การวิเคราะห์เป็นสาขาของคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันต่อเนื่องลิมิตและทฤษฎีที่เกี่ยวข้อง เช่นการหาอนุพันธ์การ หา ปริพันธ์การวัด^{ลำดับ}อนันต์อนุกรมและฟังก์ชันวิเคราะห์^{[ 1 ]} [ ^{2 ]}

ทฤษฎีเหล่านี้มักศึกษาในบริบทของจำนวนจริงจำนวนเชิงซ้อนและฟังก์ชันการวิเคราะห์พัฒนามาจากแคลคูลัสซึ่งเกี่ยวข้องกับแนวคิดและเทคนิคพื้นฐานของการวิเคราะห์ การวิเคราะห์อาจแตกต่างจากเรขาคณิตแต่สามารถนำไปประยุกต์ใช้กับปริภูมิของวัตถุทางคณิตศาสตร์ ใดๆ ก็ได้ ที่มีนิยามของความใกล้เคียง ( ปริภูมิเชิงทอพอโลยี ) หรือระยะทางเฉพาะระหว่างวัตถุ ( ปริภูมิเชิงเมตริก )

การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ได้รับการพัฒนาอย่างเป็นทางการในศตวรรษที่ 17 ในช่วงการปฏิวัติวิทยาศาสตร์ [ ^{3 ]}แต่แนวคิดหลายอย่างสามารถสืบย้อนไปถึงนักคณิตศาสตร์รุ่นก่อนๆ ได้ ผลลัพธ์ในช่วงแรกของการวิเคราะห์ปรากฏให้เห็นโดยปริยายในยุคแรกๆ ของ^{คณิตศาสตร์}กรีกโบราณตัวอย่างเช่นผลรวมทางเรขาคณิตอนันต์ปรากฏโดยปริยายในปริศนาของซีโนเรื่องการแบ่งสองส่วน^{[ 4 ]} (โดยเคร่งครัดแล้ว จุดประสงค์ของปริศนาคือการปฏิเสธว่าผลรวมอนันต์มีอยู่จริง) ต่อมานักคณิตศาสตร์กรีกเช่นยูโดซัสและอาร์คิมิดีสได้ใช้แนวคิดของลิมิตและการลู่เข้าอย่างชัดเจนมากขึ้น แต่ไม่เป็นทางการ เมื่อพวกเขาใช้วิธีการหาค่าโดยประมาณเพื่อคำนวณพื้นที่และปริมาตรของบริเวณและทรงตัน^{[ 5 ]}การใช้ค่าอนันต์ อย่างชัดเจน ปรากฏในThe Method of Mechanical Theorems ของอาร์คิมิดีส ซึ่งเป็นงานที่ถูกค้นพบใหม่ในศตวรรษที่ 20 ^{[ 6 ]}ในเอเชียนักคณิตศาสตร์ชาวจีนชื่อหลิวฮุยใช้วิธีการประมาณค่าจนหมดในศตวรรษที่ 3 เพื่อหาพื้นที่ของวงกลม^{[ 7 ]}จากวรรณกรรมของศาสนาเชน ปรากฏว่าชาวฮินดูมีสูตรสำหรับผลรวมของอนุกรมเลขคณิตและ อนุกรม เรขาคณิตตั้งแต่ศตวรรษที่ 4 ก่อนคริสต์ศักราช^{[ 8 ]}อาจารย์ภัทรบาหุใช้ผลรวมของอนุกรมเรขาคณิตในกัลปสูตรของท่านในปี 433  ก่อนคริสต์ศักราช^{[ 9 ]}

Zu Chongzhiได้กำหนดวิธีการที่ต่อมาเรียกว่าหลักการของ Cavalieriเพื่อหาปริมาตรของทรงกลมในศตวรรษที่ 5 ^{[ 10 ]}ในศตวรรษที่ 12 นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียBhāskara IIได้ใช้อนันต์เล็กและใช้สิ่งที่ปัจจุบันรู้จักกันในชื่อทฤษฎีบทของ Rolle ^{[ 11 ]}

ในศตวรรษที่ 14 มาธาวะแห่งสังคมครามได้พัฒนาการ ขยาย อนุกรมอนันต์ซึ่งปัจจุบันเรียกว่าอนุกรมเทย์เลอร์ของฟังก์ชันต่างๆ เช่นไซน์โคไซน์แทนเจนต์และอาร์คแทนเจนต์ [ 12 ^{]นอกเหนือจาก}การพัฒนาอนุกรมเทย์เลอร์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติแล้วเขายังได้ประมาณขนาดของพจน์ความคลาดเคลื่อนที่เกิดจากการตัดทอนอนุกรมเหล่านี้ และได้ให้การประมาณค่าเชิงตรรกะของอนุกรมอนันต์บางอนุกรม ลูกศิษย์ของเขาที่โรงเรียนดาราศาสตร์และคณิตศาสตร์แห่งเกรละได้ขยายผลงานของเขาต่อไปจนถึงศตวรรษที่ 16

รากฐานสมัยใหม่ของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ได้รับการวางรากฐานในยุโรปศตวรรษที่ 17 ^{[ 3 ]}สิ่งนี้เริ่มต้นขึ้นเมื่อแฟร์มาต์และเดส์การ์ตพัฒนาเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ซึ่งเป็นพื้นฐานของแคลคูลัสสมัยใหม่ วิธีการของแฟร์มาต์ทำให้เขาสามารถกำหนดค่าสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชันและเส้นสัมผัสของเส้นโค้งได้^{[ 13 ]} การตีพิมพ์ La Géométrieของเดส์การ์ตในปี 1637 ซึ่งแนะนำระบบพิกัดคาร์ทีเซียนถือเป็นการวางรากฐานของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ อีกหลายทศวรรษต่อมานิวตันและไลบ์นิซได้พัฒนาแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์อย่างอิสระซึ่งเติบโตขึ้นด้วยแรงกระตุ้นจากงานประยุกต์ที่ดำเนินต่อไปตลอดศตวรรษที่ 18 ไปสู่หัวข้อการวิเคราะห์ เช่นแคลคูลัสของการแปรผัน สมการ เชิง อนุพันธ์ สามัญและเชิงอนุพันธ์ย่อยการวิเคราะห์ฟูริเยร์และฟังก์ชันก่อกำเนิดในช่วงเวลานี้ เทคนิคแคลคูลัสถูกนำมาใช้เพื่อประมาณปัญหาแบบไม่ต่อเนื่องด้วยปัญหาแบบต่อเนื่อง

ในศตวรรษที่ 18 ออยเลอร์ได้นำเสนอแนวคิดของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ [ ^{14 ]}การวิเคราะห์เชิงจริงเริ่มปรากฏเป็นวิชาอิสระเมื่อเบอร์นาร์ด โบลซาโนนำเสนอนิยามสมัยใหม่ของความต่อเนื่องในปี 1816 ^{[ 15 ]}แต่งานของโบลซาโนไม่เป็นที่รู้จักอย่างกว้างขวางจนกระทั่งถึงทศวรรษ 1870 ในปี 1821 คอชีเริ่มวางรากฐานเชิงตรรกะที่มั่นคงให้กับแคลคูลัสโดยการปฏิเสธหลักการทั่วไปของ^{พีชคณิต}ที่ใช้กันอย่างแพร่หลายในงานก่อนหน้านี้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งโดยออยเลอร์ แทนที่จะเป็นเช่นนั้น คอชีได้กำหนดแคลคูลัสในแง่ของแนวคิดทางเรขาคณิตและอนันต์เล็ก ๆดังนั้น นิยามของความต่อเนื่องของเขาจึงต้องการการเปลี่ยนแปลงอนันต์เล็ก ๆ ในxเพื่อให้สอดคล้องกับการเปลี่ยนแปลงอนันต์เล็ก ๆ ในyเขายังได้นำเสนอแนวคิดของลำดับคอชีและเริ่มต้นทฤษฎีอย่างเป็นทางการของการวิเคราะห์เชิงซ้อนปัวซงลิอูวิลล์ ฟูริเยร์และคนอื่นๆ ศึกษาเกี่ยวกับสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยและการวิเคราะห์ฮาร์มอนิกผลงานของนักคณิตศาสตร์เหล่านี้และคนอื่นๆ เช่นไวเออร์สตรัสได้พัฒนา แนวทาง นิยามลิมิต (ε, δ)ซึ่งเป็นรากฐานของสาขาคณิตศาสตร์วิเคราะห์สมัยใหม่ ในเวลาเดียวกันนั้นรีมันน์ ได้นำเสนอทฤษฎีการ อินทิเกรตของเขาและสร้างความก้าวหน้าอย่างมากในคณิตศาสตร์วิเคราะห์เชิงซ้อน

