ในทางคณิตศาสตร์กลุ่มโทโพโลยีGเรียกว่ากลุ่มดิสครีตหากไม่มีจุดลิมิตในกลุ่มนั้น (กล่าวคือ สำหรับแต่ละองค์ประกอบในGจะมีบริเวณใกล้เคียงที่มีเฉพาะองค์ประกอบนั้นเท่านั้น) หรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง กลุ่มGเป็นกลุ่มดิสครีตก็ต่อเมื่อเอกลักษณ์ ของกลุ่มนั้น แยกตัวออกมา^{[ 1 ]}

กลุ่มย่อยHของกลุ่มเชิงทอพอโลยีGเรียกว่ากลุ่มย่อยแบบไม่ต่อเนื่องถ้าHเป็นกลุ่มย่อยแบบไม่ต่อเนื่องเมื่อกำหนด ทอ พอโลยีของปริภูมิย่อยจากG กล่าวอีกนัยหนึ่ง คือมีบริเวณใกล้เคียงของเอกลักษณ์ในGที่ไม่มีสมาชิกอื่นใดของH อยู่ ตัวอย่างเช่นจำนวนเต็ม Z เป็นกลุ่มย่อยแบบไม่ต่อเนื่องของจำนวนจริงR (ด้วยทอพอโลยีเมตริก มาตรฐาน ) แต่จำนวนตรรกยะ Q ไม่ใช่

กลุ่มใดๆ ก็สามารถมีโทโพโลยีแบบไม่ต่อเนื่องได้ ทำให้กลุ่มนั้นกลายเป็นกลุ่มโทโพโลยีแบบไม่ต่อเนื่อง เนื่องจากทุกแผนที่จากปริภูมิแบบไม่ต่อเนื่องเป็นแผนที่ต่อเนื่อง ดังนั้น โฮโมมอร์ฟิซึมโทโพโลยีระหว่างกลุ่มแบบไม่ต่อเนื่องจึงเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมกลุ่มระหว่างกลุ่มพื้นฐานอย่างแท้จริง ดังนั้นจึงมีไอโซมอร์ฟิซึมระหว่างหมวดหมู่ของกลุ่มและหมวดหมู่ของกลุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง กลุ่มแบบไม่ต่อเนื่องจึงสามารถระบุได้กับกลุ่มพื้นฐาน (ที่ไม่ใช่โทโพโลยี) ของมัน

มีบางกรณีที่กลุ่มทางทอพอโลยีหรือกลุ่มลีได้รับการ赋予ทอพอโลยีแบบไม่ต่อเนื่องอย่างมีประโยชน์ 'ขัดกับธรรมชาติ' ตัวอย่างเช่น ในทฤษฎีการกระชับของบอร์และใน ทฤษฎี โคฮอโมโลยีของกลุ่มลี

กลุ่มไอโซเมตรีแบบไม่ต่อเนื่องคือ กลุ่มไอโซเมตรีที่มีคุณสมบัติว่า สำหรับทุกจุดในปริภูมิเมตริก เซตของภาพของจุดนั้นภายใต้การแปลงไอโซเมตรีจะเป็นเซตแบบไม่ต่อ เนื่อง กลุ่มสมมาตรแบบไม่ต่อเนื่องคือ กลุ่มสมมาตรที่เป็นกลุ่มไอโซเมตรีแบบไม่ต่อเนื่อง

เนื่องจากกลุ่มทางทอพอโลยีเป็นกลุ่มเอกพันธุ์ดังนั้นจึงจำเป็นต้องพิจารณาเพียงจุดเดียวเพื่อตรวจสอบว่ากลุ่มทางทอพอโลยีเป็นกลุ่มไม่ต่อเนื่องหรือไม่ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง กลุ่มทางทอพอโลยีจะเป็นกลุ่มไม่ต่อเนื่องก็ต่อเมื่อเซตที่มีสมาชิกเอกลักษณ์เป็นเซต เปิด

