ในทางคณิตศาสตร์ทฤษฎีบทจุดตรึงของ Banach (หรือที่รู้จักกันในชื่อทฤษฎีบทการแมปแบบหดตัวหรือทฤษฎีบทการแมปแบบหดตัวหรือทฤษฎีบท Banach–Caccioppoli ) เป็นเครื่องมือ สำคัญ ในทฤษฎีของปริภูมิเมตริกโดยรับประกันการมีอยู่และความเป็นเอกลักษณ์ของจุดตรึงของการแมปตัวเองบางอย่างของปริภูมิเมตริก และให้วิธีการสร้างเพื่อค้นหาจุดตรึงเหล่านั้น สามารถเข้าใจได้ว่าเป็นสูตรนามธรรมของวิธีการประมาณค่าต่อเนื่องของ Picard ^{[ 1 ]}ทฤษฎีบทนี้ตั้งชื่อตามStefan Banach (1892–1945) ผู้ซึ่งกล่าวถึงทฤษฎีบทนี้ เป็นครั้งแรกในปี 1922 ^{[ 2 ] [ 3 ]}

นิยาม.ให้เป็นปริภูมิเมตริกที่มีเมตริกแล้วฟังก์ชันหนึ่งเรียกว่าฟังก์ชันหดตัวบนถ้ามีค่าคงที่ที่ไม่เป็นลบอยู่ค่าหนึ่งซึ่ง ${\displaystyle (X,d)}$${\displaystyle d(x,y)}$${\displaystyle T:X\to X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle q<1}$

${\displaystyle d(T(x),T(y))\leq q\,d(x,y)}$

สำหรับทุกคน${\displaystyle x,y\in X.}$

ทฤษฎีบทจุดตรึงของบานาคให้เป็นปริภูมิเมตริกสมบูรณ์ที่ไม่ว่างเปล่าที่มีฟังก์ชันการหดตัวแล้วจะมีจุดตรึงที่ไม่ซ้ำกันเพียงจุด เดียว ซึ่งหมายความว่านอกจากนี้สามารถหา ได้ดังนี้: เริ่มต้นด้วยสมาชิกใดๆและกำหนดสำหรับแล้ว${\displaystyle (X,d)}$${\displaystyle T:X\to X.}$${\displaystyle T}$${\displaystyle x^{*}\in X}$${\displaystyle T(x^{*})=x^{*}}$${\displaystyle x^{*}}$${\displaystyle x_{0}\in X}$${\displaystyle x_{n}=T(x_{n-1})}$${\displaystyle n\geq 1.}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=x^{*}}$

หมายเหตุ 1.อสมการต่อไปนี้มีความเทียบเท่ากันและอธิบายถึงความเร็วของการลู่เข้า :

$${\displaystyle {\begin{aligned}d(x^{*},x_{n})&\leq q^{n}d(x^{*},x_{0}),\\[5pt]d(x^{*},x_{n})&\leq {\frac {q^{n}}{1-q}}d(x_{1},x_{0}),\\[5pt]d(x^{*},x_{n+1})&\leq {\frac {q}{1-q}}d(x_{n+1},x_{n}),\\[5pt]d(x^{*},x_{n+1})&\leq q\,d(x^{*},x_{n}).\end{aligned}}}$$

ค่านี้เรียกว่าค่าคงที่ลิปชิตซ์สำหรับและค่าคงที่ลิปชิตซ์ที่น้อยที่สุดบางครั้งเรียกว่า "ค่าคงที่ลิปชิตซ์ที่ดีที่สุด" ของ ${\displaystyle q}$${\displaystyle T}$${\displaystyle q}$${\displaystyle T}$

หมายเหตุ 2. โดยทั่วไปแล้ว เงื่อนไขสำหรับทุกค่าไม่เพียงพอที่จะรับประกันการมีอยู่ของจุดตรึง ดังที่แสดงให้เห็นโดยแผนที่ ซึ่งไม่มีจุดตรึง อย่างไรก็ตาม ถ้าเซตกระชับ (compact ) เงื่อนไขที่อ่อนกว่านี้ก็บ่งชี้ถึงการมีอยู่และความเป็นเอกลักษณ์ของจุดตรึง ซึ่งสามารถหาได้ง่ายในฐานะตัวทำให้ค่าต่ำสุดของ: อันที่จริง ตัวทำให้ค่าต่ำสุดมีอยู่โดยคุณสมบัติความกระชับ และต้องเป็นจุดตรึง จากนั้นจึงสรุปได้ง่ายๆ ว่าจุดตรึงคือลิมิตของลำดับการวนซ้ำใดๆของ ${\displaystyle d(T(x),T(y))<d(x,y)}$${\displaystyle x\neq y}$$${\displaystyle T:[1,\infty )\to [1,\infty ),\,\,T(x)=x+{\tfrac {1}{x}}\,,}$$${\displaystyle X}$${\displaystyle d(x,T(x))}$${\displaystyle T}$

