เทคนิคการพิสูจน์การลู่เข้าคือรูปแบบมาตรฐานของการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ที่แสดงให้เห็นว่าลำดับหรือฟังก์ชันลู่เข้าสู่ค่า จำกัด เมื่อตัวแปรมีแนวโน้มเข้าสู่ค่าอนันต์

ลำดับและ รูปแบบการลู่เข้ามีหลายประเภทและเทคนิคการพิสูจน์ที่แตกต่างกันอาจเหมาะสมกว่าเทคนิคอื่น ๆ สำหรับการพิสูจน์การลู่เข้าแต่ละประเภทของลำดับแต่ละประเภท ตัวอย่างที่พบบ่อยและเป็นแบบทั่วไปมีดังต่อไปนี้ บทความนี้มีจุดประสงค์เพื่อเป็นบทนำที่ช่วยให้ผู้ปฏิบัติงานได้สำรวจเทคนิคที่เหมาะสม ลิงก์ด้านล่างให้รายละเอียดเกี่ยวกับเงื่อนไขที่จำเป็นและการสรุปทั่วไปไปยังการตั้งค่าที่เป็นนามธรรมมากขึ้น เทคนิคการพิสูจน์การลู่เข้าของอนุกรมซึ่งเป็นลำดับประเภทหนึ่งที่สอดคล้องกับผลรวมของหลายพจน์ จะกล่าวถึงในบทความเกี่ยวกับการทดสอบการลู่เข้า

โดยทั่วไปมักต้องการพิสูจน์การลู่เข้าของลำดับหรือฟังก์ชันโดยที่และหมายถึงจำนวนธรรมชาติและจำนวนจริง ตามลำดับ และการลู่เข้าจะเกิด ขึ้น โดยเทียบกับนอร์มยุคลิด${\displaystyle f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle ||\cdot ||_{2}}$

แนวทางที่เป็นประโยชน์สำหรับเรื่องนี้มีดังต่อไปนี้

นิยามเชิงวิเคราะห์ของการลู่เข้าสู่ลิมิตคือ^{[ 1 ]}สำหรับทุก ๆจะมีอยู่จริงเช่นสำหรับทุก ๆเทคนิคการพิสูจน์ที่ตรงที่สุดจากนิยามนี้คือการหาค่าดังกล่าวและพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกันที่ต้องการ หากไม่ทราบค่าของล่วงหน้า เทคนิคด้านล่างอาจมีประโยชน์ ${\displaystyle f}$${\displaystyle f_{\infty }}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle k_{0}\in \mathbb {N} }$${\displaystyle k>k_{0}}$${\displaystyle \|f(k)-f_{\infty }\|<\epsilon }$${\displaystyle k_{0}}$${\displaystyle f_{\infty }}$

ในหลายกรณี ฟังก์ชันที่สนใจการลู่เข้าจะมีรูปแบบเป็นสำหรับการแปลงบางอย่างตัวอย่างเช่นอาจแมปไปยังสำหรับเมทริกซ์ที่สอดคล้องกัน บางตัว ดังนั้น ซึ่งเป็นการขยายเมทริกซ์ของลำดับเรขาคณิตหรืออีกทางหนึ่งอาจเป็นการดำเนินการแบบทีละองค์ประกอบ เช่น การแทนที่แต่ละองค์ประกอบของด้วยรากที่สองของขนาดของมัน ${\displaystyle f(k+1)=T(f(k))}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle f(k)}$${\displaystyle f(k+1)=Af(k)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle f(k)=A^{k}f(0)}$${\displaystyle T}$${\displaystyle f(k)}$

ในกรณีเช่นนี้ หากปัญหาตรงตามเงื่อนไขของทฤษฎีบทจุดตรึงของบานาค (โดเมนเป็นปริภูมิเมตริกสมบูรณ์ที่ไม่ว่างเปล่า ) ก็เพียงพอที่จะพิสูจน์การลู่เข้าเพื่อพิสูจน์ว่าเป็นฟังก์ชันหดตัวเพื่อพิสูจน์ว่ามีจุดตรึง ซึ่งต้องมีค่าคงที่บางค่าที่กำหนดไว้สำหรับทุกและการประกอบกันของฟังก์ชันหดตัวสองฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันหดตัว ดังนั้นถ้าก็เพียงพอที่จะแสดงว่าและเป็นฟังก์ชันหดตัวทั้งคู่ ${\displaystyle T}$${\displaystyle \|T(x)-T(y)\|<\|\lambda (xy)\|}$${\displaystyle |\lambda ||<1}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle T=T_{1}\circ T_{2}}$${\displaystyle T_{1}}$${\displaystyle T_{2}}$

