ในทางคณิตศาสตร์พื้นที่ไฮเปอร์โบลิกมิติnคือแมนิโฟลด์รีมันน์ n มิติที่เชื่อมต่อกันอย่างง่ายเพียง แห่งเดียวที่มีความโค้ง ภาคตัดขวางเป็นลบคงที่ซึ่งมักจะกำหนดให้เป็น −1 เพื่อความเรียบง่าย^{[ 1 ]}มันเป็นเอกพันธุ์และเป็นไปตามคุณสมบัติที่แข็งแกร่งกว่าของการเป็นพื้นที่สมมาตรมีหลายวิธีในการสร้างมันเป็นเซตย่อยเปิดของด้วยเมตริกรีมันน์ที่เขียนไว้อย่างชัดเจน การสร้างดังกล่าวเรียกว่าแบบจำลอง พื้นที่ไฮเปอร์โบลิก 2 มิติH ²ซึ่งเป็นตัวอย่างแรกที่ได้รับการศึกษา ยังเรียกว่าระนาบไฮเปอร์โบลิก ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

บางครั้งก็เรียกปริภูมิไฮเปอร์โบลิกนี้ว่าปริภูมิโลบาเชฟสกีหรือปริภูมิโบลยาอิ-โลบาเชฟสกีตามชื่อของผู้เขียนคนแรกที่ตีพิมพ์ ผลงานเกี่ยวกับ เรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก บางครั้ง อาจ มีการเพิ่มคำว่า "จริง" เข้าไปเพื่อแยกแยะออกจากปริภูมิไฮเปอร์โบลิกเชิงซ้อน

ปริภูมิไฮเปอร์โบลิกทำหน้าที่เป็นต้นแบบของปริภูมิไฮเปอร์โบลิกของโกรโมฟซึ่งเป็นแนวคิดที่กว้างขวางครอบคลุมทั้งปริภูมิเชิงอนุพันธ์เรขาคณิตและปริภูมิเชิงการจัดเรียงผ่านแนวทางสังเคราะห์สู่ความโค้งเชิงลบ การวางนัยทั่วไปอีกประการหนึ่งคือแนวคิดของปริภูมิ CAT(−1)

ปริภูมิไฮเปอร์โบลิกมิติ หรือปริภูมิไฮเปอร์โบลิกมิติซึ่งมักจะใช้สัญลักษณ์คือ แมนิโฟลด์รีมันน์ ที่สมบูรณ์แบบมิติ ที่เชื่อมต่อกันอย่างง่ายเพียงอันเดียว โดยมีความโค้งภาคตัดขวางเชิงลบคงที่เท่ากับ −1 ^{[ 1 ]}ความเป็นเอกลักษณ์หมายความว่าแมนิโฟลด์รีมันน์สองอันใดๆ ที่ตรงตามคุณสมบัติเหล่านี้จะสมมาตรกัน เป็นผลสืบเนื่องมาจากทฤษฎีบท Killing–Hopf${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$${\displaystyle n}$

เพื่อพิสูจน์การมีอยู่ของปริภูมิแบบที่อธิบายไว้ข้างต้น เราสามารถสร้างมันขึ้นมาได้อย่างชัดเจน ตัวอย่างเช่น เป็นเซตย่อยเปิดของ ที่มีเมตริกแบบรีมันน์ซึ่งกำหนดโดยสูตรอย่างง่าย มีการสร้างหรือแบบจำลองของปริภูมิไฮเปอร์โบลิกมากมาย ซึ่งแต่ละแบบเหมาะสมกับแง่มุมต่างๆ ของการศึกษา พวกมันสมมาตรกันตามที่กล่าวไว้ในย่อหน้าก่อนหน้า และในแต่ละกรณีสามารถระบุความสมมาตรได้อย่างชัดเจน นี่คือรายการของแบบจำลองที่เป็นที่รู้จักกันดี ซึ่งมีการอธิบายรายละเอียดเพิ่มเติมในบทความที่มีชื่อเดียวกัน: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