ในช่วงปลายศตวรรษที่ 19 นักคณิตศาสตร์เริ่มกังวลว่าพวกเขากำลังสันนิษฐานถึงการมีอยู่ของจำนวนจริงต่อเนื่องโดยปราศจากหลักฐาน พิสูจน์ จากนั้น เดเดคินด์จึงสร้างจำนวนจริงขึ้นโดยใช้การตัดของเดเดคินด์ (Dedekind cuts ) ซึ่งจำนวนอตรรกยะได้รับการกำหนดนิยามอย่างเป็นทางการ โดยจำนวนอตรรกยะเหล่านี้ทำหน้าที่เติมเต็ม "ช่องว่าง" ระหว่างจำนวนตรรกยะ จึงสร้าง เซต ที่สมบูรณ์ขึ้นมาได้ นั่นคือ จำนวนจริงต่อเนื่อง ซึ่ง ไซมอน สเตวินได้พัฒนาไว้แล้วในรูปของการกระจายทศนิยมในช่วงเวลานั้น ความพยายามในการปรับปรุงทฤษฎีบทของการอินทิเกรตแบบรีมันน์นำไปสู่การศึกษา "ขนาด" ของเซตของจุดไม่ต่อเนื่องของฟังก์ชันจริง

นอกจากนี้วัตถุที่ผิดปกติ หลายอย่าง (เช่นฟังก์ชันที่ไม่ต่อเนื่องที่ใดเลยฟังก์ชันต่อเนื่องแต่ ไม่ สามารถ หาอนุพันธ์ได้ที่ใดเลย และเส้นโค้งที่เติมเต็มพื้นที่ ) ซึ่งโดยทั่วไปเรียกว่า "สัตว์ประหลาด" ก็เริ่มได้รับการศึกษา ในบริบทนี้จอร์แดนได้พัฒนาทฤษฎีการวัด ของเขา แคนเตอร์ได้พัฒนาสิ่งที่ปัจจุบันเรียกว่าทฤษฎีเซตแบบง่ายและแบร์ได้พิสูจน์ทฤษฎีบทหมวดหมู่ของแบร์ ​​ในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 แคลคูลัสได้รับการทำให้เป็นทางการโดยใช้ทฤษฎีเซต เชิงสัจพจน์ เลเบสได้ปรับปรุงทฤษฎีการวัดอย่างมาก และได้นำเสนอทฤษฎีการอินทิเกรตของเขาเอง ซึ่งปัจจุบันรู้จักกันในชื่อการอินทิเกรตของเลเบส ซึ่งพิสูจน์แล้วว่าเป็นการปรับปรุงครั้งใหญ่กว่าของรีมันน์ฮิลเบิร์ตได้นำเสนอปริภูมิฮิลเบิร์ตเพื่อแก้สมการอินทิกรัลแนวคิดของปริภูมิเวกเตอร์แบบมีบรรทัดฐานกำลังเป็นที่พูดถึง และในทศวรรษ 1920 บานาคได้สร้างการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันขึ้น

จำนวนจริงเป็นพื้นฐานมาตรฐานสำหรับการวิเคราะห์เชิงคลาสสิกส่วนใหญ่ ความสมบูรณ์ของจำนวนจริง ซึ่งมักแสดงออกโดยคุณสมบัติขอบเขตบนน้อยที่สุดเป็นรากฐานของผลลัพธ์พื้นฐานเกี่ยวกับลิมิตความต่อเนื่องการหาอนุพันธ์และ การ หา ปริพันธ์

การประมาณค่ามีบทบาทสำคัญในหลายสาขาของคณิตศาสตร์ ตัวอย่างเช่นลิมิตของลำดับจำนวนจริง ลำดับจำนวนจริงคือกลุ่มของจำนวนจริง โดยแต่ละจำนวนมีดัชนีเป็นจำนวนธรรมชาติ ลำดับจะลู่เข้าสู่ลิมิตก็ต่อเมื่อสมาชิกเกือบทั้งหมดของลำดับอยู่ใกล้กับลิมิตมาก ๆ กล่าวคือ สำหรับค่าความคลาดเคลื่อนที่ยอมรับได้ใด ๆ สมาชิกทั้งหมดของลำดับจะอยู่ภายใน ค่า ยกเว้นอาจจะมีสมาชิก เพียงจำนวนจำกัดเท่านั้นที่อยู่นอกเหนือค่า ในทางคณิตศาสตร์ สำหรับค่าความคลาดเคลื่อนใด ๆจะมีจำนวนเต็มเช่นนั้น เมื่อใดก็ตามที่ ${\displaystyle a_{1},a_{2}\ldots }$${\displaystyle L}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle L}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle N}$$${\displaystyle |a_{n}-L|<\epsilon }$$${\displaystyle n>N}$

ตัวอย่างนี้แสดงให้เห็นถึงการใช้การประมาณค่า: องค์ประกอบต่างๆประมาณค่าจำนวนและค่าความคลาดเคลื่อนที่ยอมรับได้คืออย่างไรก็ตาม การลู่เข้าเพียงอย่างเดียวไม่ได้ให้ข้อมูลเกี่ยวกับคุณภาพของการประมาณค่า และผลลัพธ์หลายอย่างในการวิเคราะห์เกี่ยวข้องกับคุณภาพของการประมาณค่า ${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \epsilon }$

อีกตัวอย่างหนึ่งมาจากแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ ฟังก์ชันจริงจะหาอนุพันธ์ได้ที่จุดหนึ่งก็ต่อเมื่อมีฟังก์ชันเชิงเส้นที่ประมาณฟังก์ชันนั้นได้ดีใกล้จุดนั้นแต่ "ดี" ในที่นี้หมายความว่าข้อผิดพลาดในการประมาณนั้น โดยที่เป็นฟังก์ชันที่เข้าใกล้ศูนย์เร็วกว่า เมื่อการประมาณที่ดีกว่าจะให้การประมาณขนาดของพจน์ข้อผิดพลาดที่สม่ำเสมอและเชิงปริมาณมากกว่าทฤษฎีบทของเทย์เลอร์ยกตัวอย่างเช่น กล่าวว่า สำหรับฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้สองครั้งอย่างต่อเนื่องบนช่วงปิดที่มี โดยที่สามารถประมาณได้อย่างชัดเจนโดยใช้อนุพันธ์อันดับสอง ซึ่งทำให้สามารถกำหนดข้อผิดพลาดในการประมาณเชิงเส้นได้อย่างแม่นยำกว่าการหาอนุพันธ์ได้ที่จุดนั้นมาก ${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$${\displaystyle L(x)=f(a)+f'(a)(xa)}$${\displaystyle x=a}$$${\displaystyle |f(x)-L(x)|=o(xa)}$$${\displaystyle o(xa)}$${\displaystyle xa}$${\displaystyle x\to a}$${\displaystyle a}$$${\displaystyle |f(x)-L(x)|\leq M(xa)^{2}}$$${\displaystyle M}$

อสมการ นี้เป็นตัวอย่างของสิ่งที่เรียกว่าค่าประมาณในทางวิเคราะห์ ค่าประมาณคืออสมการที่ใช้ในการวัดปริมาณความคลาดเคลื่อนในการประมาณค่า รวมถึงโดยทั่วไปแล้วใช้เพื่อแสดงว่าการดำเนินการบางอย่างถูกควบคุม (จำกัด) โดยการดำเนินการอื่น ${\displaystyle |f(x)-L(x)|\leq M(xa)^{2}}$

ความต่อเนื่องยังมีบทบาทสำคัญในการวิเคราะห์ ในการวิเคราะห์เบื้องต้น แนวคิดของฟังก์ชันต่อเนื่องถูกนำเสนอโดยใช้คำจำกัดความของเอปซิลอน-เดลต้าโดยคร่าวๆ ฟังก์ชันจะต่อเนื่อง ณ จุดใดจุดหนึ่ง หากการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในอินพุตทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในเอาต์พุต ซึ่งจะตัดความเป็นไปได้ของ "การกระโดด" ในกราฟของฟังก์ชัน หรือพฤติกรรมการแกว่งผิดปกติอื่นๆ ออกไป

