ทฤษฎีบทการฝังตัวของแนช (หรือทฤษฎีบทการฝังตัว ) ซึ่งตั้งชื่อตามจอห์น ฟอร์บส์ แนช จูเนียร์กล่าวว่าแมนิโฟลด์แบบรีมันน์ ทุกอัน สามารถฝัง ตัวแบบไอโซเมตริกในปริภูมิ ยูคลิดบางปริภูมิ ได้ ไอโซเมตริกหมายถึงการรักษาระยะความยาวของทุกเส้นทางตัวอย่างเช่น การงอแต่ไม่ยืดหรือฉีกกระดาษ จะทำให้เกิดการฝังตัวแบบไอโซเมตริกของหน้ากระดาษในปริภูมิยูคลิดสามมิติ เนื่องจากเส้นโค้งที่วาดบนกระดาษยังคงมีความยาวส่วนโค้ง เท่าเดิม ไม่ว่ากระดาษจะถูกงออย่างไรก็ตาม

ทฤษฎีบทแรกใช้สำหรับ ฝังตัว ที่สามารถหาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่อง ( C ¹ ) และทฤษฎีบทที่สองใช้สำหรับฝังตัวที่เป็นเชิงวิเคราะห์หรือเรียบของคลาสC ^k , 3 ≤ k ≤ ∞ทฤษฎีบททั้งสองนี้แตกต่างกันมาก ทฤษฎีบทแรกมีบทพิสูจน์ที่ง่ายมาก แต่ให้ข้อสรุปที่ดูขัดแย้งกับสามัญสำนึก ในขณะที่ทฤษฎีบทที่สองมีบทพิสูจน์ที่ซับซ้อนและดูขัดแย้งกับสามัญสำนึก แต่ให้ผลลัพธ์ที่ไม่น่าประหลาดใจนัก

ทฤษฎีบทC ¹ได้รับการตีพิมพ์ในปี 1954 และ ทฤษฎีบท C ^kในปี 1956 ทฤษฎีบทวิเคราะห์เชิงจริงได้รับการกล่าวถึงครั้งแรกโดย Nash ในปี 1966; ข้อโต้แย้งของเขาได้รับการทำให้ง่ายขึ้นอย่างมากโดยGreene & Jacobowitz (1971) (เวอร์ชันเฉพาะที่ของผลลัพธ์นี้ได้รับการพิสูจน์โดยÉlie CartanและMaurice Janetในช่วงทศวรรษ 1920) ในกรณีวิเคราะห์เชิงจริง ตัวดำเนินการปรับเรียบ (ดูด้านล่าง) ในข้อโต้แย้งฟังก์ชันผกผันของ Nash สามารถแทนที่ด้วยการประมาณค่าของ Cauchy ได้ การพิสูจน์ กรณี C ^k ของ Nash ในภายหลังได้ถูกขยายไปสู่หลักการ hและทฤษฎีบทฟังก์ชันโดยนัยของ Nash–Moserการพิสูจน์ที่ง่ายกว่าของทฤษฎีบทการฝังตัวของ Nash ข้อที่สองได้มาโดยGünther (1989)ซึ่งลดชุดสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย ที่ไม่เป็นเชิงเส้น ให้เป็นระบบวงรี ซึ่งสามารถใช้ทฤษฎีบทการแมปการหดตัว ได้ ^{[ 1 ]}

กำหนดให้แมนิโฟลด์รีมันน์มิติm ( M , g )การฝังแบบไอโซเมตริกคือการฝังเชิงโทโพโลยี ที่อนุพันธ์ต่อเนื่อง f  : M → R ⁿโดยที่พูลแบ็กของเมตริกยุคลิดเท่ากับgในเชิงวิเคราะห์ อาจมองได้ (เทียบกับแผนภูมิพิกัด เรียบ x ) ว่าเป็นระบบของ⁠1/2m ( m + 1) สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยอันดับหนึ่งสำหรับ ฟังก์ชัน ที่ไม่ทราบค่า (ค่าจริง) จำนวน n ฟังก์ชัน:

${\displaystyle g_{ij}(x)=\sum _{\alpha =1}^{n}{\frac {\partial f^{\alpha }}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial f^{\alpha }}{\partial x^{j}}}.}$

