ประวัติศาสตร์ของคณิตศาสตร์กล่าวถึงต้นกำเนิดของการค้นพบทางคณิตศาสตร์วิธีการทางคณิตศาสตร์ และสัญลักษณ์ในอดีตก่อนยุคสมัยใหม่และการแพร่กระจายความรู้ไปทั่วโลก ตัวอย่างที่เป็นลายลักษณ์อักษรของการพัฒนาทางคณิตศาสตร์ใหม่ๆ ปรากฏขึ้นเพียงไม่กี่แห่งเท่านั้น ตั้งแต่ 3000 ปีก่อนคริสตกาลรัฐเมโสโปเตเมีย อย่าง สุเมเรียนอัคคาดและอัสซีเรียตามมาด้วยอียิปต์โบราณและรัฐเอ็บลา ใน แถบ เลแวนต์ เริ่มใช้เลขคณิตพีชคณิตและเรขาคณิตเพื่อการเก็บภาษีการค้าการพาณิชย์ และในดาราศาสตร์เพื่อบันทึกเวลาและกำหนด ปฏิทิน

ข้อความทางคณิตศาสตร์ที่เก่าแก่ที่สุดที่มีอยู่มาจากเมโสโปเตเมียและอียิปต์ – Plimpton 322 ( บาบิโลนประมาณ 2000 – 1900 ปีก่อนคริสตกาล) ^{[ 2 ]}ปาปิรัสคณิตศาสตร์ Rhind ( อียิปต์ประมาณ 1800 ปีก่อนคริสตกาล) ^{[ 3 ]}และปาปิรัสคณิตศาสตร์ Moscow (อียิปต์ประมาณ 1890ปีก่อนคริสตกาล) ข้อความเหล่านี้ทั้งหมดกล่าวถึงสิ่งที่เรียกว่าสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนดังนั้นโดยอนุมานแล้วทฤษฎีบทพีทาโกเรียนดูเหมือนจะเป็นพัฒนาการทางคณิตศาสตร์ที่เก่าแก่และแพร่หลายที่สุด รองจากเลขคณิตพื้นฐานและเรขาคณิต

การศึกษาคณิตศาสตร์ในฐานะ "สาขาวิชาที่แสดงให้เห็นได้" เริ่มต้นขึ้นในศตวรรษที่ 6 ก่อนคริสต์ศักราช โดยชาวพีทาโกเรียนซึ่งบัญญัติศัพท์ "คณิตศาสตร์" จากภาษากรีก โบราณ μάθημα ( mathema ) ซึ่งหมายถึง "วิชาการเรียนการสอน" ^{[ 4 ]}คณิตศาสตร์กรีกได้ปรับปรุงวิธีการให้ดียิ่งขึ้น (โดยเฉพาะอย่างยิ่งผ่านการนำการให้เหตุผลแบบนิรนัยและความเข้มงวดทางคณิตศาสตร์มาใช้ในการพิสูจน์ ) และขยายขอบเขตของวิชาคณิตศาสตร์^{[ 5 ]}ชาวโรมันโบราณใช้คณิตศาสตร์ประยุกต์ในการสำรวจ การวิศวกรรมโครงสร้างการวิศวกรรมเครื่องกลการบัญชีการสร้างปฏิทินจันทรคติและ สุริยคติ และแม้กระทั่งศิลปะและงานฝีมือคณิตศาสตร์ของจีนได้มีส่วนร่วมในช่วงแรก รวมถึงระบบค่าประจำหลักและการใช้จำนวนลบเป็น ครั้งแรก ^{[ 6 ] [ 7 ]}ระบบตัวเลขฮินดู-อาหรับและกฎสำหรับการใช้การดำเนินการ ซึ่งใช้กันทั่วโลกในปัจจุบัน ได้พัฒนาขึ้นในช่วงสหัสวรรษแรกของคริสต์ศักราชในอินเดียและถูกส่งต่อไปยังโลกตะวันตกผ่านทางคณิตศาสตร์อิสลามโดยผ่านผลงานของKhwārizmī [ ^{8 ] [ 9 ] คณิตศาสตร์}อิสลามได้พัฒนาและขยายขอบเขตคณิตศาสตร์ที่เป็นที่รู้จักในอารยธรรมเหล่านี้^{[ 10 ]}คณิตศาสตร์ที่พัฒนาโดยอารยธรรมมายาในเม็กซิโกและอเมริกากลาง เกิดขึ้นพร้อมๆ กันแต่เป็นอิสระจากประเพณีเหล่านี้ โดยที่แนวคิดของศูนย์ได้รับสัญลักษณ์มาตรฐานในตัวเลขมายา ตำรา คณิตศาสตร์ภาษากรีกและอาหรับจำนวนมากได้รับการแปลเป็นภาษาละตินตั้งแต่ศตวรรษที่ 12 ซึ่งนำไปสู่การพัฒนาคณิตศาสตร์เพิ่มเติมในยุโรปยุคกลางตั้งแต่สมัยโบราณจนถึงยุคกลางช่วงเวลาแห่งการค้นพบทางคณิตศาสตร์มักตามมาด้วยความซบเซาเป็นเวลาหลายศตวรรษ^{[ 11 ]}เริ่มต้นใน อิตาลี ยุคเรเนสซองส์ในศตวรรษที่ 15 การพัฒนาทางคณิตศาสตร์ใหม่ๆ ที่มีปฏิสัมพันธ์กับการค้นพบทางวิทยาศาสตร์ใหม่ๆ ได้เกิดขึ้นความก้าวหน้าเหล่านี้เกิดขึ้นอย่างต่อเนื่องมาจนถึงปัจจุบัน ซึ่งรวมถึงผลงานบุกเบิกของไอแซค นิวตันและก็อตฟรีด วิลเฮล์ม ไลบ์นิซในการพัฒนาแคลคูลัส เชิงอนุพันธ์ ในช่วงศตวรรษที่ 17 และการค้นพบในเวลาต่อมาของนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันเช่นคาร์ล ฟรีดริช เกาส์และเดวิด ฮิลเบิร์ต

จุดเริ่มต้นของความคิดทางคณิตศาสตร์นั้นมาจากแนวคิดเรื่องจำนวนรูปแบบในธรรมชาติขนาดและรูปร่าง[ 12 ^{] การ}ศึกษาสมัยใหม่เกี่ยวกับการรับรู้ของสัตว์แสดงให้เห็นว่าแนวคิดเหล่านี้ไม่ได้มีเฉพาะในมนุษย์เท่านั้น แนวคิดเหล่านี้น่าจะเป็นส่วนหนึ่งของชีวิตประจำวันใน^{สังคม}นักล่าและเก็บเกี่ยวแนวคิดเรื่อง "จำนวน" ที่ค่อยๆ พัฒนาไปตามกาลเวลาได้รับการสนับสนุนจากการมีอยู่ของภาษาที่ยังคงรักษาความแตกต่างระหว่าง "หนึ่ง" "สอง" และ "หลาย" ไว้ แต่ไม่ใช่จำนวนที่มากกว่าสอง^{[ 12 ]}

การใช้เส้นด้ายของมนุษย์นีแอนเดอร์ทาลเมื่อราว 40,000 ปีก่อน ณ แหล่งโบราณคดี Abri du Maras ทางตอนใต้ของฝรั่งเศส บ่งชี้ว่าพวกเขารู้จักแนวคิดพื้นฐานทางคณิตศาสตร์^{[ 13 ] [ 14 ]}กระดูกอิชางโกซึ่งพบใกล้ต้นน้ำของ แม่น้ำ ไนล์ (ทางตะวันออกเฉียงเหนือของคองโก ) อาจมีอายุมากกว่า20,000ปี และประกอบด้วยรอยแกะสลักเป็นชุดในสามแถวที่วิ่งตามความยาวของกระดูก การตีความทั่วไปคือ กระดูกอิชางโกแสดงให้เห็นถึงการนับจำนวน เฉพาะ ซึ่งเป็นการสาธิต ลำดับของจำนวนเฉพาะที่เก่าแก่ที่สุดเท่าที่รู้จัก^{[ 15 ]}หรือปฏิทินจันทรคติหกเดือน^{[ 16 ] [ 17 ]}ปีเตอร์ รัดแมน โต้แย้งว่าการพัฒนาแนวคิดของจำนวนเฉพาะน่าจะเกิดขึ้นได้หลังจากแนวคิดของการหาร ซึ่งเขากำหนดอายุไว้หลัง 10,000 ปีก่อนคริสตกาล โดยจำนวนเฉพาะอาจยังไม่เป็นที่เข้าใจจนกระทั่งประมาณ 500 ปีก่อนคริสตกาล เขายังเขียนอีกว่า "ไม่มีความพยายามใด ๆ ที่จะอธิบายว่าเหตุใดการนับจำนวนใด ๆ จึงควรแสดงจำนวนทวีคูณของสอง จำนวนเฉพาะระหว่าง 10 ถึง 20 และจำนวนบางจำนวนที่เกือบจะเป็นทวีคูณของ 10" ^{[ 18 ]}ตามที่นักวิชาการAlexander Marshack กล่าว กระดูก Ishango อาจมีอิทธิพลต่อการพัฒนาคณิตศาสตร์ในอียิปต์ในภายหลัง เนื่องจากเช่นเดียวกับรายการบางรายการบนกระดูก Ishango เลขคณิตของอียิปต์ก็ใช้การคูณด้วย 2 เช่นกัน อย่างไรก็ตาม เรื่องนี้ยังเป็นที่ถกเถียงกันอยู่^{[ 19 ]}

ชาวอียิปต์ยุคก่อนราชวงศ์ในช่วง 5,000 ปีก่อนคริสตกาลได้แสดงภาพการออกแบบทางเรขาคณิต มีการกล่าวอ้างว่าอนุสาวรีย์หินขนาดใหญ่ ใน อังกฤษและสกอตแลนด์ซึ่งมีอายุย้อนไปถึง 3,000 ปีก่อนคริสตกาล ได้รวมเอาแนวคิดทางเรขาคณิต เช่นวงกลมวงรีและสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนเข้า ไว้ ในการออกแบบ^{[ 20 ]}อย่างไรก็ตาม สิ่งต่างๆ ข้างต้นล้วนเป็นที่ถกเถียงกัน และเอกสารทางคณิตศาสตร์ที่เก่าแก่ที่สุดที่ไม่มีข้อโต้แย้งในปัจจุบันมาจากแหล่งข้อมูลของชาวบาบิโลนและราชวงศ์อียิปต์^{[ 21 ]}

คณิตศาสตร์ บาบิโลนหมายถึงคณิตศาสตร์ใดๆ ของผู้คนในเมโสโปเตเมีย ( อิรัก ในปัจจุบัน ) ตั้งแต่สมัยชาวสุเมเรียนยุค แรก จนถึง ยุคเฮลเลนิสติก เกือบถึงรุ่งอรุณของศาสนาคริสต์ [ ^{22 ] งาน}คณิตศาสตร์บาบิโลนส่วนใหญ่มาจากสองช่วงเวลาที่ห่างกันมาก คือ ช่วงไม่กี่ร้อยปีแรกของสหัสวรรษที่สองก่อนคริสต์ศักราช (ยุคบาบิโลนเก่า) และช่วงไม่กี่ศตวรรษสุดท้ายของสหัสวรรษแรกก่อนคริสต์ศักราช ( ยุค เซเลวซิด ) ^{[ 23 ]}คณิตศาสตร์บาบิโลนได้รับการตั้งชื่อตามบทบาทสำคัญของบาบิโลนในฐานะสถานที่ศึกษา

ตรงกันข้ามกับแหล่งข้อมูลที่กระจัดกระจายในคณิตศาสตร์อียิปต์ความรู้เกี่ยวกับคณิตศาสตร์บาบิโลนได้มาจากแผ่นดินเหนียวมากกว่า 400 แผ่นที่ขุดพบตั้งแต่ปี ค.ศ. 1850 ^{[ 24 ]} แผ่นดินเหนียวเหล่านี้ เขียนด้วยอักษรคูนิฟอร์มขณะที่ดินเหนียวยังชื้นอยู่ และอบให้แข็งในเตาอบหรือด้วยความร้อนจากแสงแดด บางส่วนดูเหมือนจะเป็นการบ้านที่มีคะแนน^{[ 25 ]}

หลักฐานที่เก่าแก่ที่สุดของคณิตศาสตร์ที่เขียนขึ้นนั้นย้อนกลับไปถึงชาวสุเมเรียน โบราณ ซึ่งเป็นผู้สร้างอารยธรรมแรกสุดในเมโสโปเตเมีย พวกเขาพัฒนาระบบการวัด ที่ซับซ้อน ตั้งแต่ 3000 ปีก่อนคริสตกาล ซึ่งส่วนใหญ่เกี่ยวข้องกับการนับทางด้านการบริหาร/การเงิน เช่น การจัดสรรธัญพืช คนงาน น้ำหนักของเงิน หรือแม้แต่ของเหลว เป็นต้น^{[ 26 ]}ตั้งแต่ประมาณ 2500 ปีก่อนคริสตกาลเป็นต้นไป ชาวสุเมเรียนได้เขียนตารางการคูณลงบนแผ่นดินเหนียวและจัดการกับแบบฝึกหัดทางเรขาคณิตและ ปัญหา การหารร่องรอยแรกสุดของตัวเลขบาบิโลนก็ย้อนกลับไปถึงช่วงเวลานี้เช่นกัน^{[ 27 ]}

คณิตศาสตร์ของชาวบาบิโลนเขียนโดยใช้ระบบตัวเลขฐานหกสิบ (ฐาน 60) ^{[ 24 ]}จากระบบนี้จึงเกิดการใช้ในปัจจุบัน เช่น 60 วินาทีในหนึ่งนาที 60 นาทีในหนึ่งชั่วโมง และ 360 (60 × 6) องศาในวงกลม รวมถึงการใช้วินาทีและนาทีของส่วนโค้งเพื่อแสดงเศษส่วนขององศา เชื่อกันว่าระบบฐานหกสิบถูกใช้ครั้งแรกโดยอาลักษณ์ชาวสุเมเรียน เนื่องจาก 60 สามารถหารลงตัวด้วย 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 และ 30 ^{[ 24 ]}และสำหรับอาลักษณ์ (เช่น การจัดสรรเมล็ดพืช การบันทึกน้ำหนักของเงิน ฯลฯ) การคำนวณด้วยมือได้ง่ายเป็นสิ่งสำคัญ ดังนั้นระบบฐานหกสิบจึงคำนวณด้วยมือได้ง่ายกว่าในทางปฏิบัติ อย่างไรก็ตาม มีความเป็นไปได้ที่การใช้ระบบเลขฐานหกสิบเป็นปรากฏการณ์ทางชาติพันธุ์และภาษาศาสตร์ (ซึ่งอาจไม่เคยเป็นที่รู้จัก) และไม่ใช่การตัดสินใจทางคณิตศาสตร์/เชิงปฏิบัติ^{[ 28 ]}นอกจากนี้ ต่างจากชาวอียิปต์ กรีก และโรมัน ชาวบาบิโลนมีระบบค่าประจำหลัก โดยตัวเลขที่เขียนในคอลัมน์ซ้ายแทนค่าที่มากกว่า เช่นเดียวกับใน ระบบ เลขฐานสิบพลังของระบบการเขียนตัวเลขของชาวบาบิโลนอยู่ที่ว่าสามารถใช้แทนเศษส่วนได้ง่ายเช่นเดียวกับจำนวนเต็ม ดังนั้น การคูณจำนวนสองจำนวนที่มีเศษส่วนจึงไม่แตกต่างจากการคูณจำนวนเต็ม คล้ายกับการเขียนตัวเลขในปัจจุบัน ระบบการเขียนตัวเลขของชาวบาบิโลนเป็นระบบที่ดีที่สุดของอารยธรรมใดๆ จนกระทั่งถึงยุคฟื้นฟูศิลปวิทยาและพลังของมันทำให้สามารถบรรลุความแม่นยำในการคำนวณที่น่าทึ่ง ตัวอย่างเช่น แท็บเล็ตบาบิโลนYBC 7289ให้ค่าประมาณของ√ 2ที่แม่นยำถึงห้าตำแหน่งทศนิยม^{[ 29 ]}อย่างไรก็ตาม ชาวบาบิโลนไม่มีสิ่งที่เทียบเท่ากับจุดทศนิยม ดังนั้นค่าประจำหลักของสัญลักษณ์จึงมักต้องอนุมานจากบริบท^{[ 23 ]}ในสมัยเซเลวซิด ชาวบาบิโลนได้พัฒนาสัญลักษณ์ศูนย์เพื่อใช้แทนตำแหน่งว่าง แต่ใช้เฉพาะตำแหน่งกลางเท่านั้น^{[ 23 ]}สัญลักษณ์ศูนย์นี้ไม่ปรากฏในตำแหน่งสุดท้าย ดังนั้นชาวบาบิโลนจึงเข้าใกล้แต่ไม่ได้พัฒนาระบบค่าประจำหลักที่แท้จริง^{[ 23 ]}

หัวข้ออื่นๆ ที่ครอบคลุมโดยคณิตศาสตร์บาบิโลน ได้แก่ เศษส่วน พีชคณิต สมการกำลังสองและกำลังสาม และการคำนวณจำนวนปกติและคู่ผกผัน ของจำนวน เหล่า นั้น ^{[ 30 ]}แผ่นจารึกยังรวมถึงตารางการคูณและวิธีการแก้สมการเชิงเส้นสมการกำลังสองและสมการกำลังสามซึ่งถือเป็นความสำเร็จที่น่าทึ่งสำหรับยุคนั้น^{[ 31 ]}แผ่นจารึกจากยุคบาบิโลนโบราณยังประกอบด้วยข้อความที่เก่าแก่ที่สุดที่รู้จักของทฤษฎีบทพีทาโกรัส^{[ 32 ]}อย่างไรก็ตาม เช่นเดียวกับคณิตศาสตร์อียิปต์ คณิตศาสตร์บาบิโลนไม่ได้แสดงให้เห็นถึงความตระหนักรู้ถึงความแตกต่างระหว่างคำตอบที่แน่นอนและคำตอบโดยประมาณ หรือความสามารถในการแก้ปัญหา และที่สำคัญที่สุดคือไม่มีข้อความที่ชัดเจนเกี่ยวกับความจำเป็นในการพิสูจน์หรือหลักการทางตรรกะ^{[ 25 ]}