ความต่อเนื่องมีความสำคัญในทางวิเคราะห์ เพราะช่วยให้สามารถควบคุมฟังก์ชันในระดับท้องถิ่นและนำไปสู่ข้อสรุปในระดับสากลได้ เมื่อรวมกับสมมติฐานเพิ่มเติม เช่น การเชื่อมต่อหรือความกะทัดรัด ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันค่าจริงต่อเนื่องบนช่วงจะมีคุณสมบัติค่ากลางและฟังก์ชันค่าจริงต่อเนื่องบนเซตกะทัดรัดจะมีค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดฟังก์ชันต่อเนื่องบนปริภูมิเมตริกกะทัดรัดยังมีความต่อเนื่องสม่ำเสมอหมายความว่าฟังก์ชันจะแกว่งในระดับที่เทียบเคียงได้ตลอดทั้งโดเมน ผลลัพธ์เหล่านี้เป็นเครื่องมือพื้นฐานในแคลคูลัส การหาค่าเหมาะสมที่สุด สมการเชิงอนุพันธ์ และทฤษฎีการประมาณค่า

ฟังก์ชันต่อเนื่องสามารถขยายไปสู่ปริภูมิเมตริกและปริภูมิเชิงทอพอโลยี อื่นๆ ได้อย่างง่ายดาย ปริภูมิของฟังก์ชันต่อเนื่องเป็นหนึ่งในปริภูมิที่ได้รับการศึกษามากที่สุดในการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันซึ่งเป็นเครื่องมือที่มีประโยชน์ในการตรวจสอบโครงสร้างของปริภูมิ ในสมการเชิงอนุพันธ์ ความต่อเนื่องยังเป็นเงื่อนไขความสม่ำเสมอที่สำคัญอีกด้วย ในการวิเคราะห์ขั้นสูง ทฤษฎีบทความสม่ำเสมอมักแสดงให้เห็นว่าวัตถุที่นิยามไว้ในตอนแรกอย่างอ่อนๆเกือบทุกที่หรือแบบกระจายมีตัวแทนที่ต่อเนื่องภายใต้สมมติฐานเพิ่มเติม และดังนั้นจึงสามารถถือได้ว่าเป็นฟังก์ชันที่แท้จริงมากกว่าวัตถุทั่วไป

ปริภูมิเมตริก คือเซต ที่ กำหนด แนวคิดเรื่องระยะทาง (เรียกว่าเมตริก ) ระหว่างสมาชิกของเซตนั้น

การวิเคราะห์ส่วนใหญ่เกิดขึ้นในปริภูมิเมตริกบางประเภท ซึ่งที่ใช้กันทั่วไปมากที่สุด ได้แก่เส้น จำนวนจริงระนาบเชิงซ้อน ปริภูมิยุคลิดปริภูมิเวกเตอร์อื่นๆและจำนวนเต็ม

การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันส่วนใหญ่เกี่ยวข้องกับปริภูมิของฟังก์ชันซึ่งสามารถกำหนดโครงสร้างเป็นปริภูมิเมตริกได้ เช่นปริภูมิบานาคและปริภูมิฮิลเบิร์ตในตัวอย่างเหล่านี้จำนวนมาก เมตริกมาจากนอร์มตัวอย่างเช่น ปริภูมิของฟังก์ชันค่าจริงต่อเนื่องบนช่วงหนึ่งหน่วยเป็นปริภูมิบานาคภายใต้นอร์มสูงสุดปริภูมิที่มีความสำคัญหลักในทฤษฎีการวัดและการวิเคราะห์ฮาร์มอนิกคือปริภูมิL p  ซึ่งเป็นปริภูมิเมตริกที่มีเมตริกมาจากนอร์มอีกครั้ง เป็นปริภูมิสมบูรณ์กล่าวคือ เป็นปริภูมิบานาค ${\displaystyle C([0,1])}$

ปริภูมิเมตริกมีความสะดวกอย่างยิ่งในทางวิเคราะห์ เนื่องจากผลลัพธ์การประมาณค่าแบบเข้มข้นหลายอย่างที่ใช้ได้ในปริภูมิยูคลิดสามารถนำไปใช้กับปริภูมิเมตริกได้โดยมีการเปลี่ยนแปลงเพียงเล็กน้อย ตัวอย่างเช่น ความกะทัดรัดในปริภูมิเมตริกเทียบเท่ากับความกะทัดรัดแบบลำดับ ดังนั้นการอ้างเหตุผลโดยใช้ลิมิตในปริภูมิเมตริกจึงค่อนข้างตรงไปตรงมาเมื่อเทียบกับปริภูมิทั่วไปในทางวิเคราะห์ปริภูมิเมตริกที่กะทัดรัดและปริภูมิเมตริกที่สมบูรณ์มีความสำคัญอย่างยิ่งในทางวิเคราะห์ ซึ่งการอ้างเหตุผลหลายอย่างต้องอาศัยการมีอยู่ของลิมิต

จำนวนเชิงซ้อนเป็นเครื่องมือสำคัญอีกอย่างหนึ่งสำหรับสมการวิเคราะห์หลายๆ สม ฟังก์ชันค่าเชิงซ้อนของตัวแปรเชิงซ้อนเรียกว่าฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกถ้าอนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้นมีอยู่เป็นลิมิตเชิงซ้อนที่ทุกจุดในโดเมนของฟังก์ชัน ฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกมีความยืดหยุ่นน้อยกว่าฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ของตัวแปรจริงมาก กล่าวคือ ฟังก์ชันเหล่านี้เป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ซึ่งแสดงได้ในระดับท้องถิ่นด้วยอนุกรมกำลังลู่เข้า

เครื่องมือสำคัญในตัวแปรเชิงซ้อนคือ การอินทิเกรตตามเส้น โค้ง (contour integration ) ซึ่งเป็นการอินทิเกรตฟังก์ชันตามเส้นโค้งในระนาบเชิงซ้อนทฤษฎีบทอินทิกรัลของโคชีสูตรอินทิกรัลของโคชีและทฤษฎีบทเศษเหลือ (residue theorem)เชื่อมโยงค่าของฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกหรือเมโรเมอร์ฟิกกับพฤติกรรมของฟังก์ชันนั้นบนเส้นโค้งและบริเวณใกล้จุดเอกฐาน ผลลัพธ์เหล่านี้ช่วยให้สามารถเลื่อนเส้นโค้งเมื่อทำการอินทิเกรตฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกได้ โดยมีเงื่อนไขว่าการเปลี่ยนแปลงของเส้นโค้งนั้นต้องไม่ผ่านจุดเอกฐาน ซึ่งมีประโยชน์ในการประเมินค่าอินทิกรัลจริงจำนวนมาก และในการศึกษาฟังก์ชันผ่านจุดเอกฐานของฟังก์ชันเหล่านั้น

ในทฤษฎีตัวดำเนินการและทฤษฎีสเปกตรัมตัวผกผันของตัวดำเนินการจะเข้ารหัสข้อมูลเกี่ยวกับสเปกตรัม ของมัน และมักช่วยให้สามารถกำหนดฟังก์ชันของตัวดำเนินการได้โดยการอินทิเกรตเชิงซ้อน ดังนั้นตัวแปรเชิงซ้อนจึงปรากฏขึ้นในความสัมพันธ์กับสมการเชิงอนุพันธ์และสมการเชิงอินทิกรัล ปัญหาค่าลักษณะเฉพาะ และทฤษฎีตัวดำเนินการเชิงเส้น

ทฤษฎีการวัดให้วิธีการที่เป็นระบบในการกำหนดขนาดให้กับเซตย่อยของปริภูมิ ในลักษณะที่ขยายแนวคิดเรื่องความยาว พื้นที่ และปริมาตรในปริภูมิยุคลิดออกไป ในเชิงนามธรรม ทฤษฎีการวัดเริ่มต้นด้วยการระบุกลุ่มของเซตที่สามารถวัดได้นั่นคือ เซตที่มีการวัด เซตที่วัดได้เหล่านี้ประกอบกันเป็นพีชคณิตซิกมาซึ่งหมายความว่าเราสามารถทำการรวมและการตัดกันแบบนับได้ รวมถึงส่วนเติมเต็มของเซตได้ จากนั้นจึงกำหนดนิยามของการวัดในลักษณะที่เข้ากันได้กับการดำเนินการของเซตบนเซตที่วัดได้

