ในทางคณิตศาสตร์การแปลงเลอจองเดอร์ (หรือการแปลงเลอจองเดอร์ ) ซึ่งแนะนำครั้งแรกโดยAdrien-Marie Legendreในปี 1787 เมื่อศึกษาปัญหาพื้นผิวขั้นต่ำ^{[ 1 ]}เป็นการแปลงผกผัน บน ฟังก์ชันค่า จริงที่เป็นนูนบนตัวแปรจริง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง หากฟังก์ชันหลายตัวแปรค่าจริงเป็นนูนบนตัวแปรจริงอิสระตัวใดตัวหนึ่ง การแปลงเลอจองเดอร์ที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรนี้จะใช้ได้กับฟังก์ชันนั้น

ในปัญหาทางฟิสิกส์ การแปลงเลอจองเดอร์ใช้ในการแปลงฟังก์ชันของปริมาณหนึ่ง (เช่น ตำแหน่ง ความดัน หรืออุณหภูมิ) ไปเป็นฟังก์ชันของปริมาณคู่ควบ (โมเมนตัม ปริมาตร และเอนโทรปี ตามลำดับ) ด้วยวิธีนี้ จึงมักใช้ในกลศาสตร์คลาสสิกเพื่อหาอนุพันธ์ของ รูปแบบ แฮมิลตันจาก รูปแบบ ลากรางจ์ (หรือในทางกลับกัน) และในอุณหพลศาสตร์เพื่อหาศักยภาพทางอุณหพลศาสตร์ตลอดจนในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ของหลายตัวแปร

สำหรับฟังก์ชันที่เรียบเพียงพอบนเส้นจำนวนจริง การแปลงเลอจองเดอร์ของฟังก์ชันสามารถระบุได้ โดยมีค่าคงที่บวกเพิ่มเข้าไป ภายใต้เงื่อนไขที่ว่าอนุพันธ์อันดับแรกของฟังก์ชันทั้งสองเป็นฟังก์ชันผกผันซึ่งกันและกัน ซึ่งสามารถแสดงได้ดัง สัญลักษณ์ของไลบ์นิซ ${\displaystyle f^{*}}$${\displaystyle f}$$${\displaystyle {\frac {df}{dx}}=\left({\frac {df^{*}}{dx}}\right)^{-1}~}$$

การขยายผลของการแปลงเลอจองเดอร์ไปยังปริภูมิเชิงเส้นและฟังก์ชันที่ไม่นูนเรียกว่าคอนจูเกตแบบนูน (หรือเรียกว่าการแปลงเลอจองเดอร์-เฟนเชล) ซึ่งสามารถใช้สร้าง ขอบเขตนูนของฟังก์ชันได้

ให้เป็นช่วงและเป็นฟังก์ชันนูนจากนั้นการแปลงเลอจองเดอร์ของคือฟังก์ชันที่กำหนดโดย โดย ที่แทนค่าสูงสุดเหนือเช่นในถูกเลือกให้มีค่าสูงสุดที่แต่ละหรือมีค่าจำกัดตลอดช่วง(เช่น เมื่อเป็นฟังก์ชันเชิงเส้น) ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{*}:I^{*}\to \mathbb {R} }$$${\displaystyle f^{*}(x^{*})=\sup _{x\in I}(x^{*}xf(x)),\ \ \ \ I^{*}=\left\{x^{*}\in \mathbb {R} :\sup _{x\in I}(x^{*}xf(x))<\infty \right\}}$$${\textstyle \sup }$${\displaystyle I}$${\textstyle x}$${\textstyle I}$${\textstyle x^{*}xf(x)}$${\textstyle x^{*}}$${\textstyle x^{*}}$${\displaystyle x^{*}xf(x)}$${\textstyle I}$${\displaystyle f(x)}$

ฟังก์ชันนี้เรียกว่า ฟังก์ชัน คอนจูเกตแบบนูนของด้วยเหตุผลทางประวัติศาสตร์ (ซึ่งมีรากฐานมาจากกลศาสตร์เชิงวิเคราะห์) ตัวแปรคอนจูเกตมักจะใช้สัญลักษณ์แทนถ้าฟังก์ชันนูนถูกกำหนดไว้บนเส้นตรงทั้งหมดและสามารถหาอนุพันธ์ได้ ทุก ที่ แล้ว สามารถตีความได้ว่าเป็นค่าลบของจุดตัด แกน x ของเส้นสัมผัสกราฟของที่มีความชันเท่ากับ${\displaystyle f^{*}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle p}$${\displaystyle x^{*}}$${\displaystyle f}$$${\displaystyle f^{*}(p)=\sup _{x\in I}(px-f(x))=\left(px-f(x)\right)|_{x=(f')^{-1}(p)}}$$${\displaystyle y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle p}$

การขยายความทั่วไปไปสู่ฟังก์ชันนูนบนเซตแบบนูนนั้นตรงไปตรงมา: มีโดเมน และถูกกำหนดโดย โดย ที่ แทนผลคูณดอทของและ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle X\subset \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f^{*}:X^{*}\to \mathbb {R} }$$${\displaystyle X^{*}=\left\{x^{*}\in \mathbb {R} ^{n}:\sup _{x\in X}(\langle x^{*},x\rangle -f(x))<\infty \right\}}$$$${\displaystyle f^{*}(x^{*})=\sup _{x\in X}(\langle x^{*},x\rangle -f(x)),\quad x^{*}\in X^{*}~,}$$${\displaystyle \langle x^{*},x\rangle }$${\displaystyle x^{*}}$${\displaystyle x}$

การแปลงเลอจองเดอร์เป็นการประยุกต์ใช้ ความสัมพันธ์ แบบทวิภาวะระหว่างจุดและเส้นตรง ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันที่ระบุโดยสามารถแสดงได้ดีเท่าเทียมกันในรูปแบบของเซตของจุด หรือในรูปแบบของเซตของเส้นสัมผัสที่ระบุโดยค่าความชันและค่าจุดตัดแกน ${\displaystyle f}$${\displaystyle (x,y)}$

สำหรับฟังก์ชันนูนที่หาอนุพันธ์ได้บนเส้นจำนวนจริงที่มีอนุพันธ์อันดับแรกและฟังก์ชันผกผันการแปลงเลอจองเดอร์ของ, , สามารถระบุได้ โดยมีค่าคงที่บวกเพิ่ม โดยเงื่อนไขที่ว่าอนุพันธ์อันดับแรกของฟังก์ชันทั้งสองเป็นฟังก์ชันผกผันซึ่งกันและกัน กล่าวคือ และ${\displaystyle f}$${\displaystyle f'}$${\displaystyle (f')^{-1}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{*}}$${\displaystyle f'=((f^{*})')^{-1}}$${\displaystyle (f^{*})'=(f')^{-1}}$

เพื่อให้เข้าใจเรื่องนี้ ก่อนอื่นให้สังเกตว่า ถ้าฟังก์ชันนูนบนเส้นจำนวนจริงสามารถหาอนุพันธ์ได้ และเป็นจุดวิกฤตของฟังก์ชันของแล้วค่าสูงสุดจะเกิดขึ้นที่(โดยอาศัยคุณสมบัติความนูน ดูรูปแรกในหน้าวิกิพีเดียนี้) ดังนั้น การแปลงเลอจองเดอร์ของ คือ${\displaystyle f}$${\displaystyle {\overline {x}}}$${\displaystyle x\mapsto p\cdot xf(x)}$${\textstyle {\overline {x}}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{*}(p)=p\cdot {\overline {x}}-f({\overline {x}})}$