กลุ่มดิสครีตก็คือกลุ่มลี แบบศูนย์มิติ ( กลุ่มดิสครีต ที่นับไม่ได้นั้นไม่ใช่กลุ่มที่นับได้ลำดับที่สองดังนั้นผู้เขียนที่ต้องการให้กลุ่มลีมีคุณสมบัตินี้จึงไม่ถือว่ากลุ่มเหล่านี้เป็นกลุ่มลี) ส่วนประกอบเอกลักษณ์ของกลุ่มดิสครีตก็คือกลุ่มย่อยที่ไม่สำคัญในขณะที่กลุ่มของส่วนประกอบนั้นสมมูลกับกลุ่มนั้นเอง

เนื่องจากโทโพโลยีเฮาส์ดอร์ฟ เพียงแบบเดียว บนเซตจำกัดคือโทโพโลยีแบบไม่ต่อเนื่อง ดังนั้นกลุ่มโทโพโลยีเฮาส์ดอร์ฟจำกัดจึงต้องเป็นกลุ่มแบบไม่ต่อเนื่องด้วย และนั่นก็หมายความว่าทุกกลุ่มย่อยจำกัดของกลุ่มเฮาส์ดอร์ฟเป็นกลุ่มแบบไม่ต่อเนื่องเช่นกัน

กลุ่มย่อยแบบไม่ต่อเนื่องHของGเรียกว่าโค คอมแพ็กต์ถ้ามีเซตย่อยคอมแพ็กต์KของGที่ทำให้HK = G

กลุ่มย่อยปกติแบบไม่ต่อเนื่องมีบทบาทสำคัญในทฤษฎีกลุ่มปกคลุมและกลุ่มที่สมมาตรกันในระดับท้องถิ่นกลุ่มย่อยปกติแบบไม่ต่อเนื่องของกลุ่มเชื่อมต่อGจะต้องอยู่ในศูนย์กลางของGและดังนั้นจึงเป็นกลุ่มอาเบเลียน

คุณสมบัติอื่นๆ :

• แต่ละกลุ่มแยกออกจากกันโดยสิ้นเชิง
• กลุ่มย่อยทุกกลุ่มของกลุ่มที่ไม่ต่อเนื่องนั้น ล้วนเป็นกลุ่มที่ไม่ต่อเนื่องเช่นกัน
• ผลหารทุก ตัว ของกลุ่มแบบไม่ต่อเนื่องก็จะเป็นแบบไม่ต่อเนื่องเช่นกัน
• ผลคูณของกลุ่มที่ไม่ต่อเนื่องจำนวนจำกัดจะเป็นกลุ่มที่ไม่ต่อเนื่องเช่นกัน
• กลุ่มดิสครีตจะเป็นกลุ่มคอมแพ็กต์ก็ต่อเมื่อเป็นกลุ่มจำกัดเท่านั้น
• ทุกกลุ่มย่อย มีความกะทัดรัด ในระดับท้องถิ่น
• กลุ่มย่อยแบบไม่ต่อเนื่องทุกกลุ่มของกลุ่มเฮาส์ดอร์ฟเป็นกลุ่มปิด
• กลุ่มย่อยแบบไม่ต่อเนื่องทุกกลุ่มของกลุ่มเฮาส์ดอร์ฟแบบกระชับนั้นเป็นกลุ่มจำกัด