ในทฤษฎีการวัด การลู่เข้าแบบจุดต่อจุดของฟังก์ชันสามารถแทนที่ด้วยแนวคิดของการลู่เข้าเกือบทุกที่นั่นคือ การลู่เข้าที่ทุกจุดยกเว้นเซตที่มีการวัดเป็นศูนย์ การลู่เข้าเกือบทุกที่นั้นสะดวกกว่ามากในทฤษฎีการวัด เพราะบ่อยครั้งที่การลู่เข้าแบบเฉลี่ยหลายประเภทไม่สามารถควบคุมเซตที่การลู่เข้าแบบจุดต่อจุดล้มเหลวได้อย่างแม่นยำ แต่สามารถรับประกันได้ว่าเซตที่ล้มเหลวนั้นมีการวัดเป็นศูนย์ ฟังก์ชันมักจะเหมือนกันหากฟังก์ชันเหล่านั้นสอดคล้องกันเกือบทุกที่ นั่นคือ ยกเว้นเซตที่มีการวัดเป็นศูนย์ ดังนั้นในทางปฏิบัติ เซตที่มีการวัดเป็นศูนย์จึงมักถูกละเลยไป

อินทิกรัลของเลเบสขยายมาจากอินทิกรัลของรีมันน์และเหมาะสมกว่าสำหรับกระบวนการลิมิตในทางวิเคราะห์ แนวคิดของอินทิกรัลของเลเบส สำหรับฟังก์ชันที่ไม่เป็นลบคือ เป็นไปได้ที่จะสร้างการเรียงลำดับใหม่ของค่าต่างๆ เพื่อสร้างฟังก์ชันที่ลดลง โดยใช้การวัดของเซตระดับบนสุด ของฟังก์ชันนั้น ในการกำหนดการเรียงลำดับใหม่ การอินทิเกรตฟังก์ชันที่ลดลงมีคุณสมบัติลิมิตที่ดีกว่าภายใต้การอินทิเกรต และพฤติกรรมที่ดีนั้นสามารถถ่ายทอดไปยังอินทิกรัลของเลเบสได้ มีทฤษฎีบทต่างๆ เช่นการลู่เข้าแบบโมโนโทนเลมมาของฟาตูและทฤษฎีบทการลู่เข้าแบบครอบงำที่ช่วยลดความซับซ้อนของข้อโต้แย้งลิมิตหลายอย่าง ${\displaystyle f}$

ทฤษฎีการวัดยังเป็นพื้นฐานทางคณิตศาสตร์ของทฤษฎีความน่าจะเป็น อีกด้วย ปริภูมิความน่าจะเป็นคือปริภูมิการวัดที่มีการวัดรวมเป็นหนึ่ง และค่าคาดหวังคือปริพันธ์เทียบกับการวัดความน่าจะเป็นนี้

ในวิชาคณิตศาสตร์วิเคราะห์ มีการกำหนดปริภูมิฟังก์ชันจำนวนมากโดยใช้การวัด ปริภูมิL p ^{ประกอบด้วย} ฟังก์ชันที่มีกำลังที่สามารถหาปริพันธ์ได้ โดยฟังก์ชันจะเหมือนกันเมื่อค่าของฟังก์ชันทั้งสองตรงกันเกือบทุกที่ ปริภูมิเหล่านี้มีความสำคัญในวิชาคณิตศาสตร์วิเคราะห์หลาย แขนง เช่น ในการวิเคราะห์ฮาร์มอนิกและสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย

อีกแนวคิดหนึ่งในการวิเคราะห์คือการแยกฟังก์ชันออกเป็นส่วนย่อยๆ ที่เรียบง่ายกว่า โดยพิจารณาจากสมมาตร ขนาด หรือการแกว่ง ตัวอย่างที่เป็นแบบอย่างคืออนุกรมฟูริเยร์ซึ่งแยกฟังก์ชัน คาบออกเป็น ฟังก์ชันไซน์พื้นฐานอนุกรมฟูริเยร์มีรูปแบบเป็นอนุกรมตรีโกณมิติ โดยที่เป็นจำนวนเชิงซ้อน และเป็นตัวแปรอิสระ $${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}e^{in\theta }}$$${\displaystyle c_{n}}$${\displaystyle \theta }$

อนุกรมฟูริเยร์เป็นตัวอย่างหนึ่งของการขยายฟังก์ชันเฉพาะโดยที่เลขชี้กำลังคือฟังก์ชันเฉพาะของกลุ่มการหมุนที่กระทำบนวงกลม อนุกรมนี้มีคุณสมบัติเป็นการขยายแบบตั้งฉาก กล่าวคือ ฟังก์ชันเฉพาะสองฟังก์ชันใดๆ จะตั้งฉากกันในปริภูมิฮิลเบิร์ตของฟังก์ชันที่หาปริพันธ์กำลังสองได้บนวงกลม การขยายฟังก์ชันเฉพาะปรากฏในหลายสาขาของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในการประยุกต์ใช้กับวิทยาศาสตร์ซึ่งสมมาตรมักมีความสำคัญ ตัวอย่างของการขยายฟังก์ชันเฉพาะอีกแบบหนึ่งคือการแยกฟังก์ชันบนทรงกลมออกเป็นฮาร์มอนิกทรงกลมอีกครั้ง นี่ก็เป็นการขยายแบบตั้งฉาก และความเป็นตั้งฉากของการขยายนำไปสู่การแยกแต่ละปริภูมิที่จัดการได้ง่าย ${\displaystyle e^{in\theta }}$

การขยายความสามารถใช้ศึกษาการลู่เข้าและการประมาณค่า ความเรียบและการแกว่ง การลดลง และการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ได้ ตัวอย่างเช่น ปริภูมิโซโบเลฟเชื่อมโยงความเรียบของฟังก์ชันกับการลดลงของสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์ การแสดงผลเหล่านี้สามารถแสดงข้อมูลเชิงโครงสร้างที่อาจมองเห็นได้ยากจากรูปแบบดั้งเดิมของฟังก์ชัน

การวิเคราะห์ฟูริเยร์คือการศึกษาการแยกส่วนประกอบดังกล่าว โดยเน้นที่การแปลงฟูริเยร์และรูปแบบทั่วไปบางประการของการแปลงนั้น เป็นหลัก

ปัญหามากมายในทางวิเคราะห์เกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนแปลงของปริมาณต่างๆ เมื่อเวลาผ่านไป หรือภายใต้การประยุกต์ใช้กฎซ้ำๆ ซึ่งนำไปสู่สมการเชิงอนุพันธ์สามัญและสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยโดยที่เราศึกษาฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์เป็นไปตามความสัมพันธ์ที่กำหนดไว้ สำหรับการประยุกต์ใช้กฎซ้ำๆ เราจะศึกษาค่าซ้ำของฟังก์ชันหรือการแปลง ซึ่งก่อให้เกิดระบบพลวัต แบบไม่ ต่อ เนื่อง

คำถามเชิงวิเคราะห์ในพลศาสตร์ ได้แก่ การมีอยู่และความเป็นเอกลักษณ์ของคำตอบเสถียรภาพการประมาณวิถีโคจร พฤติกรรมในระยะยาว และการพึ่งพาเงื่อนไขเริ่มต้นตัวอย่างเช่น สมการเชิงอนุพันธ์อาจกำหนดการไหลในปริภูมิ ในขณะที่การทำซ้ำของแผนที่สร้างวงโคจร เครื่องมือเชิงวิเคราะห์ใช้เพื่อตรวจสอบว่าวงโคจรดังกล่าวลู่เข้า คงที่ เป็นคาบ หรือแสดงพฤติกรรมที่ซับซ้อนกว่านั้นหรือไม่

