ในแคลคูลัสหลายตัวแปร อนุพันธ์หรือรูปแบบอนุพันธ์จะเรียกว่าเป็น อนุพันธ์ ที่แม่นยำหรือสมบูรณ์ ( อนุพันธ์ที่แม่นยำ ) ซึ่งแตกต่างจากอนุพันธ์ที่ไม่แม่นยำหากอนุพันธ์นั้นเท่ากับอนุพันธ์ทั่วไปสำหรับฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ บางฟังก์ชัน ในระบบพิกัดเชิงตั้งฉาก (ดังนั้น จึงเป็นฟังก์ชันหลายตัวแปรที่ตัวแปรเป็นอิสระต่อกันซึ่งเป็นสิ่งที่คาดหวังได้เสมอเมื่อพิจารณาในแคลคูลัสหลายตัวแปร ) ${\displaystyle dQ}$ ${\displaystyle Q}$${\displaystyle Q}$

อนุพันธ์ที่แน่นอนบางครั้งเรียกว่าอนุพันธ์รวมหรืออนุพันธ์เต็มหรือในการศึกษาเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์จะเรียกว่า รูปแบบ ที่ แน่นอน

อินทิกรัลของอนุพันธ์ที่แม่นยำเหนือเส้นทางอินทิกรัลใดๆจะไม่ขึ้นกับเส้นทางและข้อเท็จจริงนี้ถูกนำมาใช้เพื่อระบุฟังก์ชันสถานะในอุณหพลศาสตร์

แม้ว่าเราจะทำงานในสามมิติที่นี่ แต่นิยามของอนุพันธ์ที่แน่นอนสำหรับมิติอื่น ๆ ก็มีโครงสร้างคล้ายคลึงกับนิยามในสามมิติ ในสามมิติ รูปแบบประเภทนี้ เรียกว่ารูปแบบอนุพันธ์รูปแบบนี้เรียกว่าอนุพันธ์ที่แน่นอนบนโดเมนเปิดในปริภูมิ ถ้ามีฟังก์ชันสเกลาร์ที่หาอนุพันธ์ได้ บางฟังก์ชัน ที่กำหนดบน โดเมน นั้น โดยที่ ตลอดทั้ง โดเมน โดย ที่เป็นพิกัดตั้งฉาก (เช่นพิกัดคาร์ทีเซียนพิกัดทรงกระบอกหรือพิกัดทรงกลม ) กล่าวอีกนัยหนึ่ง ในโดเมนเปิดบางส่วนของปริภูมิ รูปแบบอนุพันธ์จะเป็นอนุพันธ์ที่แน่นอนถ้ามันเท่ากับอนุพันธ์ทั่วไปของฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ในระบบพิกัดตั้งฉาก $${\displaystyle A(x,y,z)\,dx+B(x,y,z)\,dy+C(x,y,z)\,dz}$$${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle Q=Q(x,y,z)}$${\displaystyle D}$$${\displaystyle dQ\equiv \left({\frac {\partial Q}{\partial x}}\right)_{y,z}\,dx+\left({\frac {\partial Q}{\partial y}}\right)_{x,z}\,dy+\left({\frac {\partial Q}{\partial z}}\right)_{x,y}\,dz,\quad dQ=A\,dx+B\,dy+C\,dz}$$${\displaystyle D}$${\displaystyle x,y,z}$

ตัวเลขห้อยที่อยู่นอกวงเล็บในนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ ข้างต้น บ่งบอกว่าตัวแปรใดบ้างที่ถูกคงที่ไว้ในระหว่างการหาอนุพันธ์ เนื่องจากนิยามของอนุพันธ์ย่อยตัวเลขห้อยเหล่านี้จึงไม่จำเป็น แต่แสดงไว้อย่างชัดเจนในที่นี้เพื่อเป็นการย้ำเตือน

อนุพันธ์ที่แน่นอนสำหรับฟังก์ชันสเกลาร์ที่หาอนุพันธ์ได้ซึ่งกำหนดไว้ในโดเมนเปิดนั้นเท่ากับโดยที่คือเกรเดียนต์ของแทนผลคูณสเกลาร์และคือเวกเตอร์การกระจัดเชิงอนุพันธ์ทั่วไป หากใช้ระบบพิกัดเชิงตั้งฉาก ถ้าอยู่ในระดับความสามารถในการหาอนุพันธ์( หาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่อง ) แล้วจะเป็นสนามเวกเตอร์อนุรักษ์สำหรับศักย์ที่สอดคล้องกัน ตามนิยาม สำหรับปริภูมิสามมิติ สามารถสร้าง นิพจน์เช่นและ ได้${\displaystyle Q}$${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle dQ=\nabla Q\cdot d\mathbf {r} }$${\displaystyle \nabla Q}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle \cdot }$${\displaystyle d\mathbf {r} }$${\displaystyle Q}$${\displaystyle C^{1}}$${\displaystyle \nabla Q}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle d\mathbf {r} =(dx,dy,dz)}$${\displaystyle \nabla Q=\left({\frac {\partial Q}{\partial x}},{\frac {\partial Q}{\partial y}},{\frac {\partial Q}{\partial z}}\right)}$