คณิตศาสตร์ อียิปต์หมายถึงคณิตศาสตร์ที่เขียนด้วยภาษาอียิปต์ตั้งแต่สมัยเฮลเลนิสติกภาษากรีกได้เข้ามาแทนที่ภาษาอียิปต์ในฐานะภาษาเขียนของ นักวิชาการ ชาวอียิปต์หลักฐานทางโบราณคดีชี้ให้เห็นว่าระบบการนับของอียิปต์โบราณมีต้นกำเนิดมาจากแอฟริกาใต้ทะเลทรายซาฮารา [ ^{33 ] นอกจาก}นี้ รูปแบบเรขาคณิตแบบแฟรกทัลซึ่งแพร่หลายในวัฒนธรรมแอฟริกาใต้ทะเลทรายซาฮารา ยังพบได้ในสถาปัตยกรรมอียิปต์และสัญลักษณ์ทางจักรวาลวิทยา^{[ 34 ]}โครงสร้างหินขนาดใหญ่ที่ตั้งอยู่ในนาบตาพลายาอียิปต์ตอนบน มีลักษณะ เด่นคือ ดาราศาสตร์การจัดเรียงปฏิทินที่สอดคล้องกับการขึ้นของดาวซิริอุส ในช่วงกลางวัน และสนับสนุนการปรับเทียบปฏิทินประจำปีสำหรับน้ำท่วมแม่น้ำไนล์ประจำปี^{[ 35 ]}

ตำราคณิตศาสตร์ของอียิปต์ที่ครอบคลุมมากที่สุดคือปาปิรัส Rhind (บางครั้งเรียกว่า ปาปิรัส Ahmes ตามชื่อผู้เขียน) ซึ่งมีอายุราว 1650 ปีก่อนคริสตกาล แต่คาดว่าน่าจะเป็นสำเนาของเอกสารเก่าจากสมัยราชอาณาจักรกลางราว 2000–1800 ปีก่อนคริสตกาล^{[ 36 ]}เป็นคู่มือการสอนสำหรับนักเรียนในเรื่องเลขคณิตและเรขาคณิต นอกจากการให้สูตรพื้นที่และวิธีการคูณ หาร และการทำงานกับเศษส่วนหน่วยแล้ว ยังมีหลักฐานของความรู้ทางคณิตศาสตร์อื่นๆ^{[ 37 ]}รวมถึง จำนวน ประกอบและจำนวนเฉพาะ ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ค่า เฉลี่ยเรขาคณิตและค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกและความเข้าใจอย่างง่ายๆ เกี่ยวกับทั้งตะแกรงของ Eratosthenesและทฤษฎีจำนวนสมบูรณ์ (กล่าวคือ เลข 6) ^{[ 38 ]} นอกจากนี้ยังแสดงวิธีการแก้สมการ เชิงเส้นอันดับหนึ่ง^{[ 39 ]}รวมถึงอนุกรมเลขคณิตและอนุกรมเรขาคณิต^{[ 40 ]}

ตำราคณิตศาสตร์ของอียิปต์ที่สำคัญอีกเล่มหนึ่งคือปาปิรัสแห่งมอสโกซึ่งมาจาก ยุค อาณาจักรกลาง เช่นกัน มีอายุราว 1890 ปีก่อนคริสตกาล^{[ 41 ]}ประกอบด้วยสิ่งที่ปัจจุบันเรียกว่าโจทย์ปัญหาคำพูดหรือโจทย์ปัญหาเรื่องราวซึ่งเห็นได้ชัดว่ามีจุดประสงค์เพื่อความบันเทิง โจทย์ปัญหาหนึ่งถือว่ามีความสำคัญเป็นพิเศษเพราะให้วิธีการหาปริมาตรของทรงกรวยตัดยอด (พีระมิดที่ถูกตัดยอด)

สุดท้ายนี้ปาปิรัสเบอร์ลิน 6619 ( ประมาณ 1800 ปีก่อนคริสตกาล) แสดงให้เห็นว่าชาวอียิปต์โบราณสามารถแก้ สมการพีชคณิตอันดับสองได้^{[ 42 ]}

คณิตศาสตร์กรีก หมายถึง คณิตศาสตร์ที่เขียนด้วยภาษากรีกตั้งแต่สมัยของธาเลสแห่งมิเลตุส (ประมาณ 600 ปีก่อนคริสตกาล) จนถึงการปิดสถาบันแห่งเอเธนส์ในปี ค.ศ. 529 ^{[ 43 ]}นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกอาศัยอยู่ในเมืองต่างๆ ที่กระจายอยู่ทั่วทะเลเมดิเตอร์เรเนียนตะวันออก ตั้งแต่อิตาลีไปจนถึงแอฟริกาเหนือ แต่รวมเป็นหนึ่งเดียวกันด้วยวัฒนธรรมและภาษา คณิตศาสตร์กรีกในยุคหลังอเล็กซานเดอร์มหาราชบางครั้งเรียกว่าคณิตศาสตร์เฮลเลนิสติก^{[ 44 ]}

คณิตศาสตร์กรีกมีความซับซ้อนมากกว่าคณิตศาสตร์ที่พัฒนาโดยวัฒนธรรมก่อนหน้ามาก บันทึกที่หลงเหลืออยู่ทั้งหมดของคณิตศาสตร์ก่อนยุคกรีกแสดงให้เห็นถึงการใช้เหตุผลแบบอุปนัยนั่นคือ การสังเกตซ้ำๆ ที่ใช้เพื่อสร้างกฎเกณฑ์คร่าวๆ ในทางตรงกันข้าม นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกใช้เหตุผลแบบนิรนัยชาวกรีกใช้ตรรกะเพื่อสรุปจากคำจำกัดความและสัจพจน์ และใช้ความเข้มงวดทางคณิตศาสตร์เพื่อพิสูจน์^{[ 45 ]}

เชื่อกันว่าคณิตศาสตร์กรีกเริ่มต้นจากธาเลสแห่งมิเลตุส ( ประมาณ 624  – 546 ปี ก่อนคริสตกาล) และพีทาโกรัสแห่งซามอส ( ประมาณ 582  – 507ปีก่อนคริสตกาล) แม้ว่าขอบเขตของอิทธิพลจะยังเป็นที่ถกเถียงกันอยู่ แต่ก็เป็นไปได้ว่าพวกเขาได้รับแรงบันดาลใจจากคณิตศาสตร์ของอียิปต์และ บาบิโลน ตามตำนานเล่าว่า พีทาโกรัสเดินทางไปยังอียิปต์เพื่อเรียนรู้คณิตศาสตร์ เรขาคณิต และดาราศาสตร์จากนักบวชชาวอียิปต์

ธาเลสใช้เรขาคณิตในการแก้ปัญหาต่างๆ เช่น การคำนวณความสูงของพีระมิดและระยะทางของเรือจากชายฝั่ง เขาได้รับการยกย่องว่าเป็นผู้ริเริ่มการใช้เหตุผลแบบนิรนัยในเรขาคณิต โดยการอนุมานบทสรุปสี่ข้อจากทฤษฎีบทของธาเลสด้วยเหตุนี้ เขาจึงได้รับการยกย่องว่าเป็นนักคณิตศาสตร์ที่แท้จริงคนแรกและเป็นบุคคลแรกที่ทราบกันว่ามีการค้นพบทางคณิตศาสตร์^{[ 46 ]}พีทาโกรัสได้ก่อตั้งสำนักพีทาโกรัสซึ่งมีหลักคำสอนว่าคณิตศาสตร์ปกครองจักรวาลและมีคติพจน์ว่า "ทุกสิ่งคือตัวเลข" ^{[ 47 ]}ชาวพีทาโกรัสเป็นผู้บัญญัติศัพท์คำว่า "คณิตศาสตร์" และเป็นจุดเริ่มต้นของการศึกษาคณิตศาสตร์เพื่อตัวมันเอง ชาวพีทาโกรัสได้รับการยกย่องว่าเป็นผู้พิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส เป็นครั้งแรก [ ^{48 ]}แม้ว่าคำกล่าวของทฤษฎีบทนี้จะมีประวัติมายาวนาน และยังเป็นผู้พิสูจน์การมีอยู่ของจำนวนอตรรกยะ^อีกด้วย^{[ 49 ] [ 50 ]}แม้ว่าชาวบาบิโลนชาวอินเดียและชาวจีน จะเป็นผู้คิดค้นมาก่อน ^{[ 51 ]}แต่นักคณิตศาสตร์นีโอพีทาโกเรียนนิโคมาคัส (ค.ศ. 60–120) ก็ได้จัดทำ ตารางการคูณแบบกรีก-โรมันที่เก่าแก่ที่สุดตารางหนึ่งในขณะที่ตารางการคูณแบบกรีกที่เก่าแก่ที่สุดที่ยังหลงเหลืออยู่นั้นพบได้บนแผ่นขี้ผึ้งซึ่งมีอายุราวศตวรรษที่ 1 (ปัจจุบันจัดแสดงอยู่ในพิพิธภัณฑ์อังกฤษ ) ^{[ 52 ]}ความเกี่ยวข้องของชาวนีโอพีทาโกเรียนกับการคิดค้นตารางการคูณของชาวตะวันตกนั้นเห็นได้ชัดจาก^ชื่อในยุคกลาง ตอนปลาย ว่าmensa Pythagorica [ ^{53 ]}

เพลโต (428/427 ปีก่อนคริสตกาล – 348/347 ปีก่อนคริสตกาล) มีความสำคัญในประวัติศาสตร์ของคณิตศาสตร์ในฐานะผู้สร้างแรงบันดาลใจและชี้นำผู้อื่น^{[ 54 ]}สถาบันเพลโตของเขาในเอเธนส์กลายเป็นศูนย์กลางทางคณิตศาสตร์ของโลกในศตวรรษที่ 4 ก่อนคริสตกาล และนักคณิตศาสตร์ชั้นนำในยุคนั้น เช่นยูโดซัสแห่งคนิดัส ( ประมาณ 390  – ประมาณ 340ปีก่อนคริสตกาล) ก็มา จากโรงเรียนนี้ ^{[ 55 ]}เพลโตยังได้อภิปรายเกี่ยวกับรากฐานของคณิตศาสตร์^{[ 56 ]}และชี้แจงคำจำกัดความบางประการ (เช่น เส้นตรงคือ "ความยาวที่ไม่มีความกว้าง")

ยูโดซัสได้พัฒนาวิธีการหาค่าโดยประมาณซึ่งเป็นต้นแบบของการอินทิเกรต สมัยใหม่ ^{[ 57 ]}และทฤษฎีอัตราส่วนที่หลีกเลี่ยงปัญหาของขนาดที่ไม่สามารถวัดได้ [ ^{58 ] วิธี}แรกทำให้สามารถคำนวณพื้นที่และปริมาตรของรูปทรงโค้งได้^{[ 59 ]} ในขณะที่วิธีหลังทำให้นักเรขาคณิตรุ่นต่อมาสามารถก้าวหน้าอย่างมากในเรขาคณิต แม้ว่า อริสโตเติล⁽ 384– ประมาณ 322 ปีก่อนคริสตกาล ) จะไม่ได้ค้นพบทางคณิตศาสตร์เชิงเทคนิคที่เฉพาะเจาะจง แต่เขาก็มีส่วนสำคัญในการพัฒนาคณิตศาสตร์โดยการวางรากฐานของตรรกศาสตร์ [ ^{60 ]}

ในศตวรรษที่ 3 ก่อนคริสต์ศักราช ศูนย์กลางการศึกษาและการวิจัยทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญที่สุดคือพิพิธภัณฑ์แห่งอเล็กซานเดรีย [ ^{62 ] ที่}นั่นยูคลิด ( ประมาณ 300 ปีก่อนคริสต์ศักราช ) ได้สอนและเขียนหนังสือElementsซึ่งได้รับการยกย่องอย่างกว้างขวางว่าเป็นตำราเรียนที่ประสบความสำเร็จและมีอิทธิพลมากที่สุดตลอดกาล^{[ 1 ]}หนังสือElementsได้นำเสนอความเข้มงวดทางคณิตศาสตร์ผ่านวิธีการเชิงสัจพจน์และเป็นตัวอย่างแรกสุดของรูปแบบที่ยังคงใช้ในคณิตศาสตร์ในปัจจุบัน นั่นคือ นิยาม สัจพจน์ ทฤษฎีบท และการพิสูจน์ แม้ว่าเนื้อหาส่วนใหญ่ของElementsจะเป็นที่รู้จักกันอยู่แล้ว ยูคลิดก็ได้จัดเรียงเนื้อหาเหล่านั้นให้อยู่ในกรอบตรรกะที่สอดคล้องกัน^{[ 63 ]}หนังสือElementsเป็นที่รู้จักของผู้มีการศึกษาทุกคนในโลกตะวันตกจนถึงกลางศตวรรษที่ 20 และเนื้อหาของหนังสือนี้ยังคงถูกสอนในชั้นเรียนเรขาคณิตในปัจจุบัน^{[ 64 ]}นอกจากทฤษฎีบทที่คุ้นเคยของเรขาคณิตยุคลิดแล้ว Elementsยังมีจุดประสงค์เพื่อเป็นตำราเบื้องต้นสำหรับวิชาคณิตศาสตร์ทุกแขนงในสมัยนั้น เช่นทฤษฎีจำนวนพีชคณิตและเรขาคณิตทรงสามมิติ [ ^{63 ]}รวมถึงการพิสูจน์ว่ารากที่สองของสองเป็นจำนวนอตรรกยะ และมีจำนวนเฉพาะเป็นอนันต์ ยูคลิดยังเขียนเกี่ยวกับเรื่องอื่นๆ อีกมากมาย^เช่นภาคตัดกรวยทัศนศาสตร์เรขาคณิตทรงกลมและกลศาสตร์ แต่มีเพียงครึ่งหนึ่งของงานเขียนของเขาเท่านั้นที่ยังคงเหลืออยู่^{[ 65 ]}

อาร์คิมิดีส ( ประมาณ 287 –212 ปีก่อนคริสตกาล) แห่งซีราคิวส์ซึ่งได้รับการยกย่องอย่างกว้างขวางว่าเป็นนักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดในสมัยโบราณ^{[ 66 ]}ใช้ ระเบียบ วิธีหาค่าโดยประมาณเพื่อคำนวณพื้นที่ใต้ส่วนโค้งของพาราโบลาด้วยผลรวมของอนุกรมอนันต์ในลักษณะที่ไม่แตกต่างจากแคลคูลัสสมัยใหม่มากนัก^{[ 67 ]}เขายังแสดงให้เห็นว่าสามารถใช้ระเบียบวิธีหาค่าโดยประมาณเพื่อคำนวณค่าของ π ด้วยความแม่นยำมากเท่าที่ต้องการ และได้ค่า π ที่แม่นยำที่สุดเท่าที่ทราบในขณะนั้น คือ3+ ⁠10/71< π < 3+10/70[ ^{68 ]}เขายังศึกษาเกลียว ที่ตั้ง ^ชื่อตามเขา ได้สูตรสำหรับปริมาตรของพื้นผิวการหมุน (พาราโบโลอิด วงรี ไฮเปอร์โบโลอิด) ^{[ 67 ]}และวิธีการยกกำลัง อันชาญฉลาดสำหรับการ แสดงจำนวนขนาดใหญ่มาก ^{[ 69 ]}แม้ว่าเขาจะเป็นที่รู้จักจากผลงานของเขาในด้านฟิสิกส์และอุปกรณ์เชิงกลขั้นสูงหลายอย่าง แต่อาร์คิมิดีสเองให้คุณค่ากับผลผลิตจากความคิดและหลักการทางคณิตศาสตร์ทั่วไปของเขามากกว่า ^{[ 70 ]}เขาถือว่าการค้นพบพื้นที่ผิวและปริมาตรของทรงกลมเป็นความสำเร็จที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของเขา ซึ่งเขาได้มาจากการพิสูจน์ว่าสิ่งเหล่านี้เป็น 2/3 ของพื้นที่ผิวและปริมาตรของทรงกระบอกที่ล้อมรอบทรงกลม ^{[ 71 ]}

อพอลโลนิอุสแห่งเปอร์กา ( ประมาณ 262 –190 ปีก่อนคริสตกาล) ได้สร้างความก้าวหน้าอย่างมากในการศึกษาภาคตัดกรวยโดยแสดงให้เห็นว่าสามารถได้ภาคตัดกรวยทั้งสามแบบโดยการเปลี่ยนมุมของระนาบที่ตัดกรวยสองด้าน^{[ 72 ]}เขายังบัญญัติศัพท์ที่ใช้ในปัจจุบันสำหรับภาคตัดกรวย ได้แก่พาราโบลา ("วางข้างๆ" หรือ "การเปรียบเทียบ"), "วงรี" ("ความขาดแคลน") และ "ไฮเปอร์โบลา" ("การโยนออกไป") ^{[ 73 ]} ผลงาน Conicsของเขาเป็นหนึ่งในผลงานทางคณิตศาสตร์ที่เป็นที่รู้จักและได้รับการอนุรักษ์ไว้ดีที่สุดจากสมัยโบราณ และในนั้นเขาได้พิสูจน์ทฤษฎีบทมากมายเกี่ยวกับภาคตัดกรวยซึ่งพิสูจน์ได้ว่ามีค่าอย่างยิ่งสำหรับนักคณิตศาสตร์และนักดาราศาสตร์รุ่นหลังที่ศึกษาการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ เช่น ไอแซค นิวตัน^{[ 74 ]}แม้ว่าทั้งอพอลโลนิอุสและนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกคนอื่นๆ จะไม่ได้ก้าวไปสู่เรขาคณิตเชิงพิกัด แต่การจัดการเส้นโค้งของอพอลโลนิอุสก็มีความคล้ายคลึงกับการจัดการเส้นโค้งสมัยใหม่ในบางแง่มุม และงานบางส่วนของเขาดูเหมือนจะคาดการณ์ถึงการพัฒนาเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์โดยเดส์การ์ตส์ในอีกประมาณ 1800 ปีต่อมา^{[ 75 ]}