พลศาสตร์เป็นแอปพลิเคชันที่สำคัญของวิธีการวิเคราะห์ และนำไปสู่แนวคิดและเทคนิคภายในสาขาการวิเคราะห์เอง ในทฤษฎีเออร์โกดิกวัตถุหลักคือการแปลงที่รักษาการวัด และเราตั้งคำถามว่าค่าเฉลี่ยตามเวลาตามวงโคจรมีความสัมพันธ์กับค่าเฉลี่ยเชิงพื้นที่เหนือระบบทั้งหมดอย่างไร ทฤษฎีพื้นฐานเกี่ยวข้องกับว่าค่าเฉลี่ยตามเวลาของฟังก์ชันจะเท่ากับค่าเฉลี่ยเชิงพื้นที่ภายใต้วงโคจรของระบบหรือไม่ และการประมาณค่าดังกล่าวเกิดขึ้นเร็วแค่ไหน ในการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน ปัญหาการวิวัฒนาการมักได้รับการศึกษาโดยใช้ตระกูลตัวดำเนินการพารามิเตอร์เดียว เช่นเซมิกรุปตัวดำเนินการซึ่งขยายฟังก์ชันเลขชี้กำลังจากตัวเลขหรือเมทริกซ์ไปยังปริภูมิอนันต์มิติ

หลายสาขาของการวิเคราะห์ศึกษาตัวดำเนินการ เช่นตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ตัวดำเนินการ เชิงปริพันธ์ หรือการแปลงเชิงเส้นบนปริภูมิฟังก์ชันหรือปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี อื่นๆ ตัวดำเนินการสามารถเข้ารหัสข้อมูล เช่น วิวัฒนาการของระบบ สมการเชิงอนุพันธ์หรือเชิงปริพันธ์หรือสถานะควอนตัมหรือ ปริมาณ ที่สังเกตได้ทฤษฎีสเปกตรัมของตัวดำเนินการช่วยให้สามารถแยกตัวดำเนินการออกเป็นส่วนๆ และแสดงแทนได้ ซึ่งเป็นการขยายแง่มุมของ การแยก ส่วนค่าลักษณะเฉพาะจากพีชคณิตเชิงเส้นไปสู่มิติอนันต์ เช่นเดียวกับในพีชคณิตเชิงเส้น มักเป็นไปได้ที่จะเข้าใจตัวดำเนินการอย่างลึกซึ้งยิ่งขึ้นผ่านการแยกส่วนสเปกตรัมของมัน

แคลคูลัสเป็นสาขาหนึ่งของการวิเคราะห์ที่เกี่ยวข้องกับการคำนวณและการประยุกต์ใช้เป็นหลัก^{[ 16 ] [ 17 ]} แคลคูลัสมีสองสาขา ได้แก่แคลคูลัสเชิงปริพันธ์ซึ่งเกี่ยวข้องกับการศึกษาค่าเฉลี่ย การสะสม และพื้นที่ และแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ซึ่งศึกษาอัตราการเปลี่ยนแปลงการประมาณเชิงเส้นและอนุพันธ์ตัวอย่างของการประยุกต์ใช้แคลคูลัส ได้แก่ วิธีการทำงานกับการประมาณ เช่นการประมาณของเทย์เลอร์และอนุกรมเทย์เลอร์ การ อินทิเกร ต ในเชิงพื้นฐาน การประมาณเชิงตัวเลขของการอินทิเกรต และการหาค่าเหมาะสม ที่สุดขั้นพื้นฐาน

การวิเคราะห์เวกเตอร์ หรือที่เรียกว่าแคลคูลัสเวกเตอร์ เป็นส่วนหนึ่งของแคลคูลัสที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันที่มีค่าเป็นเวกเตอร์^{[ 18 ]}

การวิเคราะห์เชิงจริง (ตามธรรมเนียมคือ "ทฤษฎีของฟังก์ชันของตัวแปรจริง") เป็นสาขาหนึ่งของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับจำนวนจริงและฟังก์ชันค่าจริงของตัวแปรจริง^{[ 19 ] [ 20 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การวิเคราะห์เชิงจริงจะเกี่ยวข้องกับคุณสมบัติของฟังก์ชันและลำดับ จริง รวมถึงการลู่เข้าและลิมิตของลำดับจำนวนจริง ซึ่งเป็นพื้นฐานที่เข้มงวดสำหรับแคลคูลัส และความต่อเนื่องความเรียบและคุณสมบัติที่เกี่ยวข้องของฟังก์ชันค่าจริง

การวิเคราะห์เชิงซ้อน (ที่รู้จักกันตามประเพณีว่า "ทฤษฎีฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน") เป็นสาขาหนึ่งของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ที่ศึกษาฟังก์ชันของจำนวนเชิงซ้อน[ ^{21 ] [ 22 ] [ 23 ] มี}ประโยชน์ในหลายสาขาของคณิตศาสตร์ รวมถึงเรขาคณิตเชิงพีชคณิตทฤษฎีจำนวนคณิตศาสตร์ประยุกต์ตลอดจนในฟิสิกส์รวมถึงอุทกพลศาสตร์อุณหพลศาสตร์วิศวกรรมเครื่องกลวิศวกรรมไฟฟ้าและโดยเฉพาะอย่างยิ่งทฤษฎีสนามควอนตั ม

การวิเคราะห์เชิงซ้อนเกี่ยวข้องโดยเฉพาะกับฟังก์ชันวิเคราะห์ของตัวแปรเชิงซ้อน (หรือโดยทั่วไปคือฟังก์ชันเมโรเมอร์ฟิก ) เนื่องจาก ส่วน จริงและ ส่วน จินตนาการ ที่แยกจากกัน ของฟังก์ชันวิเคราะห์ใดๆ ต้องสอดคล้องกับสมการของลาปลาสการวิเคราะห์เชิงซ้อนจึงสามารถนำไปประยุกต์ใช้ได้อย่างกว้างขวางกับปัญหาในสองมิติในวิชา ฟิสิกส์

การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันเป็นสาขาหนึ่งของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ซึ่งแก่นแท้ของการวิเคราะห์นี้เกิดจากการศึกษาปริภูมิเวกเตอร์ที่มีโครงสร้างที่เกี่ยวข้องกับลิมิตบางประเภท (เช่นผลคูณภายในบรรทัดฐานโทโพโลยีฯลฯ) และตัว ดำเนิน การเชิงเส้นที่กระทำต่อปริภูมิเหล่านี้และเคารพโครงสร้างเหล่านี้ในความหมายที่เหมาะสม^{[ 24 ] [ 25 ] [ 26 ] [ 27 ]}รากฐานทางประวัติศาสตร์ของการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันอยู่ที่การศึกษาปริภูมิของฟังก์ชันและการกำหนดคุณสมบัติของการแปลงฟังก์ชัน เช่นการแปลงฟูริเยร์เป็นการแปลงที่กำหนดตัว ดำเนิน การต่อเนื่องเอกภาพฯลฯ ระหว่างปริภูมิฟังก์ชัน มุมมองนี้พิสูจน์แล้วว่ามีประโยชน์อย่างยิ่งสำหรับการศึกษาสมการเชิงอนุพันธ์และสมการเชิงอินทิกรัล

การวิเคราะห์ฟูริเยร์เป็นสาขาหนึ่งของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับการแสดงฟังก์ชันและสัญญาณ ในรูปของการซ้อน ทับ ของ คลื่นพื้นฐาน^{[ 28 ] [ 29 ]}ซึ่งรวมถึงการศึกษาแนวคิดของอนุกรมฟูริเยร์และการแปลงฟูริเยร์และการวางนัยทั่วไปของสิ่งเหล่านี้ การวิเคราะห์ฟูริเยร์ยังรวมถึงการศึกษาตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นที่มีสัมประสิทธิ์คงที่และการวางนัยทั่วไปของตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์เทียมด้วย

การวิเคราะห์ไมโครโลคอลเป็นสาขาย่อยของการวิเคราะห์ฟูริเยร์ ซึ่งเกี่ยวข้องกับวิธีการระบุตำแหน่งของจุดเอกฐานของฟังก์ชัน และวิธีการที่จุดเอกฐานเหล่านั้นแพร่กระจายภายใต้ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์และเชิงอนุพันธ์เทียม