จากนั้น สมมติว่าอนุพันธ์อันดับแรกสามารถหาตัวผกผันได้ และให้ตัวผกผันคือ. สำหรับแต่ละจุดคือจุดวิกฤตเฉพาะของฟังก์ชัน(นั่นคือ) เพราะและอนุพันธ์อันดับแรกของฟังก์ชันเทียบกับที่คือ. ดังนั้น เราจึงได้สำหรับแต่ละ. โดยการหาอนุพันธ์เทียบกับเราจะได้ เนื่องจากสิ่งนี้ทำให้ง่ายขึ้นเป็น. กล่าวอีกนัยหนึ่งและ เป็นตัวผกผัน ซึ่ง กันและกัน${\displaystyle f'}$${\displaystyle g=(f')^{-1}}$${\textstyle p}$${\displaystyle g(p)}$${\textstyle {\overline {x}}}$${\displaystyle x\mapsto px-f(x)}$${\displaystyle {\overline {x}}=g(p)}$${\displaystyle f'(g(p))=p}$${\displaystyle x}$${\displaystyle g(p)}$${\displaystyle pf'(g(p))=0}$${\displaystyle f^{*}(p)=p\cdot g(p)-f(g(p))}$${\textstyle p}$${\textstyle p}$$${\displaystyle (f^{*})'(p)=g(p)+p\cdot g'(p)-f'(g(p))\cdot g'(p).}$$${\displaystyle f'(g(p))=p}$${\displaystyle (f^{*})'(p)=g(p)=(f')^{-1}(p)}$${\displaystyle (f^{*})'}$${\displaystyle f'}$

โดยทั่วไป ถ้าเป็นค่าผกผันของแล้วการอินทิเกรตจะได้โดยที่เป็นค่าคงที่ ${\displaystyle h'=(f')^{-1}}$${\displaystyle f',}$${\displaystyle h'=(f^{*})'}$${\displaystyle f^{*}=h+c}$${\displaystyle c}$

ในทางปฏิบัติแล้วกราฟพาราเมตริกของเทียบกับ จะเทียบเท่ากับกราฟของเทียบกับ${\displaystyle f(x),}$${\displaystyle xf'(x)-f(x)}$${\displaystyle f'(x)}$${\displaystyle f^{*}(p)}$${\displaystyle p.}$

ในบางกรณี (เช่น ศักยภาพทางเทอร์โมไดนามิก ดังที่กล่าวไว้ด้านล่าง) จะมีการใช้ข้อกำหนดที่ไม่เป็นมาตรฐาน ซึ่งเทียบเท่ากับคำจำกัดความทางเลือกของf *ที่มีเครื่องหมาย ลบ$${\displaystyle f(x)-f^{*}(p)=xp.}$$

ในกลศาสตร์เชิงวิเคราะห์และอุณหพลศาสตร์การแปลงเลอจองเดอร์มักถูกนิยามดังนี้: สมมติว่าเป็นฟังก์ชันของ; แล้วเราจะได้ ${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$

$${\displaystyle df={\frac {df}{dx}}dx.}$$

การแปลงเลอจองเดอร์กับฟังก์ชันนี้หมายความว่าเราใช้ตัวแปรอิสระ ดังนั้นนิพจน์ข้างต้นจึงสามารถเขียนได้ดังนี้ ${\displaystyle p={\frac {df}{dx}}}$

$${\displaystyle df=p\,dx,}$$

และตามกฎของผลิตภัณฑ์ เราจึงได้ว่า ${\displaystyle d(uv)=u\,dv+v\,du,}$

$${\displaystyle d\left(xp-f\right)=x\,dp+p\,dx-df=x\,dp,}$$

และสิ่งที่เรามีซึ่งหมายความว่า ${\displaystyle f^{*}=xp-f,}$${\displaystyle df^{*}=x\,dp,}$

$${\displaystyle {\frac {df^{*}}{dp}}=x.}$$

เมื่อเป็นฟังก์ชันของตัวแปรเราสามารถทำการแปลงเลอจองเดอร์กับตัวแปรแต่ละตัวหรือหลายตัวได้ดังนี้ ${\displaystyle f}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}}$

$${\displaystyle df=p_{1}\,dx_{1}+p_{2}\,dx_{2}+\cdots +p_{n}\,dx_{n},}$$

จากนั้น ถ้าเราต้องการทำการแปลงเลอจองเดอร์กับ เช่นเราจะนำและ มา เป็นตัวแปรอิสระ และด้วยกฎของไลบ์นิซ เราจะได้ ${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}.}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle p_{1}}$${\displaystyle x_{2},\cdots ,x_{n}}$

$${\displaystyle d(x_{1}p_{1}-f)=x_{1}\,dp_{1}-p_{2}\,dx_{2}-\cdots -p_{n}\,dx_{n}.}$$

ดังนั้นสำหรับฟังก์ชันที่เรามี ${\displaystyle \varphi (p_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})=x_{1}p_{1}-f(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}),}$

$${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial p_{1}}}=x_{1},\quad {\frac {\partial \varphi }{\partial x_{2}}}=-p_{2},\quad \cdots ,\quad {\frac {\partial \varphi }{\partial x_{n}}}=-p_{n}.}$$

เราสามารถทำการแปลงนี้กับตัวแปรได้เช่นกันถ้าเราทำกับตัวแปรทั้งหมด เราก็จะได้ ${\displaystyle x_{2},\cdots ,x_{n}}$

$${\displaystyle d\varphi =x_{1}\,dp_{1}+x_{2}\,dp_{2}+\cdots +x_{n}\,dp_{n}}$$ที่ไหน${\displaystyle \varphi =x_{1}p_{1}+x_{2}p_{2}+\cdots +x_{n}p_{n}-f.}$

ในกลศาสตร์เชิงวิเคราะห์ ผู้คนจะทำการแปลงนี้กับตัวแปรของลากรางจ์เพื่อให้ได้แฮมิลโทเนียน : ${\displaystyle {\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},\cdots ,{\dot {q}}_{n}}$${\displaystyle L(q_{1},\cdots ,q_{n},{\dot {q}}_{1},\cdots ,{\dot {q}}_{n})}$

$${\displaystyle H(q_{1},\cdots ,q_{n},p_{1},\cdots ,p_{n})=\sum _{i=1}^{n}p_{i}{\dot {q}}_{i}-L(q_{1},\cdots ,q_{n},{\dot {q}}_{1}\cdots ,{\dot {q}}_{n}).}$$

ในอุณหพลศาสตร์ การแปลงนี้จะถูกนำไปใช้กับตัวแปรตามประเภทของระบบอุณหพลศาสตร์ที่ต้องการ ตัวอย่างเช่น เริ่มจากฟังก์ชันหลัก ของการแสดงพลังงาน ของสถานะ พลังงานภายในเราจะได้ ${\displaystyle U(S,V)}$

$${\displaystyle dU=T\,dS-p\,dV,}$$

ดังนั้นเราจึงสามารถทำการแปลงเลอจองเดอร์กับตัวใดตัวหนึ่งหรือทั้งสองตัวเพื่อให้ได้ผลลัพธ์ ${\displaystyle S,V}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}dH&=d(U+pV)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\ \ \ \ T\,dS+V\,dp\\dF&=d(U-TS)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =-S\,dT-p\,dV\\dG&=d(U-TS+pV)=-S\,dT+V\,dp,\end{aligned}}}$$

