เศษส่วน(จากภาษาละติน : fractus , "แตก") หมายถึงส่วนหนึ่งของทั้งหมด หรือโดยทั่วไปแล้ว หมายถึงจำนวนส่วนที่เท่ากัน เมื่อพูดในภาษาอังกฤษทั่วไป เศษส่วนจะอธิบายว่ามีกี่ส่วนที่มีขนาดที่กำหนด เช่น หนึ่งในสอง แปดในห้า สามในสี่ เศษส่วนอย่างง่าย (ตัวอย่าง: ⁠1/2และ​​17/3เศษส่วน ⁠ ประกอบด้วยตัวเศษที่ เป็นจำนวนเต็ม ซึ่งแสดงอยู่เหนือเส้น (หรือก่อนเครื่องหมายทับ เช่น1/2 )และตัวส่วนที่เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์ ซึ่งแสดงอยู่ใต้ (หรือหลัง) เส้นนั้น หากจำนวนเต็มเหล่านี้ เป็นบวก ตัวเศษจะแสดงถึงจำนวนส่วนที่เท่ากัน และตัวส่วนจะแสดงว่าส่วนเหล่านั้นกี่ส่วนที่ประกอบกันเป็นหนึ่งหน่วยหรือทั้งหมด ตัวอย่างเช่น ในเศษส่วน⁠3/4โดยที่ตัวเศษ 3 แสดงว่าเศษส่วนนั้นประกอบด้วย 3 ส่วนเท่าๆ กัน และตัวส่วน 4 แสดงว่า 4 ส่วนรวมกันเป็นหนึ่งส่วนทั้งหมด ภาพทางด้านขวามือแสดงให้เห็นถึงสิ่งนี้3/4ของเค้ก

เศษส่วนสามารถใช้แทนอัตราส่วนและการหารได้^{[ 1 ]}ดังนั้นเศษส่วน⁠3/4สามารถใช้เพื่อแสดงอัตราส่วน 3:4 (อัตราส่วนของส่วนต่อส่วนทั้งหมด) และการหาร3 ÷ 4 (สามหารด้วยสี่)

เศษส่วนติดลบแสดงถึงค่าตรงข้ามของเศษส่วนบวก ตัวอย่างเช่น ถ้า⁠1/2แสดงถึงกำไรครึ่งดอลลาร์ ดังนั้น−1/2⁠แสดงถึงการขาดทุนครึ่งดอลลาร์ เนื่องจากกฎการหารจำนวนที่มีเครื่องหมาย (ซึ่งระบุไว้บางส่วนว่า ลบหารด้วยบวกจะได้ผลลัพธ์เป็นลบ) − ⁠1/2, ⁠​−1/2และ​​1/−2ทั้งหมดแสดงถึงเศษส่วนเดียวกัน คือ ลบหนึ่งส่วนสอง และเนื่องจากลบหารด้วยลบจะได้ผลลัพธ์เป็นบวก−1/−2⁠แสดงถึงค่าบวกครึ่งหนึ่ง

ในทางคณิตศาสตร์จำนวนตรรกยะคือ จำนวนที่สามารถแทนด้วยเศษส่วนในรูปแบบ⁠เอ/ขโดยที่aและbเป็นจำนวนเต็ม และbไม่เป็นศูนย์ เซตของจำนวนตรรกยะทั้งหมดมักแทนด้วยสัญลักษณ์⁠${\displaystyle \mathbb {Q} }$หรือQซึ่งย่อมาจากquotient (ผลหาร )คำว่าเศษส่วนและสัญลักษณ์⁠เอ/ข⁠ยังสามารถใช้กับนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ที่ไม่แสดงถึงจำนวนตรรกยะ (ตัวอย่างเช่น) หรือแม้แต่ไม่แสดงถึงจำนวนใดๆ เลย (ตัวอย่างเช่นเศษส่วนตรรกยะ ) ${\displaystyle \textstyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{x}}}$

จำนวนตรรกยะที่แสดงในรูป โดยที่ p และ q เป็นจำนวนเต็มที่ไม่มีตัวหารร่วมกันและอยู่ในฐานจะมีการแสดงแบบสิ้นสุดในฐานก็ต่อเมื่อ q หารกำลังของ b ลงตัว หรือสำหรับบางค่าและบางจำนวนเต็ม> 0 ${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$${\displaystyle {b}}$${\displaystyle {b}}$${\displaystyle {\frac {p}{q}}={\frac {C}{b^{n}}}}$${\displaystyle {C}}$${\displaystyle {n}}$

โดยการคูณไขว้ ความเท่าเทียมกันจะเทียบเท่ากับเนื่องจาก q ไม่หาร p ดังนั้น q ต้องหารและการกระจายจะไม่ดำเนินต่อไป ${\displaystyle {qC}={pb^{n}}}$${\displaystyle b^{n}}$