ในเวลาเดียวกันนั้นเอราโตสเธเนสแห่งไซรีน ( ประมาณ 276 –194 ปีก่อนคริสตกาล) ได้คิดค้นตะแกรงของเอราโตสเธเนสเพื่อหาจำนวนเฉพาะ [ ^{76 ] โดย}ทั่วไปแล้วศตวรรษที่ 3 ก่อนคริสตกาลถือเป็น "ยุคทอง" ของคณิตศาสตร์กรีก โดยความก้าวหน้าในคณิตศาสตร์บริสุทธิ์หลังจากนั้นก็ลดลง^{[ 77 ]}อย่างไรก็ตาม ในศตวรรษต่อมา มีความก้าวหน้าอย่างมากในคณิตศาสตร์ประยุกต์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งตรีโกณมิติซึ่งส่วนใหญ่เพื่อตอบสนองความต้องการของนักดาราศาสตร์^{[ 77 ]}ฮิปปาร์คัสแห่งนิเซีย ( ประมาณ 190 –120 ปีก่อนคริสตกาล) ถือเป็นผู้ก่อตั้งตรีโกณมิติจากการรวบรวมตารางตรีโกณมิติที่รู้จักเป็นครั้งแรก และเขายังเป็นผู้ริเริ่มการใช้วงกลม 360 องศาอย่างเป็นระบบอีกด้วย^{[ 78 ]}เฮรอนแห่งอเล็กซานเดรีย ( ประมาณ ค.ศ. 10–70 ) ได้รับการยกย่องว่าเป็นผู้คิดค้นสูตรของเฮรอนสำหรับการหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมด้านไม่เท่า และเป็นคนแรกที่ตระหนักถึงความเป็นไปได้ที่จำนวนลบจะมีรากที่สอง^{[ 79 ]}เมเนเลาส์แห่งอเล็กซานเดรีย ( ประมาณ ค.ศ. 100 ) เป็นผู้บุกเบิกตรีโกณมิติเชิงทรง กลม ผ่านทฤษฎีบทของเมเนเลาส์ [ ^{80 ] งาน}ตรีโกณมิติที่สมบูรณ์และมีอิทธิพลมากที่สุดในสมัยโบราณคืออัลมาเกสต์ของปโตเลมี ( ประมาณ ค.ศ. 90–168 ) ซึ่งเป็นตำราดาราศาสตร์ที่สำคัญ โดยตารางตรีโกณมิติในตำรานี้จะถูกใช้โดยนักดาราศาสตร์ในอีกพันปีข้างหน้า^{[ 81 ]}ปโตเลมียังได้รับการยกย่องว่าเป็นผู้คิดค้นทฤษฎีบทของปโตเลมีสำหรับการหาปริมาณตรีโกณมิติ และค่า π ที่แม่นยำที่สุดนอกประเทศจีนจนถึงยุคกลาง คือ 3.1416 ^{[ 82 ]}

หลังจากช่วงเวลาที่หยุดชะงักหลังสมัยปโตเลมี ช่วงเวลาระหว่างปี ค.ศ. 250 ถึง 350 บางครั้งเรียกว่า "ยุคเงิน" ของคณิตศาสตร์กรีก^{[ 83 ]}ในช่วงเวลานี้ดิโอแฟนตัสได้สร้างความก้าวหน้าอย่างมากในพีชคณิต โดยเฉพาะอย่างยิ่งการวิเคราะห์ที่ไม่กำหนดซึ่งเรียกอีกอย่างว่า "การวิเคราะห์แบบดิโอแฟนไทน์" ^{[ 84 ]}การศึกษาเกี่ยวกับสมการแบบดิโอแฟนไทน์และการประมาณค่าแบบดิโอแฟนไทน์ยังคงเป็นหัวข้อการวิจัยที่สำคัญมาจนถึงทุกวันนี้ ผลงานหลักของเขาคือArithmeticaซึ่งเป็นชุดปัญหาพีชคณิต 150 ข้อที่เกี่ยวข้องกับการหาคำตอบที่แน่นอนของสมการที่กำหนดและไม่กำหนด^{[ 85 ]} Arithmetica มีอิทธิพลอย่างมากต่อนักคณิตศาสตร์รุ่นหลัง เช่นปิแอร์ เดอ แฟร์มาต์ผู้ซึ่งได้ทฤษฎีบทสุดท้ายอัน โด่งดังของเขา หลังจากพยายามสรุปปัญหาที่เขาอ่านเจอในArithmetica (นั่นคือการแบ่งสี่เหลี่ยมจัตุรัสออกเป็นสองสี่เหลี่ยมจัตุรัส) ^{[ 86 ]}ดิโอแฟนตัสยังได้พัฒนาระบบการเขียนตัวเลขอย่างมีนัยสำคัญ โดยArithmeticaเป็นตัวอย่างแรกของการใช้สัญลักษณ์พีชคณิตและจังหวะซิงโคเพชัน^{[ 85 ]}

ในบรรดานักคณิตศาสตร์ชาวกรีกผู้ยิ่งใหญ่คนสุดท้ายคือปัปปัสแห่งอเล็กซานเดรีย (คริสต์ศตวรรษที่ 4) เขาเป็นที่รู้จักจากทฤษฎีบทหกเหลี่ยมและทฤษฎีบทจุดศูนย์กลางรวมถึงการจัดเรียงแบบปัปปัสและกราฟแบบปัปปัสคอลเลกชันของเขาเป็นแหล่งความรู้ที่สำคัญเกี่ยวกับคณิตศาสตร์กรีก เนื่องจากส่วนใหญ่ยังคงหลงเหลืออยู่^{[ 87 ]}ปัปปัสถือเป็นผู้ริเริ่มคนสำคัญคนสุดท้ายในคณิตศาสตร์กรีก โดยผลงานต่อมาส่วนใหญ่ประกอบด้วยคำอธิบายเกี่ยวกับผลงานก่อนหน้า

นักคณิตศาสตร์หญิงคนแรกที่มีการบันทึกไว้คือไฮพาเทียแห่งอเล็กซานเดรีย (ค.ศ. 350–415) ซึ่งเขียนผลงานมากมายเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ประยุกต์ เนื่องจากข้อพิพาททางการเมืองชุมชนคริสเตียนในอเล็กซานเดรียจึงจับเธอเปลื้องผ้าต่อหน้าสาธารณชนและประหารชีวิต^{[ 88 ]}บางครั้งการเสียชีวิตของเธอถือเป็นการสิ้นสุดยุคของคณิตศาสตร์กรีกแห่งอเล็กซานเดรีย แม้ว่างานจะยังคงดำเนินต่อไปในเอเธนส์อีกศตวรรษหนึ่งด้วยบุคคลสำคัญ เช่นโพรคลัส ซิ มพลิเซียสและยูโทเซียส [ ^{89 ] แม้ว่า}โพรคลัสและซิมพลิเซียสจะเป็นนักปรัชญามากกว่านักคณิตศาสตร์ แต่คำอธิบายของพวกเขาเกี่ยวกับงานก่อนหน้านี้เป็นแหล่งข้อมูลที่มีค่าเกี่ยวกับคณิตศาสตร์กรีก การปิดสถาบันนีโอเพลโตนิคแห่งเอเธนส์โดยจักรพรรดิจัสติเนียนในปี ค.ศ. 529 ถือเป็นจุดสิ้นสุดของยุคคณิตศาสตร์กรีก แม้ว่าประเพณีของกรีกจะยังคงดำเนินต่อไปอย่างไม่ขาดตอนในจักรวรรดิไบแซนไทน์ด้วยนักคณิตศาสตร์เช่นอันเธมิอุสแห่งทราลเลสและ อิซิ โดร์แห่งมิเลตุสสถาปนิกของฮาเกียโซเฟีย^{[ 90 ]}อย่างไรก็ตาม คณิตศาสตร์ไบแซนไทน์ส่วนใหญ่ประกอบด้วยคำอธิบาย โดยมีนวัตกรรมเพียงเล็กน้อย และศูนย์กลางนวัตกรรมทางคณิตศาสตร์ก็พบได้ในที่อื่นในช่วงเวลานี้^{[ 91 ]}

แม้ว่า นักคณิตศาสตร์ ชาวกรีกเชื้อสายกรีกจะยังคงอยู่ภายใต้การปกครองของสาธารณรัฐโรมัน ตอนปลาย และจักรวรรดิโรมัน ในเวลาต่อมา แต่ก็ไม่มี นักคณิตศาสตร์ ชาวละตินพื้นเมือง ที่โดดเด่น เมื่อเทียบกัน^{[ 92 ] [ 93 ]}ชาวโรมันโบราณเช่นซิเซโร (106–43 ปีก่อนคริสตกาล) รัฐบุรุษโรมันผู้ทรงอิทธิพลซึ่งศึกษาคณิตศาสตร์ในกรีซ เชื่อว่านักสำรวจและนักคำนวณ ชาวโรมัน สนใจคณิตศาสตร์ประยุกต์มากกว่าคณิตศาสตร์เชิงทฤษฎีและเรขาคณิตที่ชาวกรีกให้ความสำคัญ^{[ 94 ]}ยังไม่ชัดเจนว่าชาวโรมันได้รับระบบตัวเลขของตน มา จากแบบอย่างของกรีก โดยตรง หรือจากตัวเลขของชาว เอตรัสกัน ที่ใช้โดย อารยธรรมเอตรัสกันซึ่งมีศูนย์กลางอยู่ที่ ทัสคานีทางตอนกลางของอิตาลีในปัจจุบัน^{[ 95 ]}

ชาวโรมันใช้การคำนวณอย่างชำนาญทั้งในการยุยงและตรวจจับการฉ้อโกง ทางการเงิน รวมถึงการจัดการภาษีสำหรับคลังหลวง [ ^{96 ] ซิ}คุลัส ฟลักคัสหนึ่งในชาวโรมัน ที่เป็นนักสำรวจที่ดิน ( gromatici ) ได้เขียนหนังสือCategories of Fieldsซึ่งช่วยนักสำรวจชาวโรมันในการวัดพื้นที่ผิวของที่ดินและอาณาเขตที่จัดสรรไว้^{[ 97 ]}นอกจากการจัดการการค้าและภาษีแล้ว ชาวโรมันยังใช้คณิตศาสตร์ในการแก้ปัญหาทางวิศวกรรม เป็นประจำ รวมถึงการสร้างสถาปัตยกรรมเช่นสะพานการสร้างถนนและการเตรียมการสำหรับการรณรงค์ทางทหาร [ ^{98 ] ศิลปะ}และงานฝีมือเช่นโมเสกโรมันซึ่งได้รับแรงบันดาลใจจากการออกแบบของกรีก ในอดีต ได้สร้างลวดลายเรขาคณิตที่เหมือนภาพลวงตาและฉากที่มีรายละเอียดมากมาย ซึ่งต้องใช้การวัดที่แม่นยำสำหรับกระเบื้องเทสเซรา แต่ละชิ้น โดยชิ้นส่วน โอปุส เทสเซลลา ตัม มี ขนาดเฉลี่ยแปดมิลลิเมตรสี่เหลี่ยม และ ชิ้นส่วนโอ ปุส เวอร์มิคูลาตัม ที่ละเอียดกว่า จะมีพื้นที่เฉลี่ยสี่มิลลิเมตรสี่เหลี่ยม^{[ 99 ] [ 100 ]}

การสร้างปฏิทินโรมันยังจำเป็นต้องใช้คณิตศาสตร์พื้นฐานด้วย ปฏิทินฉบับแรกเชื่อกันว่ามีมาตั้งแต่ศตวรรษที่ 8 ก่อนคริสต์ศักราชในสมัยอาณาจักรโรมันโดยมี 356 วัน บวกกับปีอธิกสุริยคติทุกๆ สองปี^{[ 101 ]}ในทางตรงกันข้ามปฏิทินจันทรคติในยุคสาธารณรัฐมี 355 วัน ซึ่งสั้นกว่าปีสุริยคติ ประมาณสิบวันกับอีกหนึ่งในสี่วัน ความคลาดเคลื่อนนี้ได้รับการแก้ไขโดยการเพิ่มเดือนพิเศษเข้าไปในปฏิทินหลังจากวันที่ 23 กุมภาพันธ์^{[ 102 ]} ปฏิทินนี้ถูกแทนที่ด้วย ปฏิทินจูเลียนซึ่งเป็นปฏิทินสุริยคติที่จัดทำโดยจูเลียส ซีซาร์ (100–44 ปีก่อนคริสต์ศักราช) และคิดค้นโดยโซซิเจเนสแห่งอเล็กซานเดรียเพื่อให้มีวันอธิกสุริยคติทุกๆ สี่ปีในรอบ 365 วัน^{[ 103 ]}ปฏิทินนี้ซึ่งมีข้อผิดพลาด 11 นาที 14 วินาที ได้รับการแก้ไขในภายหลังโดยปฏิทินเกรกอเรียนที่จัดทำโดยสมเด็จพระสันตะปาปาเกรกอรีที่ 13 ( ครองราชย์ ค.ศ. 1572–1585 ) ซึ่งแทบจะเป็นปฏิทินสุริยคติเดียวกันกับที่ใช้ในยุคปัจจุบันเป็นปฏิทินมาตรฐานสากล^{[ 104 ]}

ในเวลาเดียวกันโดยประมาณ ทั้ง ชาวฮั่นจีนและชาวโรมันต่างก็ประดิษฐ์ เครื่อง วัดระยะทางแบบ มีล้อขึ้นมา เพื่อวัดระยะทางที่เดินทาง โดยแบบจำลองของโรมันได้รับการอธิบายครั้งแรกโดยวิศวกรโยธาและสถาปนิกชาวโรมันชื่อวิตรูวิอุส ( ประมาณ 80 ปีก่อนคริสต์ศักราช  – ประมาณ 15 ปีก่อนคริสต์ศักราช ) ^{[ 105 ]}อุปกรณ์นี้ถูกใช้อย่างน้อยจนถึงรัชสมัยของจักรพรรดิคอมโมดัส ( ครองราชย์ ค.ศ. 177 – 192 ) แต่ดูเหมือนว่าการออกแบบจะสูญหายไปจนกระทั่งมีการทดลองในช่วงศตวรรษที่ 15 ในยุโรปตะวันตก^{[ 106 ]}บางทีอาจอาศัยกลไกและเทคโนโลยี ที่คล้ายคลึงกัน ที่พบในกลไกแอนติคิเธราเครื่องวัดระยะทางของวิตรูวิอุสมีล้อรถม้าที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 4 ฟุต (1.2 เมตร) หมุน 400 ครั้งในหนึ่งไมล์โรมัน (ประมาณ 4590 ฟุต/1400 เมตร) ในแต่ละรอบการหมุน อุปกรณ์หมุดและเพลาจะไปเกี่ยวเข้ากับเฟือง 400 ฟัน ซึ่งจะหมุนเฟืองตัวที่สองที่ทำหน้าที่ปล่อยก้อนกรวดลงในกล่อง โดยแต่ละก้อนกรวดแทนระยะทางที่เดินทาง 1 ไมล์^{[ 107 ]}

การวิเคราะห์คณิตศาสตร์จีนยุคแรกแสดงให้เห็นถึงการพัฒนาที่เป็นเอกลักษณ์เมื่อเทียบกับส่วนอื่นๆ ของโลก ทำให้นักวิชาการสันนิษฐานว่าเป็นการพัฒนาที่เป็นอิสระโดยสมบูรณ์^{[ 108 ]}ตำราคณิตศาสตร์ที่เก่าแก่ที่สุดที่ยังหลงเหลืออยู่ของจีนคือโจวปี่ซวนจิง (周髀算經) ซึ่งมีอายุแตกต่างกันไปตั้งแต่ 1200 ปีก่อนคริสตกาลถึง 100 ปีก่อนคริสตกาล แม้ว่าอายุประมาณ 300 ปีก่อนคริสตกาลในช่วงยุคสงครามระหว่างรัฐจะดูสมเหตุสมผล^{[ 109 ]}อย่างไรก็ตามแผ่นไม้ไผ่ชิงหัว ซึ่งมี ตารางการคูณเลขฐานสิบที่ เก่าแก่ที่สุดเท่าที่รู้จัก(แม้ว่าชาวบาบิโลนโบราณจะมีตารางที่มีฐาน 60) มีอายุประมาณ 305 ปีก่อนคริสตกาล และอาจเป็นตำราคณิตศาสตร์ที่เก่าแก่ที่สุดที่ยังหลงเหลืออยู่ของจีน^{[ 51 ]}

