ในทางคณิตศาสตร์การลดรูปหมายถึงการเขียนนิพจน์ใหม่ให้อยู่ในรูปแบบที่ง่ายกว่า ตัวอย่างเช่น กระบวนการเขียนเศษส่วน ใหม่ ให้มีตัวส่วนเป็นจำนวนเต็มที่เล็กที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ (โดยที่ตัวเศษยังคงเป็นจำนวนเต็ม) เรียกว่า " การลดรูปเศษส่วน " การเขียน นิพจน์ ที่มีราก (หรือ "ราก") ใหม่โดยใช้จำนวนเต็มที่เล็กที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ใต้สัญลักษณ์ราก เรียกว่า "การลดรูปราก" การลดจำนวนรากที่ปรากฏอยู่ใต้รากอื่นๆ ในนิพจน์ให้เหลือน้อยที่สุด เรียกว่าการกำจัดราก

ในพีชคณิตเชิงเส้นการลดรูปหมายถึงการใช้กฎง่ายๆ กับชุดสมการหรือเมทริกซ์เพื่อเปลี่ยนให้เป็นรูปแบบที่เรียบง่ายกว่า ในกรณีของเมทริกซ์ กระบวนการนี้เกี่ยวข้องกับการจัดการแถวหรือคอลัมน์ของเมทริกซ์ ดังนั้นจึงมักเรียกว่าการลดรูปแถวหรือการลดรูปคอลัมน์ตามลำดับ บ่อยครั้งที่เป้าหมายของการลดรูปคือการแปลงเมทริกซ์ให้เป็น " รูปแบบขั้น บันไดลดรูปแถว " หรือ "รูปแบบขั้นบันไดแถว" ซึ่งเป็นเป้าหมายของการกำจัดแบบเกาส์เซียน

ในวิชาแคลคูลัสการลดรูปหมายถึงการใช้เทคนิคการอินทิเกรตโดยส่วนเพื่อประเมินค่าอินทิกรัลโดยการลดรูปให้เป็นรูปแบบที่ง่ายกว่า

ในการวิเคราะห์พลวัตการลดแบบสถิตหมายถึงการลดจำนวนองศาอิสระ การลดแบบสถิตยังสามารถใช้ในการวิเคราะห์องค์ประกอบจำกัดเพื่อหมายถึงการทำให้ปัญหาพีชคณิตเชิงเส้นง่ายขึ้น เนื่องจาก1การลดแบบสถิตต้องใช้ขั้นตอนการผกผันหลายขั้นตอน จึงเป็นการดำเนินการเมทริกซ์ที่มีค่าใช้จ่ายสูงและมีแนวโน้มที่จะเกิดข้อผิดพลาดในคำตอบ พิจารณาระบบสมการเชิงเส้นต่อไปนี้ในปัญหา FEA:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}K_{11}&K_{12}\\K_{21}&K_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}F_{1}\\F_{2}\end{bmatrix}}}$

โดยที่ KและFเป็นที่ทราบแล้ว และK , xและFถูกแบ่งออกเป็นเมทริกซ์ย่อยดังที่แสดงไว้ข้างต้น หากF ₂มีแต่ศูนย์ และต้องการ เพียง x _{1 เท่านั้น} Kสามารถลดรูปเพื่อให้ได้ระบบสมการต่อไปนี้

${\displaystyle {\begin{bmatrix}K_{11,{\text{reduced}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}F_{1}\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle K_{11,{\text{reduced}}}}$ได้มาจากการเขียนชุดสมการดังต่อไปนี้:

${\displaystyle K_{11}x_{1}+K_{12}x_{2}=F_{1}}$

1

${\displaystyle K_{21}x_{1}+K_{22}x_{2}=0}$

2

สมการ ( 2 ) สามารถแก้หาได้(โดยสมมติว่าสามารถผกผันได้ ) : ${\displaystyle x_{2}}$${\displaystyle K_{22}}$

${\displaystyle -K_{22}^{-1}K_{21}x_{1}=x_{2}.}$

และการแทนค่าลงใน ( 1 ) จะได้

${\displaystyle K_{11}x_{1}-K_{12}K_{22}^{-1}K_{21}x_{1}=F_{1}.}$

ดังนั้น

${\displaystyle K_{11,{\text{reduced}}}=K_{11}-K_{12}K_{22}^{-1}K_{21}.}$

ในทำนองเดียวกัน แถวหรือคอลัมน์i ใดๆ ของF ที่มีค่าเป็นศูนย์สามารถถูกกำจัดได้ หาก ไม่ต้องการค่าx _i ที่สอดคล้องกัน เมทริกซ์ K ที่ลดขนาดแล้ว สามารถลดขนาดลงได้อีก อนึ่ง เนื่องจากแต่ละการลดขนาดต้องใช้การผกผัน และการผกผันแต่ละครั้งเป็นการดำเนินการที่มีต้นทุนการคำนวณO ( n ³ )เมทริกซ์ขนาดใหญ่ส่วนใหญ่จึงถูกประมวลผลล่วงหน้าเพื่อลดเวลาในการคำนวณ

ในศตวรรษที่ 9 อัล-ควาริซมีนักคณิตศาสตร์ชาวเปอร์เซีย ได้นำเสนอแนวคิดพื้นฐานของ "การลดรูป" และ "การปรับสมดุล" ในหนังสืออั ล- จาบรซึ่ง หมายถึงการสลับตำแหน่งของพจน์ที่ถูกลบไปอีกด้านหนึ่งของสมการ และการตัดพจน์ที่เหมือนกันที่อยู่ตรงข้ามกันของสมการ นี่คือการดำเนินการที่อัล-ควาริซมีได้อธิบายไว้ในชื่อ อัล-จาบร^{[ 1 ]}ชื่อ " พีชคณิต " มาจาก " อัล-จาบร " ในชื่อหนังสือของเขา