ทฤษฎีบทเกรเดียนต์กล่าวว่า

${\displaystyle \int _{i}^{f}dQ=\int _{i}^{f}\nabla Q(\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} =Q\left(f\right)-Q\left(i\right)}$

ซึ่งไม่ขึ้นอยู่กับว่าเลือกเส้นทางอินทิกรัลใดระหว่างจุดปลายของเส้นทางที่กำหนด ดังนั้นจึงสรุปได้ว่าอินทิกรัลของอนุพันธ์ที่แม่นยำนั้นเป็นอิสระจากการเลือกเส้นทางอินทิกรัลระหว่างจุดปลายของเส้นทางที่กำหนด(ความเป็นอิสระของเส้นทาง )${\displaystyle i}$${\displaystyle f}$

สำหรับปริภูมิสามมิติ ถ้ากำหนดบนโดเมนเปิดแล้ว มีค่าอยู่ในชั้นความสามารถในการหาอนุพันธ์ (หรือเทียบเท่ากับ) แล้ว ความเป็นอิสระของเส้นทางอินทิกรัลนี้สามารถพิสูจน์ได้โดยใช้เอกลักษณ์แคลคูลัสเวกเตอร์และทฤษฎีบทของสโตกส์ ${\displaystyle \nabla Q}$${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle C^{1}}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle C^{2}}$${\displaystyle \nabla \times (\nabla Q)=\mathbf {0} }$

${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }\nabla Q\cdot d\mathbf {r} =\iint _{\Sigma }(\nabla \times \nabla Q)\cdot d\mathbf {a} =0}$

สำหรับวงปิดอย่างง่ายที่มีพื้นผิวเรียบที่วางแนวอยู่ภายใน หากโดเมนเปิดเป็นพื้นที่เปิดที่เชื่อมต่อกันอย่างง่าย (โดยคร่าวๆ คือพื้นที่เปิดชิ้นเดียวที่ไม่มีรูอยู่ภายใน) แล้วสนามเวกเตอร์ที่ไม่หมุนใดๆ (นิยามว่าเป็นสนามเวกเตอร์ที่มี curl เป็นศูนย์ กล่าวคือ) จะมีความเป็นอิสระจากเส้นทางตามทฤษฎีบทของ Stokes ดังนั้นจึงกล่าวได้ว่าในบริเวณเปิดที่เชื่อมต่อกันอย่างง่ายสนามเวกเตอร์ใดๆ ที่มีคุณสมบัติความเป็นอิสระจากเส้นทาง (ดังนั้นจึงเป็นสนามเวกเตอร์อนุรักษ์) จะต้องไม่หมุนด้วย และในทางกลับกันความเท่าเทียมกันของสนามเวกเตอร์ที่ไม่หมุนและสนามเวกเตอร์อนุรักษ์แสดงไว้ที่นี่ ${\displaystyle \partial \Sigma }$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle D}$${\displaystyle C^{1}}$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {v} =\mathbf {0} }$${\displaystyle C^{1}}$

ในอุณหพลศาสตร์เมื่อเป็นค่าที่แน่นอน ฟังก์ชันจะเป็นฟังก์ชันสถานะของระบบ: ฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ที่ขึ้นอยู่กับสถานะสมดุล ปัจจุบันเท่านั้น ไม่ขึ้นอยู่กับเส้นทางที่ใช้ในการไปถึงสถานะนั้นพลังงานภายในเอนโทรปี เอนทัลปีพลังงานอิสระของเฮล์มโฮลทซ์และพลังงานอิสระของกิบส์ ล้วนเป็นฟังก์ชันสถานะโดยทั่วไปแล้วงานและความร้อนไม่ใช่ฟังก์ชันสถานะ (หมายเหตุ: มักใช้แทนความร้อนในฟิสิกส์ ไม่ควรสับสนกับการใช้ในบทความนี้ก่อนหน้านี้ในฐานะพารามิเตอร์ของอนุพันธ์ที่แน่นอน) ${\displaystyle dQ}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle U}$${\displaystyle S}$${\displaystyle H}$${\displaystyle A}$${\displaystyle G}$${\displaystyle W}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle Q}$