หมายเหตุ 3.เมื่อนำทฤษฎีบทไปใช้ในทางปฏิบัติ ส่วนที่ยากที่สุดมักจะเป็นการกำหนดค่าให้ถูกต้องเพื่อให้ เป็นไปตามนั้น ${\displaystyle X}$${\displaystyle T(X)\subseteq X}$

ให้เป็นค่าใดๆ และกำหนดลำดับโดยกำหนดให้. ก่อนอื่น เราสังเกตว่า สำหรับทุกค่าเรามีความไม่เท่าเทียมกัน ${\displaystyle x_{0}\in X}$${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle x_{n}=T(x_{n-1})}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$

${\displaystyle d(x_{n+1},x_{n})\leq q^{n}d(x_{1},x_{0}).}$

สิ่งนี้เป็นไปตามการอุปมานบนโดยใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าเป็นการแมปการหดตัว จากนั้นเราสามารถแสดงได้ว่าเป็นลำดับโคชีโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ให้ เป็นเช่นนั้น: ${\displaystyle n}$${\displaystyle T}$${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle m,n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle m>n}$

${\displaystyle {\begin{aligned}d(x_{m},x_{n})&\leq d(x_{m},x_{m-1})+d(x_{m-1},x_{m-2})+\cdots +d(x_{n+1},x_{n})\\[5pt]&\leq q^{m-1}d(x_{1},x_{0})+q^{m-2}d(x_{1},x_{0})+\cdots +q^{n}d(x_{1},x_{0})\\[5pt]&=q^{n}d(x_{1},x_{0})\sum _{k=0}^{m-n-1}q^{k}\\[5pt]&\leq q^{n}d(x_{1},x_{0})\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}\\[5pt]&=q^{n}d(x_{1},x_{0})\left({\frac {1}{1-q}}\right).\end{aligned}}}$

ให้เป็นค่าใดๆ เนื่องจากเราจึงสามารถหาค่า ที่มีขนาดใหญ่ได้เพื่อให้ ${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle q\in [0,1)}$${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle q^{N}<{\frac {\varepsilon (1-q)}{d(x_{1},x_{0})}}.}$

ดังนั้น โดยการเลือกและมากกว่านั้นเราอาจเขียนได้ว่า: ${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle d(x_{m},x_{n})\leq q^{n}d(x_{1},x_{0})\left({\frac {1}{1-q}}\right)<\left({\frac {\varepsilon (1-q)}{d(x_{1},x_{0})}}\right)d(x_{1},x_{0})\left({\frac {1}{1-q}}\right)=\varepsilon .}$

สิ่งนี้พิสูจน์ได้ว่าลำดับนี้เป็นลำดับโคชี เนื่องจากความสมบูรณ์ของลำดับนี้ ลำดับนี้จึงมีลิมิตนอกจากนี้จะต้องเป็นจุดตรึงของ ลำดับ นี้ ด้วย${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle (X,d)}$${\displaystyle x^{*}\in X.}$${\displaystyle x^{*}}$${\displaystyle T}$

${\displaystyle x^{*}=\lim _{n\to \infty }x_{n}=\lim _{n\to \infty }T(x_{n-1})=T\left(\lim _{n\to \infty }x_{n-1}\right)=T(x^{*}).}$

เนื่องจากเป็นการแมปแบบหดตัวจึงมีความต่อเนื่อง ดังนั้นการนำลิมิตเข้ามาภายในจึงสมเหตุสมผล สุดท้ายไม่สามารถมีจุดตรึงได้มากกว่าหนึ่งจุดในเนื่องจากจุดตรึงที่แตกต่างกันสองจุดใดๆและจะขัดแย้งกับการหดตัวของ: ${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle (X,d)}$${\displaystyle p_{1}}$${\displaystyle p_{2}}$${\displaystyle T}$

$${\displaystyle d(p_{1},p_{2})=d(T(p_{1}),T(p_{2}))\leq qd(p_{1},p_{2})<d(p_{1},p_{2}),}$$