• แบบจำลองครึ่งพื้นที่ของปวงกาเร : นี่คือครึ่งพื้นที่ด้านบนที่มีเมตริก${\displaystyle \{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}:x_{n}>0\}}$${\displaystyle {\tfrac {dx_{1}^{2}+\cdots +dx_{n}^{2}}{x_{n}^{2}}}}$
• แบบจำลองจานปวงกาเร : นี่คือทรงกลมหน่วยที่มีเมตริกการแปลงเป็นไอโซเมตรีไปยังแบบจำลองครึ่งพื้นที่สามารถทำได้โดยโฮโมกราฟีที่ส่งจุดหนึ่งบนทรงกลมหน่วยไปยังอนันต์${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle 4{\tfrac {dx_{1}^{2}+\cdots +dx_{n}^{2}}{(1-(x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}))^{2}}}}$
• แบบจำลองไฮเปอร์โบโลอิด : ตรงกันข้ามกับแบบจำลองสองแบบก่อนหน้านี้ แบบจำลองนี้ทำให้ปริภูมิไฮเปอร์โบลิก n มิติ ฝังตัวอยู่ภายในปริภูมิ Minkowski nมิติ(ซึ่งไม่ใช่ปริภูมิแบบรีมันน์ แต่เป็นปริภูมิแบบลอเร นซ์ ) กล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้น เมื่อพิจารณารูปแบบกำลังสองบนการจำกัดรูปแบบนี้บนปริภูมิสัมผัสของแผ่นบนของไฮเปอร์โบโลอิดที่กำหนดโดยมีค่าเป็นบวกแน่นอน ดังนั้นจึงทำให้มีเมตริกแบบรีมันน์ซึ่งมีค่าความโค้งคงที่ −1 ความสมมาตรกับแบบจำลองก่อนหน้านี้สามารถทำได้โดยการฉายภาพแบบสเตอริโอกราฟิกจากไฮเปอร์โบโลอิดไปยังระนาบโดยเลือกจุดยอดที่จะฉายภาพเป็นสำหรับทรงกลม และจุดอนันต์ในกรวยภายในปริภูมิเชิงฉายสำหรับครึ่งปริภูมิ${\displaystyle n}$${\displaystyle (n+1)}$${\displaystyle q(x)=x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}-x_{n+1}^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$${\displaystyle q(x)=-1}$${\displaystyle \{x_{n+1}=0\}}$${\displaystyle (0,\ldots ,0,1)}$${\displaystyle q(x)=0}$
• แบบจำลอง Beltrami–Klein : นี่คือแบบจำลองอีกแบบหนึ่งที่สร้างขึ้นบนทรงกลมหน่วยของ; แทนที่จะแสดงเป็นเมตริกอย่างชัดเจน มักจะนำเสนอในรูปแบบที่ได้มาจากการใช้การฉายภาพแบบสเตอริโอกราฟิกจากแบบจำลองไฮเปอร์โบโลอิดในปริภูมิ Minkowski ไปยังระนาบสัมผัสแนวนอน (นั่นคือ) จากจุดกำเนิด${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle x_{n+1}=1}$${\displaystyle (0,\ldots ,0)}$
• ปริภูมิสมมาตร: ปริภูมิไฮเปอร์โบลิกสามารถรับรู้ได้ว่าเป็นปริภูมิสมมาตรของกลุ่มลีแบบง่าย(กลุ่มของไอโซเมตรีของรูปแบบกำลังสองที่มีดีเทอร์มิแนนต์เป็นบวก) โดยที่เซตดังกล่าวคือ ปริภูมิ โคเซต ไอโซเมตรีไปยังแบบจำลองไฮเปอร์โบโลอิดเกิดขึ้นโดยตรงผ่านการกระทำของส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันของบนไฮเปอร์โบโลอิด${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathrm {SO} (n,1)}$${\displaystyle q}$${\displaystyle \mathrm {SO} (n,1)/\mathrm {O} (n)}$${\displaystyle \mathrm {SO} (n,1)}$