ในมิติหนึ่ง รูปแบบเชิงอนุพันธ์

${\displaystyle A(x)\,dx}$

จะเป็นเมทริกซ์ที่แม่นยำก็ต่อเมื่อเมท ริกซ์นั้น มีอนุพันธ์ผกผัน (แต่ไม่จำเป็นต้องเป็นอนุพันธ์ผกผันในรูปของฟังก์ชันพื้นฐาน ) ถ้าเมทริกซ์นั้นมีอนุพันธ์ผกผัน และให้เป็นอนุพันธ์ผกผันของดังนั้น เมทริกซ์นั้น จึงตรงตามเงื่อนไขความแม่นยำอย่างเห็นได้ชัด ถ้า เมทริกซ์นั้น ไม่มีอนุพันธ์ผกผัน เราจะไม่สามารถเขียนโดยที่สำหรับฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ดังนั้นเมทริกซ์นั้นจึงไม่แม่นยำ ${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\frac {dQ}{dx}}=A}$${\displaystyle A(x)\,dx}$${\displaystyle A}$${\displaystyle dQ={\frac {dQ}{dx}}dx}$${\displaystyle A={\frac {dQ}{dx}}}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle A(x)\,dx}$

เนื่องจากสมมาตรของอนุพันธ์อันดับสองสำหรับฟังก์ชัน ใดๆ ที่ "มีพฤติกรรมที่ดี" (ไม่ ผิดปกติ ) เราจะได้ว่า ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}Q}{\partial x\,\partial y}}={\frac {\partial ^{2}Q}{\partial y\,\partial x}}.}$

ดังนั้น ในบริเวณที่เชื่อมต่อกันอย่างง่ายRของ ระนาบ xyซึ่งเป็นอิสระ^{[ 1 ]}รูปแบบเชิงอนุพันธ์ ${\displaystyle x,y}$

${\displaystyle A(x,y)\,dx+B(x,y)\,dy}$

จะเป็นอนุพันธ์ที่แม่นยำก็ต่อเมื่อสมการ

${\displaystyle \left({\frac {\partial A}{\partial y}}\right)_{x}=\left({\frac {\partial B}{\partial x}}\right)_{y}}$

ถ้าเป็นอนุพันธ์ที่แม่นยำ ดังนั้นและแล้วเป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ (ต่อเนื่องอย่างราบรื่น) ตามและดังนั้นถ้าเป็นจริง แล้วและเป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ (ต่อเนื่องอย่างราบรื่น) ตามและตามลำดับ และเป็นเพียงกรณีเดียวเท่านั้น ${\displaystyle A={\frac {\partial Q}{\partial x}}}$${\displaystyle B={\frac {\partial Q}{\partial y}}}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \left({\frac {\partial A}{\partial y}}\right)_{x}={\frac {\partial ^{2}Q}{\partial y\partial x}}={\frac {\partial ^{2}Q}{\partial x\partial y}}=\left({\frac {\partial B}{\partial x}}\right)_{y}}$${\displaystyle \left({\frac {\partial A}{\partial y}}\right)_{x}=\left({\frac {\partial B}{\partial x}}\right)_{y}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \left({\frac {\partial A}{\partial y}}\right)_{x}={\frac {\partial ^{2}Q}{\partial y\partial x}}={\frac {\partial ^{2}Q}{\partial x\partial y}}=\left({\frac {\partial B}{\partial x}}\right)_{y}}$

สำหรับสามมิติ ในบริเวณที่เชื่อมต่อกันอย่างง่ายRของ ระบบพิกัด xyzด้วยเหตุผลที่คล้ายคลึงกัน อนุพันธ์

${\displaystyle dQ=A(x,y,z)\,dx+B(x,y,z)\,dy+C(x,y,z)\,dz}$

อนุพันธ์เชิงสมบูรณ์ก็ต่อเมื่อ มีความสัมพันธ์ ระหว่างฟังก์ชันA , BและC ดังนี้

${\displaystyle \left({\frac {\partial A}{\partial y}}\right)_{x,z}\!\!\!=\left({\frac {\partial B}{\partial x}}\right)_{y,z}}$;  ;${\displaystyle \left({\frac {\partial A}{\partial z}}\right)_{x,y}\!\!\!=\left({\frac {\partial C}{\partial x}}\right)_{y,z}}$ ${\displaystyle \left({\frac {\partial B}{\partial z}}\right)_{x,y}\!\!\!=\left({\frac {\partial C}{\partial y}}\right)_{x,z}.}$