โดยที่ความเท่าเทียมกันเกิดจากการเป็นจุดคงที่ของความไม่เท่าเทียมกันแรกเกิดจาก การ เป็น แผนที่การหดตัว และความไม่เท่าเทียมกันสุดท้ายเกิดจากและเนื่องจาก${\displaystyle p_{1},p_{2}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle q<1}$${\displaystyle d(p_{1},p_{2})>0}$${\displaystyle p_{1}\neq p_{2}}$

• ตัวอย่างการประยุกต์ใช้มาตรฐานคือการพิสูจน์ทฤษฎีบท Picard–Lindelöfเกี่ยวกับการมีอยู่และความเป็นเอกลักษณ์ของคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ บางสม การ คำตอบที่ต้องการของสมการเชิงอนุพันธ์นั้นแสดงอยู่ในรูปจุดตรึงของตัวดำเนินการปริพันธ์ที่เหมาะสมบนปริภูมิของฟังก์ชันต่อเนื่องภายใต้บรรทัดฐานเอกรูปจากนั้นจึงใช้ทฤษฎีบทจุดตรึงของ Banach เพื่อแสดงว่าตัวดำเนินการปริพันธ์นี้มีจุดตรึงเพียงหนึ่งเดียว
• ผลลัพธ์ประการหนึ่งของทฤษฎีบทจุดตรึงของบานาคคือ การรบกวนลิปชิตซ์ขนาดเล็กของเอกลักษณ์เป็น โฮมีโอเมอร์ฟิซึมแบบ ไบลิปชิตซ์ให้เป็นเซตเปิดของปริภูมิบานาคให้แทนแผนที่เอกลักษณ์ (การรวม) และให้เป็นแผนที่ลิปชิตซ์ที่มีค่าคงที่แล้ว${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle E}$${\displaystyle I:\Omega \rightarrow E}$${\displaystyle g:\Omega \rightarrow E}$${\displaystyle k<1}$

1. ${\displaystyle \Omega ':=(I+g)\Omega }$เป็นเซตย่อยเปิดของ: กล่าวคือ สำหรับใดๆใน ที่ทำให้มี;${\displaystyle E}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle B(x,r)\subset \Omega }$${\displaystyle B((I+g)(x),r(1-k))\subset \Omega '}$
2. ${\displaystyle I+g:\Omega \rightarrow \Omega '}$เป็นชีวสัณฐานแบบไบ-ลิปชิตซ์;

กล่าวคือ ยังคงอยู่ในรูปแบบที่มีแผนที่ลิปชิตซ์ที่มีค่าคงที่ ผลลัพธ์นี้เป็นผลสืบเนื่องโดยตรงจาก ข้อนี้ ซึ่งนำไปสู่การพิสูจน์ทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผัน${\displaystyle (I+g)^{-1}}$${\displaystyle I+h:\Omega \rightarrow \Omega '}$${\displaystyle h}$${\displaystyle k/(1-k)}$

• สามารถนำมาใช้เพื่อกำหนดเงื่อนไขที่เพียงพอซึ่งรับประกันได้ว่าวิธีการประมาณค่าต่อเนื่องของนิวตันจะใช้ได้ผล และในทำนองเดียวกันสำหรับวิธีการอันดับสามของเชบิเชฟ
• สามารถใช้เพื่อพิสูจน์การมีอยู่และความเป็นเอกลักษณ์ของคำตอบสำหรับสมการเชิงอินทิกรัลได้
• สามารถใช้เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทการฝังตัวของแนชได้^{[ 4 ]}
• สามารถใช้เพื่อพิสูจน์การมีอยู่และความเป็นเอกลักษณ์ของโซลูชันในการวนซ้ำค่า การวนซ้ำนโยบาย และการประเมินนโยบายของ การเรียน รู้แบบเสริมแรง^{[ 5 ]}
• สามารถใช้เพื่อพิสูจน์การมีอยู่และความเป็นเอกลักษณ์ของสมดุลใน การแข่งขัน ^แบบ Cournot [ ^{6 ]}และแบบจำลองเศรษฐกิจแบบไดนามิกอื่นๆ^{[ 7 ]}
• ถ้าXเป็นปริภูมิเวกเตอร์ วิธีการทางเลือกในการประมาณจุดตรึงแบบวนซ้ำคือการใช้ระเบียบวิธีของนิวตันเพื่อแก้สมการ${\displaystyle f(x)-x=0}$
• ตัวอย่างในโลกแห่งความเป็นจริงที่แสดงให้เห็นถึงทฤษฎีบทนี้คือการสาธิตต่อไปนี้ ซึ่งมักจะเข้าใจได้โดยไม่ต้องมีความรู้ทางคณิตศาสตร์มากนัก สมมติว่าบุคคลหนึ่งถือกระดาษแผ่นหนึ่งซึ่งพิมพ์แผนที่เมืองที่ตนอยู่ (หรือแผนที่ประเทศ หรือแบบแปลนอาคารที่ตนอยู่ ฯลฯ) จากนั้นบุคคลนั้นวางแผนที่ลงบนพื้น นี่ถือได้ว่าเป็นการแสดงฟังก์ชันต่อเนื่องจากเมืองไปยังตัวมันเอง และเห็นได้ชัดว่าเป็นฟังก์ชันหดตัว ดังนั้นจึงมีจุดเพียงจุดเดียวบนแผนที่ที่อยู่ตรงเหนือจุดที่แผนที่แสดง ความแม่นยำของแผนที่และวิธีการฉายภาพไม่สำคัญ ตราบใดที่แผนที่สมบูรณ์และจุดทั้งหมดที่แสดงอยู่ใกล้กันมากขึ้นในการฉายภาพ ยิ่งไปกว่านั้น หากบุคคลนั้นขยำแผนที่ให้เป็นก้อนแล้วแผ่ราบลงบนพื้น ตราบใดที่กระดาษไม่ฉีกขาด นี่ก็ยังคงเป็นฟังก์ชันหดตัวและสามารถสรุปได้เช่นเดียวกัน