และสำนวนทั้งสามนี้แต่ละสำนวนมีความหมายเชิงกายภาพ

นิยามของการแปลงเลอจองเดอร์นี้เป็นนิยามที่เลอจองเดอร์นำเสนอในงานของเขาในปี 1787 ^{[ 1 ]}และยังคงใช้โดยนักฟิสิกส์ในปัจจุบัน อันที่จริง นิยามนี้มีความเข้มงวดทางคณิตศาสตร์หากเราถือว่าตัวแปรและฟังก์ชันทั้งหมดที่กำหนดไว้ข้างต้น (เช่น) เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ซึ่งกำหนดไว้บนเซตเปิดของหรือบนแมนิโฟลด์ที่หาอนุพันธ์ได้และอนุพันธ์ ของฟังก์ชัน เหล่านั้น(ซึ่งถือว่าเป็นเวกเตอร์โคแทนเจนต์ในบริบทของแมนิโฟลด์ที่หาอนุพันธ์ได้) นิยามนี้เทียบเท่ากับนิยามของนักคณิตศาสตร์สมัยใหม่ ตราบใดที่เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้และนูนสำหรับตัวแปร${\displaystyle f,x_{1},\cdots ,x_{n},p_{1},\cdots ,p_{n},}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle df,dx_{i},dp_{i}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}.}$

• การแปลงเลอจองเดอร์ของฟังก์ชันนูน ซึ่งค่าอนุพันธ์อันดับสองทั้งหมดเป็นบวก ก็เป็นฟังก์ชันนูนเช่นกัน ซึ่งค่าอนุพันธ์อันดับสองทั้งหมดเป็นบวก
  บทพิสูจน์เราจะแสดงให้เห็นสิ่งนี้ด้วยฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์อันดับสองได้โดยที่ค่าอนุพันธ์อันดับสองทั้งหมดเป็นบวก และมีอนุพันธ์ที่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง (ผกผันได้)${\displaystyle f(x)}$
  สำหรับค่าคงที่ ให้หาค่าสูงสุดของฟังก์ชัน หรือทำให้ฟังก์ชันมีขอบเขตบนจากนั้นการแปลงเลอจองเดอร์ของคือดังนั้นโดยเงื่อนไขการหาค่าสูงสุดหรือเงื่อนไขการมีขอบเขตโปรดสังเกตว่าขึ้นอยู่กับ(สามารถแสดงให้เห็นได้ด้วยภาพในรูปแรกของหน้านี้ด้านบน)${\displaystyle p}$${\displaystyle {\bar {x}}}$${\displaystyle px-f(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{*}(p)=p{\bar {x}}-f({\bar {x}})}$$${\displaystyle f'({\bar {x}})=p}$$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}(px-f(x))=p-f'(x)=0}$${\displaystyle {\bar {x}}}$${\displaystyle p}$
  ดังนั้นเมื่อหมายความว่าคือส่วนกลับของ คืออนุพันธ์ของ(ดังนั้น)${\displaystyle {\bar {x}}=g(p)}$${\displaystyle g\equiv (f')^{-1}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f'}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f'(g(p))=p}$
  โปรดทราบว่า ฟังก์ชันนี้ ยังสามารถหาอนุพันธ์ได้ด้วยอนุพันธ์ต่อไปนี้ (กฎของฟังก์ชันผกผัน)ดังนั้นการแปลงเลอจองเดอร์จึงเป็นการประกอบกันของฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ ดังนั้นฟังก์ชันนี้จึงหาอนุพันธ์ได้เช่นกัน${\displaystyle g}$$${\displaystyle {\frac {dg(p)}{dp}}={\frac {1}{f''(g(p))}}~.}$$${\displaystyle f^{*}(p)=pg(p)-f(g(p))}$
  การใช้กฎผลคูณและกฎลูกโซ่ ร่วมกับ ความเท่าเทียมกันที่พบ จะได้ว่าฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันนูน โดยที่อนุพันธ์อันดับสองทั้งหมดมีค่าเป็นบวก${\displaystyle {\bar {x}}=g(p)}$$${\displaystyle {\frac {d(f^{*})}{dp}}=g(p)+\left(p-f'(g(p))\right)\cdot {\frac {dg(p)}{dp}}=g(p),}$$$${\displaystyle {\frac {d^{2}(f^{*})}{dp^{2}}}={\frac {dg(p)}{dp}}={\frac {1}{f''(g(p))}}>0,}$$${\displaystyle f^{*}}$
• การแปลงเลอจองเดอร์เป็นการผกผันกล่าวคือ${\displaystyle f^{**}=f~}$
  บทพิสูจน์โดยใช้เอกลักษณ์ข้างต้นเป็น, , และอนุพันธ์ของมันโปรดสังเกตว่าการพิสูจน์นี้ไม่จำเป็นต้องมีเงื่อนไขว่าอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชันดั้งเดิมจะต้องมีค่าเป็นบวกทั้งหมด${\displaystyle f'({\bar {x}})=p}$${\displaystyle {\bar {x}}=g(p)}$${\displaystyle f^{*}(p)=p{\bar {x}}-f({\bar {x}})}$${\displaystyle (f^{*})'(p)=g(p)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}f^{**}(y)&{}=\left(y\cdot {\bar {p}}-f^{*}({\bar {p}})\right)|_{(f^{*})'({\bar {p}})=y}\\[5pt]&{}=g({\bar {p}})\cdot {\bar {p}}-f^{*}({\bar {p}})\\[5pt]&{}=g({\bar {p}})\cdot {\bar {p}}-({\bar {p}}g({\bar {p}})-f(g({\bar {p}})))\\[5pt]&{}=f(g({\bar {p}}))\\[5pt]&{}=f(y)~.\end{aligned}}}$$${\displaystyle f}$

ดังแสดงข้างต้นสำหรับฟังก์ชันนูนโดยการทำให้ค่าสูงสุดหรือจำกัดค่าที่แต่ละจุดเพื่อกำหนดการแปลงเลอจองเดอร์และด้วยเงื่อนไขต่อไปนี้ สมการต่อไปนี้จึงเป็นจริง ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x={\bar {x}}}$${\displaystyle px-f(x)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle f^{*}(p)=p{\bar {x}}-f({\bar {x}})}$${\displaystyle g\equiv (f')^{-1}}$

• ${\displaystyle f'({\bar {x}})=p}$,
• ${\displaystyle {\bar {x}}=g(p)}$,
• ${\displaystyle (f^{*})'(p)=g(p)}$.

พิจารณาฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ที่มีโดเมนจากนิยาม การแปลงเลอจองเดอร์คือ โดยที่ยังต้องหาค่าต่อไป ในการประเมินค่าสูงสุดให้คำนวณอนุพันธ์ของเทียบกับและกำหนดให้ เท่ากับศูนย์: อนุพันธ์อันดับสองเป็นลบทุกที่ ดังนั้นค่าสูงสุดจึงเกิดขึ้นที่ดังนั้น การแปลงเลอจองเดอร์คือ และมีโดเมนสิ่งนี้แสดงให้เห็นว่าโดเมนของฟังก์ชันและการแปลงเลอจองเดอร์อาจแตกต่างกันได้ ${\displaystyle f(x)=e^{x},}$${\displaystyle I=\mathbb {R} }$$${\displaystyle f^{*}(x^{*})=\sup _{x\in \mathbb {R} }(x^{*}x-e^{x}),\quad x^{*}\in I^{*}}$$${\displaystyle I^{*}}$${\displaystyle x^{*}x-e^{x}}$${\displaystyle x}$$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}(x^{*}x-e^{x})=x^{*}-e^{x}=0.}$$${\displaystyle -e^{x}}$${\displaystyle x=\ln(x^{*})}$$${\displaystyle f^{*}(x^{*})=x^{*}\ln(x^{*})-e^{\ln(x^{*})}=x^{*}(\ln(x^{*})-1)}$$${\displaystyle I^{*}=(0,\infty ).}$

