัด
• กลุ่มไคลน์เรียกว่ากลุ่มที่เชื่องในเชิงโทโพโลยีหากกลุ่มนั้นถูกสร้างขึ้นโดยจำนวนจำกัด และแมนิโฟลด์ไฮเปอร์โบลิกของกลุ่มนั้นมีลักษณะสมมาตรกับส่วนภายในของแมนิโฟลด์กระชับที่มีขอบเขต
• กลุ่ม Kleinian เรียกว่ากลุ่มที่เชื่องทางเรขาคณิตหากปลายของกลุ่มนั้นมีขอบเขตจำกัดทางเรขาคณิตหรือเสื่อมสภาพเท่านั้น^{[ 4 ]}
• กล่าวกันว่ากลุ่มไคลน์เนียนเป็นกลุ่มประเภทที่ 1ถ้าเซตลิมิตคือทรงกลมรีมันน์ทั้งหมด และเป็นกลุ่มประเภทที่ 2ในกรณีอื่น ๆ

• การตัดแบบ Maskitผ่านพื้นที่โมดูลัสของกลุ่ม Kleinian

กลุ่มกึ่งฟุคเซียน

กลุ่มไคลน์เนียนที่รักษาเส้นโค้งจอร์แดน ไว้ เรียกว่ากลุ่มควาซีฟุคเซียนเมื่อเส้นโค้งจอร์แดนเป็นวงกลมหรือเส้นตรง กลุ่มเหล่านี้จะเป็นกลุ่มคู่สมกับกลุ่มฟุคเซียนภายใต้การแปลงคอนฟอร์มอล กลุ่มควาซีฟุคเซียนที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดจะเป็นกลุ่มคู่สมกับกลุ่มฟุคเซียนภายใต้การแปลงควาซีคอนฟอร์มอล เซตลิมิตจะอยู่ในเส้นโค้งจอร์แดนที่ไม่เปลี่ยนแปลง และถ้ามันเท่ากับเส้นโค้งจอร์แดน กลุ่มนั้นจะเรียกว่ากลุ่มชนิดที่หนึ่งและถ้าไม่เท่ากับกลุ่มนั้นจะเรียกว่ากลุ่มชนิดที่สอง

• การคาดการณ์การวัดของอาลฟอร์ส
• ทฤษฎีบทความหนาแน่นสำหรับกลุ่มไคลเนียน
• ทฤษฎีการลามิเนตขั้นสุดท้าย
• ทฤษฎีความเชื่อง (ข้อสันนิษฐานของมาร์เดน)

• ภาพของเซตลิมิตของกลุ่มกึ่งฟุคเซียนจาก( Fricke & Klein 1897 , หน้า418 ) 
• ภาพเซตลิมิตของกลุ่มไคลน์จาก( Fricke & Klein 1897 , หน้า440)นี่เป็นหนึ่งในภาพแรกๆ ของเซตลิมิตภาพวาดด้วยคอมพิวเตอร์ของเซตลิมิตเดียวกัน 
• ภาพเคลื่อนไหวของเซตจำกัดกลุ่มไคลเนียน
• ภาพที่เกี่ยวข้องกับกลุ่มไคลเนียนโดยแมคมัลเลน
• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "กลุ่มไคลเนียน" . แมธเวิลด์ .