มีทฤษฎีบทผกผันหลายทฤษฎีของหลักการหดตัวของบานาค ทฤษฎีบทต่อไปนี้เป็นผลงานของเชสลาฟ เบสซากาในปี 1959:

ให้เป็นแผนที่ของเซต เชิงนามธรรม โดยที่แต่ละการวนซ้ำมีจุดตรึงที่ไม่ซ้ำกันให้ แล้วจะมีเมตริกสมบูรณ์บน อยู่ซึ่งเป็นเมตริกหดตัว และเป็นค่าคงที่การหดตัว ${\displaystyle f:X\rightarrow X}$${\displaystyle f^{n}}$${\displaystyle q\in (0,1)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle q}$

อันที่จริง สมมติฐานที่อ่อนแอมากก็เพียงพอที่จะได้ผลลัพธ์แบบผกผันเช่นนี้ ตัวอย่างเช่น ถ้าเป็นแผนที่บนปริภูมิโทโพโลยีT ₁ที่มีจุดตรึงที่ ไม่ซ้ำกัน โดยที่สำหรับแต่ละเรามีแล้วจะมีเมตริกบนอยู่แล้วซึ่งสอดคล้องกับเงื่อนไขของหลักการหดตัวของ Banach ที่มีค่าคงที่การหดตัว[ ^{8 ] ใน}กรณีนี้ เมตริกจะเป็นอัลตราเมตริก ${\displaystyle f:X\to X}$${\displaystyle a}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle f^{n}(x)\rightarrow a}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle 1/2}$

มีการสรุปทั่วไปหลายประการ (ซึ่งบางส่วนเป็นผลลัพธ์ โดยตรง ) ^{[ 9 ]}

ให้เป็นฟังก์ชันที่ส่งผ่านไปยังปริภูมิเมตริกสมบูรณ์ที่ไม่ว่างเปล่า ตัวอย่างเช่น การขยายความทั่วไปของทฤษฎีบทจุดตรึงของบานาคบางประการมีดังนี้: ${\displaystyle T:X\rightarrow X}$

• สมมติว่าการวนซ้ำบางส่วนของเป็นการหดตัว ดังนั้นจะมีจุดตรึงที่ไม่ซ้ำกันเพียงจุดเดียว${\displaystyle T^{n}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$
• สมมติว่าสำหรับแต่ละค่าจะมีอยู่จริงที่ทำให้สำหรับทุกค่าและและว่า${\displaystyle n}$${\displaystyle c_{n}}$${\displaystyle d(T^{n}(x),T^{n}(y))\leq c_{n}d(x,y)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle \sum \nolimits _{n}c_{n}<\infty .}$

ดังนั้นจึงมีจุดตรึงที่ไม่ซ้ำกันเพียงจุดเดียว${\displaystyle T}$

ในการใช้งานจริง การมีอยู่และความเป็นเอกลักษณ์ของจุดตรึงมักสามารถแสดงได้โดยตรงด้วยทฤษฎีบทจุดตรึงของบานาคมาตรฐาน โดยการเลือกเมตริกที่เหมาะสมซึ่งทำให้แผนที่นั้นเป็นการหดตัว อันที่จริง ผลลัพธ์ข้างต้นของเบสซากาชี้ให้เห็นอย่างชัดเจนถึงการค้นหาเมตริกดังกล่าว ดูบทความเกี่ยวกับทฤษฎีบทจุดตรึงในปริภูมิอนันต์มิติสำหรับการวางนัยทั่วไป เพิ่มเติมด้วย${\displaystyle T}$