ถ้าnน้อยกว่า⁠1/2ถ้าm ( m + 1)แล้วจะมีสมการมากกว่าตัวแปรที่ไม่ทราบค่า จากมุมมองนี้ การมีอยู่ของการฝังแบบไอโซเมตริกที่กำหนดโดยทฤษฎีบทต่อไปนี้ถือว่าน่าประหลาดใจ

ทฤษฎีบท Nash–Kuiper ^{[ 2 ]}ให้( M , g )เป็นแมนิโฟลด์แบบรีมันน์มิติm และ f  : M → R ⁿเป็นการฝัง (หรือการจุ่ม ) แบบเรียบ สั้นๆลงในปริภูมิยุคลิดR ⁿโดยที่n ≥ m + 1แผนที่นี้ไม่จำเป็นต้องเป็นไอโซเมตริก จากนั้นจะมีลำดับของการฝัง (หรือการจุ่ม) ไอโซเมตริกที่อนุพันธ์ต่อเนื่องM → R ⁿของgซึ่งลู่ เข้า สู่f อย่างสม่ำเสมอ

ทฤษฎีบทนี้ได้รับการพิสูจน์ครั้งแรกโดย John Nash โดยมีข้อสมมติที่เข้มงวดกว่าคือ n ≥ m + 2วิธีการของเขาได้รับการปรับปรุงโดยNicolaas Kuiperเพื่อให้ได้ทฤษฎีบทข้างต้น^{[ 3 ] [ 4 ]}

การฝังไอโซเมตริกที่สร้างขึ้นโดยทฤษฎีบท Nash–Kuiper มักถูกมองว่าขัดกับสัญชาตญาณและผิดปกติ^{[ 5 ]}มักจะไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้อย่างราบรื่น ตัวอย่างเช่นทฤษฎีบทที่รู้จักกันดีของDavid Hilbertยืนยันว่าระนาบไฮเปอร์โบลิกไม่สามารถฝังไอโซเมตริกได้อย่างราบรื่นในR ³ แมนิโฟ ลด์ Einsteinใดๆ ที่ มี ความโค้งสเกลาร์เป็นลบไม่สามารถฝังไอโซเมตริกได้อย่างราบรื่นในฐานะไฮเปอร์เซอร์เฟซ^{[ 6 ]}และทฤษฎีบทของShiing-Shen Chernและ Kuiper ยังกล่าวอีกว่า แมนิโฟลด์ ปิด มิติ m ใดๆ ที่มี ความโค้งภาคตัดขวางไม่เป็นบวกไม่สามารถฝังไอโซเมตริกได้อย่างราบรื่นในR ^{2 m –1 [ 7 ]} ยิ่งไปกว่านั้น การฝังไอโซเมตริกที่ราบรื่นบางอย่างแสดง ปรากฏการณ์ความแข็งแกร่งซึ่งถูกละเมิดโดยการเลือกf ที่ไม่จำกัด ในทฤษฎีบท Nash–Kuiper ตัวอย่างเช่น ภาพของการฝังพื้นผิวไอโซเมตริกเรียบใดๆ ของทรงกลมจะต้องเป็นทรงกลมเช่นกัน^{[ 8 ]}ในทางตรงกันข้าม ทฤษฎีบท Nash–Kuiper รับประกันการมีอยู่ของการฝังพื้นผิวไอโซเมตริกที่สามารถหาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่องของทรงกลม ซึ่งอยู่ใกล้กับ (ตัวอย่างเช่น) การฝังเชิงโทโพโลยีของทรงกลมเป็นทรงรีขนาด เล็กได้มากเท่าใด ก็ได้

แมนิโฟลด์สองมิติแบบปิดและมีทิศทางใดๆ สามารถฝังลงในR ³ ได้อย่างราบรื่น การฝังดังกล่าวสามารถปรับขนาดได้ด้วยค่าคงที่ขนาดเล็กตามอำเภอใจเพื่อให้สั้นลงเมื่อเทียบกับเมตริกแบบรีมันน์ที่กำหนดบนพื้นผิว จากทฤษฎีบทของแนช-คุยเปอร์ จะเห็นได้ว่ามีการฝังแบบไอโซเมตริกที่สามารถหาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่องของพื้นผิวแบบรีมันน์ดังกล่าว โดยที่รัศมีของลูกบอลที่ล้อมรอบมีขนาดเล็กตามอำเภอใจ ในทางตรงกันข้าม พื้นผิวปิดที่มีความโค้งเป็นลบไม่สามารถฝังแบบไอโซเมตริกได้อย่างราบรื่นในR ³ได้ เลย ^{[ 9 ]}ยิ่งไปกว่านั้น สำหรับการฝังแบบไอโซเมตริกที่ราบเรียบ (หรือแม้แต่C ² ) ของพื้นผิวแบบรีมันน์ปิดใดๆ จะมีขอบเขตล่างเชิงปริมาณ (บวก) ของรัศมีของลูกบอลที่ล้อมรอบในแง่ของพื้นที่ผิวและความโค้งของเมตริกที่ฝัง^{[ 10 ]}