ปริภูมิไฮเปอร์โบลิก ซึ่งพัฒนาขึ้นโดยอิสระโดยนิโคไล โลบาเชฟสกี , ยาโนส โบลยาอิและคาร์ล ฟรีดริช เกาส์เป็นปริภูมิทางเรขาคณิตที่คล้ายคลึงกับปริภูมิยูคลิด แต่ไม่จำเป็นต้องถือว่า สัจพจน์เส้นขนานของยูคลิดเป็นจริงอีกต่อไป แทนที่จะเป็นเช่นนั้น สัจพจน์เส้นขนานจะถูกแทนที่ด้วยสัจพจน์ทางเลือกต่อไปนี้ (ในสองมิติ):

• เมื่อกำหนดเส้นตรงLและจุดPที่ไม่ได้อยู่บนเส้นตรง  L แล้วจะมีเส้นตรงอย่างน้อยสองเส้นที่แตกต่างกันซึ่งผ่านจุดPและไม่ตัดกับเส้นตรง  L

ดังนั้นจึงเป็นทฤษฎีบทว่ามีเส้นตรงดังกล่าวจำนวนอนันต์ที่ผ่านจุดP อย่างไรก็ตาม สัจพจน์นี้ยังไม่สามารถระบุลักษณะเฉพาะของระนาบไฮเปอร์โบลิกได้อย่างเฉพาะเจาะจงจนถึงสมมาตรยังมีค่าคงที่เพิ่มเติมคือความโค้งK < 0ที่ต้องระบุ แต่สัจพจน์นี้สามารถระบุลักษณะเฉพาะได้อย่างเฉพาะเจาะจงจนถึงโฮโมเทตีหมายความว่าจนถึงการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งที่เปลี่ยนแปลงแนวคิดเรื่องระยะทางด้วยค่าคงที่โดยรวมเท่านั้น โดยการเลือกมาตราส่วนความยาวที่เหมาะสม เราจึงสามารถสมมติได้โดยไม่เสียความเป็นทั่วไปว่าK = −1

ระนาบไฮเปอร์โบลิกไม่สามารถฝังตัวแบบไอโซเมตริกในปริภูมิยูคลิด 3 มิติได้ตามทฤษฎีบทของฮิลเบิร์ตในทางกลับกันทฤษฎีบทการฝังตัวของแนชบ่งชี้ว่าปริภูมิไฮเปอร์โบลิก n มิติสามารถฝังตัวแบบไอโซเมตริกในปริภูมิยูคลิดที่มีมิติใหญ่กว่าได้ (5 สำหรับระนาบไฮเปอร์โบลิกตามทฤษฎีบทการฝังตัวของแนช)

เมื่อฝังแบบไอโซเมตริกในปริภูมิยูคลิด ทุกจุดในปริภูมิไฮเปอร์โบลิกจะเป็นจุด อานม้า

ปริมาตรของทรงกลมในปริภูมิไฮเปอร์โบลิกเพิ่มขึ้นแบบเลขชี้กำลังเมื่อเทียบกับรัศมีของทรงกลม ไม่ใช่แบบพหุนามเหมือนในปริภูมิยูคลิด กล่าวคือ ถ้าเป็นทรงกลมใดๆ ที่มีรัศมีในแล้ว: โดยที่คือปริมาตรทั้งหมดของทรงกลม ยูคลิด ที่มีรัศมี 1 ${\displaystyle B(r)}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$$${\displaystyle \mathrm {Vol} (B(r))=\mathrm {Vol} (S^{n-1})\int _{0}^{r}\sinh ^{n-1}(t)dt}$$${\displaystyle S^{n-1}}$${\displaystyle (n-1)}$