สิ่งที่น่าสังเกตเป็นพิเศษคือการใช้ระบบการเขียนตัวเลขแบบตำแหน่งทศนิยมในคณิตศาสตร์จีน ซึ่งเรียกว่า "ตัวเลขแท่ง" โดยใช้รหัสที่แตกต่างกันสำหรับตัวเลขระหว่าง 1 ถึง 10 และรหัสเพิ่มเติมสำหรับกำลังของสิบ^{[ 110 ]}ดังนั้น ตัวเลข 123 จะเขียนโดยใช้สัญลักษณ์สำหรับ "1" ตามด้วยสัญลักษณ์สำหรับ "100" จากนั้นสัญลักษณ์สำหรับ "2" ตามด้วยสัญลักษณ์สำหรับ "10" ตามด้วยสัญลักษณ์สำหรับ "3" นี่เป็นระบบตัวเลขที่ก้าวหน้าที่สุดในโลกในขณะนั้น เห็นได้ชัดว่ามีการใช้งานมาหลายศตวรรษก่อนคริสต์ศักราชและก่อนการพัฒนาระบบตัวเลขของอินเดีย^{[ 111 ]}ตัวเลขแท่งช่วยให้สามารถแสดงตัวเลขได้มากเท่าที่ต้องการและช่วยให้สามารถคำนวณบนซวนปานหรือลูกคิดจีน ได้ วันที่ประดิษฐ์ซวนปานนั้นไม่แน่ชัด แต่มีการกล่าวถึงเป็นลายลักษณ์อักษรครั้งแรกใน ค.ศ. 190 ในหนังสือSupplementary Notes on the Art of FiguresของXu Yue

งานเขียนที่เก่าแก่ที่สุดที่ยังหลงเหลืออยู่เกี่ยวกับเรขาคณิตในประเทศจีนมาจากคัมภีร์ ปรัชญา โมฮิ สต์ ราว 330 ปีก่อนคริสตกาลซึ่งรวบรวมโดยผู้ติดตามของโมจื่อ (470–390 ปีก่อนคริสตกาล) โมจิงได้อธิบายแง่มุมต่างๆ ของหลายสาขาที่เกี่ยวข้องกับวิทยาศาสตร์กายภาพ และยังได้ให้ทฤษฎีบททางเรขาคณิตจำนวนเล็กน้อยอีกด้วย^{[ 112 ]} นอกจาก นี้ ยัง ได้กำหนดแนวคิดของเส้นรอบวงเส้นผ่านศูนย์กลางรัศมีและปริมาตรอีก ด้วย ^{[ 113 ]}

ในปี 212 ก่อนคริสต์ศักราช จักรพรรดิฉินซีฮวงได้ออกคำสั่งเผาหนังสือทั้งหมดในจักรวรรดิฉินยกเว้นหนังสือที่ได้รับการรับรองอย่างเป็นทางการ คำสั่งนี้ไม่ได้ถูกปฏิบัติตามอย่างทั่วถึง แต่ผลจากคำสั่งนี้ทำให้เรารู้ข้อมูลเกี่ยวกับคณิตศาสตร์จีนโบราณก่อนหน้านั้นน้อยมาก หลังจากเหตุการณ์เผาหนังสือในปี 212 ก่อนคริสต์ศักราชราชวงศ์ฮั่น (202 ก่อนคริสต์ศักราช – 220 คริสต์ศักราช) ได้ผลิตผลงานทางคณิตศาสตร์ซึ่งคาดว่าเป็นการต่อยอดจากผลงานที่สูญหายไปแล้ว ผลงานที่สำคัญที่สุดคือ"เก้าบทว่าด้วยศิลปะทางคณิตศาสตร์"ซึ่งชื่อเต็มปรากฏขึ้นในปี 179 คริสต์ศักราช แต่ก่อนหน้านั้นมีบางส่วนอยู่ภายใต้ชื่ออื่น ๆ หนังสือเล่มนี้ประกอบด้วยโจทย์ปัญหา 246 ข้อ เกี่ยวกับเกษตรกรรม ธุรกิจ การใช้เรขาคณิตในการคำนวณความสูงและอัตราส่วนมิติสำหรับ หอ เจดีย์จีนวิศวกรรมการสำรวจและรวมถึงเนื้อหาเกี่ยวกับสามเหลี่ยมมุมฉากด้วย^{[ 109 ] ตำรา}นี้ได้สร้างบทพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์สำหรับทฤษฎีบทพีทาโกรัส [ ^{114 ]}และสูตรทางคณิตศาสตร์สำหรับการกำจัดแบบเกาส์เซียน [ ^{115 ]}ตำรานี้ยังให้ค่าของπ [ ^{109 ] ซึ่ง}นักคณิตศาสตร์ชาวจีนเดิมประมาณค่าเป็น 3 จนกระทั่งLiu Xin ( ^เสียชีวิต ค.ศ. 23) ได้ให้ค่า 3.1457 และต่อมาZhang Heng (ค.ศ. 78–139) ได้ประมาณค่า π เป็น 3.1724 ^{[ 116 ]}รวมถึง 3.162 โดยการหาค่ารากที่สองของ 10 ^{[ 117 ] [ 118 ]} Liu Huiได้แสดงความคิดเห็นเกี่ยวกับตำราเก้าบทในศตวรรษที่ 3 และให้ค่า πที่แม่นยำถึงทศนิยม 5 ตำแหน่ง (เช่น 3.14159) ^{[ 119 ] [ 120 ]}แม้ว่าจะเป็นเรื่องของความอดทนในการคำนวณมากกว่าความเข้าใจเชิงทฤษฎี แต่ในศตวรรษที่ 5 คริสต์ศักราชZu Chongzhiได้คำนวณค่าของ πได้ถึงทศนิยมเจ็ดตำแหน่ง (ระหว่าง 3.1415926 และ 3.1415927) ซึ่งยังคงเป็นค่า π ที่แม่นยำที่สุดเกือบ 1000 ปีต่อมา^{[ 119 ] [ 121 ]}เขายังได้สร้างวิธีการที่ต่อมาเรียกว่าหลักการของ Cavalieriเพื่อหาปริมาตรของทรงกลม^{[ 122 ]}

จุดสูงสุดของคณิตศาสตร์จีนเกิดขึ้นในศตวรรษที่ 13 ในช่วงครึ่งหลังของราชวงศ์ซ่ง (ค.ศ. 960–1279) ด้วยการพัฒนาพีชคณิตจีน ตำราที่สำคัญที่สุดจากยุคนั้นคือกระจกวิเศษแห่งธาตุทั้งสี่โดยจู ซื่อเจี๋ย (ค.ศ. 1249–1314) ซึ่งกล่าวถึงการแก้สมการพีชคณิตอันดับสูงพร้อมกันโดยใช้วิธีที่คล้ายกับวิธีของฮอร์เนอร์ [ ^{119 ] กระจก}วิเศษยังประกอบด้วยแผนภาพสามเหลี่ยมปาสคาลที่มีสัมประสิทธิ์ของการกระจายทวินามถึงกำลังที่แปด แม้ว่าทั้งสองอย่างจะปรากฏในงานของจีนตั้งแต่ปี ค.ศ. 1100 แล้วก็ตาม^{[ 123 ]}ชาวจีนยังใช้แผนภาพเชิงการจัดเรียงที่ซับซ้อนที่เรียกว่าตารางวิเศษและวงกลมวิเศษซึ่งอธิบายไว้ในสมัยโบราณและได้รับการพัฒนาให้สมบูรณ์โดยหยาง ฮุย (ค.ศ. 1238–1298) ^{[ 123 ]}

แม้หลังจากที่คณิตศาสตร์ของยุโรปเริ่มเฟื่องฟูในช่วงยุคฟื้นฟูศิลปวิทยา คณิตศาสตร์ของยุโรปและจีนก็ยังคงเป็นประเพณีที่แยกจากกัน โดยผลผลิตทางคณิตศาสตร์ของจีนที่สำคัญเริ่มลดลงตั้งแต่ศตวรรษที่ 13 เป็นต้นไป มิชชันนารีเยซู อิตเช่น มัตเตโอ ริชชีได้นำแนวคิดทางคณิตศาสตร์ไปมาระหว่างสองวัฒนธรรมตั้งแต่ศตวรรษที่ 16 ถึง 18 แม้ว่าในช่วงเวลานี้แนวคิดทางคณิตศาสตร์จะเข้าสู่จีนมากกว่าออกจากจีนมากก็ตาม^{[ 123 ]}

คณิตศาสตร์ของญี่ปุ่นคณิตศาสตร์ของเกาหลีและคณิตศาสตร์ของเวียดนามนั้นโดยทั่วไปถือว่ามีต้นกำเนิดมาจากคณิตศาสตร์ของจีนและอยู่ในขอบเขตวัฒนธรรมเอเชียตะวันออกที่อิงตาม ลัทธิ ขงจื๊อ^{[ 124 ]}คณิตศาสตร์ของเกาหลีและญี่ปุ่นได้รับอิทธิพลอย่างมากจากงานพีชคณิตที่ผลิตขึ้นในสมัยราชวงศ์ซ่งของจีน ในขณะที่คณิตศาสตร์ของเวียดนามได้รับอิทธิพลอย่างมากจากงานที่เป็นที่นิยมในสมัยราชวงศ์หมิง ของจีน (1368–1644) ^{[ 125 ]}ตัวอย่างเช่น แม้ว่าตำราคณิตศาสตร์ของเวียดนามจะเขียนด้วยภาษาจีน หรืออักษร ฉือญอมของเวียดนามแต่ทั้งหมดก็ใช้รูปแบบของจีนในการนำเสนอชุดปัญหาพร้อมอัลกอริทึมสำหรับการแก้ปัญหา ตามด้วยคำตอบที่เป็นตัวเลข^{[ 126 ]}คณิตศาสตร์ในเวียดนามและเกาหลีส่วนใหญ่เกี่ยวข้องกับข้าราชการราชสำนักที่เป็นนักคณิตศาสตร์และนักดาราศาสตร์ ในขณะที่ใน ญี่ปุ่นนั้นพบได้ทั่วไปในโรงเรียนเอกชน มากกว่า ^{[ 127 ]}

ตัวเลขอินเดียในจารึกหินและทองแดง^{[ 128 ]}

ตัวเลขพราห์มีโบราณในบางส่วนของอินเดีย

อารยธรรมที่เก่าแก่ที่สุดในอนุทวีปอินเดียคืออารยธรรมลุ่มแม่น้ำสินธุ (ระยะที่สองที่เจริญรุ่งเรือง: 2600 ถึง 1900 ปีก่อนคริสตกาล) ซึ่งเจริญรุ่งเรืองใน ลุ่ม แม่น้ำสินธุเมืองต่างๆ ของพวกเขาถูกวางผังด้วยความสม่ำเสมอทางเรขาคณิต แต่ไม่มีเอกสารทางคณิตศาสตร์ใดๆ ที่หลงเหลืออยู่จากอารยธรรมนี้^{[ 129 ]}

บันทึกทางคณิตศาสตร์ที่เก่าแก่ที่สุดที่ยังหลงเหลืออยู่จากอินเดียคือ สุลบาสูตร (มีอายุแตกต่างกันไปตั้งแต่ศตวรรษที่ 8 ก่อนคริสต์ศักราชจนถึงศตวรรษที่ 2 หลังคริสต์ศักราช) ^{[ 130 ]}ซึ่งเป็นภาคผนวกของตำราทางศาสนาที่ให้กฎง่ายๆ สำหรับการสร้างแท่นบูชาที่มีรูปร่างต่างๆ เช่น สี่เหลี่ยมจัตุรัส สี่เหลี่ยมผืนผ้า สี่เหลี่ยมด้านขนาน และอื่นๆ^{[ 131 ]}เช่นเดียวกับอียิปต์ ความสนใจในหน้าที่ของวิหารชี้ให้เห็นถึงต้นกำเนิดของคณิตศาสตร์ในพิธีกรรมทางศาสนา^{[ 130 ]}สุลบาสูตรให้วิธีการสร้างวงกลมที่มีพื้นที่ใกล้เคียงกับสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่กำหนดซึ่งหมายถึงการประมาณค่า π ที่แตกต่างกันหลายค่า^{[ 132 ] [ 133 ] [ a ]} ​​นอกจากนี้ ยังคำนวณรากที่สองของ 2 ได้ถึงทศนิยมหลายตำแหน่ง แสดงรายการสามเหลี่ยมพีทาโกรัส และให้ข้อความของทฤษฎีบทพีทาโกรัส^{[ 133 ]}ผลลัพธ์ทั้งหมดเหล่านี้มีอยู่ในคณิตศาสตร์บาบิโลน ซึ่งบ่งชี้ถึงอิทธิพลของเมโสโปเตเมีย^{[ 130 ]}ไม่ทราบแน่ชัดว่าสุลบาสูตรมีอิทธิพลต่อนักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียในยุคหลังมากน้อยเพียงใด เช่นเดียวกับในประเทศจีน คณิตศาสตร์ของอินเดียขาดความต่อเนื่อง ความก้าวหน้าที่สำคัญถูกคั่นด้วยช่วงเวลาที่ไม่มีกิจกรรมเป็นเวลานาน^{[ 130 ]}

ปาณินี ( ประมาณ ศตวรรษที่ 5ก่อนคริสต์ศักราช) ได้วางกฎเกณฑ์สำหรับไวยากรณ์ภาษาสันสกฤต^{[ 134 ]}สัญกรณ์ของเขามีลักษณะคล้ายกับสัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์สมัยใหม่ และใช้กฎเมตาการแปลงและการเรียกซ้ำ [ ^{135 ] ปิ}งคลา (ประมาณศตวรรษที่ 3-1 ก่อนคริสต์ศักราช) ในตำราเกี่ยวกับฉันทลักษณ์ ของเขา ได้ใช้อุปกรณ์ที่สอดคล้องกับ ระบบ เลขฐานสอง^{[ 136 ] [ 137 ]}การอภิปรายของเขาเกี่ยวกับการจัดกลุ่มของฉันทลักษณ์สอดคล้องกับทฤษฎีบททวินาม ฉบับพื้นฐาน งานของปิงคลายังประกอบด้วยแนวคิดพื้นฐานของจำนวนฟิโบนาชชี (เรียกว่ามัตราเมรุ ) ^{[ 138 ]}

เอกสารทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญถัดไปจากอินเดียหลังจากสุลบาสูตรคือสิทธันตะซึ่งเป็นตำราดาราศาสตร์จากศตวรรษที่ 4 และ 5 ( สมัยราชวงศ์คุปตะ ) ที่แสดงให้เห็นถึงอิทธิพลของกรีกอย่างชัดเจน^{[ 139 ]}ตำราเหล่านี้มีความสำคัญตรงที่ประกอบด้วยตัวอย่างแรกของความสัมพันธ์ตรีโกณมิติที่อิงตามครึ่งคอร์ด ดังเช่นในตรีโกณมิติสมัยใหม่ แทนที่จะใช้คอร์ดเต็ม ดังเช่นในตรีโกณมิติของปโตเลมี^{[ 140 ]}จากข้อผิดพลาดในการแปลหลายครั้ง คำว่า "ไซน์" และ "โคไซน์" มาจากภาษาสันสกฤต "จิยะ" และ "โคจิยะ" ^{[ 140 ]}

ประมาณ ค.ศ. 500 อารยภัตตาได้เขียนหนังสืออารยภติยาซึ่งเป็นหนังสือเล่มบางๆ ที่เขียนเป็นบทกวี โดยมีจุดประสงค์เพื่อเสริมกฎการคำนวณที่ใช้ในดาราศาสตร์และการวัดทางคณิตศาสตร์ แม้ว่าจะไม่มีความรู้สึกถึงตรรกะหรือวิธีการอนุมานก็ตาม^{[ 141 ]}ระบบค่าประจำหลักทศนิยมปรากฏขึ้นครั้งแรกในหนังสืออารย ภติยา หลายศตวรรษต่อมา นักคณิตศาสตร์ชาวมุสลิมอบู รายฮาน บิรูนีได้อธิบายหนังสืออารยภติยาว่าเป็น "ส่วนผสมของก้อนกรวดธรรมดาและผลึกที่มีราคาแพง" ^{[ 142 ]}

ในศตวรรษที่ 7 พราหมณคุปตะได้ระบุทฤษฎีบทพราหมณ คุป ตะเอกลักษณ์ของพราหมณคุปตะและสูตรของพราหม ณคุปตะ และเป็นครั้งแรกในพราหมณสปุตสิทธันตะเขาได้อธิบายการใช้เลขศูนย์เป็นทั้งตัวแทนตำแหน่งและ หลักทศนิยมอย่างชัดเจน และอธิบายระบบตัวเลขฮินดู-อาหรับ^{[ 143 ]}จากการแปลตำราคณิตศาสตร์ของอินเดียนี้ ( ประมาณ ค.ศ. 770 ) นักคณิตศาสตร์ชาวอิสลามได้รู้จักระบบตัวเลขนี้ ซึ่งพวกเขานำมาปรับใช้เป็นตัวเลขอาหรับนักวิชาการอิสลามได้นำความรู้เกี่ยวกับระบบตัวเลขนี้ไปยังยุโรปในศตวรรษที่ 12 และปัจจุบันระบบนี้ได้เข้ามาแทนที่ระบบตัวเลขเก่าทั้งหมดทั่วโลกแล้ว ชุดสัญลักษณ์ต่างๆ ถูกใช้เพื่อแสดงตัวเลขในระบบตัวเลขฮินดู-อาหรับ ซึ่งทั้งหมดพัฒนามาจากตัวเลขพราห์มี อักษรหลักประมาณสิบสองตัวของอินเดียแต่ละตัวมีอักษรภาพตัวเลขของตนเอง ในศตวรรษที่ 10 คำอธิบายของHalayudha เกี่ยวกับ งานของPingala มีการศึกษา ลำดับฟิโบนาชชี^{[ 144 ]}และสามเหลี่ยมของปาสคาล^{[ 145 ]}