เพื่อหาการแปลงเลอจองเดอร์ของการแปลงเลอจองเดอร์ของโดย ที่ตัวแปรถูกใช้เป็นอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันโดยเจตนาเพื่อแสดง คุณสมบัติ การผกผันของการแปลงเลอจองเดอร์เป็นเราคำนวณ ได้ว่าค่าสูงสุดเกิดขึ้นที่เนื่องจากอนุพันธ์อันดับสองเหนือโดเมนของเป็นส่งผลให้พบว่า เป็น ซึ่งเป็นการยืนยันว่าตามที่คาดไว้ ${\displaystyle f}$$${\displaystyle f^{**}(x)=\sup _{x^{*}\in \mathbb {R} }(xx^{*}-x^{*}(\ln(x^{*})-1)),\quad x\in I,}$$${\displaystyle x}$${\displaystyle f^{**}}$${\displaystyle f^{**}=f}$$${\displaystyle {\begin{aligned}0&={\frac {d}{dx^{*}}}{\big (}xx^{*}-x^{*}(\ln(x^{*})-1){\big )}=x-\ln(x^{*})\end{aligned}}}$$${\displaystyle x^{*}=e^{x}}$${\displaystyle {\frac {d^{2}}{{dx^{*}}^{2}}}f^{**}(x)=-{\frac {1}{x^{*}}}<0}$${\displaystyle f^{**}}$${\displaystyle I^{*}=(0,\infty ).}$${\displaystyle f^{**}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}f^{**}(x)&=xe^{x}-e^{x}(\ln(e^{x})-1)=e^{x},\end{aligned}}}$$${\displaystyle f=f^{**},}$

ให้f ( x ) = cx ²กำหนดไว้บนRโดยที่c > 0เป็นค่าคงที่

สำหรับค่า x *คงที่ ฟังก์ชันของx , x * x − f ( x ) = x * x − cx²จะมีอนุพันธ์อันดับแรกคือx * − 2cx และอนุพันธ์อันดับสอง^คือ −2c ; มีจุดนิ่งหนึ่งจุดที่x = x */ 2cซึ่งเป็นค่าสูงสุดเสมอ

ดังนั้นI * = Rและ $${\displaystyle f^{*}(x^{*})={\frac {{x^{*}}^{2}}{4c}}~.}$$

อนุพันธ์อันดับแรกของf , 2 cx , และของf * , x */(2 c ) , เป็นฟังก์ชันผกผันซึ่งกันและกัน เห็นได้ชัด ว่าf ** = f . $${\displaystyle f^{**}(x)={\frac {1}{4(1/4c)}}x^{2}=cx^{2}~,}$$

ให้f ( x ) = x ²สำหรับx ∈ ( I = [2, 3])

สำหรับx *ที่กำหนดไว้x * x − f ( x )จะต่อเนื่องบนI กระชับดังนั้นจึงมีค่าสูงสุดจำกัดบนนั้นเสมอ ซึ่งส่งผลให้โดเมนของการแปลงเลอจองเดอร์ของคือ I * = R${\displaystyle f}$

จุดนิ่งที่x = x */2 (พบได้โดยการกำหนดให้อนุพันธ์อันดับแรกของx * x − f ( x )เทียบกับเท่ากับศูนย์) อยู่ในโดเมน[2, 3]ก็ต่อเมื่อ4 ≤ x * ≤ 6 เท่านั้น มิฉะนั้น ค่าสูงสุดจะอยู่ที่x = 2หรือx = 3เนื่องจากอนุพันธ์อันดับสองของx * x − f ( x )เทียบกับเป็นลบเมื่อ; สำหรับบางส่วนของโดเมนค่าสูงสุดที่x * x − f ( x )สามารถรับได้เทียบกับ จะได้ที่ในขณะที่สำหรับค่าสูงสุดจะอยู่ที่ดังนั้นจึงสรุปได้ว่า ${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle -2}$${\displaystyle x^{*}<4}$${\displaystyle x\in [2,3]}$${\displaystyle x=2}$${\displaystyle x^{*}>6}$${\displaystyle x=3}$$${\displaystyle f^{*}(x^{*})={\begin{cases}2x^{*}-4,&x^{*}<4\\{\frac {{x^{*}}^{2}}{4}},&4\leq x^{*}\leq 6,\\3x^{*}-9,&x^{*}>6.\end{cases}}}$$

ฟังก์ชันf ( x ) = cxเป็นฟังก์ชันนูนสำหรับทุกx (ความนูนอย่างเคร่งครัดไม่จำเป็นสำหรับนิยามที่ดีของการแปลงเลอจองเดอร์) เห็นได้ชัดว่าx * x − f ( x ) = ( x * − c ) xไม่เคยมีขอบเขตบนในฐานะฟังก์ชันของxเว้นแต่x * − c = 0ดังนั้นf *จึงนิยามได้บนI * = { c }และf *( c ) = 0 ( นิยามของการแปลงเลอจองเดอร์ต้องการการมีอยู่ของค่าสูงสุดซึ่งต้องการขอบเขตบน)

เราสามารถตรวจสอบความเป็นอินโวลูติวิตีได้: แน่นอนว่าx * x − f *( x *)จะมีขอบเขตเสมอในฐานะฟังก์ชันของx *∈{ c }ดังนั้นI ** = Rจากนั้น สำหรับทุกxจะมี และ ดังนั้นf **( x ) = cx = f ( x )$${\displaystyle \sup _{x^{*}\in \{c\}}(xx^{*}-f^{*}(x^{*}))=xc,}$$

ตัวอย่างของฟังก์ชันต่อเนื่อง นูน ที่ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ทุกที่คือ ซึ่งทำให้ได้และดังนั้นบนโดเมนของมัน ${\displaystyle f(x)=|x|}$$${\displaystyle f^{*}(x^{*})=\sup _{x}(xx^{*}-|x|)=\max \left(\sup _{x\geq 0}x(x^{*}-1),\,\sup _{x\leq 0}x(x^{*}+1)\right),}$$${\displaystyle f^{*}(x^{*})=0}$${\displaystyle I^{*}=[-1,1]}$

ให้ กำหนด บนX = R ⁿโดยที่Aเป็นเมทริกซ์จริงบวกแน่นอน $${\displaystyle f(x)=\langle x,Ax\rangle +c}$$

ดังนั้นfเป็นฟังก์ชันนูน และ มีเกรเดียนต์p − 2 Axและเมทริกซ์เฮสเซียน−2 Aซึ่งมีค่าเป็นลบ ดังนั้นจุดนิ่งx = A ⁻¹ p /2จึงเป็นจุดสูงสุด $${\displaystyle \langle p,x\rangle -f(x)=\langle p,x\rangle -\langle x,Ax\rangle -c,}$$

เรามีX * = R ⁿและ $${\displaystyle f^{*}(p)={\frac {1}{4}}\langle p,A^{-1}p\rangle -c.}$$

การแปลงเลอจองเดอร์เชื่อมโยงกับ การอินทิเก รตโดยส่วนdx = d ( px ) − x dp

ให้f ( x , y )เป็นฟังก์ชันของตัวแปรอิสระสองตัวคือxและyโดยมีอนุพันธ์ $${\displaystyle df={\frac {\partial f}{\partial x}}\,dx+{\frac {\partial f}{\partial y}}\,dy=p\,dx+v\,dy.}$$