ตัวอย่างที่มีชื่อเสียงของการประยุกต์ใช้แนวทางนี้ ได้แก่

• ถ้ามีรูปแบบสำหรับเมทริกซ์บางตัวและแล้วจะลู่เข้าสู่ถ้าขนาดของค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดของมีค่าน้อยกว่า 1${\displaystyle T}$${\displaystyle T(x)=Ax+B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle T^{k}(x)}$${\displaystyle (IA)^{-1}B}$${\displaystyle A}$

ถ้าเงื่อนไขอสมการทั้งสองข้างต้นในนิยามของการแมปแบบหดตัวถูกลดทอนจาก "น้อยกว่าอย่างเคร่งครัด" เป็น "น้อยกว่าหรือเท่ากับ" การแมปนั้นจะเป็นแมปแบบไม่ขยายตัว การพิสูจน์การลู่เข้าเพียงอย่างเดียวไม่เพียงพอที่จะพิสูจน์ว่าเป็นการแมปแบบไม่ขยายตัว ตัวอย่างเช่นเป็นการแมปแบบไม่ขยายตัว แต่ลำดับไม่ลู่เข้าสำหรับค่าใดๆ ของอย่างไรก็ตาม การประกอบกันของการแมปแบบหดตัวและการแมปแบบไม่ขยายตัว (หรือในทางกลับกัน) คือการแมปแบบหดตัว ${\displaystyle T}$${\displaystyle T(x)=-x}$${\displaystyle T^{n}(x)}$${\displaystyle x\neq 0}$

ถ้าฟังก์ชัน ไม่ใช่การแมปแบบหดตัวบนโดเมนทั้งหมด แต่เป็นการแมปแบบหดตัวบนโคโดเมน (ภาพของโดเมน) ก็เพียงพอสำหรับการลู่เข้าเช่นกัน หลักการนี้ยังใช้ได้กับการแยกส่วนด้วย ตัวอย่างเช่น พิจารณาฟังก์ชันไม่ใช่การแมปแบบหดตัว แต่เป็นการแมปแบบหดตัวบนโดเมนที่จำกัดซึ่งเป็นโคโดเมนของสำหรับอาร์กิวเมนต์ที่เป็นจำนวนจริง เนื่องจากเป็นการแมปแบบไม่ขยายตัว ดังนั้นจึงหมายความว่าเป็นการแมปแบบหดตัว ${\displaystyle T}$${\displaystyle T(x)=\cos(\sin(x))}$${\displaystyle \cos }$${\displaystyle [-1,1]}$${\displaystyle \sin }$${\displaystyle \sin }$${\displaystyle T}$

ทุกลำดับที่มีขอบเขตในมีลำดับย่อยที่ลู่เข้า ตามทฤษฎีบทโบลซาโน-ไวเออร์สตรัสถ้าลำดับย่อยเหล่านี้มีลิมิตเดียวกัน ลำดับดั้งเดิมก็จะลู่เข้าสู่ลิมิตนั้นด้วย ถ้าสามารถแสดงได้ว่าลำดับย่อยทั้งหมดของต้องมีลิมิตเดียวกัน เช่น โดยการแสดงว่ามีจุดตรึงเพียงจุดเดียวของการแปลงและไม่มีเซตไม่แปรเปลี่ยนของที่ไม่มีจุดตรึงของแล้วลำดับเริ่มต้นก็ต้องลู่เข้าสู่ลิมิตนั้นด้วย ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$

ลำดับโมโนโทนิกที่มีขอบเขต ทุกตัวใน${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ จะ ลู่ เข้าสู่ลิมิต

This fact can be used directly and can also be used to prove the convergence of sequences that are not monotonic using techniques and theorems named for Aleksandr Lyapunov. In these cases, one defines a function ${\displaystyle V:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$ such that ${\displaystyle V(f(k))}$ is monotonic in ${\displaystyle k}$ and thus ${\displaystyle V(f(k))}$ converges. If ${\displaystyle V}$ satisfies the conditions to be a Lyapunov function then Lyapunov's theorem implies that ${\displaystyle f}$ is also convergent. Lyapunov's theorem is normally stated for ordinary differential equations, but it can also be applied to sequences of iterates by replacing derivatives with discrete differences.

The basic requirements on ${\displaystyle V}$ to be a Lyapunov function are that

1. ${\displaystyle V(x)>0}$ for all ${\displaystyle x\neq 0}$ and ${\displaystyle V(0)=0}$
2. ${\displaystyle V(f(k+1))-V(f(k))<0}$ for ${\displaystyle f(k)\neq 0}$ (discrete case) or ${\displaystyle {\dot {V}}(x)<0}$ for ${\displaystyle x\neq 0}$ (continuous case)
3. ${\displaystyle V}$ is "radially unbounded", i.e., that ${\textstyle \lim _{k\rightarrow \infty }V(f(k))=\infty }$ for any sequence with ${\textstyle \lim _{k\rightarrow \infty }||f(k)||=\infty }$.