ในศตวรรษที่ 12 ภัสการะที่ 2ผู้ซึ่งอาศัยอยู่ในอินเดียตอนใต้ ได้เขียนเกี่ยวกับความรู้ทางคณิตศาสตร์ในสมัยของเขาอย่างกว้างขวาง ในงานดาราศาสตร์ของเขา เขาได้อธิบายผลลัพธ์ที่นักวิชาการรุ่นหลังตีความว่าคล้ายกับวิธีการอนันต์เล็กในยุคแรก งานเขียนของเขารวมถึงแนวคิดที่เทียบเท่ากับอนันต์เล็กโดยประมาณ และกรณีพิเศษของทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยในการประมาณค่าผกผันของไซน์ เขายังมีส่วนสำคัญต่อพีชคณิต รวมถึงวิธีการแก้สมการที่ไม่กำหนดประเภทที่ต่อมาเรียกว่าสมการเพลล์ ซึ่งเขาใช้วิธีการแบบวนรอบ เช่น วิธีจักราวาล^{[ 146 ] [ 147 ]}ในศตวรรษที่ 14 นารายณะปัณฑิตะได้ เขียน Ganita Kaumudiเสร็จสมบูรณ์^{[ 148 ]}

นอกจากนี้ ในศตวรรษที่ 14 มาธาวะแห่งสังคมครามผู้ก่อตั้งโรงเรียนคณิตศาสตร์เกรละได้ค้นพบอนุกรมมาธาวะ-ไลบ์นิซ และได้รับ อนุกรมที่แปลงแล้วจากอนุกรมนี้โดยเขาใช้ 21 พจน์แรกในการคำนวณค่าของ π เป็น 3.14159265359 มาธาวะยังค้นพบอนุกรมมาธาวะ-เกรกอรีเพื่อกำหนดค่าอาร์คแทงเจนต์ อนุกรมกำลัง มาธาวะ-นิวตัน เพื่อกำหนดค่าไซน์และโคไซน์ และการประมาณค่าเทย์เลอร์สำหรับฟังก์ชันไซน์และโคไซน์^{[ 149 ]}ในศตวรรษที่ 16 เชษฐเทวะได้รวบรวมพัฒนาการและทฤษฎีบทหลายอย่างของโรงเรียนเกรละไว้ในยุกติภาษะ^{[ 150 ] [ 151 ]}มีการโต้แย้งว่าแนวคิดบางอย่างของแคลคูลัส เช่น อนุกรมอนันต์และอนุกรมเทย์เลอร์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติบางฟังก์ชัน ได้ถูกถ่ายทอดไปยังยุโรปในศตวรรษที่ 16 ^{[ 6 ]}ผ่านทาง มิชชัน นารีเยซูอิตและพ่อค้าที่ดำเนินกิจการอยู่รอบท่าเรือโบราณของมูซิริสในเวลานั้น และส่งผลให้มีอิทธิพลโดยตรงต่อการพัฒนาการวิเคราะห์และแคลคูลัสในยุโรปในเวลาต่อมา^{[ 152 ]}อย่างไรก็ตาม นักวิชาการคนอื่นๆ โต้แย้งว่าโรงเรียนเกรละไม่ได้กำหนดทฤษฎีที่เป็นระบบของการหาอนุพันธ์และการหาปริพันธ์และไม่มีหลักฐานโดยตรงใดๆ ที่แสดงว่าผลลัพธ์ของพวกเขาถูกส่งต่อออกไปนอกเกรละ^{[ 153 ] [ 154 ] [ 155 ] [ 156 ]}

จักรวรรดิอิสลามที่ก่อตั้งขึ้นทั่วตะวันออกกลางเอเชียกลางแอฟริกาเหนือไอบีเรียและบางส่วนของอินเดียในศตวรรษที่ 8 ได้มีส่วนสำคัญต่อคณิตศาสตร์ แม้ว่าตำราคณิตศาสตร์ของอิสลามส่วนใหญ่จะเขียนเป็นภาษาอาหรับแต่ก็ไม่ได้เขียนโดยชาวอาหรับ ทั้งหมด เนื่องจากเช่นเดียวกับสถานะของภาษากรีกในโลกเฮลเลนิสติก ภาษาอาหรับถูกใช้เป็นภาษาเขียนของนักวิชาการที่ไม่ใช่ชาวอาหรับทั่วโลกอิสลามในเวลานั้น^{[ 157 ]}

ในศตวรรษที่ 9 นักคณิตศาสตร์ชาวเปอร์เซียมุฮัมมัด อิบนุ มูซา อัล-คาวาริซมีได้เขียนหนังสือสำคัญเล่มหนึ่งเกี่ยวกับตัวเลขฮินดู-อารบิกและอีกเล่มหนึ่งเกี่ยวกับวิธีการแก้สมการ หนังสือของเขาชื่อ " ว่าด้วยการคำนวณด้วยตัวเลขฮินดู"ซึ่งเขียนขึ้นราวปี ค.ศ. 825 ร่วมกับผลงานของอัล-คินดีมีบทบาทสำคัญในการเผยแพร่คณิตศาสตร์และตัวเลขของอินเดียไปยังโลกตะวันตก คำ ว่า "อัลก อริทึม " มาจากการแปลงชื่อของเขาเป็นภาษาละตินว่า "อัลกอริตมี" และคำว่า"พีชคณิต"มาจากชื่อผลงานชิ้นหนึ่งของเขาคือ"อัล-คิตาบ อัล-มุคตัศร ฟี ฮีซาบ อัล-กั๊บ วะอัล-มุคาบาลา" ( หนังสือรวบรวมว่าด้วยการคำนวณโดยการเติมเต็มและการปรับสมดุล ) เขาได้อธิบายอย่างละเอียดถี่ถ้วนถึงวิธีการแก้สมการกำลังสองที่มีรากบวกด้วยวิธีพีชคณิต^{[ 158 ]}และเขายังเป็นคนแรกที่สอนพีชคณิตในรูปแบบพื้นฐานและเพื่อตัวมันเอง^{[ 159 ]}เขายังได้อภิปรายถึงวิธีการพื้นฐานของ " การลดรูป " และ "การปรับสมดุล" ซึ่งหมายถึงการสลับตำแหน่งของพจน์ที่ถูกลบไปอีกด้านหนึ่งของสมการ นั่นคือ การตัดพจน์ที่เหมือนกันที่อยู่ตรงข้ามกันของสมการ นี่คือการดำเนินการที่อัล-คาวาริซมีได้อธิบายไว้แต่เดิมว่าอัล-ญับร์ [ ^{160 ] พีชคณิต}ของเขายังไม่เกี่ยวข้องกับ "ชุดของปัญหาที่จะต้องแก้ไข แต่เป็นการอธิบายที่เริ่มต้นด้วยพจน์พื้นฐานซึ่งการรวมกันจะต้องให้ต้นแบบที่เป็นไปได้ทั้งหมดสำหรับสมการ ซึ่งต่อจากนี้ไปจะประกอบเป็นวัตถุที่แท้จริงของการศึกษาอย่างชัดเจน" เขายังศึกษาสมการเพื่อตัวมันเองและ "ในลักษณะทั่วไป ตราบใดที่มันไม่ได้เกิดขึ้นเพียงในระหว่างการแก้ปัญหา แต่ถูกเรียกโดยเฉพาะเพื่อกำหนดปัญหาจำนวนอนันต์" ^{[ 161 ]}

ในอียิปต์อบู กามิลได้ขยายพีชคณิตไปยังเซตของจำนวนอตรรกยะโดยยอมรับรากที่สองและรากที่สี่เป็นคำตอบและสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสอง นอกจากนี้ เขายังได้พัฒนาเทคนิคที่ใช้ในการแก้สมการเชิงเส้นสามตัวแปรสามตัวพร้อมกัน คุณลักษณะที่โดดเด่นอย่างหนึ่งของงานของเขาคือการพยายามค้นหาคำตอบที่เป็นไปได้ทั้งหมดสำหรับปัญหาบางข้อของเขา รวมถึงปัญหาหนึ่งที่เขาพบคำตอบถึง 2676 คำตอบ^{[ 162 ]}งานของเขาเป็นรากฐานสำคัญสำหรับการพัฒนาพีชคณิตและมีอิทธิพลต่อนักคณิตศาสตร์รุ่นหลัง เช่น อัล-คาราจี และฟิโบนาชชี

อัล-คาราจีได้พัฒนาพีชคณิตเพิ่มเติมในตำราอัล-ฟัคห์รี ของเขา โดยขยายวิธีการเพื่อรวมกำลังจำนวนเต็มและรากจำนวนเต็มของปริมาณที่ไม่ทราบค่า สิ่งที่ใกล้เคียงกับการพิสูจน์โดยการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์ปรากฏในหนังสือที่เขียนโดยอัล-คาราจีราวปี ค.ศ. 1000 ซึ่งเขาใช้เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบททวินามสามเหลี่ยมปาสคาลและผลรวมของลูกบาศก์จำนวนเต็ม^{[ 163 ]}นักประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ เอฟ. โวปเค^{[ 164 ]}ยกย่องอัล-คาราจีว่าเป็น "คนแรกที่แนะนำทฤษฎีแคลคูลัสพีชคณิต " ในศตวรรษที่ 10 เช่นกันอะบุล วาฟาได้แปลงานของดิโอแฟนตัสเป็นภาษาอาหรับอิบนุ อัล-ฮัยธัมเป็นนักคณิตศาสตร์คนแรกที่ได้สูตรสำหรับผลรวมของกำลังสี่ โดยใช้วิธีการที่สามารถนำไปใช้ได้ทั่วไปในการกำหนดสูตรทั่วไปสำหรับผลรวมของกำลังจำนวนเต็มใดๆ เขาทำการอินทิเกรตเพื่อหาปริมาตรของพาราโบโลอิดและสามารถสรุปผลลัพธ์ของเขาสำหรับอินทิกรัลของพหุนามได้ถึงดีกรีสี่ดังนั้นเขาจึงเข้าใกล้การค้นพบสูตรทั่วไปสำหรับอินทิกรัลของพหุนาม แต่เขาไม่ได้สนใจพหุนามที่มีดีกรีสูงกว่าสี่^{[ 165 ]}

ในช่วงปลายศตวรรษที่ 11 โอมาร์ คัยยัมได้เขียน หนังสือ ชื่อ Discussions of the Difficulties in Euclidซึ่งเป็นหนังสือเกี่ยวกับสิ่งที่เขาเห็นว่าเป็นข้อบกพร่องในElementsของยูคลิดโดยเฉพาะอย่างยิ่งสัจพจน์เส้นขนานเขายังเป็นคนแรกที่ค้นพบวิธีแก้ทางเรขาคณิตทั่วไปสำหรับสมการลูกบาศก์ เขายังมีอิทธิพลอย่างมากใน การปฏิรูปปฏิทินอีกด้วย^{[ 166 ]}

ในศตวรรษที่ 13 นาซีร์ อัล-ดิน ตูซี (นาซีเรดดิน) ได้พัฒนาความก้าวหน้าในตรีโกณมิติเชิงทรง กลม เขายังเขียนผลงานที่มีอิทธิพลต่อทฤษฎีบทเส้นขนาน ของยูคลิดอีกด้วย ในศตวรรษที่ 15 กียาธ อัล-กาชีได้คำนวณค่าของ π ได้ถึงทศนิยมตำแหน่งที่ 16 กาชียังมีอัลกอริทึมสำหรับการคำนวณ รากที่ n ซึ่งเป็นกรณีพิเศษของวิธีการที่ รูฟฟินีและฮอร์เนอร์ได้ เสนอไว้ในอีกหลายศตวรรษต่อมา

ความสำเร็จอื่นๆ ของนักคณิตศาสตร์มุสลิมในช่วงเวลานี้ ได้แก่ การเพิ่มสัญกรณ์จุดทศนิยมให้กับตัวเลขอาหรับ^{[ 167 ]}การค้นพบฟังก์ชันตรีโกณมิติสมัยใหม่ทั้งหมดนอกเหนือจากไซน์ การแนะนำการวิเคราะห์รหัสและการวิเคราะห์ความถี่โดยอัล-คินดี^{[ 168 ]}การพัฒนาเรขาคณิตวิเคราะห์โดยอิบนุ อัล-ฮัยธัม^{[ 169 ]}การเริ่มต้นของเรขาคณิตพีชคณิตโดยโอมาร์ คัยยัม^{[ 170 ]}และการพัฒนาสัญกรณ์พีชคณิตโดยอัล-กาลาซาดี^{[ 171 ] [ 172 ]}

ในช่วงเวลาของจักรวรรดิออตโตมันและจักรวรรดิซาฟาวิดตั้งแต่ศตวรรษที่ 15 การพัฒนาคณิตศาสตร์อิสลามก็หยุดชะงัก^{[ 173 ]}

ในทวีปอเมริกาในยุคก่อนโคลัมบัสอารยธรรมมายาที่เจริญรุ่งเรืองในเม็กซิโกและอเมริกากลางในช่วงสหัสวรรษที่ 1 หลังคริสต์ศักราช ได้พัฒนาระบบคณิตศาสตร์ที่เป็นเอกลักษณ์ ซึ่งเนื่องจากความโดดเดี่ยวทางภูมิศาสตร์ จึงเป็นอิสระจากคณิตศาสตร์ของยุโรป อียิปต์ และเอเชียที่มีอยู่^{[ 174 ]}ตัวเลขของชาวมายาใช้ฐานยี่สิบ หรือ ระบบ เลขฐานยี่สิบแทนที่จะเป็นฐานสิบซึ่งเป็นฐานของ ระบบ เลขฐานสิบที่ใช้โดยวัฒนธรรมสมัยใหม่ส่วนใหญ่^{[ 174 ]}ชาวมายาใช้คณิตศาสตร์ในการสร้างปฏิทินมายารวมถึงการทำนายปรากฏการณ์ทางดาราศาสตร์ในดาราศาสตร์พื้นเมืองของชาวมายา [ ^{174 ] ใน}ขณะที่แนวคิดของเลขศูนย์ต้องอนุมานในคณิตศาสตร์ของหลายวัฒนธรรมร่วมสมัย ชาวมายาได้พัฒนาสัญลักษณ์มาตรฐานสำหรับเลขศูนย์^{[ 174 ]}

ความสนใจในคณิตศาสตร์ของชาวยุโรปในยุคกลางนั้นเกิดจากความกังวลที่แตกต่างจากนักคณิตศาสตร์สมัยใหม่ ปัจจัยสำคัญประการหนึ่งคือความเชื่อที่ว่าคณิตศาสตร์เป็นกุญแจสำคัญในการทำความเข้าใจระเบียบที่ถูกสร้างขึ้นของธรรมชาติ ซึ่งมักได้รับการพิสูจน์โดยTimaeusของเพลโตและข้อความในพระคัมภีร์ (ในหนังสือปัญญา ) ที่กล่าวว่าพระเจ้าทรงกำหนดทุกสิ่งด้วยการวัด จำนวน และน้ำหนัก^{[ 175 ]}

โบเอทิอุสได้วางรากฐานให้คณิตศาสตร์เป็นส่วนหนึ่งของหลักสูตรการศึกษาในศตวรรษที่ 6 โดยบัญญัติศัพท์คำว่าquadriviumเพื่ออธิบายการศึกษาเลขคณิต เรขาคณิต ดาราศาสตร์ และดนตรี เขาเขียนDe institutione arithmeticaซึ่งเป็นการแปลอย่างอิสระจากภาษากรีกของIntroduction to Arithmeticของนิโคมาคัส ; De institutione musicaซึ่งได้มาจากแหล่งข้อมูลภาษากรีกเช่นกัน; และข้อความที่ตัดตอนมาจากElements ของยูคลิด ผลงานของเขาเป็นเชิงทฤษฎีมากกว่าเชิงปฏิบัติ และเป็นพื้นฐานของการศึกษาคณิตศาสตร์จนกระทั่งมีการค้นพบผลงานคณิตศาสตร์ของกรีกและอาหรับ^{[ 176 ] [ 177 ]}

ในศตวรรษที่ 12 นักวิชาการชาวยุโรปเดินทางไปยังสเปนและซิซิลีเพื่อค้นหาตำราวิทยาศาสตร์ภาษาอาหรับรวมถึงหนังสือ The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancingของอัล-คาวาริซมีซึ่งแปลเป็นภาษาละตินโดยโรเบิร์ตแห่งเชสเตอร์ และตำรา Elementsฉบับสมบูรณ์ของยูคลิดซึ่งแปลเป็นหลายฉบับโดยอาเดลาร์ดแห่งบาธ เฮอร์แมนแห่งคารินเทียและเจอราร์ดแห่งเครโมนา [ ^{178 ] [ 179 ] แหล่ง}ข้อมูลใหม่เหล่านี้และแหล่งอื่นๆ ได้จุดประกายให้เกิดการฟื้นฟูคณิตศาสตร์

เลโอนาร์โดแห่งปิซา ซึ่งปัจจุบันรู้จักกันในชื่อฟิโบนาชชีได้เรียนรู้เกี่ยวกับตัวเลขฮินดู-อารบิก โดยบังเอิญ ระหว่างการเดินทางไปยังเมืองเบจายาประเทศแอลจีเรีย (ปัจจุบัน คือแอลจีเรีย) กับบิดาที่เป็นพ่อค้า (ในขณะนั้นยุโรปยังคงใช้ตัวเลขโรมัน อยู่ ) ที่นั่น เขาได้สังเกตระบบการคำนวณ (โดยเฉพาะอัลกอริธึม ) ซึ่งเนื่องจากการ ใช้ตัวเลขฮินดู-อารบิก แบบกำหนดตำแหน่งทำให้มีประสิทธิภาพมากขึ้นและอำนวยความสะดวกในการค้าขายอย่างมาก เลโอนาร์โดเขียนหนังสือLiber Abaci ในปี 1202 (ปรับปรุงในปี 1254) เพื่อแนะนำเทคนิคนี้ให้แก่ยุโรปและเริ่มต้นช่วงเวลาอันยาวนานของการเผยแพร่เทคนิคนี้ หนังสือเล่มนี้ยังนำ ลำดับฟิโบนาชชี (ซึ่งนักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียรู้จักมาหลายร้อยปีก่อนหน้านั้น) มาสู่ยุโรป ด้วย ^{[ 180 ]}ซึ่งฟิโบนาชชีใช้เป็นตัวอย่างที่ไม่โดดเด่นนัก