สมมติว่าฟังก์ชันfเป็นฟังก์ชันนูนในxสำหรับทุกyดังนั้นเราจึงสามารถทำการแปลงเลอจองเดอร์บนfในxได้ โดยที่pเป็นตัวแปรสังยุคของx (สำหรับข้อมูลเพิ่มเติม มีความสัมพันธ์ที่เป็นจุดในxที่ทำให้ มีค่าสูงสุดหรือมีขอบเขตสำหรับpและy ที่กำหนด ) เนื่องจากตัวแปรอิสระใหม่ของการแปลงเทียบกับfคือpดังนั้นอนุพันธ์dxและdyในdfจะแปลงเป็นdpและdy ในอนุพันธ์ของการแปลง กล่าว คือ เราสร้างฟังก์ชันอีกฟังก์ชันหนึ่งที่มีอนุพันธ์แสดงในรูปของฐานใหม่dpและdy${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}|_{\bar {x}}=p}$${\displaystyle {\bar {x}}}$${\displaystyle px-f(x,y)}$

ดังนั้นเราจึงพิจารณาฟังก์ชันg ( p , y ) = f − pxโดยที่ $${\displaystyle dg=df-p\,dx-x\,dp=-x\,dp+v\,dy}$$$${\displaystyle x=-{\frac {\partial g}{\partial p}}}$$$${\displaystyle v={\frac {\partial g}{\partial y}}.}$$

ฟังก์ชัน− g ( p , y )คือการแปลงเลอจองเดอร์ของf ( x , y )โดยที่ตัวแปรอิสระxถูกแทนที่ด้วยp เท่านั้น ฟังก์ชันนี้ใช้กันอย่างแพร่หลายในอุณหพลศาสตร์ดังตัวอย่างด้านล่าง

ในกลศาสตร์คลาสสิก การแปลงเลอจองเดอร์ (Legendre transform) ถูกนำมาใช้ เพื่อหาอนุพันธ์ของสูตรแฮมิลโทเนียนจากสูตรลากรางจ์และในทางกลับกัน ลากรางจ์โดยทั่วไปมีรูปแบบดังนี้

$${\displaystyle L(v,q)={\tfrac {1}{2}}\langle v,Mv\rangle -V(q),}$$ โดยที่เป็นพิกัดบนR ⁿ × R ⁿ , Mเป็นเมทริกซ์จริงบวกกำหนด และ ${\displaystyle (v,q)}$$${\displaystyle \langle x,y\rangle =\sum _{j}x_{j}y_{j}.}$$

สำหรับค่า qที่กำหนดไว้ ทุกค่า จะเป็นฟังก์ชันนูนของในขณะที่ทำหน้าที่เป็นค่าคงที่ ${\displaystyle L(v,q)}$${\displaystyle v}$${\displaystyle V(q)}$

ดังนั้น การแปลงเลอจองเดอร์ของในรูปฟังก์ชันของ จึงเป็นฟังก์ชันแฮมิลโทเนียน ${\displaystyle L(v,q)}$${\displaystyle v}$$${\displaystyle H(p,q)={\tfrac {1}{2}}\langle p,M^{-1}p\rangle +V(q).}$$

ในบริบททั่วไปพิกัดท้องถิ่นบนมัดสัมผัสของแมนิโฟลด์สำหรับแต่ละqคือฟังก์ชันนูนของปริภูมิสัมผัสV _qการแปลงเลอจองเดอร์ให้แฮมิลโทเนียนเป็นฟังก์ชันของพิกัด( p , q )ของมัดโคแทนเจนต์ผลคูณภายในที่ใช้ในการกำหนดการแปลงเลอจองเดอร์นั้นสืบทอดมาจากโครงสร้างเชิงซิมเพล็กติก แบบแคนอนิกที่เกี่ยวข้อง ในบริบทนามธรรมนี้ การแปลงเลอจองเดอร์สอดคล้องกับรูปแบบวันเชิงสัจพจน์ ${\displaystyle (v,q)}$${\displaystyle T{\mathcal {M}}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle L(v,q)}$${\displaystyle H(p,q)}$${\displaystyle T^{*}{\mathcal {M}}}$

กลยุทธ์เบื้องหลังการใช้การแปลงเลอจองเดอร์ในอุณหพลศาสตร์คือการเปลี่ยนจากฟังก์ชันที่ขึ้นอยู่กับตัวแปรหนึ่งไปเป็นฟังก์ชันใหม่ (ฟังก์ชันคู่ควบ) ที่ขึ้นอยู่กับตัวแปรใหม่ ซึ่งเป็นตัวแปรคู่ควบของตัวแปรเดิม ตัวแปรใหม่นี้คืออนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันเดิมเทียบกับตัวแปรเดิม ฟังก์ชันใหม่นี้คือผลต่างระหว่างฟังก์ชันเดิมกับผลคูณของตัวแปรเดิมและตัวแปรใหม่ โดยทั่วไป การแปลงนี้มีประโยชน์เพราะเป็นการเปลี่ยนการขึ้นอยู่ของพลังงานจากตัวแปรแบบขยายไปเป็นตัวแปรแบบเข้มข้นที่เป็นคู่ควบ ซึ่งมักจะควบคุมได้ง่ายกว่าในการทดลองทางฟิสิกส์

ตัวอย่างเช่นพลังงานภายในUเป็นฟังก์ชันโดยตรงของตัวแปรแบบขยาย ได้แก่เอนโทรปีS ปริมาตรVและองค์ประกอบทางเคมีNi (เช่น₎ซึ่ง มีอนุพันธ์รวม ${\displaystyle i=1,2,3,\ldots }$$${\displaystyle U=U\left(S,V,\{N_{i}\}\right),}$$$${\displaystyle dU=T\,dS-P\,dV+\sum \mu _{i}\,dN_{i}}$$

ที่ไหน. ${\displaystyle T=\left.{\frac {\partial U}{\partial S}}\right\vert _{V,N_{i{\text{ for all }}i{\text{ values}}}},P=\left.-{\frac {\partial U}{\partial V}}\right\vert _{S,N_{i\ {\text{for all }}i{\text{ values}}}},\mu _{i}=\left.{\frac {\partial U}{\partial N_{i}}}\right\vert _{S,V,N_{j{\text{ for all }}j\neq i}}}$

(ตัวห้อยไม่จำเป็นตามนิยามของอนุพันธ์ย่อย แต่คงไว้เพื่อความชัดเจนของตัวแปร) เมื่อกำหนดสถานะอ้างอิงร่วมกันบางอย่าง โดยใช้การแปลงเลอจองเดอร์ (แบบไม่มาตรฐาน) ของพลังงานภายในUเทียบกับปริมาตรVจะได้เอนทาลปี H ดัง ต่อไปนี้

เพื่อให้ได้การแปลงเลอจองเดอร์ (มาตรฐาน) ของพลังงานภายในUเทียบกับปริมาตรVจะต้องกำหนดฟังก์ชัน ก่อน จากนั้นจึงหาค่าสูงสุดหรือจำกัดขอบเขตโดย Vในการทำเช่นนี้ เงื่อนไขจะต้องเป็นไปตามที่กำหนด ดังนั้นจึงได้ วิธีการนี้มีความเหมาะสมเนื่องจากUเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นเทียบกับV (ดังนั้นจึงเป็นฟังก์ชันนูนบนV ) ตามนิยามของตัวแปรแบบขยายการแปลงเลอจองเดอร์แบบไม่มาตรฐานในที่นี้ได้มาจากการกลับเครื่องหมายของเวอร์ชันมาตรฐานดังนั้น ${\textstyle U^{*}}$${\textstyle u\left(p,S,V,\{{{N}_{i}}\}\right)=pV-U}$${\textstyle {\frac {\partial u}{\partial V}}=p-{\frac {\partial U}{\partial V}}=0\to p={\frac {\partial U}{\partial V}}}$${\textstyle U^{*}={\frac {\partial U}{\partial V}}V-U}$${\textstyle -U^{*}=H=U-{\frac {\partial U}{\partial V}}V=U+PV}$