In many cases a quadratic Lyapunov function of the form ${\displaystyle V(x)=x^{T}Ax}$ can be found, although more complex forms are also common, for instance entropies in the study of convergence of probability distributions.

For delay differential equations, a similar approach applies with Lyapunov functions replaced by Lyapunov functionals also called Lyapunov-Krasovskii functionals.

If the inequality in the condition 2 is weak, LaSalle's invariance principle may be used.

To consider the convergence of sequences of functions,^[2] it is necessary to define a distance between functions to replace the Euclidean norm. These often include

• Convergence in the norm (strong convergence) -- a function norm, such as ${\textstyle \|g\|_{f}=\int _{x\in A}\|g(x)\|dx}$ is defined, and convergence occurs if ${\displaystyle ||f(n)-f_{\infty }||_{f}\rightarrow 0}$. For this case, all of the above techniques can be applied with this function norm.
• Pointwise convergence -- convergence occurs if for each ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle f_{n}(x)\rightarrow f_{\infty }(x)}$. For this case, the above techniques can be applied for each point ${\displaystyle x}$ with the norm appropriate for ${\displaystyle f(x)}$.
• uniform convergence -- In pointwise convergence, some (open) regions can converge arbitrarily slowly. With uniform convergence, there is a fixed convergence rate such that all points converge at least that fast. Formally, ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\,\sup\{\,\left|f_{n}(x)-f_{\infty }(x)\right|:x\in A\,\}=0,}$ where ${\displaystyle A}$ is the domain of each ${\displaystyle f_{n}}$.

See also

• Convergence of Fourier series

ตัวแปรสุ่ม^{[ 3 ]}มีความซับซ้อนมากกว่าองค์ประกอบง่ายๆ ของ(ในทางรูปธรรม ตัวแปรสุ่มคือการแมปจากปริภูมิเหตุการณ์ไปยังปริภูมิค่าปริภูมิค่าอาจเป็นเช่น การทอยลูกเต๋า และตัวแปรสุ่มดังกล่าวมักจะถูกพูดถึงอย่างไม่เป็นทางการว่าอยู่ในแต่การลู่เข้าของลำดับของตัวแปรสุ่มสอดคล้องกับการลู่เข้าของลำดับของฟังก์ชันหรือการแจกแจงมากกว่าลำดับของค่า ) ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle x:\Omega \rightarrow V}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

การลู่เข้า มีหลายประเภทขึ้นอยู่กับวิธีการวัด ระยะห่าง ระหว่างฟังก์ชัน

• การลู่เข้าในการกระจายตัว -- การลู่เข้าแบบจุดต่อจุดของฟังก์ชันการกระจายตัวของตัวแปรสุ่มไปยังค่าลิมิต
• การบรรจบกันในความน่าจะเป็น
• การลู่เข้าเกือบแน่นอน -- การลู่เข้าแบบจุดต่อจุดของการแมปไปยังลิมิต ยกเว้นที่เซตที่มีมาตรเป็น 0 ในลิมิต${\displaystyle x_{n}:\Omega \rightarrow V}$${\displaystyle \Omega }$
• การบรรจบกันของค่าเฉลี่ย

แต่ละวิธีมีเทคนิคการพิสูจน์เฉพาะของตนเอง ซึ่งอยู่นอกเหนือขอบเขตของบทความนี้

ดูเพิ่มเติม

• การบรรจบกันที่ครอบงำ
• ทฤษฎีบทของคาร์เลสันที่พิสูจน์การลู่เข้าแบบจุดต่อจุด (เลเบส) เกือบทุกที่ของอนุกรมฟูริเยร์ของฟังก์ชัน L2
• ทฤษฎีบทการลู่เข้าของมาร์ติงเกลของดูบ: อนาล็อกของทฤษฎีบทการลู่เข้าแบบโมโนโทนกับตัวแปรสุ่ม

สำหรับเทคนิคทั้งหมดข้างต้น นิยามเชิงวิเคราะห์พื้นฐานของการลู่เข้าที่กล่าวไว้ข้างต้นนั้นสามารถนำมาใช้ได้ อย่างไรก็ตามโทโพโลยีมีนิยามของการลู่เข้าของตัวเอง ตัวอย่างเช่น ในปริภูมิที่ไม่ใช่เฮาส์ดอร์ฟลำดับอาจลู่เข้าสู่ลิมิตที่แตกต่างกันได้หลายค่า