ในมิติที่สูงกว่า ดังที่ทฤษฎีบทการฝังตัวของ Whitney แสดงให้เห็น ทฤษฎีบท Nash–Kuiper แสดงให้เห็นว่าแมนิโฟลด์ Riemannian แบบปิด มิติ m ใดๆ ยอมรับการฝังตัวแบบไอโซเมตริกที่อนุพันธ์ต่อเนื่องในบริเวณใกล้เคียงขนาดเล็กใดๆใน ปริภูมิยุคลิด มิติ 2m แม้ว่าทฤษฎีบทของ Whitney จะใช้ได้กับแมนิโฟลด์ที่ไม่กระชับ แต่การฝังตัวดัง ^{กล่าว}ไม่สามารถปรับขนาดได้ง่ายๆ ด้วยค่าคงที่ขนาดเล็กเพื่อให้สั้นลง Nash พิสูจน์ว่า แมนิโฟลด์ Riemannian มิติ m ทุกตัว ยอมรับการฝังตัวแบบไอโซเมตริกที่อนุพันธ์ต่อเนื่องในR ^{2 m +1} [ ^{11 ]}

ในขณะที่งานของ Nash ดำเนินอยู่ ทฤษฎีบทของเขาถือเป็นเรื่องแปลกประหลาดทางคณิตศาสตร์ ผลลัพธ์นั้นเองยังไม่พบการประยุกต์ใช้ที่สำคัญ อย่างไรก็ตาม วิธีการพิสูจน์ของ Nash ได้รับการดัดแปลงโดยCamillo De Lellisและ László Székelyhidi เพื่อสร้างคำตอบที่มีความสม่ำเสมอต่ำ โดยมีพลังงานจลน์ ที่กำหนดไว้ล่วงหน้า ของสมการออยเลอร์จากการศึกษาทางคณิตศาสตร์ของกลศาสตร์ของไหลในเชิงวิเคราะห์ สมการออยเลอร์มีความคล้ายคลึงกันอย่างเป็นทางการกับสมการการฝังแบบไอโซเมตริก ผ่านความไม่เป็นเชิงเส้นกำลังสองในอนุพันธ์อันดับแรกของฟังก์ชันที่ไม่ทราบค่า^{[ 12 ]}แนวคิดของการพิสูจน์ของ Nash ได้รับการสรุปโดยMikhael Gromovไปสู่หลักการของการบูรณาการแบบนูน โดยมี หลักการ hที่สอดคล้องกัน^{[ 13 ]} Stefan MüllerและVladimír Šverákได้นำสิ่งนี้ไปใช้กับปัญหาที่สิบเก้าของ Hilbertโดยสร้างตัวลดค่าต่ำสุดของความสามารถในการหาอนุพันธ์ขั้นต่ำในแคลคูลัสของการแปรผัน^{[ 14 ]}

ข้อความทางเทคนิคที่ปรากฏในเอกสารต้นฉบับของ Nash มีดังนี้: ถ้าMเป็นแมนิโฟลด์รีมันน์มิติm ที่กำหนด (วิเคราะห์หรืออยู่ในคลาส C ^k , 3 ≤ k ≤ ∞ ) แล้วจะมีจำนวนn อยู่ (โดยที่n ≤ m (3 m + 11)/2ถ้าMเป็นแมนิโฟลด์กระชับ และโดยที่n ≤ m ( m + 1)(3 m + 11)/2ถ้าMเป็นแมนิโฟลด์ไม่กระชับ) และการฝังแบบไอโซเมตริกf  : M → R ⁿ (วิเคราะห์หรืออยู่ในคลาสC ^k เช่นกัน ) ^{[ 15 ]}นั่นคือfเป็นการฝังของ แมนิโฟลด์ C ^kและสำหรับทุกจุดpของMอนุพันธ์d f _pเป็นแผนที่เชิงเส้นจาก ปริภูมิสัมผัสT _p MไปยังR ⁿที่เข้ากันได้กับผลคูณภายใน ที่กำหนด บนT _p Mและผลคูณจุด มาตรฐาน ของR ⁿในความหมายต่อไปนี้:

${\displaystyle \langle u,v\rangle =df_{p}(u)\cdot df_{p}(v)}$

สำหรับเวกเตอร์ u , vทั้งหมดในT _p Mเมื่อnมีค่ามากกว่า⁠1/2m ( m + 1)นี่คือระบบ สมการ เชิงอนุพันธ์ย่อย (PDE)

ทฤษฎีบทการฝังตัวของแนชเป็นทฤษฎีบทแบบทั่วโลกในแง่ที่ว่าแมนิโฟลด์ทั้งหมดถูกฝังลงในR ⁿทฤษฎีบทการฝังตัวแบบเฉพาะที่นั้นง่ายกว่ามากและสามารถพิสูจน์ได้โดยใช้ทฤษฎีบทฟังก์ชันโดยปริยายของแคลคูลัสขั้นสูงในบริเวณใกล้เคียงพิกัดของแมนิโฟลด์ การพิสูจน์ทฤษฎีบทการฝังตัวแบบทั่วโลกอาศัยทฤษฎีบทฟังก์ชันโดยปริยายของแนชสำหรับการฝังตัวแบบไอโซเมตริก ทฤษฎีบทนี้ได้รับการขยายความโดยผู้เขียนคนอื่นๆ อีกหลายคนไปยังบริบทที่เป็นนามธรรม ซึ่งรู้จักกันในชื่อทฤษฎีบทแนช-โมเซอร์แนวคิดพื้นฐานในการพิสูจน์ทฤษฎีบทฟังก์ชันโดยปริยายของแนชคือการใช้วิธีของนิวตันในการสร้างคำตอบ วิธีของนิวตันแบบมาตรฐานไม่สามารถลู่เข้าได้เมื่อนำไปใช้กับระบบ แนชใช้ตัวดำเนินการปรับเรียบที่กำหนดโดยการสังเคราะห์เพื่อทำให้การวนซ้ำของนิวตันลู่เข้า นี่คือวิธีของนิวตันที่มีการปรับสภาพภายหลัง ข้อเท็จจริงที่ว่าเทคนิคนี้สามารถให้คำตอบได้นั้น ถือเป็นทฤษฎีบทการมีอยู่ของคำตอบและมีความน่าสนใจในตัวเองอยู่แล้ว ในบริบทอื่นๆการลู่เข้าของวิธีการมาตรฐานของนิวตันนั้นได้รับการพิสูจน์แล้วก่อนหน้านี้โดยLeonid Kantorovitch

ปัญหาของการฝังตัวแบบไอโซเมตริกขยายไปสู่เมตริกแบบกึ่งรีมันน์ โดยธรรมชาติ นั่นคือเมตริกที่ไม่เสื่อมสภาพของดัชนีใดๆ ในปี พ.ศ. 2513 Greene ^{[ 16 ]}และ Clarke ^{[ 17 ]}ได้แสดงให้เห็นโดยอิสระว่าทฤษฎีบทการฝังตัวของ Nash สามารถขยายไปสู่เมตริกที่ไม่แน่นอน—และแม้แต่เมตริกที่เสื่อมสภาพ—โดยการลดปัญหาทางพีชคณิตไปสู่กรณีรีมันน์

โดยเฉพาะอย่างยิ่งแมนิโฟลด์ เรียบใดๆ ที่มีเมตริกแบบกึ่งรีมันน์สามารถฝังลงในปริภูมิแบบกึ่งยุคลิดได้แบบไอโซเมตริกสำหรับมิติและดัชนี ที่ใหญ่พอสมควร ผู้เขียนทั้งสองยังได้ปรับปรุงค่าแนชของเป็นฟังก์ชันของด้วย โดยกรีนใช้ทฤษฎีบทฟังก์ชันโดยปริยายตามที่ชวาร์ตซ์ (1960) ^{[ 18 ]} ได้กำหนดไว้ ในขณะที่คลาร์กใช้เทคนิคที่ได้รับแรงบันดาลใจจากคุยเปอร์ ( คุยเปอร์ 1955a , คุยเปอร์ 1955b ) ${\displaystyle n}$${\displaystyle M^{n}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \mathbb {R} _{\nu }^{N}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle N}$${\displaystyle n}$