ศตวรรษที่ 14 ได้เห็นการพัฒนาแนวคิดทางคณิตศาสตร์ใหม่ๆ เพื่อตรวจสอบปัญหาต่างๆ มากมาย^{[ 181 ]}หนึ่งในผลงานสำคัญคือการพัฒนาคณิตศาสตร์ของการเคลื่อนที่เฉพาะที่โทมัส แบรดวาร์ดีนเสนอว่าความเร็ว (V) เพิ่มขึ้นตามสัดส่วนเลขคณิตเมื่ออัตราส่วนของแรง (F) ต่อแรงต้าน (R) เพิ่มขึ้นตามสัดส่วนเรขาคณิต แบรดวาร์ดีนได้แสดงสิ่งนี้ด้วยตัวอย่างเฉพาะหลายตัวอย่าง แต่ถึงแม้ว่าลอการิทึมจะยังไม่ถูกคิดค้นขึ้น เราก็สามารถแสดงข้อสรุปของเขาได้โดยไม่ตรงกับยุคสมัยโดยการเขียนว่า: V = log (F/R) ^{[ 182 ]}การวิเคราะห์ของแบรดวาร์ดีนเป็นตัวอย่างของการถ่ายโอนเทคนิคทางคณิตศาสตร์ที่อัล-คินดีและอาร์นัลด์แห่งวิลลาโนวา ใช้ ในการหาปริมาณลักษณะของยาผสมไปยังปัญหาทางกายภาพที่แตกต่างกัน^{[ 183 ]}

วิลเลียมแห่งเฮย์เทสเบอรีหนึ่งในนักคำนวณแห่งอ็อกซ์ฟอร์ด ในศตวรรษที่ 14 ซึ่งขาดแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และแนวคิดเรื่องลิมิตเสนอให้วัดความเร็วทันที "โดยเส้นทางที่วัตถุจะ เคลื่อนที่ หาก ...วัตถุเคลื่อนที่อย่างสม่ำเสมอด้วยความเร็วระดับเดียวกับที่เคลื่อนที่ในช่วงเวลาที่กำหนดนั้น" ^{[ 185 ]}

เฮย์เทสเบอรีและคนอื่นๆ ได้กำหนดระยะทางที่วัตถุเคลื่อนที่ด้วยความเร่งสม่ำเสมอ (ปัจจุบันแก้ได้ด้วยการอินทิเกรต) โดยระบุว่า "วัตถุที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็วที่เพิ่มขึ้นหรือลดลงอย่างสม่ำเสมอ จะเคลื่อนที่ได้ระยะทางเท่ากับระยะทางที่มันจะเคลื่อนที่ได้หากมันเคลื่อนที่อย่างต่อเนื่องด้วยความเร็วเฉลี่ยในช่วงเวลาเดียวกัน" ^{[ 186 ]}

นิโคล โอเรสเมที่มหาวิทยาลัยปารีสและโจวันนี ดิ คาซาลี ชาวอิตาลี ได้แสดงความสัมพันธ์นี้ในรูปแบบกราฟิกโดยอิสระ โดยยืนยันว่าพื้นที่ใต้เส้นที่แสดงถึงความเร่งคงที่นั้น แทนระยะทางรวมที่เดินทาง^{[ 187 ]}ในบทวิจารณ์ทางคณิตศาสตร์ในภายหลังเกี่ยวกับองค์ประกอบ ของยูคลิด โอเรสเมได้ทำการวิเคราะห์ทั่วไปที่ละเอียดมากขึ้น โดยแสดงให้เห็นว่าวัตถุจะได้รับคุณภาพเพิ่มขึ้นในแต่ละช่วงเวลาที่ต่อเนื่องกัน ซึ่งคุณภาพนั้นจะเพิ่มขึ้นตามจำนวนคี่ เนื่องจากยูคลิดได้แสดงให้เห็นว่าผลรวมของจำนวนคี่คือจำนวนกำลังสอง ดังนั้นคุณภาพโดยรวมที่วัตถุได้รับจะเพิ่มขึ้นตามกำลังสองของเวลา^{[ 188 ]}

ในช่วงยุคฟื้นฟูศิลปวิทยา การพัฒนาของคณิตศาสตร์และการบัญชีมีความเกี่ยวพันกัน^{[ 189 ]}แม้ว่าจะไม่มีความสัมพันธ์โดยตรงระหว่างพีชคณิตและการบัญชี แต่การสอนวิชาเหล่านี้และหนังสือที่ตีพิมพ์มักมีจุดประสงค์สำหรับบุตรหลานของพ่อค้าที่ถูกส่งไปโรงเรียนการคำนวณ (ในฟลานเดอร์สและเยอรมนี ) หรือโรงเรียนลูกคิด (รู้จักกันในชื่อabbacoในอิตาลี) ซึ่งพวกเขาได้เรียนรู้ทักษะที่เป็นประโยชน์สำหรับการค้าขายและพาณิชย์ อาจไม่จำเป็นต้องใช้พีชคณิตในการดำเนิน การ ทางบัญชีแต่สำหรับการแลกเปลี่ยนสินค้าที่ซับซ้อนหรือการคำนวณดอกเบี้ยทบต้นความรู้พื้นฐานทางเลขคณิตเป็นสิ่งจำเป็น และความรู้ทางพีชคณิตก็มีประโยชน์มาก

Piero della Francesca ( ประมาณ ค.ศ. 1415  – ประมาณ ค.ศ. 1492 ) เขียนหนังสือเกี่ยวกับเรขาคณิตทึบและเปอร์สเปคทีฟเชิงเส้นรวมถึงDe Prospectiva Pingendi ( เกี่ยวกับมุมมองของการวาดภาพ) Trattato d'Abaco (ตำราลูกคิด)และDe quinque corporibus Regularibus (เกี่ยวกับของแข็งห้าก้อน ) ^{[ 190 ] [ 191 ] [ 192 ]}

หนังสือ Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni et Proportionalità (ภาษาอิตาลี: "การทบทวนเลขคณิตเรขาคณิตอัตราส่วนและสัดส่วน ") ของลูกา ปาซิโอลีได้รับ การตีพิมพ์และเผยแพร่ครั้งแรกใน เวนิสในปี ค.ศ. 1494 หนังสือเล่มนี้ประกอบด้วยบทความเกี่ยวกับการบัญชี 27 หน้า ชื่อ"Particularis de Computis et Scripturis" (ภาษาอิตาลี: "รายละเอียดของการคำนวณและการบันทึก") หนังสือเล่มนี้เขียนขึ้นเพื่อและจำหน่ายให้กับพ่อค้าเป็นหลัก โดยใช้เป็นตำราอ้างอิง เป็นแหล่งความเพลิดเพลินจากปริศนาทางคณิตศาสตร์และเพื่อช่วยในการศึกษาของบุตรชาย^{[ 193 ]}ในSumma Arithmeticaปาซิโอลีได้แนะนำสัญลักษณ์บวกและลบเป็นครั้งแรกในหนังสือที่ตีพิมพ์ ซึ่งสัญลักษณ์เหล่านี้กลายเป็นสัญลักษณ์มาตรฐานในคณิตศาสตร์ยุคฟื้นฟูศิลปวิทยาของอิตาลี นอกจากนี้ Summa Arithmeticaยังเป็นหนังสือเล่มแรกที่พิมพ์ในอิตาลีที่มีเนื้อหาเกี่ยวกับพีชคณิตอีกด้วย ปาซิโอลีได้รับแนวคิดหลายอย่างมาจากปิเอโร เดลลา ฟรานเชสกา ซึ่งเขาได้ลอกเลียนมาจากผลงานของเดลลา ฟรานเชสกา

ในประเทศอิตาลี ช่วงครึ่งแรกของศตวรรษที่ 16 สคิปิโอเน เดล เฟอร์โรและนิคโคโล ฟอนตานา ทาร์ตาเกลียค้นพบวิธีแก้สมการกำลังสามเจโรลาโม คาร์ดาโนได้ตีพิมพ์วิธีแก้สมการเหล่านั้นในหนังสือArs Magna ของเขาในปี 1545 พร้อมกับวิธีแก้สมการกำลังสี่ที่ค้นพบโดยโลโดวิโก เฟอร์รารี ศิษย์ของเขา ในปี 1572 ราฟาเอล บอมเบลลีได้ตีพิมพ์หนังสือL'Algebra ของเขา ซึ่งแสดงให้เห็นถึงวิธีการจัดการกับปริมาณเชิงจินตนาการที่อาจปรากฏในสูตรของคาร์ดาโนสำหรับการแก้สมการกำลังสาม

De Thiende ('ศิลปะแห่งส่วนสิบ') ของSimon Stevin ซึ่งตีพิมพ์ครั้งแรกในภาษาดัตช์ในปี 1585 มีเนื้อหาเกี่ยวกับการเขียน ตัวเลขทศนิยม อย่างเป็นระบบเป็นครั้งแรก ในยุโรป ซึ่งมีอิทธิพลต่องานทั้งหมดในภายหลังเกี่ยวกับระบบจำนวนจริง^{[ 194 ] [ 195 ]}

ด้วยแรงผลักดันจากความต้องการในการนำทางและความต้องการแผนที่ที่แม่นยำของพื้นที่ขนาดใหญ่ที่เพิ่มมากขึ้นตรีโกณมิติจึงกลายเป็นสาขาหลักของคณิตศาสตร์บาร์โธโลเมอุส พิทิสคั ส เป็นคนแรกที่ใช้คำนี้ โดยตีพิมพ์Trigonometria ของเขา ในปี 1595 ตารางไซน์และโคไซน์ของเรจิโอมอนทานัสได้รับการตีพิมพ์ในปี 1533 ^{[ 196 ]}

ในช่วงยุคเรเนสซองส์ ความปรารถนาของศิลปินที่จะแสดงภาพโลกธรรมชาติอย่างสมจริง ควบคู่ไปกับปรัชญาของชาวกรีกที่ถูกค้นพบใหม่ ทำให้ศิลปินหันมาศึกษาคณิตศาสตร์ พวกเขายังเป็นวิศวกรและสถาปนิกในสมัยนั้นด้วย ดังนั้นจึงจำเป็นต้องใช้คณิตศาสตร์อยู่แล้ว ศิลปะการวาดภาพแบบทัศนียภาพ และการพัฒนาทางเรขาคณิตที่เกี่ยวข้อง ได้รับการศึกษาอย่างเข้มข้น^{[ 197 ]}

ในศตวรรษที่ 16 Vièteได้วางรากฐานของพีชคณิตในปี 1591 ^{[ 198 ]}ซึ่งเป็นรากฐานสำหรับคณิตศาสตร์ของเดส์การ์ต

ศตวรรษที่ 17 ได้เห็นการเพิ่มขึ้นอย่างไม่เคยปรากฏมาก่อนของแนวคิดทางคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ทั่วทั้งยุโรปไทโค บราเฮได้รวบรวมข้อมูลทางคณิตศาสตร์จำนวนมากที่อธิบายตำแหน่งของดาวเคราะห์บนท้องฟ้า ในฐานะผู้ช่วยของบราเฮ โยฮันเนส เคปเลอร์จึงได้สัมผัสและมีปฏิสัมพันธ์อย่างจริงจังกับหัวข้อการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์เป็นครั้งแรก การคำนวณของเคปเลอร์ง่ายขึ้นด้วยการประดิษฐ์ลอการิทึม ในยุคเดียวกัน โดยจอห์น เนเปียร์และโยสต์ บูร์กี เคปเลอร์ประสบความสำเร็จในการกำหนดกฎทางคณิตศาสตร์ของการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์[ 199 ] เรขาคณิตวิเคราะห์^{ที่พัฒนาโดย} เรเน่เดส์การ์ต (1596–1650) ทำให้สามารถพล็อตวงโคจรเหล่านั้นลงบนกราฟในพิกัดคาร์ทีเซียนได้

ไอแซค นิวตันค้นพบกฎทางฟิสิกส์ที่อธิบายกฎของเคปเลอร์โดยอาศัยผลงานก่อนหน้านี้ของนักวิทยาศาสตร์หลายท่านและรวบรวมแนวคิดต่างๆ ที่ปัจจุบันรู้จักกันในชื่อแคลคูลัสในขณะเดียวกันกอตต์ฟรีด วิลเฮล์ม ไลบ์นิซ ได้พัฒนาแคลคูลัสและสัญลักษณ์แคลคูลัสส่วนใหญ่ที่ยังคงใช้กันอยู่ในปัจจุบัน เขายังได้ปรับปรุง ระบบ เลขฐานสองซึ่งเป็นพื้นฐานของคอมพิวเตอร์ ดิจิทัลเกือบทั้งหมด ( อิเล็กทรอนิกส์โซลิดสเตทตรรกะแบบแยกส่วน) ^{[ 200 ]}

วิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ได้กลายเป็นความพยายามระดับนานาชาติ ซึ่งในไม่ช้าก็จะแพร่กระจายไปทั่วโลก^{[ 201 ]}

นอกเหนือจากการประยุกต์ใช้คณิตศาสตร์ในการศึกษาท้องฟ้าแล้วคณิตศาสตร์ประยุกต์ยังเริ่มขยายไปสู่สาขาใหม่ๆ ด้วยการติดต่อสื่อสารระหว่างปิแอร์ เดอ แฟร์มาต์และแบลส์ ปาสคาลปาสคาลและแฟร์มาต์ได้วางรากฐานสำหรับการศึกษาทฤษฎีความน่าจะเป็นและกฎเกณฑ์ที่เกี่ยวข้องของคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงในบทสนทนาเกี่ยวกับการพนันปาสคาลพยายามใช้ทฤษฎีความน่าจะเป็นที่กำลังพัฒนาขึ้นใหม่เพื่อสนับสนุนการใช้ชีวิตที่อุทิศให้กับศาสนา โดยให้เหตุผลว่าแม้ความน่าจะเป็นที่จะประสบความสำเร็จจะน้อย แต่ผลตอบแทนนั้นไม่มีที่สิ้นสุด ในแง่หนึ่ง นี่เป็นการบอกล่วงหน้าถึงการพัฒนาทฤษฎีอรรถประโยชน์ในศตวรรษที่ 18 และ 19

อาจกล่าวได้ว่านักคณิตศาสตร์ที่มีอิทธิพลมากที่สุดในศตวรรษที่ 18 คือเลออนฮาร์ด ออยเลอร์ (1707–83) ผลงานของเขามีตั้งแต่การวางรากฐานการศึกษาทฤษฎีกราฟด้วย ปัญหา สะพานเจ็ดแห่งแห่งเคอนิกส์เบิร์กไปจนถึงการกำหนดมาตรฐานคำศัพท์และสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์สมัยใหม่หลายอย่าง ตัวอย่างเช่น เขาตั้งชื่อรากที่สองของลบ 1 ด้วยสัญลักษณ์iและเขาทำให้การใช้อักษรกรีกแทนอัตราส่วนของเส้นรอบวงของวงกลมต่อเส้นผ่านศูนย์กลางเป็นที่นิยม เขามีส่วนร่วมมากมายในการศึกษาโทโพโลยี ทฤษฎีกราฟ แคลคูลัส คณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียง และการวิเคราะห์เชิงซ้อน ดังที่เห็นได้จากทฤษฎีบทและสัญลักษณ์จำนวนมากที่ตั้งชื่อตามเขา^{[ 202 ]}${\displaystyle \pi }$

นักคณิตศาสตร์ชาวยุโรปคนสำคัญอื่นๆ ในศตวรรษที่ 18 ได้แก่โจเซฟ หลุยส์ ลากรองจ์ผู้ซึ่งทำงานบุกเบิกในทฤษฎีจำนวน พีชคณิต แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ และแคลคูลัสของการแปรผัน และปิแอร์-ซีมอง ลาปลาซผู้ซึ่งในยุคของนโปเลียน ทำงานสำคัญเกี่ยว ^กับรากฐานของกลศาสตร์ท้องฟ้าและสถิติ^{[ 203} ]

ตลอดศตวรรษที่ 19 คณิตศาสตร์มีความเป็นนามธรรมมากขึ้นเรื่อยๆ^{[ 204 ]}คาร์ล ฟรีดริช เกาส์ (1777–1855) ได้ทำการวิจัยปฏิวัติวงการเกี่ยวกับฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อนในเรขาคณิตและเกี่ยวกับการลู่เข้าของอนุกรม นอกเหนือจากผลงานมากมายของเขาในด้านวิทยาศาสตร์ เขายังได้พิสูจน์ ทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิตและกฎการแลกเปลี่ยนกำลังสองได้อย่างน่าพอใจเป็นครั้งแรกอีกด้วย^{[ 205 ]}

ในศตวรรษนี้ได้มีการพัฒนาเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิด สองรูปแบบ ซึ่งสมมติฐานเรื่องเส้นขนานของเรขาคณิตแบบยุคลิดไม่เป็นจริงอีกต่อไป นักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซียNikolai Ivanovich Lobachevskyและคู่แข่งของเขา นักคณิตศาสตร์ชาวฮังการีJános Bolyaiได้กำหนดและศึกษาเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก อย่างอิสระ ซึ่งความเป็นเอกลักษณ์ของเส้นขนานไม่เป็นจริงอีกต่อไป ในเรขาคณิตนี้ ผลรวมของมุมในสามเหลี่ยมมีค่าน้อยกว่า 180° เรขาคณิตวงรีได้รับการพัฒนาในภายหลังในศตวรรษที่ 19 โดยนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันBernhard Riemannซึ่งในเรขาคณิตวงรีนี้ไม่สามารถหาเส้นขนานได้ และผลรวมของมุมในสามเหลี่ยมมีค่ามากกว่า 180° Riemann ยังได้พัฒนาเรขาคณิตแบบ Riemannianซึ่งรวมและขยายเรขาคณิตทั้งสามประเภทอย่างกว้างขวาง และเขายังได้กำหนดแนวคิดของแมนิโฟลด์ซึ่งเป็นการขยายแนวคิดของเส้นโค้งและพื้นผิวและวางรากฐานทางคณิตศาสตร์สำหรับ ทฤษฎี สัมพัทธภาพทั่วไป^{[ 206 ]}