ปริภูมิไฮเปอร์โบลิกยังสอดคล้องกับอสมการไอโซเพอริเมตริก เชิงเส้น กล่าวคือ มีค่าคงที่อยู่ค่าหนึ่งที่ทำให้วงกลมฝังตัวใดๆ ที่มีขอบเขตยาวจะมีพื้นที่ไม่เกินค่าดังกล่าว ซึ่งแตกต่างจากปริภูมิยูคลิดที่อสมการไอโซเพอริเมตริกเป็นแบบกำลังสอง ${\displaystyle i}$${\displaystyle r}$${\displaystyle i\cdot r}$

ปริภูมิไฮเปอร์โบลิกมีคุณสมบัติทางเมตริกอีกมากมายที่แตกต่างจากปริภูมิยูคลิด บางส่วนสามารถขยายไปสู่บริบทของปริภูมิไฮเปอร์โบลิกของโกรโมฟ ซึ่งเป็นการขยายแนวคิดเรื่องความโค้งเชิงลบไปสู่ปริภูมิเมตริกทั่วไปโดยใช้เพียงคุณสมบัติขนาดใหญ่เท่านั้น แนวคิดที่ละเอียดกว่านั้นคือปริภูมิ CAT(−1)

แมนิโฟลด์ที่ สมบูรณ์เชื่อมต่อและเชื่อมต่ออย่างง่ายทุกอันที่มีความโค้งลบคงที่ −1 นั้นเป็นไอโซเมตริกกับปริภูมิไฮเปอร์โบลิกจริง  H ⁿดังนั้นการคลุมสากลของ แมนิ โฟลด์ปิดM ใดๆ ที่มีความโค้งลบคงที่ −1 ซึ่งก็คือแมนิโฟลด์ไฮเปอร์โบลิก ก็ คือ H ⁿดังนั้นM ทุกอันดังกล่าว สามารถเขียนได้เป็นH ⁿ ‍ /‍ Γ โดยที่ Γ คือกลุ่มไอโซเมตริกแบบไม่ต่อเนื่องที่ปราศจาก ทอร์ชั่นบนH ⁿนั่นคือ Γ เป็นแลตทิซในSO ⁺ ( n , 1 )

พื้นผิวไฮเปอร์โบลิกสองมิติสามารถทำความเข้าใจได้ตามภาษาของพื้นผิวรีมันน์ เช่นกัน ตามทฤษฎีบทการทำให้เป็นเอกภาพ พื้นผิว รีมันน์ทุกพื้นผิวจะเป็นพื้นผิววงรี พื้นผิวพาราโบลิก หรือพื้นผิวไฮเปอร์โบลิก พื้นผิวไฮเปอร์โบลิกส่วนใหญ่มี กลุ่มพื้นฐาน ที่ไม่เป็นศูนย์π ₁ = Γ ; กลุ่มที่เกิดขึ้นในลักษณะนี้เรียกว่ากลุ่มฟุคเซียน ปริภูมิ ผลหารH ² ‍ / ‍ Γ ของ ระนาบครึ่ง บนมอดูโลกลุ่มพื้นฐานเรียกว่าแบบจำลองฟุคเซียนของพื้นผิวไฮเปอร์โบลิก ระนาบครึ่งปวงกาเรก็เป็นไฮเปอร์โบลิกเช่นกัน แต่เป็นระนาบที่เชื่อมต่อกันอย่างง่ายและไม่กะทัดรัดมันเป็นระนาบคลุมสากลของพื้นผิวไฮเปอร์โบลิกอื่นๆ

รูปแบบการสร้างที่คล้ายคลึงกันสำหรับพื้นผิวไฮเปอร์โบลิกสามมิติคือแบบจำลองไคลน์เนียน

• พื้นผิวของดินี
• ไฮเปอร์โบลิก 3-แมนิโฟลด์
• ทรงหลายเหลี่ยมในอุดมคติ
• ทฤษฎีความแข็งแกร่งของโมสโตว์
• สูตรมูราคามิ-ยาโนะ
• ทรงกลมเทียม