ปัญหาที่เข้มงวดมากขึ้นเกิดขึ้นเมื่อดัชนีของพื้นที่กึ่งยุคลิดโดยรอบถูกกำหนดให้เท่ากับดัชนีของเมตริกสิ่งนี้มีความเกี่ยวข้องเป็นพิเศษกับลายเซ็นลอเรนซ์ (กรณี) ซึ่งการมีอยู่ของการฝังตัวเกี่ยวข้องกับเงื่อนไขความเป็นเหตุเป็นผล — คุณสมบัติที่ยังคงไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงคอนฟอร์มอล Müller และ Sánchez (2011) ^{[ 19 ]}ได้เสนอวิธีแก้ปัญหาที่สมบูรณ์สำหรับปัญหานี้: ${\displaystyle \mathbb {R} _{\nu }^{N}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \nu =1}$

(1) เกณฑ์การฝังแบบไอโซเมตริก: แมนิโฟลด์ลอเรนซ์สามารถฝังแบบไอโซเมตริกในปริภูมิเวลาลอเรนซ์-มินคอฟสกีได้ก็ต่อเมื่อมันยอมรับฟังก์ชันเวลาที่มีความชันสูง ซึ่งเป็นฟังก์ชันเรียบที่มีเกรเดียนต์ที่สอดคล้องกับ: ${\displaystyle C^{3}}$${\displaystyle (M,g)}$${\displaystyle \mathbb {L} ^{N}:=\mathbb {R} _{1}^{N}}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \nabla \tau }$

${\displaystyle g(\nabla \tau ,\nabla \tau )\leq -1}$

• ความจำเป็น:หากมีการฝังตัวดังกล่าวอยู่ การจำกัดพิกัดเวลาตามธรรมชาติของจะส่งผลให้ฟังก์ชันเวลามีความชันสูง${\displaystyle \mathbb {L} ^{N}}$${\displaystyle M}$
• ความเพียงพอ:สิ่งนี้ได้รับการพิสูจน์โดยการใช้การฝังแบบแนชกับเมตริกแบบรีมันน์ที่สร้างขึ้นโดยการกลับเครื่องหมายของเมตริกแบบลอเรนซ์ในทิศทางภายในการแยกส่วนเชิงตั้งฉาก${\displaystyle \nabla \tau }$${\displaystyle TM=\langle \nabla \tau \rangle \oplus \nabla \tau ^{\perp }}$

ข้อสังเกต:

• การมีอยู่ของสิ่งนี้บ่งชี้ว่าสิ่งนี้สามารถกำหนดทิศทางตามเวลาได้${\displaystyle \tau }$${\displaystyle g}$
• ${\displaystyle \tau }$ทำหน้าที่เป็นฟังก์ชันเชิงเวลาสำหรับปริภูมิเวลาที่ได้มาจากการกำหนดทิศทางเวลา เพื่อให้มุ่งไปสู่อดีต ด้วยเหตุนี้ ปริภูมิเวลานี้จึงมีเสถียรภาพในเชิงสาเหตุ${\displaystyle (M,g)}$${\displaystyle \nabla \tau }$
• แม้ว่าปริภูมิเวลาเชิงสาเหตุที่เสถียรจะไม่ทั้งหมดจะยอมรับฟังก์ชันเวลาที่ชัน แต่ปริภูมิเวลาเชิงสาเหตุทั้งหมดก็ยอมรับเมตริกเชิงคอนฟอร์มัลที่ยอมรับฟังก์ชันดังกล่าวได้ ดังนั้น ปริภูมิเวลาเชิงสาเหตุที่เสถียรทั้งหมดจึงสามารถฝังตัวเชิงคอนฟอร์มัลได้ในปริภูมิเวลาเชิงสาเหตุเชิงปริภูมิเวลา สำหรับค่า n ที่มีขนาดใหญ่${\displaystyle \mathbb {L} ^{N}}$${\displaystyle N}$

(2) ความเป็นไฮเปอร์โบลิกทั่วโลก: ปริภูมิเวลาไฮเปอร์โบลิกทั่วโลก ใดๆยอมรับฟังก์ชันเวลาที่ชัน