เงื่อนไขเหล่านี้เทียบเท่ากับประโยคต่อไปนี้: ถ้าGเป็นกราฟของฟังก์ชันเวกเตอร์นี้แล้ว สำหรับเวกเตอร์สัมผัสX , Y ทั้งหมด ของพื้นผิวGแล้วs ( X ,  Y ) = 0 โดยที่s เป็น รูปแบบซิมเพล็กติก

เงื่อนไขเหล่านี้ ซึ่งสามารถสรุปได้ง่าย เกิดขึ้นจากความเป็นอิสระของลำดับการหาอนุพันธ์ในการคำนวณอนุพันธ์อันดับสอง ดังนั้น เพื่อให้อนุพันธ์dQซึ่งเป็นฟังก์ชันของตัวแปรสี่ตัว เป็นอนุพันธ์ที่แม่นยำ จะต้องมีเงื่อนไขหกประการ ( การรวมกันของเงื่อนไข ) ที่ต้องเป็นไปตามนั้น ${\displaystyle C(4,2)=6}$

ถ้าฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง)สำหรับตัวแปรอิสระแต่ละตัว เช่นเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งสำหรับที่ค่าคงที่ ในขณะที่ไม่จำเป็นต้องเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งสำหรับ แล้ว อนุพันธ์รวมต่อไปนี้จะมีอยู่จริง เนื่องจากตัวแปรอิสระแต่ละตัวเป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้สำหรับตัวแปรอื่นๆเช่น ${\displaystyle z(x,y)}$${\displaystyle z(x,y)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle x(y,z)}$

${\displaystyle dx={\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}\,dy+{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}\,dz}$

${\displaystyle dz={\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}\,dx+{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}\,dy.}$

เมื่อแทนสมการแรกลงในสมการที่สองและจัดเรียงใหม่ เราจะได้

${\displaystyle dz={\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}\left[{\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}dy+{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}dz\right]+{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}dy,}$

${\displaystyle dz=\left[{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}+{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}\right]dy+{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}dz,}$

${\displaystyle \left[1-{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}\right]dz=\left[{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}+{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}\right]dy.}$

เนื่องจากและเป็นตัวแปรอิสระและสามารถเลือกได้โดยไม่มีข้อจำกัด สำหรับสมการสุดท้ายนี้ที่จะเป็นจริงโดยทั่วไป เงื่อนไขในวงเล็บต้องเท่ากับศูนย์^{[ 2 ]}วงเล็บซ้ายเท่ากับศูนย์นำไปสู่ความสัมพันธ์แบบผกผัน ในขณะที่วงเล็บขวาเท่ากับศูนย์นำไปสู่ความสัมพันธ์แบบวัฏจักรดังที่แสดงไว้ด้านล่าง ${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle dy}$${\displaystyle dz}$

การกำหนดให้พจน์แรกในวงเล็บเท่ากับศูนย์จะได้

${\displaystyle {\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}=1.}$

การจัดเรียงใหม่เพียงเล็กน้อยทำให้เกิดความสัมพันธ์แบบต่างตอบแทน

${\displaystyle {\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}={\frac {1}{{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}}}.}$

ยังมีการเรียงลำดับ ใหม่เพิ่มเติมอีกสองแบบ ของการพิสูจน์ข้างต้น ซึ่งให้ความสัมพันธ์แบบต่างตอบแทนทั้งหมดสามแบบระหว่าง , และ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$

ความสัมพันธ์แบบวัฏจักรเรียกอีกอย่างว่ากฎวัฏจักรหรือกฎผลคูณสามเท่าการกำหนดให้พจน์ที่สองในวงเล็บเท่ากับศูนย์จะได้

${\displaystyle {\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}=-{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}.}$

เมื่อใช้ความสัมพันธ์แบบผกผันกับสมการนี้และเรียงลำดับใหม่ จะได้ความสัมพันธ์แบบวัฏจักร ( กฎผลคูณสามเท่า ) ${\displaystyle {\tfrac {\partial z}{\partial y}}}$

${\displaystyle {\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}{\left({\frac {\partial y}{\partial z}}\right)}_{x}{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}=-1.}$

หากใช้ความสัมพันธ์แบบผกผันสำหรับและแทน โดยมีการจัดเรียงใหม่ในภายหลัง จะได้ รูปแบบมาตรฐานสำหรับการหาอนุพันธ์โดยปริยาย :${\displaystyle {\tfrac {\partial x}{\partial y}}}$${\displaystyle {\tfrac {\partial y}{\partial z}}}$