ศตวรรษที่ 19 เป็นจุดเริ่มต้นของพีชคณิตนามธรรมจำนวน มาก เฮอร์มันน์ กราสส์มันน์ในเยอรมนีได้เสนอแนวคิดเรื่องปริภูมิเวกเตอร์ เป็นครั้งแรก วิ ลเลียม โรวัน แฮมิลตันในไอร์แลนด์ได้พัฒนาพีชคณิตแบบไม่สลับที่ [ ^{207 ] [ 208 ] จอ}ร์จ บูลนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษได้คิดค้นพีชคณิตที่ต่อมาพัฒนาเป็นสิ่งที่เรียกว่าพีชคณิตบูลีนซึ่งมีเพียงตัวเลข 0 และ 1 เท่านั้น พีชคณิตบูลีนเป็นจุดเริ่มต้นของตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์และมีการประยุกต์ใช้ที่สำคัญในวิศวกรรมไฟฟ้าและวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ [ ^{209 ] ออ}กัสติน-หลุยส์ โคชี [ ^{210 ] [ 211 ] เบอร์}นาร์ด รีมันน์ [ ^{212 ] และ} คาร์ล ไวเออร์สตรัสได้ปรับปรุงแคลคูลัสให้มีความเข้มงวดมากขึ้น^{[ 213 ]}

นอกจากนี้ เป็นครั้งแรกที่มีการสำรวจขีดจำกัดของคณิตศาสตร์เปาโล รัฟฟินี , นีลส์ เฮนริก อาเบลและเอวาริสต์ กาโลอิสได้พิสูจน์ว่าไม่มีวิธีการทางพีชคณิตทั่วไปในการแก้สมการพหุนามที่มีดีกรีมากกว่าสี่ ( ทฤษฎีบทอาเบล-รัฟฟินี ) ^{[ 214 ]}นักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ ในศตวรรษที่ 19 ได้ใช้สิ่งนี้ในการพิสูจน์ว่าไม้บรรทัดและวงเวียนเพียงอย่างเดียวไม่เพียงพอที่จะแบ่งมุมใดๆ ออกเป็น สาม ส่วนเท่าๆ กัน สร้างด้านของลูกบาศก์ที่มีปริมาตรเป็นสองเท่าของลูกบาศก์ที่กำหนดหรือสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีพื้นที่เท่ากับวงกลมที่กำหนด [ ^{215 ] นัก}คณิตศาสตร์พยายามแก้ปัญหาเหล่านี้มาตั้งแต่สมัยกรีกโบราณแต่ก็ไม่สำเร็จ ในทางกลับกัน ข้อจำกัดของสามมิติในเรขาคณิตถูกก้าวข้ามไปในศตวรรษที่ 19 ผ่านการพิจารณา^{พื้นที่}พารามิเตอร์และจำนวนไฮเปอร์คอมเพล็กซ์^[ 216 ^]

การสืบสวนของ Abel และ Galois เกี่ยวกับการแก้สมการพหุนามต่างๆ ได้วางรากฐานสำหรับการพัฒนาทฤษฎีกลุ่ม ต่อไป และสาขาที่เกี่ยวข้องของพีชคณิตนามธรรม ในศตวรรษที่ 20 นักฟิสิกส์และนักวิทยาศาสตร์อื่นๆ ได้มองว่าทฤษฎีกลุ่มเป็นวิธี ^ที่เหมาะสมที่สุดในการศึกษาสมมาตร [ ^{217 ]}

ในช่วงปลายศตวรรษที่ 19 Georg Cantorได้วางรากฐานแรกของทฤษฎีเซตซึ่งทำให้สามารถจัดการกับแนวคิดเรื่องอนันต์ได้อย่างเข้มงวด และกลายเป็นภาษาทั่วไปของคณิตศาสตร์เกือบทั้งหมด ทฤษฎีเซตของ Cantor และการเกิดขึ้นของตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์ในมือของPeano , LEJ Brouwer , David Hilbert , Bertrand RussellและAN Whiteheadได้ก่อให้เกิดการถกเถียงกันมายาวนานเกี่ยวกับ^{รากฐาน}ของคณิตศาสตร์ [ ^{218 ]}

ในศตวรรษที่ 19 มีการก่อตั้งสมาคมคณิตศาสตร์ระดับชาติหลายแห่ง ได้แก่สมาคมคณิตศาสตร์ลอนดอนในปี 1865 ^{[ 219 ]}สมาคมคณิตศาสตร์แห่งฝรั่งเศสในปี 1872 ^{[ 220 ]}สมาคมคณิตศาสตร์แห่งปาแลร์โมในปี 1884 ^{[ 221 ] [ 222 ]}สมาคมคณิตศาสตร์เอดินบะระในปี 1883 ^{[ 223 ]}และสมาคมคณิตศาสตร์อเมริกันในปี 1888 ^{[ 224} ] สมาคมระหว่างประเทศเฉพาะทางแห่งแรกคือสมาคมควอเทอร์เนียนก่อตั้งขึ้นในปี 1899 ในบริบทของ ข้อโต้แย้ง เกี่ยว^กับเวกเตอร์^{[ 225 ]}ในปี 1897 เคิร์ต เฮนเซลได้นำเสนอจำนวน p- adic ^{[ 226 ]}

ในศตวรรษที่ 20 คณิตศาสตร์ได้กลายเป็นวิชาชีพหลัก ในช่วงปลายศตวรรษ มีการมอบปริญญาเอกด้านคณิตศาสตร์ใหม่หลายพันคนทุกปี และมีงานว่างทั้งในด้านการสอนและอุตสาหกรรม^{[ 227 ]}ความพยายามในการจัดทำรายการสาขาและการประยุกต์ใช้คณิตศาสตร์ได้ดำเนินการในสารานุกรมของไคลน์^{[ 228 ]}

ในการกล่าวสุนทรพจน์ต่อที่ประชุมนานาชาติของนักคณิตศาสตร์ใน ปี ค.ศ. 1900 เดวิด ฮิลเบิร์ตได้ระบุรายการปัญหาที่ยังแก้ไม่ตกในวิชาคณิตศาสตร์จำนวน 23 ข้อ [ ^{229 ] ปัญหา}เหล่านี้ครอบคลุมหลายสาขาของคณิตศาสตร์ และเป็นจุดสนใจหลักของคณิตศาสตร์ในศตวรรษที่ 20 10 ข้อได้รับการแก้ไขแล้ว 7 ข้อได้รับการแก้ไขบางส่วน และ 2 ข้อยังคงเปิดอยู่ ส่วนอีก 4 ข้อที่เหลือมีรูปแบบที่ไม่ชัดเจนเกินกว่าจะระบุได้ว่าได้รับการแก้ไขแล้วหรือไม่^{[ 230 ]}

ข้อสันนิษฐานทางประวัติศาสตร์ที่สำคัญได้รับการพิสูจน์ในที่สุด ในปี 1976 Wolfgang HakenและKenneth Appelได้พิสูจน์ทฤษฎีบทสี่สีซึ่งเป็นที่ถกเถียงกันในขณะนั้นเนื่องจากการใช้คอมพิวเตอร์ในการพิสูจน์^{[ 231 ]} Andrew Wiles ได้พิสูจน์ ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ในปี 1995 โดยอาศัยผลงานของผู้อื่น^{[ 232 ]} Paul CohenและKurt Gödelได้พิสูจน์ว่าสมมติฐานความต่อเนื่องเป็นอิสระจาก (ไม่สามารถพิสูจน์หรือหักล้างได้จาก) สัจพจน์มาตรฐานของทฤษฎีเซต [ ^{233 ] ใน}ปี 1998 Thomas Callister Halesได้พิสูจน์ข้อสันนิษฐานของเคปเลอร์โดยใช้คอมพิวเตอร์เช่นกัน^{[ 234 ]}

การทำงานร่วมกันทางคณิตศาสตร์ที่มีขนาดและขอบเขตที่ไม่เคยมีมาก่อนได้เกิดขึ้น ตัวอย่างเช่น การจำแนกกลุ่มง่ายจำกัด (เรียกอีกอย่างว่า "ทฤษฎีบทอันใหญ่โต") ซึ่งการพิสูจน์ระหว่างปี 1955 ถึง 2004 ต้องใช้บทความวารสารกว่า 500 บทความโดยผู้เขียนประมาณ 100 คน และมีจำนวนหน้านับหมื่นหน้า^{[ 235 ]}กลุ่มนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส รวมถึงJean DieudonnéและAndré Weilได้ตีพิมพ์ผลงานภายใต้นามแฝง " Nicolas Bourbaki " โดยพยายามอธิบายคณิตศาสตร์ที่รู้จักทั้งหมดให้เป็นองค์รวมที่สอดคล้องกันและเข้มงวด ผลงานหลายสิบเล่มที่ได้นั้นมีอิทธิพลที่ก่อให้เกิดข้อถกเถียงต่อการศึกษาคณิตศาสตร์^{[ 236 ]}

เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์เริ่มมีบทบาทสำคัญเมื่ออัลเบิร์ต ไอน์สไตน์นำไปใช้ใน ทฤษฎีสั มพัทธภาพทั่วไป^{[ 237 ]}สาขาคณิตศาสตร์ใหม่ ๆ เช่นตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์โทโพโลยีและทฤษฎีเกมของจอห์น ฟอน นอยมัน น์ ได้เปลี่ยนประเภทของคำถามที่สามารถตอบได้ด้วยวิธีการทางคณิตศาสตร์โครงสร้าง ทุกประเภท ถูกทำให้เป็นนามธรรมโดยใช้สัจพจน์และตั้งชื่อ เช่นปริภูมิเมตริกปริภูมิโทโพโลยีเป็นต้น^{[ 238 ]}แนวคิดของโครงสร้างนามธรรมเองก็ถูกทำให้เป็นนามธรรมและนำไปสู่ทฤษฎีหมวดหมู่^{[ 239 ]}โกรเทนดีคและแซร์ ได้ ปรับปรุงเรขาคณิตเชิงพีชคณิตโดยใช้ทฤษฎีชีฟ [ ^{240 ] มี}ความก้าวหน้าอย่างมากในการศึกษาเชิงคุณภาพของระบบพลวัตที่ปวงกาเรได้เริ่มต้นไว้ในทศวรรษ 1890 ^{[ 241 ]}ทฤษฎีการวัดได้รับการพัฒนาในช่วงปลายศตวรรษที่ 19 และต้นศตวรรษที่ 20 การประยุกต์ใช้การวัด ได้แก่อินทิกรัลของเลเบส , การวางสัจพจน์ของทฤษฎีความน่าจะเป็นของ โคลโมโก รอฟ^{[ 242 ]}และทฤษฎีเออร์โกดิก ทฤษฎีปมได้รับการขยายอย่างมาก^{[ 243 ]}กลศาสตร์ควอน ตัม ช่วยในการพัฒนาการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน^{[ 244 ]}ซึ่งเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่พัฒนาโดยสเตฟาน บานาคและผู้ร่วมงานของเขาซึ่งก่อตั้งโรงเรียนคณิตศาสตร์ลวีฟ [ ^{245 ] สาขา}ใหม่ๆ อื่นๆ ได้แก่ทฤษฎีการกระจายของลอเรนต์ ชวาร์ตซ์ , ทฤษฎีจุดตรึง , ทฤษฎีเอกภาวะและ ทฤษฎี หายนะของเรเน่ ธอม , ทฤษฎีแบบจำลองและแฟรกทัลของแมนเดลบร็อต [ ^{246 ] ทฤษฎี}ลีพร้อมด้วยกลุ่มลีและพีชคณิตลีกลายเป็นหนึ่งในสาขาการศึกษาที่สำคัญ^{[ 247 ]}

การวิเคราะห์แบบไม่มาตรฐานซึ่งนำเสนอโดยAbraham Robinsonได้ฟื้นฟู แนวทางการคำนวณ เชิงอนันต์ซึ่งเสื่อมเสียชื่อเสียงไปเพราะทฤษฎีลิมิตโดยขยายขอบเขตของจำนวนจริงไปสู่จำนวนไฮเปอร์เรียลซึ่งรวมถึงปริมาณอนันต์และอนันต์^{[ 248 ]}ระบบจำนวนที่ใหญ่กว่านั้นอีก คือจำนวนเหนือจริงถูกค้นพบโดยJohn Horton Conwayในส่วนที่เกี่ยวข้องกับเกมเชิงการจัดเรียง^{[ 249 ]}

การพัฒนาและการปรับปรุงอย่างต่อเนื่องของคอมพิวเตอร์เริ่มจากเครื่องจักรเชิงกลแบบอนาล็อก แล้วต่อมาเป็นเครื่องจักรดิจิทัลอิเล็กทรอนิกส์ ทำให้ภาคอุตสาหกรรมสามารถจัดการกับข้อมูลจำนวนมหาศาล เพื่ออำนวยความสะดวกในการผลิต การจัดจำหน่าย และการสื่อสาร และได้มีการพัฒนาสาขาคณิตศาสตร์ใหม่ๆ เพื่อรองรับสิ่งนี้ เช่นทฤษฎีความสามารถในการคำนวณของอลัน ทัวริง ; ทฤษฎีความซับซ้อน ; การใช้ ENIACของเดอร์ริก เฮนรี เลห์เมอร์เพื่อพัฒนาทฤษฎีจำนวนและการทดสอบความเป็นจำนวนเฉพาะของลูคัส-เลห์เมอร์ ; ทฤษฎีฟังก์ชันเวียนเกิดของโรซา ปีเตอร์ ; ทฤษฎีสารสนเทศของโคลด แชน นอน ; การประมวลผลสัญญาณ ; การวิเคราะห์ข้อมูล ; การเพิ่มประสิทธิภาพและสาขาอื่นๆ ของการวิจัยเชิงปฏิบัติการในศตวรรษก่อนหน้านี้ คณิตศาสตร์ส่วนใหญ่มุ่งเน้นไปที่แคลคูลัสและฟังก์ชันต่อเนื่อง แต่การเกิดขึ้นของคอมพิวเตอร์และเครือข่ายการสื่อสารนำไปสู่ความสำคัญที่เพิ่มขึ้นของ แนวคิด แบบไม่ต่อเนื่องและการขยายตัวของคณิตศาสตร์เชิงการจัด เรียง รวมถึงทฤษฎีกราฟ ความเร็วและความสามารถในการประมวลผลข้อมูลของคอมพิวเตอร์ยังช่วยให้สามารถจัดการกับปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่ใช้เวลานานเกินกว่าจะจัดการได้ด้วยการคำนวณด้วยดินสอและกระดาษ ซึ่งนำไปสู่สาขาต่างๆ เช่นการวิเคราะห์เชิงตัวเลขและพีชคณิตคอมพิวเตอร์^{[ 250 ]} วิธีการและ อัลกอริธึมที่สำคัญที่สุดบางส่วนในศตวรรษที่ 20 ได้แก่อัลกอริธึมซิมเพล็กซ์ การแปลงฟูริเยร์ แบบเร็วรหัสแก้ไขข้อผิดพลาดตัวกรองคาลมานจากทฤษฎีการควบคุมและ อัลกอริธึ ม RSAของการเข้ารหัสแบบกุญแจสาธารณะ

ในขณะเดียวกัน ก็มีการค้นพบอย่างลึกซึ้งเกี่ยวกับข้อจำกัดของคณิตศาสตร์ ในปี พ.ศ. 2462 และ พ.ศ. 2473 Mojżesz Presburger ได้พิสูจน์ ว่าความจริงหรือความเท็จของข้อความทั้งหมดที่กำหนดเกี่ยวกับจำนวนธรรมชาติบวกกับการบวกหรือการคูณ (แต่ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง) สามารถตัดสินได้ กล่าวคือ สามารถกำหนดได้ด้วยอัลกอริทึมบางอย่าง^{[ 251 ] [ 252 ] [ 253 ]}ในปี พ.ศ. 2474 Kurt Gödelพบว่ากรณีนี้ไม่เป็นเช่นนั้นสำหรับจำนวนธรรมชาติบวกกับการบวกและการคูณ ระบบนี้ซึ่งรู้จักกันในชื่อเลขคณิตของ Peanoนั้นไม่สมบูรณ์ (พีชคณิตของ Peano เพียงพอสำหรับทฤษฎีจำนวนจำนวน มาก รวมถึงแนวคิดเรื่องจำนวนเฉพาะ ) ผลที่ตามมาของทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ สองข้อของ Gödel คือ ในระบบคณิตศาสตร์ใดๆ ที่รวมพีชคณิตของ Peano (รวมถึง การวิเคราะห์ และเรขาคณิต ทั้งหมด) ความจริงย่อมแซงหน้าการพิสูจน์ กล่าวคือ มีข้อความที่เป็นจริงที่ไม่สามารถพิสูจน์ได้ภายในระบบ ดังนั้นคณิตศาสตร์จึงไม่สามารถลดทอนลงเหลือตรรกะทางคณิตศาสตร์ได้ และ ความฝันของ David Hilbertที่ต้องการทำให้คณิตศาสตร์ทั้งหมดสมบูรณ์และสอดคล้องกันจำเป็นต้องได้รับการกำหนดใหม่^{[ 254 ]}