การวิเคราะห์ฮาร์มอนิกเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่มีต้นกำเนิดมาจากการศึกษาฟังก์ชันฮาร์มอนิกโดยเฉพาะอย่างยิ่งค่าขอบเขตของฟังก์ชันเหล่านั้น ทฤษฎีฟังก์ชันฮาร์มอนิกนำไปสู่การศึกษาพื้นที่ฟังก์ชันเช่นพื้นที่ฮาร์ดีและโดยเฉพาะอย่างยิ่งเกณฑ์สำหรับการเป็นสมาชิกในพื้นที่ดังกล่าวและการประมาณค่าตัวดำเนินการ ซึ่งรวมถึงวิธีการวิเคราะห์ฟูริเยร์หลายวิธี แต่ยังรวมถึงวิธีการแยกส่วนอื่นๆ เช่นการแยกส่วนแบบ Calderón–Zygmundซึ่งแบ่งฟังก์ชันออกเป็นส่วนที่สามารถจัดการได้ด้วยวิธีการฟูริเยร์และส่วนที่สามารถจัดการได้ด้วยวิธีการเฉพาะที่^{[ 30 ]}

การวิเคราะห์ฮาร์มอนิกเชิงนามธรรมเป็นศาสตร์ที่เกี่ยวข้อง ซึ่งเป็นการขยายวิธีการของฟูริเยร์ไปยังกลุ่มอื่นๆ นอกเหนือจากกลุ่มที่วิธีการของฟูริเยร์แบบคลาสสิกใช้ได้

สมการเชิงอนุพันธ์คือสมการทางคณิตศาสตร์ สำหรับฟังก์ชัน ที่ไม่ทราบค่าของ ตัวแปรหนึ่งตัวหรือหลาย ตัว ซึ่งเชื่อมโยงค่าของฟังก์ชันเองและอนุพันธ์ ของฟังก์ชัน ในลำดับต่างๆ^{[ 31 ] [ 32 ] [ 33 ] [ 34 ]}สมการเชิงอนุพันธ์มีบทบาทสำคัญในด้านวิศวกรรมฟิสิกส์เศรษฐศาสตร์ชีววิทยาและสาขาวิชาอื่นๆ

สมการเชิงอนุพันธ์เกิดขึ้นในหลายสาขาของวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อใดก็ตามที่ทราบหรือตั้งสมมติฐานเกี่ยวกับความสัมพันธ์เชิงกำหนด ที่เกี่ยวข้องกับปริมาณที่เปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่อง (จำลองโดยฟังก์ชัน) และอัตราการเปลี่ยนแปลงของปริมาณเหล่านั้นในพื้นที่หรือเวลา (แสดงในรูปของอนุพันธ์) ตัวอย่างเช่น ใน กลศาสตร์คลาสสิกการเคลื่อนที่ของวัตถุจะถูกอธิบายโดยตำแหน่งและความเร็วของวัตถุเมื่อค่าเวลาเปลี่ยนแปลงกฎของนิวตันช่วยให้เรา (เมื่อทราบตำแหน่ง ความเร็ว ความเร่ง และแรงต่างๆ ที่กระทำต่อวัตถุ) สามารถแสดงตัวแปรเหล่านี้ในรูปสมการเชิงอนุพันธ์สำหรับตำแหน่งที่ไม่ทราบค่าของวัตถุเป็นฟังก์ชันของเวลาได้ ในบางกรณี สมการเชิงอนุพันธ์นี้ (เรียกว่าสมการการเคลื่อนที่ ) อาจสามารถหาคำตอบได้โดยตรง

การวัดบนเซตคือวิธีการที่เป็นระบบในการกำหนดตัวเลขให้กับเซตย่อยที่เหมาะสมแต่ละเซตของเซตนั้น ซึ่งตีความตามสัญชาตญาณว่าเป็นขนาดของเซตนั้น^{[ 35 ] [ 36 ]}ในแง่นี้ การวัดเป็นการสรุปแนวคิดเรื่องความยาว พื้นที่ และปริมาตร ตัวอย่างที่สำคัญอย่างยิ่งคือการวัดแบบเลเบสบนปริภูมิยุคลิดซึ่งกำหนดความยาวพื้นที่และปริมาตร ตามแบบแผน ของเรขาคณิตยุคลิดให้กับเซตย่อยที่เหมาะสมของปริภูมิยุคลิดมิติ n ตัวอย่างเช่น การวัดแบบเลเบสของช่วงในจำนวนจริงคือความยาวในความหมายทั่วไปของคำ – โดยเฉพาะ 1 ${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \left[0,1\right]}$

ในทางเทคนิคแล้ว การวัด (measurable) คือฟังก์ชันที่กำหนดค่าจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบหรือ+∞ให้กับเซตย่อย (บางส่วน) ของเซตหนึ่งโดยต้องกำหนดค่า 0 ให้กับเซตว่างและต้องเป็นฟังก์ชันบวก ( นับได้ ) กล่าวคือ การวัดของเซตย่อยขนาดใหญ่ที่สามารถแยกย่อยออกเป็นเซตย่อยขนาดเล็กที่ไม่ซ้ำกันจำนวนจำกัด (หรือนับได้) คือผลรวมของการวัดของเซตย่อยขนาดเล็กเหล่านั้น โดยทั่วไปแล้ว หากต้องการกำหนด ขนาด ที่สอดคล้องกันให้กับแต่ละเซตย่อยของเซตที่กำหนด ในขณะที่ยังคงรักษาสัจพจน์อื่นๆ ของการวัดไว้ ก็จะพบเพียงตัวอย่างง่ายๆ เช่นการวัดการนับปัญหานี้ได้รับการแก้ไขโดยการกำหนดการวัดเฉพาะบนกลุ่มย่อยของเซตทั้งหมดเท่านั้น ซึ่งเรียกว่า เซตย่อย ที่วัดได้ (measurable subsets) ซึ่งจำเป็นต่อการสร้างพีชคณิตนั่นหมายความว่า เซตว่างยูเนียน ที่นับได้ อินเตอร์เซกชันที่นับได้และส่วนเติมเต็มของเซตย่อยที่วัดได้นั้น สามารถวัดได้เซตที่ไม่สามารถวัดได้ในปริภูมิยูคลิด ซึ่งไม่สามารถกำหนดมาตรวัดเลเบสได้อย่างสอดคล้องกันนั้น ย่อมมีความซับซ้อนในแง่ที่ว่ามันปะปนกับส่วนเติมเต็มของมันอย่างไม่ลงตัว อันที่จริง การมีอยู่ของเซตเหล่านี้เป็นผลลัพธ์ที่ไม่ธรรมดาจากสัจพจน์ของการเลือก ${\displaystyle X}$${\displaystyle \sigma }$

การวิเคราะห์เชิงตัวเลขคือการศึกษาอัลกอริธึมที่ใช้การประมาณ เชิงตัวเลข (ตรงข้ามกับการจัดการเชิงสัญลักษณ์ ทั่วไป ) สำหรับปัญหาของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ (ซึ่งแตกต่างจากคณิตศาสตร์เชิงดิสครีต ) ^{[ 37 ]}

การวิเคราะห์เชิงตัวเลขสมัยใหม่ไม่ได้มุ่งหาคำตอบที่แน่นอน เพราะในทางปฏิบัติมักเป็นไปไม่ได้ที่จะได้คำตอบที่แน่นอน ดังนั้น การวิเคราะห์เชิงตัวเลขส่วนใหญ่จึงมุ่งเน้นไปที่การหาคำตอบโดยประมาณ ในขณะที่รักษาขอบเขตความคลาดเคลื่อนที่สมเหตุสมผล

การวิเคราะห์เชิงตัวเลขมีการประยุกต์ใช้ในทุกสาขาวิศวกรรมและวิทยาศาสตร์กายภาพอย่างเป็นธรรมชาติ แต่ในศตวรรษที่ 21 วิทยาศาสตร์ชีวภาพและแม้แต่ศิลปะก็ได้นำเอาองค์ประกอบของการคำนวณทางวิทยาศาสตร์มาใช้ สมการเชิงอนุพันธ์สามัญปรากฏในกลศาสตร์ดาราศาสตร์ (ดาวเคราะห์ ดาวฤกษ์ และกาแล็กซี) พีชคณิตเชิงเส้นเชิงตัวเลขมีความสำคัญสำหรับการวิเคราะห์ข้อมูลสมการเชิงอนุพันธ์เชิงสุ่มและห่วงโซ่มาร์คอฟมีความสำคัญอย่างยิ่งในการจำลองเซลล์สิ่งมีชีวิตสำหรับทางการแพทย์และชีววิทยา