${\displaystyle {\left({\frac {\partial y}{\partial x}}\right)}_{z}=-{\frac {{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}}{{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}}}.}$

(ดูเพิ่มเติมที่สมการเทอร์โมไดนามิกของ Bridgmanสำหรับการใช้อนุพันธ์ที่แม่นยำในทฤษฎีสมการเทอร์โมไดนามิก )

สมมติว่าเรามีฟังก์ชันสถานะห้าฟังก์ชัน ได้แก่, และสมมติว่าปริภูมิสถานะเป็นสองมิติ และปริมาณทั้งห้าใดๆ ก็สามารถหาอนุพันธ์ได้ แล้วโดยใช้กฎลูกโซ่ จะ ได้ว่า${\displaystyle z,x,y,u}$${\displaystyle v}$

${\displaystyle dz=\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)_{y}dx+\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)_{x}dy=\left({\frac {\partial z}{\partial u}}\right)_{v}du+\left({\frac {\partial z}{\partial v}}\right)_{u}dv}$

1

แต่ยังรวมถึงกฎลูกโซ่ด้วย:

${\displaystyle dx=\left({\frac {\partial x}{\partial u}}\right)_{v}du+\left({\frac {\partial x}{\partial v}}\right)_{u}dv}$

2

และ

${\displaystyle dy=\left({\frac {\partial y}{\partial u}}\right)_{v}du+\left({\frac {\partial y}{\partial v}}\right)_{u}dv}$

3

ดังนั้น (โดยการแทนที่ (2) และ (3) ลงใน (1)):

${\displaystyle {\begin{aligned}dz=&\left[\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)_{y}\left({\frac {\partial x}{\partial u}}\right)_{v}+\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)_{x}\left({\frac {\partial y}{\partial u}}\right)_{v}\right]du\\+&\left[\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)_{y}\left({\frac {\partial x}{\partial v}}\right)_{u}+\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)_{x}\left({\frac {\partial y}{\partial v}}\right)_{u}\right]dv\end{aligned}}}$

4

ซึ่งหมายความว่า (โดยการเปรียบเทียบ (4) กับ (1)):

${\displaystyle \left({\frac {\partial z}{\partial u}}\right)_{v}=\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)_{y}\left({\frac {\partial x}{\partial u}}\right)_{v}+\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)_{x}\left({\frac {\partial y}{\partial u}}\right)_{v}}$

5

การปล่อยให้ (5) เข้ามาจะให้ผลลัพธ์ดังนี้: ${\displaystyle v=y}$

${\displaystyle \left({\frac {\partial z}{\partial u}}\right)_{y}=\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)_{y}\left({\frac {\partial x}{\partial u}}\right)_{y}}$

6

การปล่อยให้ (5) เข้ามาจะให้ผลลัพธ์ดังนี้: ${\displaystyle u=y}$

${\displaystyle \left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)_{v}=\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)_{y}\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)_{v}+\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)_{x}}$

7

การปล่อยให้และใน (7) ให้ผลลัพธ์ดังนี้: ${\displaystyle u=y}$${\displaystyle v=z}$

${\displaystyle \left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)_{x}=-\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)_{y}\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)_{z}}$

8

โดยใช้ ( ให้กฎผลคูณสามเท่า : ${\displaystyle \partial a/\partial b)_{c}=1/(\partial b/\partial a)_{c}}$

${\displaystyle \left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)_{y}\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)_{z}\left({\frac {\partial y}{\partial z}}\right)_{x}=-1}$

9

• รูปแบบความแตกต่างที่ปิดสนิทและแม่นยำสำหรับการรักษาในระดับที่สูงขึ้น
• อนุพันธ์ (คณิตศาสตร์)
• ความแตกต่างที่ไม่แน่นอน
• ตัวประกอบการอินทิเกรตสำหรับการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ที่ไม่แม่นยำโดยทำให้เป็นสมการที่แม่นยำ
• สมการเชิงอนุพันธ์ที่แม่นยำ

• อนุพันธ์ไม่แน่นอน – จาก Wolfram MathWorld
• อนุพันธ์แบบแม่นยำและแบบไม่แม่นยำ – มหาวิทยาลัยแอริโซนา
• อนุพันธ์แบบแม่นยำและแบบไม่แม่นยำ – มหาวิทยาลัยเท็กซัส
• อนุพันธ์ที่แม่นยำ – จาก Wolfram MathWorld