หนึ่งในบุคคลที่มีสีสันที่สุดในคณิตศาสตร์ศตวรรษที่ 20 คือSrinivasa Ramanujan (1887–1920) นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดีย^ที่เรียนรู้ด้วยตนเอง^{[ 255 ]}ผู้ซึ่งตั้งสมมติฐานหรือพิสูจน์ทฤษฎีบทมากกว่า 3000 ทฤษฎี^{[ 256 ]}รวมถึงคุณสมบัติของจำนวนประกอบสูง [ ^{257 ]}ฟังก์ชันพาร์ติชัน^{[ 255 ]}และ ลักษณะเชิงอะ ซิม โท ติก^{[ 258 ]}และฟังก์ชันม็อกทีตา [ ^{255 ] เขายัง}ทำการวิจัยที่สำคัญในด้านฟังก์ชันแกมมา [ ^{259 ] [ 260 ]} รูปแบบมอดู ลาร์^{[ 255 ]}อนุกรมลู่เข้า^{[ 255 ]}อนุกรมไฮเปอร์จีโอเมตริก^{[ 255 ]}และทฤษฎีจำนวนเฉพาะ^{[ 255 ]}

Paul Erdősตีพิมพ์บทความมากกว่านักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ ในประวัติศาสตร์^{[ 261 ]}โดยทำงานร่วมกับผู้ร่วมงานหลายร้อยคน นักคณิตศาสตร์มีเกมที่เทียบเท่ากับเกม Kevin Baconซึ่งนำไปสู่หมายเลข Erdősของนักคณิตศาสตร์ หมายเลขนี้อธิบายถึง "ระยะห่างในการทำงานร่วมกัน" ระหว่างบุคคลกับ Erdős ซึ่งวัดจากจำนวนผู้เขียนร่วมในบทความทางคณิตศาสตร์^{[ 262 ] [ 263 ]}

เอมมี เนอเธอร์ได้ รับการ ^{ยกย่อง}จากหลายคนว่าเป็นผู้หญิงที่สำคัญที่สุดในประวัติศาสตร์ของคณิตศาสตร์^{[ 264 ]}เธอศึกษาทฤษฎีของวงแหวนฟิลด์และพีชคณิต^[ 265 ^]

เช่นเดียวกับในสาขาวิชาส่วนใหญ่ การระเบิดของความรู้ในยุควิทยาศาสตร์นำไปสู่ความเชี่ยวชาญเฉพาะด้าน: เมื่อสิ้นศตวรรษ มีสาขาเฉพาะทางหลายร้อยสาขาในคณิตศาสตร์ และการจัดหมวดหมู่วิชาคณิตศาสตร์มีความยาวหลายสิบหน้า^{[ 266 ]} มีการตีพิมพ์ วารสารคณิตศาสตร์มากขึ้นเรื่อยๆและเมื่อสิ้นศตวรรษ การพัฒนาของเวิลด์ไวด์เว็บนำไปสู่การเผยแพร่ทางออนไลน์

ในปี พ.ศ. 2543 สถาบันคณิตศาสตร์เคลย์ ได้ประกาศ ปัญหารางวัลแห่งสหัสวรรษทั้งเจ็ดข้อ[ ^{267 ] ใน}ปี พ.ศ. 2546 ข้อสันนิษฐานของปวงกาเรได้รับการแก้ไขโดยกริกอรี เพเรลแมน (ซึ่งปฏิเสธที่จะรับรางวัล เนื่องจากเขาวิจารณ์สถาบันคณิตศาสตร์) ^{[ 268 ]}

ปัจจุบันวารสารคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่มีทั้งฉบับออนไลน์และฉบับพิมพ์ และวารสารออนไลน์จำนวนมากก็เปิดตัว^{[ 269 ] [ 270 ]}มีแรงผลักดันที่เพิ่มขึ้นไปสู่การเผยแพร่แบบเปิดซึ่งเริ่มเป็นที่นิยมโดย arXiv

ปัญหาสำคัญอื่นๆ อีกมากมายได้รับการแก้ไขในศตวรรษนี้ ตัวอย่างเช่นทฤษฎีบทกรีน-เทา (2004) การมีอยู่ของช่องว่างที่มีขอบเขตระหว่างจำนวนเฉพาะขนาดใหญ่ใดๆ (2013) และทฤษฎีบทโมดูลาริตี (2001) การทดสอบความเป็นจำนวนเฉพาะ AKSได้รับการตีพิมพ์ในปี 2002 ซึ่งเป็นอัลกอริทึมแรกที่สามารถตรวจสอบได้ว่าจำนวนใดเป็นจำนวนเฉพาะหรือจำนวนประกอบในเวลาพหุนามฮาราลด์ เฮลฟ์ก็อตต์ ได้ตีพิมพ์บทพิสูจน์ของสมมติฐานอ่อนของโกลด์บัคในปี 2013 และจนถึงปี 2025 บทพิสูจน์นี้ยังไม่ได้รับการตรวจสอบอย่างครบถ้วนไอน์สไตน์ คนแรก ถูกค้นพบในปี 2023

นอกจากนี้ ยังมีการดำเนินงานมากมายสำหรับโครงการระยะยาวที่เริ่มต้นในศตวรรษที่ 20 ตัวอย่างเช่นการจำแนกกลุ่มง่ายจำกัดเสร็จสมบูรณ์ในปี 2008 ในทำนองเดียวกัน งานในโครงการ Langlandsก็มีความคืบหน้าอย่างมาก และมีการพิสูจน์บทพิสูจน์พื้นฐาน (2008) รวมถึงการเสนอการพิสูจน์ความสัมพันธ์เชิงเรขาคณิตของ Langlandsในปี 2024

คาดการณ์ว่าอนาคตของคณิตศาสตร์จะได้รับอิทธิพลอย่างมากจากการบูรณาการวิธีการคำนวณขั้นสูง แม้ว่าผลที่ตามมาทางญาณวิทยาที่แท้จริงยังคงเป็นหัวข้อของการถกเถียงทางวิชาการอย่างต่อเนื่อง^{[ 271 ]}การใช้ปัญญาประดิษฐ์ (AI) และโปรแกรมพิสูจน์ทฤษฎีบทอัตโนมัติ เช่นCoqและLeanกำลังได้รับความนิยมมากขึ้นในการตรวจสอบอย่างเป็นทางการของทฤษฎีบทที่ซับซ้อน ในขณะที่ผู้สนับสนุนเสนอว่าการบูรณาการนี้อาจช่วยเพิ่มความเข้มงวดทางตรรกะ นักวิชาการบางคนโต้แย้งว่าอาจบดบังความเข้าใจพื้นฐานของมนุษย์ได้ หากการพิสูจน์มีความซับซ้อนในการคำนวณมากเกินไปจนมนุษย์ไม่สามารถตรวจสอบได้อย่างอิสระ^{[ 272 ]}นอกจากนี้ การประยุกต์ใช้ อัลกอริธึม การเรียนรู้ของเครื่องเพื่อระบุรูปแบบฮิวริสติกในสาขาต่างๆ เช่นทฤษฎีปมคาดว่าจะช่วยเร่งการค้นพบทางคณิตศาสตร์ อย่างไรก็ตาม การพึ่งพาขั้นตอนวิธีจำเป็นต้องมีการตรวจสอบทางญาณวิทยาอย่างระมัดระวังเกี่ยวกับการตรวจสอบได้^{[ 273 ]}

ในขอบเขตของคณิตศาสตร์ประยุกต์ การพัฒนาเชิงทฤษฎีของการคำนวณควอนตัมได้รับการคาดการณ์อย่างกว้างขวางว่าจะทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงกระบวนทัศน์ในด้านการเข้ารหัสลับ อัลกอริทึมเช่นอัลกอริทึมของ Shorมีความสามารถเชิงทฤษฎีในการแยกตัวประกอบจำนวนเฉพาะขนาดใหญ่ได้อย่างมีประสิทธิภาพ ซึ่งอาจส่งผลกระทบต่อระบบการเข้ารหัสลับแบบกุญแจสาธารณะที่ใช้กันอย่างแพร่หลาย เช่นRSA [ ^{274 ]}ด้วยเหตุนี้ นักวิจัยจึงกำลังพัฒนาการเข้ารหัสลับหลังควอนตัม อย่าง ^{แข็งขัน}ซึ่งเป็นสาขาที่พึ่งพาเรขาคณิตเชิงพีชคณิตและโครงสร้างแบบแลตทิซอย่างมาก อย่างไรก็ตาม ระยะเวลาสำหรับการออกแบบคอมพิวเตอร์ควอนตัมที่ปรับขนาดได้และทนต่อข้อผิดพลาดในทางปฏิบัติยังคงไม่แน่นอนอย่างมาก ทำให้ความเร่งด่วนของการเปลี่ยนผ่านทางการเข้ารหัสลับนี้เป็นหัวข้อของการคาดการณ์เชิงทฤษฎี^{[ 275 ]}

นอกจากนี้ การขยายตัวของชุดข้อมูลเชิงประจักษ์ขนาดใหญ่ ซึ่งโดยทั่วไปเรียกว่าบิ๊กดาต้าได้กระตุ้นให้เกิดการพัฒนาการวิเคราะห์ข้อมูลเชิงโทโพโลยี (TDA) สาขาวิชาสหวิทยาการนี้พยายามนำแนวคิดทางเรขาคณิตและโทโพโลยีเชิงนามธรรมมาใช้เพื่อระบุคุณลักษณะเชิงโครงสร้างในข้อมูลที่มีสัญญาณรบกวนและมิติสูง^{[ 276 ]}แม้จะมีศักยภาพ แต่การนำแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เชิงกำหนดมาใช้กับระบบทางชีววิทยาหรือสังคมวิทยาที่มีลักษณะสุ่มโดยธรรมชาติ จะต้องดำเนินการด้วยความระมัดระวังอย่างยิ่งเพื่อหลีกเลี่ยงการสับสนระหว่างความผิดปกติทางสถิติกับกลไกเชิงสาเหตุที่แท้จริง

• Aaboe, Asger (1964). เหตุการณ์จากประวัติศาสตร์ยุคแรกของคณิตศาสตร์ . นิวยอร์ก: Random House.
• เบลล์, อีที (1937). บุรุษแห่งคณิตศาสตร์ . ไซมอน แอนด์ ชูสเตอร์.
• เบอร์ตัน, เดวิด เอ็ม. (1997). ประวัติศาสตร์ของคณิตศาสตร์: บทนำ . แมคกรอว์ ฮิลล์.
• Grattan-Guinness, Ivor (2003). สารานุกรมประกอบประวัติศาสตร์และปรัชญาของวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยจอห์นส์ฮอปกินส์ ISBN 978-0-8018-7397-3.
• ไคลน์, มอร์ริส . ความคิดทางคณิตศาสตร์จากยุคโบราณถึงยุคปัจจุบัน .
• Struik, DJ (1987). ประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ฉบับย่อฉบับปรับปรุงครั้งที่สี่ สำนักพิมพ์โดเวอร์ นิวยอร์ก

• กิลลิงส์, ริชาร์ด เจ. (1972). คณิตศาสตร์ในสมัยฟาโรห์ . เคมบริดจ์, แมสซาชูเซตส์: สำนักพิมพ์ MIT.
• ฮีธ, โทมัส ลิตเติล (1921). ประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์กรีก . อ็อกซ์ฟอร์ด, สำนักพิมพ์แคลเรดอน.
• ฟาน เดอร์ วอเดน, บีแอล (1983) เรขาคณิตและพีชคณิตในอารยธรรมโบราณ , สปริงเกอร์, ISBN 0-387-12159-5.

• คอร์รี, ลีโอ (2015), ประวัติโดยย่อของตัวเลข , สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด, ISBN 978-0198702597
• ฮอฟฟ์แมน, พอล (1998). ชายผู้รักเพียงตัวเลข: เรื่องราวของพอล เออร์โดส และการแสวงหาความจริงทางคณิตศาสตร์ไฮเปอเรียนISBN 0-7868-6362-5.
• เมนนิงเกอร์, คาร์ล ดับเบิลยู. (1969). คำบอกจำนวนและสัญลักษณ์บอกจำนวน: ประวัติศาสตร์ทางวัฒนธรรมของตัวเลข . สำนักพิมพ์ MIT. ISBN 978-0-262-13040-0.
• สติกล์เลอร์, สตีเฟน เอ็ม. (1990). ประวัติศาสตร์ของสถิติ: การวัดความไม่แน่นอนก่อนปี 1900.สำนักพิมพ์เบลกแนป. ISBN 978-0-674-40341-3.

Wikiquote มีคำคมที่เกี่ยวข้องกับประวัติศาสตร์ของคณิตศาสตร์

• BBC (2008). เรื่องราวของคณิตศาสตร์ .
• คณิตศาสตร์ยุคเรเนสซองส์การสนทนาทางวิทยุ BBC Radio 4 กับ Robert Kaplan, Jim Bennett และ Jackie Stedall ( ในยุคของเรา , 2 มิถุนายน 2005)

• คลังข้อมูลประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ MacTutor (จอห์น เจ. โอคอนเนอร์ และ เอ็ดมันด์ เอฟ. โรเบิร์ตสัน; มหาวิทยาลัยเซนต์แอนดรูว์ ประเทศสกอตแลนด์) เว็บไซต์ที่ได้รับรางวัล ซึ่งประกอบด้วยชีวประวัติโดยละเอียดของนักคณิตศาสตร์ในอดีตและปัจจุบันหลายท่าน รวมถึงข้อมูลเกี่ยวกับเส้นโค้งที่โดดเด่นและหัวข้อต่างๆ ในประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์
• หน้าหลักประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ ( เดวิด อี. จอยซ์ ; มหาวิทยาลัยคลาร์ก) บทความเกี่ยวกับหัวข้อต่างๆ ในประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ พร้อมบรรณานุกรมที่ครอบคลุม
• ประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ (เดวิด อาร์. วิลกินส์; วิทยาลัยทรินิตี้ ดับลิน) รวบรวมเอกสารเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ระหว่างศตวรรษที่ 17 ถึง 19
• การใช้คำศัพท์ทางคณิตศาสตร์ที่เก่าแก่ที่สุดเท่าที่ทราบ (เจฟฟ์ มิลเลอร์) ประกอบด้วยข้อมูลเกี่ยวกับการใช้คำศัพท์ทางคณิตศาสตร์ที่เก่าแก่ที่สุดเท่าที่ทราบ
• การใช้สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ต่างๆ ในยุคแรกเริ่ม (เจฟฟ์ มิลเลอร์) ประกอบด้วยข้อมูลเกี่ยวกับประวัติความเป็นมาของสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์
• คำศัพท์ทางคณิตศาสตร์: ที่มาและแหล่งที่มา (จอห์น อัลดริช, มหาวิทยาลัยเซาแธมป์ตัน) กล่าวถึงที่มาของคำศัพท์ทางคณิตศาสตร์สมัยใหม่
• ชีวประวัติของนักคณิตศาสตร์หญิง (แลร์รี ริดเดิล; วิทยาลัยแอกเนส สก็อตต์)
• นักคณิตศาสตร์แห่งชาวแอฟริกันพลัดถิ่น (สกอตต์ ดับเบิลยู. วิลเลียมส์; มหาวิทยาลัยบัฟฟาโล)
• หมายเหตุสำหรับมินิคอร์ส MAA: การสอนวิชาประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ (2009) ( วี. เฟรเดอริค ริคกีย์และวิคเตอร์ เจ. แคทซ์ )
• กรุงโรมโบราณ: เครื่องวัดระยะทางของวิตรูฟการจำลองแบบภาพเคลื่อนไหวของเครื่องวัดระยะทางโรมันของวิตรูฟ

• เอกสารบรรณานุกรมผลงานและจดหมายโต้ตอบของนักคณิตศาสตร์ฉบับวันที่ 17 มีนาคม 2550 (สตีเวน ดับเบิลยู. ร็อกกีย์; หอสมุดมหาวิทยาลัยคอร์เนลล์)

• คณะกรรมการระหว่างประเทศว่าด้วยประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์

• Historia Mathematica
• บทความ เรื่อง Convergence ถูกเก็บถาวรไว้เมื่อวันที่ 8 กันยายน 2020 ที่Wayback Machineซึ่งเป็นนิตยสารประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ออนไลน์ของสมาคมคณิตศาสตร์แห่งอเมริกา
• ประวัติศาสตร์ของคณิตศาสตร์ถูกเก็บถาวรเมื่อวันที่ 4 ตุลาคม 2549 ที่Wayback Machine Math Archives (มหาวิทยาลัยเทนเนสซี น็อกซ์วิลล์)
• ประวัติ/ชีวประวัติเวทีสนทนาคณิตศาสตร์ (มหาวิทยาลัยเดร็กเซล)
• ประวัติศาสตร์ของคณิตศาสตร์ (หอสมุดอนุสรณ์คอร์ทไรท์)
• ประวัติความเป็นมาของเว็บไซต์คณิตศาสตร์ที่เก็บถาวรไว้เมื่อวันที่ 25 พฤษภาคม 2552 ที่Wayback Machine (เดวิด คาลวิส; วิทยาลัยบอลด์วิน-วอลเลซ)
• Historia de las Matemáticas (มหาวิทยาลัยเดอลาลากูนา)
• História da Matemática (มหาวิทยาลัยโกอิมบรา)
• การนำประวัติศาสตร์มาใช้ในชั้นเรียนคณิตศาสตร์
• แหล่งข้อมูลทางคณิตศาสตร์: ประวัติศาสตร์ของคณิตศาสตร์ (บรูโน เควิอุส)
• ประวัติศาสตร์ของคณิตศาสตร์ (โรแบร์ตา ทุชชี)