ผลลัพธ์นี้ได้มาจากการปรับปรุงเทคนิคที่ Bernal และ Sánchez (2005) นำเสนอเพื่อสร้างฟังก์ชันเวลาของ Cauchy ฟังก์ชันเหล่านี้ได้รับการออกแบบมาเพื่อพิสูจน์การมีอยู่ของการแยกแบบ Bernal–Sánchez ในตอนแรก Müller และ Sánchez ได้ขยายสิ่งนี้เพื่อพิสูจน์การมีอยู่ของฟังก์ชันเวลาของ Cauchy ที่มีความชันสูง ซึ่งรับประกันทั้งการแยกและการฝังแบบไอโซเมตริกไปพร้อมกัน

ข้อสังเกต:

• คุณสมบัติเชิงคอนฟอร์มอลเมตริกทั้งหมดที่สอดคล้องกับเมตริกไฮเปอร์โบลิกทั่วโลกจะยังคงเป็นไฮเปอร์โบลิกทั่วโลก และด้วยเหตุนี้จึงสามารถฝังตัวแบบไอโซเมตริกในปริภูมิเวลาไฮเปอร์โบลิกทั่วโลกได้ คุณสมบัตินี้เป็นลักษณะเฉพาะของไฮเปอร์โบลิกทั่วโลก กล่าวคือ ปริภูมิเวลาไฮเปอร์โบลิกที่มีเสถียรภาพเชิงสาเหตุแต่ไม่ใช่ไฮเปอร์โบลิกทั่วโลกใดๆ ก็ตาม จะมีเมตริกเชิงคอนฟอร์มอลที่ไม่สามารถฝังตัวแบบไอโซเมตริกในปริภูมิเวลาไฮเปอร์โบลิกทั่วโลกใดๆได้${\displaystyle \mathbb {L} ^{N}}$${\displaystyle \mathbb {L} ^{N}}$
• หมายเหตุทางประวัติศาสตร์แม้ว่า Clarke (1970) จะอ้างผลลัพธ์ (2) ในตอนแรก แต่ Müller และ Sánchez (2011) ได้แสดงให้เห็นในภาคผนวกของพวกเขาว่าเทคนิคของ Clarke มีช่องว่าง แนวทางของพวกเขาซึ่งแตกต่างกันโดยพื้นฐาน สอดคล้องกับวิธีแก้ปัญหา "ปัญหาพื้นบ้าน" ที่มีมายาวนานเกี่ยวกับการแบ่งแยกของ Geroch

• ทฤษฎีบทการแทน  – การพิสูจน์ว่าโครงสร้างทุกโครงสร้างที่มีคุณสมบัติบางอย่างจะสมสัณฐานกับโครงสร้างอื่น
• ทฤษฎีบทการฝังตัวของวิทนีย์  – ทฤษฎีบทในโทโพโลยีเชิงอนุพันธ์
• ทฤษฎีบทการจุ่มของวิทนีย์  – ทฤษฎีบทในโทโพโลยีเชิงอนุพันธ์
• ทฤษฎีบทของทาเกนส์  – เงื่อนไขที่ระบบอลวนสามารถสร้างขึ้นใหม่ได้โดยการสังเกต
• การลดมิติแบบไม่เชิงเส้น  – การฉายภาพข้อมูลลงบนแมนิโฟลด์ที่มีมิติต่ำกว่า
• พื้นที่สากล

• Bernal, AN; Sánchez, M. (2005). "ความเรียบของฟังก์ชันเวลาและการแยกเมตริกของปริภูมิเวลาไฮเปอร์โบลิกทั่วโลก" Communications in Mathematical Physics . 257 : 43– 50. arXiv : gr-qc/0401112 . doi : 10.1007/s00220-005-1346-1 .
• Clarke, CJS (1970). "เกี่ยวกับการฝังไอโซเมตริกทั่วโลกของแมนิโฟลด์แบบซูโดรีมันน์". วารสาร Proceedings of the Royal Society of London. Series A. 314 : 417– 428. MR  0259813 .
• Greene, RE (1970). การฝังแบบไอโซเมตริกของแมนิโฟลด์แบบรีมันน์และแบบซูโดรีมันน์ . บันทึกของสมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน, ฉบับที่ 97. พรอวิเดนซ์, โรดไอแลนด์: สมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน.
• Müller, O.; Sánchez, M. (2011). "Lorentzian manifolds isometrically embeddable in L ^N ". Transactions of the American Mathematical Society . 363 : 5367– 5379.
• Schwartz, JT (1960). "เกี่ยวกับทฤษฎีบทฟังก์ชันโดยนัยของ Nash" การสื่อสารเกี่ยวกับคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และประยุกต์ 13 : 509– 530 .