Hเป็นฟังก์ชันสถานะ อย่างแน่นอน เนื่องจากได้มาจากการบวกPV ( โดย ที่ PและVเป็นตัวแปรสถานะ ) เข้ากับฟังก์ชันสถานะดังนั้นอนุพันธ์ของมันจึงเป็นอนุพันธ์ที่แม่นยำและเนื่องจากข้อเท็จจริงที่ว่ามันต้องเป็นอนุพันธ์ที่แม่นยำดังนั้น ${\textstyle U=U\left(S,V,\{N_{i}\}\right)}$${\textstyle dH=T\,dS+V\,dP+\sum \mu _{i}\,dN_{i}}$${\displaystyle H=H(S,P,\{N_{i}\})}$

เอนทาลปีเหมาะสมสำหรับการอธิบายกระบวนการที่ความดันถูกควบคุมจากสิ่งแวดล้อม

ในทำนองเดียวกัน สามารถเปลี่ยนการพึ่งพาของพลังงานจากตัวแปรแบบขยายของเอนโทรปีSไปยังตัวแปรแบบเข้มข้นT (ซึ่งมักจะสะดวกกว่า) ส่งผลให้ได้พลังงานอิสระของเฮล์มโฮลทซ์และกิบส์ พลังงาน อิสระของเฮล์มโฮลทซ์Aและพลังงานอิสระของกิบส์Gได้มาจากการทำการแปลงเลอจองเดอร์ของพลังงานภายในและเอนทัลปีตามลำดับ: $${\displaystyle {\begin{aligned}A&=U-TS~,\\G&=H-TS=U+PV-TS~.\end{aligned}}}$$

พลังงานอิสระของเฮล์มโฮลทซ์มักเป็นศักยภาพทางเทอร์โมไดนามิกที่มีประโยชน์มากที่สุดเมื่ออุณหภูมิและปริมาตรถูกควบคุมจากสิ่งแวดล้อม ในขณะที่พลังงานอิสระของกิบบส์มักมีประโยชน์มากที่สุดเมื่ออุณหภูมิและความดันถูกควบคุมจากสิ่งแวดล้อม

อีกตัวอย่างหนึ่งจากวิชาฟิสิกส์ ลองพิจารณา ตัวเก็บประจุแบบแผ่นตัวนำขนานซึ่งแผ่นตัวนำสามารถเคลื่อนที่สัมพันธ์กันได้ ตัวเก็บประจุเช่นนี้จะช่วยให้สามารถถ่ายโอนพลังงานไฟฟ้าที่เก็บไว้ในตัวเก็บประจุไปเป็นงานเชิงกลภายนอก โดยเกิดจากแรงที่กระทำต่อแผ่นตัวนำ เราอาจคิดว่าประจุไฟฟ้าเปรียบได้กับ "ประจุ" ของแก๊สในกระบอกสูบ โดยมี แรงเชิงกลที่เกิดขึ้นกระทำ ต่อลูกสูบ

คำนวณแรงที่กระทำต่อแผ่นโลหะทั้งสองในรูปของฟังก์ชันxซึ่งเป็นระยะทางที่คั่นระหว่างแผ่นโลหะทั้งสอง ในการหาแรง ให้คำนวณพลังงานศักย์ก่อน แล้วจึงใช้คำนิยามของแรงว่าเป็นความชันของฟังก์ชันพลังงานศักย์

พลังงานศักย์ไฟฟ้าสถิตที่เก็บไว้ในตัวเก็บประจุที่มีความจุC ( x )และประจุไฟฟ้า บวก + Qหรือประจุไฟฟ้าลบ-Qบนแผ่นตัวนำแต่ละแผ่นคือ (โดยใช้คำนิยามของความจุเป็น) ${\textstyle C={\frac {Q}{V}}}$

$${\displaystyle U(Q,\mathbf {x} )={\frac {1}{2}}QV(Q,\mathbf {x} )={\frac {1}{2}}{\frac {Q^{2}}{C(\mathbf {x} )}},~}$$

โดยที่การพึ่งพาพื้นที่ของแผ่นตัวนำ ค่าคงที่ไดอิเล็กตริกของวัสดุฉนวนระหว่างแผ่นตัวนำ และระยะห่างxจะถูกตัดออกไปในรูปของค่าความจุC ( x ) (สำหรับตัวเก็บประจุแบบแผ่นขนาน ค่านี้จะเป็นสัดส่วนโดยตรงกับพื้นที่ของแผ่นตัวนำและเป็นสัดส่วนผกผันกับระยะห่าง)

แรงFระหว่างแผ่นโลหะอันเนื่องมาจากสนามไฟฟ้าที่เกิดจากการแยกประจุคือ $${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} )=-{\frac {dU}{d\mathbf {x} }}~.}$$

ถ้าตัวเก็บประจุไม่ได้เชื่อมต่อกับวงจรไฟฟ้าใดๆประจุไฟฟ้าบนแผ่นตัวนำจะคงที่ และแรงดันไฟฟ้าจะเปลี่ยนแปลงเมื่อแผ่นตัวนำเคลื่อนที่สัมพันธ์กัน โดยแรงที่เกิดขึ้นจะเป็นค่าลบ ของความชัน ของพลังงานศักย์ ไฟฟ้าสถิต$${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} )={\frac {1}{2}}{\frac {dC(\mathbf {x} )}{d\mathbf {x} }}{\frac {Q^{2}}{{C(\mathbf {x} )}^{2}}}={\frac {1}{2}}{\frac {dC(\mathbf {x} )}{d\mathbf {x} }}V(\mathbf {x} )^{2}}$$

ในขณะที่ในรูปแบบนี้ ประจุไฟฟ้าจะคง ที่${\textstyle V(Q,\mathbf {x} )=V(\mathbf {x} )}$

อย่างไรก็ตาม สมมติว่าแรงดันไฟฟ้าระหว่างแผ่นโลหะVถูกรักษาให้คงที่ในขณะที่แผ่นโลหะเคลื่อนที่โดยเชื่อมต่อกับแบตเตอรี่ซึ่งเป็นแหล่งเก็บประจุไฟฟ้าที่มีความต่างศักย์คงที่ ในกรณีนี้ ปริมาณประจุจะเป็นตัวแปรแทนแรงดันไฟฟ้าและ และเป็นคู่สังยุคเลอจองเดอร์ซึ่งกันและกัน ในการหาแรง ขั้นแรกให้คำนวณการแปลงเลอจองเดอร์แบบไม่มาตรฐานเทียบกับ(โดยใช้ ด้วยเช่นกัน) ${\textstyle Q}$${\textstyle Q}$${\textstyle V}$${\textstyle U^{*}}$${\textstyle Q}$${\textstyle C={\frac {Q}{V}}}$

$${\displaystyle U^{*}=U-\left.{\frac {\partial U}{\partial Q}}\right|_{\mathbf {x} }\cdot Q=U-{\frac {1}{2C(\mathbf {x} )}}\left.{\frac {\partial Q^{2}}{\partial Q}}\right|_{\mathbf {x} }\cdot Q=U-QV={\frac {1}{2}}QV-QV=-{\frac {1}{2}}QV=-{\frac {1}{2}}V^{2}C(\mathbf {x} ).}$$