ใน ปริภูมิเมตริกกระชับที่ไม่ว่างเปล่า ฟังก์ชันใดๆ ที่สอดคล้องกับเงื่อนไขสำหรับทุกค่า ที่แตกต่างกันจะมีจุดตรึงเพียงจุดเดียว การพิสูจน์นั้นง่ายกว่าทฤษฎีบทของบานาค เนื่องจากฟังก์ชันมีความต่อเนื่อง ดังนั้นจึงมีค่าต่ำสุด ซึ่งสามารถแสดงได้อย่างง่ายดายว่าเป็นศูนย์ ${\displaystyle T}$${\displaystyle d(T(x),T(y))<d(x,y)}$${\displaystyle x,y}$${\displaystyle d(T(x),x)}$

การสรุปทั่วไปประเภทต่างๆ เกิดขึ้นจากการสรุปทั่วไปที่เหมาะสมของแนวคิดของปริภูมิเมตริกเช่น โดยการลดทอนสัจพจน์ที่กำหนดสำหรับแนวคิดของเมตริก^{[ 10 ]}บางส่วนเหล่านี้มีการประยุกต์ใช้ เช่น ในทฤษฎีความหมายของการเขียนโปรแกรมในวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎี^{[ 11 ]}

การประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทจุดตรึงของ Banach และการวนซ้ำจุดตรึงสามารถใช้เพื่อหาค่าประมาณของได้อย่างรวดเร็วและมีความแม่นยำสูง พิจารณาฟังก์ชันสามารถตรวจสอบได้ว่าเป็นจุดตรึงของและแปลงช่วงไปยังตัวมันเอง ยิ่งไปกว่านั้นและสามารถตรวจสอบได้ว่า ${\displaystyle \pi }$${\displaystyle f(x)=x+\sin(x)}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \left[{\frac {3\pi }{4}},{\frac {5\pi }{4}}\right]}$${\displaystyle f^{\prime }(x)=1+\cos(x)}$

${\displaystyle 0\leqslant 1+\cos(x)\leqslant 1-{\frac {1}{{\sqrt {2\,}}\,}}\approx 0.292893<1}$

บนช่วงเวลานี้ ดังนั้น โดยการประยุกต์ใช้ทฤษฎีค่าเฉลี่ยจะมีค่าคงที่ลิปชิตซ์น้อยกว่า(นั่นคือ) การประยุกต์ใช้ทฤษฎีจุดตรึงของบานาคแสดงให้เห็นว่าจุดตรึงเป็นจุดตรึงที่ไม่ซ้ำกันบนช่วงเวลา ทำให้สามารถใช้การวนซ้ำจุดตรึงได้ ${\displaystyle f}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 1-1/{\sqrt {2}}}$${\displaystyle \pi }$

ตัวอย่างเช่น สามารถเลือกค่า เริ่มต้นของการวนซ้ำจุดตรึงได้ดังนี้ ทฤษฎีบทจุดตรึงของบานาคสามารถนำมาใช้สรุปได้ว่า ${\displaystyle 3}$${\displaystyle {\frac {3\pi }{4}}\leqslant 3\leqslant {\frac {5\pi }{4}}}$

${\displaystyle \pi =f\!{\bigg (}f\!{\Big (}f\!{\big (}\cdots f(3)\cdots {\big )}{\Big )}{\bigg )}={\big (}f\circ \cdots \circ f{\big )}(3).}$

การนำไปใช้เพียงสามครั้งก็ให้ผลลัพธ์ที่แม่นยำถึงระดับตัวเลขหลายหลักแล้ว: ${\displaystyle f}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle 33}$

${\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {id} (3)&=&f^{[0]}\!(3)&=&{\boldsymbol {3.}}0000000000000000000000000000000000\cdots \\f(3)&=&f^{[1]}\!(3)&=&{\boldsymbol {3.141}}1200080598672221007448028081103\cdots \\f{\big (}f(3){\big )}&=&f^{[2]}\!(3)&=&{\boldsymbol {3.1415926535}}721955587348885681408797\cdots \\f{\Big (}f{\big (}f(3){\big )}{\Big )}&=&f^{[3]}\!(3)&=&{\boldsymbol {3.14159265358979323846264338327950}}20\cdots \end{matrix}}}$