การวิเคราะห์เชิงเรขาคณิตเป็นสาขาของการวิเคราะห์ที่เกี่ยวข้องกับการศึกษาแมนิโฟลด์ซึ่งมักจะเป็นแมนิโฟลด์แบบรีมันน์คำถามทั่วโลกของเรขาคณิตแบบรีมันน์มักได้รับการศึกษา^{[ 38 ]}ตัวอย่างหนึ่งคือเรขาคณิตเชิงสเปกตรัมของตัวดำเนินการลาปลาซ-เบลทรามีซึ่งเป็นการขยายปัญหาของการได้ยินรูปร่างของกลองเป็นต้น คำถามทั่วโลกอื่นๆ ในการวิเคราะห์เชิงเรขาคณิต ได้แก่ สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยบนแมนิโฟลด์แบบรีมันน์ เช่นสมการยามาเบะและการไหลของริชชีซึ่งนำไปสู่การพิสูจน์สมมติฐานปวงกาเร

การวิเคราะห์เชิงนูน (Convex analysis) เป็นสาขาหนึ่งของการวิเคราะห์ที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันเชิงนูนเซตเชิงนูนและการประยุกต์ใช้กับการหาค่าเหมาะสมที่สุดและการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น ฟังก์ชันเชิงนูนโดยทั่วไปมีวิธีการที่มีประสิทธิภาพมากกว่าในการรับรองการมีอยู่และความเป็นเอกลักษณ์ของค่าต่ำสุด โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อรวมกับคุณสมบัติความต่อเนื่องกึ่งล่าง (lower semicontinuity ) มีความสัมพันธ์แบบคู่ขนานมากมายในการหาค่าเหมาะสมที่สุดเชิงนูน ซึ่งมักแสดงในรูปของคู่สมเชิงนูน (convex conjugate ) ซึ่งช่วยให้สามารถจับคู่ปัญหาการหาค่าเหมาะสมที่สุดกับปัญหาคู่ขนานได้ซึ่งเป็นเกณฑ์ที่มีประโยชน์สำหรับการตรวจสอบความเหมาะสมที่สุดของคำตอบที่คาดการณ์ไว้ หรือการกำหนดว่ามีส่วนเกิน (slack) มากน้อยเพียงใดในคำตอบเชิงตัวเลข

แคลคูลัสของการแปรผัน^{[ 39 ]}คือการศึกษาการค้นหาคำตอบที่เหมาะสมที่สุดสำหรับปัญหาการลดค่าในปริภูมิอนันต์มิติ ตัวอย่างพื้นฐานคือการหาเส้นทางจีโอเดสิกบนพื้นผิว : จุดปลายจะถูกกำหนด และจะต้องหาเส้นทางในปริภูมิอนันต์มิติของเส้นทางที่เป็นไปได้ทั้งหมด ซึ่งทำให้ความยาวส่วนโค้งน้อยที่สุด ปัญหาหลายอย่างในสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยยอมรับลักษณะเฉพาะของการแปรผันที่เป็นธรรมชาติมากกว่า และสิ่งนี้สามารถนำไปสู่แนวคิดของคำตอบแบบอ่อนซึ่งมักจะเหมาะสมกับวิธีการวิเคราะห์และงานเชิงตัวเลขมากกว่า วิธีการโดยตรงในแคลคูลัสของการแปรผันจะกำหนดปัญหาการแปรผันเป็นปัญหาการหาค่าเหมาะสมที่สุดแบบนูน

การขนส่งที่เหมาะสมที่สุดเป็นสาขาย่อยของแคลคูลัสของการแปรผันที่เกี่ยวข้องกับการกำหนดและการแก้ปัญหาการขนส่งสิ่งของจากที่หนึ่งไปยังอีกที่หนึ่งภายใต้ข้อจำกัดด้านต้นทุน สาขาย่อยนี้ยังมีความคิดหลายอย่างร่วมกับการวิเคราะห์เชิงนูน รวมถึงทฤษฎีบททวิภาวะ เช่นทวิภาวะของคันโตโรวิชซึ่งเป็นรูปแบบหนึ่งของ ทวิภาวะของ เลอจองเดอร์แนวคิดของการขนส่งที่เหมาะสมที่สุดมีการประยุกต์ใช้ที่กว้างขวางและคาดไม่ถึง เช่นเมตริกวาสเซอร์สไตน์และการประยุกต์ใช้กับ การเรียน รู้ ของเครื่องจักร

ทฤษฎีความน่าจะเป็นมีความเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ผ่านทฤษฎีการวัด^{[ 40 ]}ในการกำหนดสัจพจน์สมัยใหม่ พื้นที่ความน่าจะเป็นคือพื้นที่การวัดที่มีการวัดทั้งหมดเป็นหนึ่งตัวแปรสุ่มคือฟังก์ชันที่วัดได้ และค่าที่คาดหวังคือปริพันธ์เทียบกับการวัดความน่าจะเป็นวิธีการวิเคราะห์มีความสำคัญในการศึกษาการลู่เข้าของตัวแปรสุ่มมาร์ติงเกลกระบวนการสุ่มการเคลื่อนที่แบบบราวน์ สมการเชิงอนุพันธ์สุ่มและทฤษฎี เออร์โกดิก

ทฤษฎีความน่าจะเป็นเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ แต่พื้นฐานและวิธีการสมัยใหม่หลายอย่างของทฤษฎีนี้มาจากคณิตศาสตร์วิเคราะห์ คณิตศาสตร์วิเคราะห์เชิงสุ่มศึกษาคำถามเชิงวิเคราะห์ที่เกี่ยวข้องกับกระบวนการสุ่ม รวมถึงการอินทิเกรตเชิงสุ่มสมการเชิงอนุพันธ์เชิงสุ่ม และความเชื่อมโยงกับสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยและคณิตศาสตร์วิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน

• การวิเคราะห์คลิฟฟอร์ดคือการศึกษาฟังก์ชันที่มีค่าเป็นคลิฟฟอร์ดซึ่งถูกทำลายโดยตัวดำเนินการของดิแรกหรือตัวดำเนินการที่คล้ายดิแรก ซึ่งโดยทั่วไปเรียกว่าฟังก์ชันโมโนจีนิกหรือฟังก์ชันวิเคราะห์คลิฟฟอร์ด
• การวิเคราะห์เชิง p -adic คือการศึกษาการวิเคราะห์ในบริบทของจำนวนเชิง p -adic ซึ่งแตกต่างในบางแง่มุมที่น่าสนใจและน่าประหลาดใจจากการวิเคราะห์ในจำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อน
• การวิเคราะห์แบบไม่มาตรฐานซึ่งศึกษาจำนวนไฮเปอร์เรียลและฟังก์ชันของจำนวนเหล่านั้น และให้ การวิเคราะห์ อย่างเข้มงวดเกี่ยวกับ จำนวน อนันต์เล็กและจำนวนอนันต์ใหญ่
• การวิเคราะห์เชิงคำนวณคือการศึกษาเกี่ยวกับส่วนต่างๆ ของการวิเคราะห์ที่สามารถดำเนินการได้ด้วยวิธีเชิงคำนวณ
• การวิเคราะห์เซตค่า – นำแนวคิดจากการวิเคราะห์และโทโพโลยีมาประยุกต์ใช้กับฟังก์ชันเซตค่า
• การวิเคราะห์แบบเอกลักษณ์ – การวิเคราะห์ในบริบทของเซมิริงเอกลักษณ์ซึ่งการขาดตัวผกผันการบวกได้รับการชดเชยบ้างโดยกฎเอกลักษณ์ A + A = A
  • การวิเคราะห์แบบทรอปิคอล – การวิเคราะห์เซมิริงแบบเอกลักษณ์ที่เรียกว่าเซมิริงแบบทรอปิคอล (หรือพีชคณิตแบบแม็กซ์พลัส / พีชคณิตแบบมินพลัส )
• การวิเคราะห์เชิงสร้างสรรค์ซึ่งสร้างขึ้นบนพื้นฐานของตรรกศาสตร์เชิงสร้างสรรค์และทฤษฎีเซต มากกว่าตรรกศาสตร์แบบคลาสสิก
• การวิเคราะห์เชิงสัญชาตญาณซึ่งพัฒนามาจากตรรกศาสตร์เชิงสร้างสรรค์ เช่น การวิเคราะห์เชิงสร้างสรรค์ แต่ยังรวมถึงลำดับการเลือกด้วย
• การวิเคราะห์แบบพาราคอนซิสเตนต์ซึ่งสร้างขึ้นบนพื้นฐานของตรรกศาสตร์และทฤษฎีเซตแบบพาราคอนซิสเตนต์ แทนที่จะเป็นตรรกศาสตร์และทฤษฎีเซตแบบคลาสสิก
• การวิเคราะห์เชิงอนันต์แบบเรียบซึ่งพัฒนาขึ้นในโทโพสแบบเรียบ
• ระบบพลวัตคือ การศึกษาพฤติกรรมของระบบภายใต้การเปลี่ยนแปลงของเวลา