การแปลงนี้เป็นไปได้เพราะตอนนี้เป็นฟังก์ชันเชิงเส้นของดังนั้น จึงเป็นฟังก์ชันนูนบนตัวมันเอง แรงในตอนนี้จึงกลายเป็นเกรเดียนต์ลบของการแปลงเลอจองเดอร์นี้ ส่งผลให้ได้แรงเดียวกันกับที่ได้จากฟังก์ชันดั้งเดิม ${\textstyle U}$${\textstyle Q}$${\textstyle U}$$${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} )=-{\frac {dU^{*}}{d\mathbf {x} }}={\frac {1}{2}}{\frac {dC(\mathbf {x} )}{d\mathbf {x} }}V^{2}.}$$

พลังงานคู่ควบทั้งสองค่าบังเอิญอยู่ตรงข้ามกัน (เครื่องหมายตรงข้ามกัน) เพียงเพราะความเป็นเชิงเส้นของค่าความจุ —ยกเว้นว่าตอนนี้Qไม่ใช่ค่าคงที่อีกต่อไปแล้ว ค่าเหล่านี้สะท้อนถึงเส้นทางที่แตกต่างกันสองเส้นทางในการเก็บพลังงานลงในตัวเก็บประจุ ซึ่งส่งผลให้เกิด "แรงดึง" ที่เท่ากันระหว่างแผ่นตัวนำของตัวเก็บประจุ เป็นต้น ${\textstyle U}$${\textstyle U^{*}}$

ในทฤษฎีความเบี่ยงเบนขนาดใหญ่ฟังก์ชันอัตราถูกกำหนดให้เป็นการแปลงเลอจองเดอร์ของลอการิทึมของฟังก์ชันสร้างโมเมนต์ของตัวแปรสุ่ม การประยุกต์ใช้ที่สำคัญของฟังก์ชันอัตราคือการคำนวณความน่าจะเป็นส่วนหางของผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระและมีการกระจายเหมือนกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่งในทฤษฎีบทของเครเมอร์

ถ้าเป็นตัวแปรสุ่มอิสระและมีแจกแจงเหมือนกัน ให้ เป็นการ เดินสุ่มที่เกี่ยวข้องและเป็นฟังก์ชันสร้างโมเมนต์ของสำหรับ. ดังนั้น โดยอสมการของมาร์คอฟจะได้ สำหรับและ โดยที่. เนื่องจากด้านซ้ายมือเป็นอิสระจากเราจึงสามารถหาค่าต่ำสุดของด้านขวามือได้ ซึ่งนำไปสู่การพิจารณาค่าสูงสุดของ นั่นคือ การแปลงเลอจองเดอร์ของ ที่ประเมินค่าที่. ${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle S_{n}=X_{1}+\cdots +X_{n}}$${\displaystyle M(\xi )}$${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} }$${\displaystyle E[e^{\xi S_{n}}]=M(\xi )^{n}}$${\displaystyle \xi \geq 0}$${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$$${\displaystyle P(S_{n}/n>a)\leq e^{-n\xi a}M(\xi )^{n}=\exp[-n(\xi a-\Lambda (\xi ))]}$$${\displaystyle \Lambda (\xi )=\log M(\xi )}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \xi a-\Lambda (\xi )}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle x=a}$

การแปลงเลอจองเดอร์เกิดขึ้นตามธรรมชาติในเศรษฐศาสตร์จุลภาคในกระบวนการหาอุปทานS ( P )ของผลิตภัณฑ์บางอย่าง โดยกำหนดราคาP คงที่ ในตลาด โดยทราบฟังก์ชันต้นทุนC ( Q )ซึ่งก็คือต้นทุนสำหรับผู้ผลิตในการผลิต/ขุด/ฯลฯ จำนวน Qหน่วยของผลิตภัณฑ์ที่กำหนด

ทฤษฎีง่ายๆ อธิบายรูปร่างของเส้นอุปทานโดยอาศัยเพียงฟังก์ชันต้นทุน สมมติว่าราคาตลาดของสินค้าหนึ่งหน่วยของเราคือPสำหรับบริษัทที่ขายสินค้านี้ กลยุทธ์ที่ดีที่สุดคือการปรับปริมาณการผลิตQเพื่อให้ได้กำไรสูงสุด เราสามารถเพิ่มกำไรให้สูงสุดได้ โดยการหาอนุพันธ์เทียบกับQและแก้สมการ $${\displaystyle {\text{profit}}={\text{revenue}}-{\text{costs}}=PQ-C(Q)}$$$${\displaystyle P-C'(Q_{\text{opt}})=0.}$$

Qoptหมายถึงปริมาณสินค้าที่เหมาะสมที่สุด (Q) _ที่ผู้ผลิตยินดีจะจัดหา ซึ่งก็คือปริมาณสินค้าที่ผู้ผลิตจัดหานั่นเอง: $${\displaystyle S(P)=Q_{\text{opt}}(P)=(C')^{-1}(P).}$$

ถ้าเราพิจารณากำไรสูงสุดเป็นฟังก์ชันของราคา เรา จะ เห็นว่ามันคือการแปลงเลอจองเดอร์ของฟังก์ชันต้นทุน${\displaystyle {\text{profit}}_{\text{max}}(P)}$${\displaystyle C(Q)}$

สำหรับฟังก์ชันนูนอย่างแท้จริงการแปลงเลอจองเดอร์สามารถตีความได้ว่าเป็นการจับคู่ระหว่างกราฟของฟังก์ชันกับกลุ่มของเส้นสัมผัสของกราฟ (สำหรับฟังก์ชันตัวแปรเดียว เส้นสัมผัสจะนิยามได้ดีที่ทุกจุด ยกเว้น จุด จำนวนนับได้เท่านั้น เนื่องจากฟังก์ชันนูนสามารถหาอนุพันธ์ได้ที่ทุกจุด ยกเว้นจุดจำนวนนับได้เท่านั้น)

สมการของเส้นตรงที่มีความชัน และจุดตัดแกน y คือ. เส้นตรงนี้จะสัมผัสกับกราฟของฟังก์ชันที่จุดต้องมีเงื่อนไข ว่า และ ${\displaystyle p}$${\displaystyle y}$${\displaystyle b}$${\displaystyle y=px+b}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \left(x_{0},f(x_{0})\right)}$$${\displaystyle f(x_{0})=px_{0}+b}$$$${\displaystyle p=f'(x_{0}).}$$

เนื่องจากเป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชันนูนอย่างเคร่งครัด ฟังก์ชันนี้จึงเป็นฟังก์ชันโมโนโทนอย่างเคร่งครัดและเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งสมการที่สองสามารถหาคำตอบได้โดยการกำจัด ออกจากสมการแรก และหาค่าจุดตัดแกน x ของเส้นสัมผัสเป็นฟังก์ชันของความชันโดยที่แทนการแปลงเลอจองเดอร์ของ${\displaystyle f'}$${\textstyle x_{0}=f^{\prime -1}(p),}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle b}$${\displaystyle p,}$${\textstyle b=f(x_{0})-px_{0}=f\left(f^{\prime -1}(p)\right)-p\cdot f^{\prime -1}(p)=-f^{\star }(p)}$${\displaystyle f^{\star }}$${\displaystyle f.}$

ดังนั้น กลุ่มของเส้นสัมผัสของกราฟที่กำหนดโดยพารามิเตอร์ความชันจึงกำหนดโดย หรือเขียนโดยปริยายโดยคำตอบของสมการ ${\displaystyle f}$${\displaystyle p}$${\textstyle y=px-f^{\star }(p),}$$${\displaystyle F(x,y,p)=y+f^{\star }(p)-px=0~.}$$

กราฟของฟังก์ชันดั้งเดิมสามารถสร้างขึ้นใหม่ได้จากกลุ่มเส้นเหล่านี้ โดยเป็นเส้นโค้งห่อหุ้มของกลุ่มเส้นเหล่านี้โดยการกำหนดเงื่อนไข $${\displaystyle {\frac {\partial F(x,y,p)}{\partial p}}=f^{\star \prime }(p)-x=0.}$$