• กลุ่ม Friezeและกลุ่ม Wallpaperเป็นกลุ่มย่อยแบบไม่ต่อเนื่องของกลุ่มไอโซเมตรีของระนาบยุคลิด กลุ่ม Wallpaper เป็นกลุ่มโคคอมแพ็กต์ แต่กลุ่ม Frieze ไม่ใช่
• โดยทั่วไป กลุ่มผลึกศาสตร์มักหมายถึงกลุ่มย่อยแบบแยกส่วนที่กระชับร่วม (cocompact, discrete subgroup) ของไอโซเมตรีในปริภูมิยูคลิดบางปริภูมิ อย่างไรก็ตาม บางครั้งกลุ่มผลึกศาสตร์อาจเป็นกลุ่มย่อยแบบแยกส่วนที่กระชับร่วมของกลุ่มลีแบบนิลโพเทนต์ (nilpotent) หรือแบบแก้ได้ (solvable Lie group )
• กลุ่มสามเหลี่ยมTทุก กลุ่ม เป็นกลุ่มย่อยแบบไม่ต่อเนื่องของกลุ่มไอโซเมตรีของทรงกลม (เมื่อTเป็นกลุ่มจำกัด) ระนาบยุคลิด (เมื่อTมี กลุ่มย่อย Z  +  Z ที่มี ดัชนีจำกัด) หรือระนาบไฮเปอร์โบลิก
• ตามนิยามแล้ว กลุ่มฟุคเซียนเป็นกลุ่มย่อยที่ไม่ต่อเนื่องของกลุ่มไอโซเมตรีของระนาบไฮเปอร์โบลิก
  • กลุ่มฟุคเซียนที่รักษาทิศทางและกระทำต่อแบบจำลองระนาบครึ่งบนของระนาบไฮเปอร์โบลิกเป็นกลุ่มย่อยแบบไม่ต่อเนื่องของกลุ่มลี PSL(2, R ) ซึ่งเป็นกลุ่มของไอโซเมตรีที่รักษาทิศทางของ แบบจำลอง ระนาบครึ่งบนของระนาบไฮเปอร์โบลิก
  • บางครั้งกลุ่มฟุคเซียนถูกมองว่าเป็นกรณีพิเศษของกลุ่มไคลเนียนโดยการฝังระนาบไฮเปอร์โบลิกแบบสมมาตรลงในปริภูมิไฮเปอร์โบลิกสามมิติ และขยายการกระทำของกลุ่มบนระนาบไปยังปริภูมิทั้งหมด
  • กลุ่มมอดูลาร์ PSL(2, Z ) ถือว่าเป็นกลุ่มย่อยแบบไม่ต่อเนื่องของ PSL(2, R ) กลุ่มมอดูลาร์นี้เป็นแลตทิซใน PSL(2, R ) แต่ไม่ใช่โคคอมแพ็กต์
• ตามนิยามแล้ว กลุ่มไคลเนียนเป็นกลุ่มย่อยแบบไม่ต่อเนื่องของกลุ่มไอโซเมตรีของปริภูมิไฮเปอร์โบลิก 3 มิติซึ่งรวมถึงกลุ่มควาซีฟุคเซียนด้วย
  • กลุ่ม Kleinian ที่รักษาทิศทางและกระทำต่อแบบจำลองครึ่งพื้นที่บนของปริภูมิไฮเปอร์โบลิก 3 มิติ คือกลุ่มย่อยแบบไม่ต่อเนื่องของกลุ่ม Lie PSL(2, C ) ซึ่งเป็นกลุ่มของไอโซเมตรีที่รักษาทิศทางของ แบบจำลอง ครึ่งพื้นที่บนของปริภูมิไฮเปอร์โบลิก 3 มิติ
• แลตทิซในกลุ่มลีคือกลุ่มย่อยแบบไม่ต่อเนื่องซึ่งมาตรวัดฮาร์ของปริภูมิผลหารมีค่าจำกัด

• กลุ่มจุดผลึกศาสตร์
• กลุ่มย่อยความสอดคล้อง
• กลุ่มเลขคณิต
• ทฤษฎีกลุ่มเรขาคณิต
• ทฤษฎีกลุ่มการคำนวณ
• ไม่ต่อเนื่องอย่างอิสระ
• ชุดปกติฟรี

• สื่อที่เกี่ยวข้องกับกลุ่มเฉพาะในวิกิมีเดียคอมมอนส์