เทคนิคการวิเคราะห์ยังพบได้ในด้านอื่นๆ เช่น:

กลศาสตร์คลาสสิกทฤษฎีสัมพัทธภาพและกลศาสตร์ควอนตัมส่วนใหญ่ตั้งอยู่บนพื้นฐานของการวิเคราะห์เชิงประยุกต์โดยเฉพาะอย่างยิ่งสมการเชิงอนุพันธ์ ตัวอย่างของสมการเชิงอนุพันธ์ที่สำคัญ ได้แก่กฎข้อที่สองของนิวตันสมการชโรดิงเกอร์และสมการสนามของไอน์สไตน์

การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันเป็นปัจจัยสำคัญในกลศาสตร์ควอนตัมเช่น กัน

เมื่อประมวลผลสัญญาณ เช่นเสียงคลื่นวิทยุคลื่นแสง คลื่นแผ่นดินไหวและแม้แต่ภาพ การวิเคราะห์ฟูริเยร์สามารถแยกส่วนประกอบแต่ละส่วนของรูปคลื่นประกอบ ทำให้สามารถตรวจจับหรือกำจัดได้ง่ายขึ้น เทคนิคการประมวลผลสัญญาณจำนวนมากประกอบด้วยการแปลงฟูริเยร์ของสัญญาณ การจัดการข้อมูลที่แปลงฟูริเยร์แล้วในรูปแบบง่ายๆ และการย้อนกลับการแปลง^{[ 41 ]}

เทคนิคจากวิชาการวิเคราะห์ถูกนำไปใช้ในหลายสาขาของคณิตศาสตร์ รวมถึง:

• ทฤษฎีจำนวนเชิงวิเคราะห์
• คณิตศาสตร์เชิงวิเคราะห์แบบผสมผสาน
• ความน่าจะเป็นต่อเนื่อง
• เอนโทรปีเชิงอนุพันธ์ในทฤษฎีสารสนเทศ
• เกมเชิงอนุพันธ์
• เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์คือการประยุกต์ใช้แคลคูลัสกับปริภูมิทางคณิตศาสตร์เฉพาะที่เรียกว่าแมนิโฟลด์ซึ่งมีโครงสร้างภายในที่ซับซ้อน แต่มีพฤติกรรมที่เรียบง่ายในระดับท้องถิ่น
• แมนิโฟลด์ที่หาอนุพันธ์ได้
• โทโพโลยีเชิงอนุพันธ์
• สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย

• Leonhard Euler (1748) บทนำในการวิเคราะห์ infinitorum
• AL Cauchy (1821) หลักสูตรการวิเคราะห์
• Camille Jordan (1882) Cours_d'analyse de l'École Polytechnique
• จี.เอช. ฮาร์ดี (1908) หลักสูตรคณิตศาสตร์บริสุทธิ์
• อี.ที. วิทเทเกอร์และจี.เอ็น. วัตสัน (1915) หลักสูตรการวิเคราะห์สมัยใหม่
• George Pólya & Gábor Szegő (1925) ปัญหาและทฤษฎีบทในการวิเคราะห์ (สองเล่ม) ^{[ 42 ] [ 43 ]}
• Walter Rudin (1953) หลักการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์^{[ 44 ]}
• Elias M. Steinและ Rami Shakarchi (2003, 2011) Princeton Lectures in Analysis (สี่เล่ม)

• การแปลงการวิเคราะห์เป็นเลขคณิต
• การวิเคราะห์เชิงสร้างสรรค์
• ประวัติศาสตร์ของแคลคูลัส
• การวิเคราะห์ไฮเปอร์คอมเพล็กซ์
• ปัญหาที่อิงตามกฎหลายประการ
• แคลคูลัสหลายตัวแปร
• ตรรกะพาราคอนซิสเตนต์
• การวิเคราะห์อนันต์เล็กที่ราบเรียบ
• ลำดับเหตุการณ์ของแคลคูลัสและการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์

• อเล็กซานดรอฟ, เอดี ; โคลโมโกโรฟ, เอเอ็น ; ลาฟเรนเตฟ, เอ็มเอ , บรรณาธิการ (มีนาคม 1969). คณิตศาสตร์: เนื้อหา วิธีการ และความหมายเล่ม  1–3แปลโดย กูลด์, เอสเอช (ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 2). เคมบริดจ์, แมสซาชูเซตส์: สำนักพิมพ์ MIT / สมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน
• Apostol, Tom M. (1974). การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ (ฉบับที่ 2). Addison–Wesley . ISBN 978-0201002881.
• Binmore, Kenneth George (1981) [1981]. พื้นฐานของการวิเคราะห์: บทนำที่ตรงไปตรงมาสำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์
• Johnsonbaugh, Richard ; Pfaffenberger, William Elmer (1981). พื้นฐานของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ . นิวยอร์ก: M. Dekker .
• Nikol'skiĭ [Нико́льский], Sergey Mikhailovich [Серге́й Миха́йлович] (2002) “การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์” . ในHazewinkel, Michael (เอ็ด) สารานุกรมคณิตศาสตร์ . สปริงเกอร์-แวร์แล็ก . ไอเอสบีเอ็น 978-1402006098.
• ฟัสโก, นิโคลา ; มาร์เซลลินี, เปาโล ; สโบร์โดน, คาร์โล (1996) Analisi Matematica Due (ในภาษาอิตาลี) ลิกูโอรีเอดิเตอร์ไอเอสบีเอ็น 978-8820726751.
• รอมบัลดี, ฌอง-เอเตียน (2004) Éléments d'analyse réelle : CAPES et agrégation interne de mathématiques (ในภาษาฝรั่งเศส) วิทยาศาสตร์อีดีพี . ไอเอสบีเอ็น 978-2868836816.
• รูดิน, วอลเตอร์ (1976). หลักการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ (ฉบับที่ 3). นิวยอร์ก: แมคกรอว์-ฮิลล์ . ISBN 978-0070542358.
• รูดิน, วอลเตอร์ (1987). การวิเคราะห์เชิงจริงและเชิงซ้อน (ฉบับที่ 3). นิวยอร์ก: แมคกรอว์-ฮิลล์ . ISBN 978-0070542341.
• Whittaker, Edmund Taylor ; Watson, George Neville (2 มกราคม 1927). หลักสูตรการวิเคราะห์สมัยใหม่: บทนำสู่ทฤษฎีทั่วไปของกระบวนการอนันต์และฟังก์ชันวิเคราะห์ พร้อมด้วยคำอธิบายเกี่ยวกับฟังก์ชันอดิศัยหลัก (ฉบับที่ 4). เคมบริดจ์: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัย . ISBN 0521067944.{{cite book}}:ปัญหาความไม่เข้ากันของหมายเลข ISBN / วันที่ ( ขอความช่วยเหลือ )(vi+608 หน้า) (พิมพ์ซ้ำ: 1935, 1940, 1946, 1950, 1952, 1958, 1962, 1963, 1992)
• "เอกสารประกอบการเรียนวิชาการวิเคราะห์เชิงจริง" (PDF)เก็บถาวร(PDF)จากต้นฉบับเมื่อวันที่ 19 เมษายน 2550

Wikiquote มีคำคมที่เกี่ยวข้องกับการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์

• การใช้คำศัพท์ทางคณิตศาสตร์บางคำที่เก่าแก่ที่สุดเท่าที่ทราบ: แคลคูลัสและการวิเคราะห์
• การวิเคราะห์เบื้องต้น: บทนำสู่การวิเคราะห์เชิงจริงโดย Jiri Lebl ( Creative Commons BY-NC-SA )
• การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ – สารานุกรมบริแทนนิกา
• แคลคูลัสและการวิเคราะห์