เมื่อกำจัดออกจากสมการทั้งสองนี้จะได้ ${\displaystyle p}$$${\displaystyle y=x\cdot f^{\star \prime -1}(x)-f^{\star }\left(f^{\star \prime -1}(x)\right).}$$

การระบุและรับรู้ด้านขวาของสมการข้างต้นว่าเป็นผลลัพธ์ของการแปลงเลอจองเดอร์${\displaystyle y}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f^{\star },}$${\textstyle f(x)=f^{\star \star }(x)~.}$

สำหรับฟังก์ชันค่าจริง ที่หาอนุพันธ์ได้ บนเซตย่อยนูนเปิดUของR ⁿคู่ Legendre conjugate ของคู่( U , f )ถูกกำหนดให้เป็นคู่( V , g )โดยที่VคือภาพของUภายใต้การแมปเกรเดียนต์Dfและgคือฟังก์ชันบนVที่กำหนดโดยสูตร โดยที่ $${\displaystyle g(y)=\left\langle y,x\right\rangle -f(x),\qquad x=\left(Df\right)^{-1}(y)}$$$${\displaystyle \left\langle u,v\right\rangle =\sum _{k=1}^{n}u_{k}\cdot v_{k}}$$

คือผลคูณสเกลาร์บนR ⁿการแปลงหลายมิติสามารถตีความได้ว่าเป็นการเข้ารหัสของส่วนนูน ของ เอพิกราฟของฟังก์ชันในแง่ของ ไฮเปอร์เพล นที่รองรับ^{[ 2 ]}สิ่งนี้สามารถมองได้ว่าเป็นผลสืบเนื่องมาจากการสังเกตสองประการต่อไปนี้ ในด้านหนึ่ง ไฮเปอร์เพลนที่สัมผัสกับเอพิกราฟของณ จุดใดจุดหนึ่งมีเวกเตอร์ปกติในอีกด้านหนึ่ง เซตเว้าปิดใดๆสามารถระบุลักษณะได้ผ่านเซตของไฮเปอร์เพลนที่รองรับโดยสมการ โดยที่คือฟังก์ชันที่รองรับของแต่คำจำกัดความของการแปลงเลอจองเดอร์ผ่านการเพิ่มค่าสูงสุดตรงกับฟังก์ชันที่รองรับอย่างแม่นยำ นั่นคือ ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่าการแปลงเลอจองเดอร์ระบุลักษณะของเอพิกราฟในแง่ที่ว่าระนาบสัมผัสกับเอพิกราฟ ณ จุดใดๆ จะได้รับอย่างชัดเจนโดย${\displaystyle f}$${\displaystyle (\mathbf {x} ,f(\mathbf {x} ))\in U\times \mathbb {R} }$${\displaystyle (\nabla f(\mathbf {x} ),-1)\in \mathbb {R} ^{n+1}}$${\displaystyle C\in \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {n} =h_{C}(\mathbf {n} )}$${\displaystyle h_{C}(\mathbf {n} )}$${\displaystyle C}$${\displaystyle f^{*}(\mathbf {x} )=h_{\operatorname {epi} (f)}(\mathbf {x} ,-1)}$${\displaystyle (\mathbf {x} ,f(\mathbf {x} ))}$$${\displaystyle \{\mathbf {z} \in \mathbb {R} ^{n+1}:\,\,\mathbf {z} \cdot \mathbf {x} =f^{*}(\mathbf {x} )\}.}$$

อีกทางเลือกหนึ่ง ถ้าXเป็นปริมาณเวกเตอร์และYเป็นปริมาณเวกเตอร์คู่ ของมัน แล้ว สำหรับแต่ละจุดxในXและyในYจะมีการระบุปริมาณเวกเตอร์ร่วมสัมผัสT* XxกับYและT* YyกับX อย่างเป็นธรรมชาติ ถ้าfเป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้จริงบนXแล้ว อนุพันธ์ภายนอก df ของf จะเป็น_ส่วนตัดของมัดเวกเตอร์ร่วมสัมผัสT* Xและด้วยเหตุนี้ เราจึงสามารถสร้างแผนที่จากXไปยังY _ได้ในทำนองเดียวกัน ถ้าgเป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้จริงบนYแล้วdgจะกำหนดแผนที่จากYไปยังXถ้าแผนที่ทั้งสองเป็นอินเวอร์สของกันและกัน เราจะกล่าวว่าเรามีการแปลงเลอจองเดอร์ แนวคิดของรูปแบบหนึ่งทางสัจพจน์มักใช้ในบริบทนี้

เมื่อฟังก์ชันไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ การแปลงเลอจองเดอร์ยังคงสามารถขยายได้ และเรียกว่าการแปลงเลอจองเดอร์-เฟนเชลในบริบททั่วไปนี้ คุณสมบัติบางอย่างจะหายไป ตัวอย่างเช่น การแปลงเลอจองเดอร์จะไม่ใช่การแปลงผกผันของตัวเองอีกต่อไป (เว้นแต่จะมีข้อสมมติเพิ่มเติม เช่นความเป็นนูน )

ให้เป็นแมนิโฟลด์เรียบให้และเป็นเวกเตอร์บันเดิลบนและบันเดิลโปรเจคชัน ที่เกี่ยวข้อง ตามลำดับ ให้เป็นฟังก์ชันเรียบ เราคิดว่าเป็นลากรางเจียนโดยเปรียบเทียบกับกรณีคลาสสิกที่และสำหรับจำนวนบวกบางจำนวนและฟังก์ชัน ${\textstyle M}$${\displaystyle E}$${\textstyle \pi :E\to M}$${\displaystyle M}$${\textstyle L:E\to \mathbb {R} }$${\textstyle L}$${\textstyle M=\mathbb {R} }$${\textstyle E=TM=\mathbb {R} \times \mathbb {R} }$${\textstyle L(x,v)={\frac {1}{2}}mv^{2}-V(x)}$${\textstyle m\in \mathbb {R} }$${\textstyle V:M\to \mathbb {R} }$

เช่นเคย ปริภูมิคู่ของจะถูกแทนด้วยไฟเบอร์ของบนจะถูกแทนด้วยและการจำกัดของบนจะถูกแทนด้วย การแปลง เลอจองเดอร์ของ คือมอร์ฟิซึมเรียบที่กำหนดโดย โดยที่ในที่นี้เราใช้ข้อเท็จจริงที่ว่า เนื่องจากเป็นปริภูมิเวกเตอร์ จึงสามารถระบุได้ว่าเป็น กล่าวอีกนัยหนึ่งคือโคเวกเตอร์ที่ส่งไปยังอนุพันธ์ทิศทาง${\textstyle E}$${\textstyle E^{*}}$${\textstyle \pi }$${\textstyle x\in M}$${\textstyle E_{x}}$${\textstyle L}$${\textstyle E_{x}}$${\textstyle L|_{E_{x}}:E_{x}\to \mathbb {R} }$${\textstyle L}$$${\displaystyle \mathbf {F} L:E\to E^{*}}$$${\textstyle \mathbf {F} L(v)=d(L|_{E_{x}})_{v}\in E_{x}^{*}}$${\textstyle x=\pi (v)}$${\textstyle E_{x}}$${\textstyle T_{v}(E_{x})}$${\textstyle E_{x}}$${\textstyle \mathbf {F} L(v)\in E_{x}^{*}}$${\textstyle w\in E_{x}}$${\textstyle \left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}L(v+tw)\in \mathbb {R} }$