ในเศษส่วน จำนวนส่วนที่เท่ากันที่ถูกอธิบายเรียกว่าตัวเศษ ( numerātorมาจากภาษาละตินแปลว่า "ตัวนับ" หรือ "ผู้กำหนดจำนวน") และชนิดหรือความหลากหลายของส่วนต่างๆ เรียกว่าตัวส่วน ( dēnōminātorมา จาก ภาษาละตินแปลว่า "ผู้ตั้งชื่อ" หรือ "ผู้กำหนด") ^{[ 2 ] [ 3 ]}ตัวอย่างเช่น เศษส่วน⁠8/5ประกอบด้วย แปดส่วน แต่ละส่วนเป็นประเภทที่เรียกว่าส่วนที่ห้าในแง่ของการหารตัวเศษจะสอดคล้องกับตัวตั้งหารและตัวส่วนจะสอดคล้องกับตัว หาร

โดยทั่วไปแล้ว อาจแยกแยะตัวเศษและตัวส่วนได้จากตำแหน่งเพียงอย่างเดียว แต่ในบริบทที่เป็นทางการ มักจะคั่นด้วยเส้นแบ่งเศษส่วนเส้นแบ่งเศษส่วนอาจเป็นแนวนอน (ดังเช่นใน⁠1/3) , เฉียง (เช่น 2/5) หรือแนวทแยง (เช่น4/9 ) ^{[ 4 ]}เครื่องหมายเหล่านี้เรียกว่าเส้นแนวนอน เครื่องหมาย virgule, slash ( สหรัฐอเมริกา ) หรือstroke ( สห ราชอาณาจักร ) และเส้นเศษส่วน solidus ^{[ 5 ]}หรือfraction slash [ ^{n 1 ]}ในงานพิมพ์เศษส่วนที่เรียงซ้อนกันในแนวตั้งเรียกว่า เศษส่วน enหรือnutและเศษส่วนแนวทแยง เรียกว่า เศษส่วนemหรือmutton โดย ขึ้นอยู่กับว่าเศษส่วนที่มีตัวเศษและตัวส่วนเป็นเลขหลักเดียวมีสัดส่วนเท่ากับ สี่เหลี่ยม en ที่แคบ หรือสี่เหลี่ยมem ที่กว้างกว่า ^{[ 4 ]}ในการหล่อตัวอักษร แบบดั้งเดิม ชิ้นส่วนของตัวอักษรที่มีเศษส่วนที่สมบูรณ์ (เช่น⁠1/2เศษส่วนที่เป็นตัวส่วน (case fraction) เรียกว่า เศษส่วนที่เป็นตัวส่วนหลัก ( case fraction ) ในขณะที่เศษส่วนที่เป็นตัวส่วนย่อยของเศษส่วนเรียกว่าเศษส่วนที่เป็นตัวส่วนย่อย (piece fraction )

โดยทั่วไป ตัวส่วนของเศษส่วนภาษาอังกฤษจะแสดงเป็นจำนวนลำดับและจะใช้รูปพหูพจน์เมื่อตัวเศษไม่ใช่ 1 (ตัวอย่างเช่น⁠1/5และ​​2/5(อ่านว่าหนึ่งในห้าและสองในห้า ) มีข้อยกเว้นที่น่าสนใจบางประการสำหรับเศษส่วนที่พบบ่อยที่สุด โดยมักจะละเว้นตัวเศษทั้งหมดเมื่อตัวเศษเป็น 1 (ตัวอย่างเช่น⁠1/5(อาจอ่านได้ว่าหนึ่งในห้า ) เศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็น 1 มักจะอ่านโดยใช้ตัวเศษเพียงอย่างเดียว บางครั้งอาจอ่านในรูปของจำนวนเต็มแต่ไม่เคยอ่านใน รูปของ อันดับแรก (ตัวอย่างเช่น⁠5/1(อาจอ่านว่าห้าหรือห้าส่วนเต็ม ) เศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็น 2 อ่านว่าครึ่งหรือครึ่งไม่ใช่วินาทีเศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็น 4 อาจอ่านว่าหนึ่งในสี่หรือหนึ่งในสี่และเศษส่วน ที่มีตัวส่วนเป็น 100 อาจอ่านว่าเปอร์เซ็นต์หรือหนึ่งในร้อย

เศษส่วนใดๆ ก็สามารถอธิบายได้โดยการอ่านออกเสียงเป็นตัวเศษหาร ด้วยตัวส่วน โดยที่ตัวส่วนแสดงเป็นจำนวนนับ (ตัวอย่างเช่น⁠1/2และ​​2/5อาจเขียนได้อีกแบบว่าหนึ่งส่วนสองและสองส่วนห้า ) คำว่า" ส่วน"จะใช้โดยไม่คำนึงถึงรูปแบบของเส้นแบ่งเศษส่วน (ตัวอย่างเช่น⁠1/5⁠ , 1/5 และ1/5สามารถอ่านได้ว่า1 ส่วน 5 ) เศษส่วนที่มีส่วนประกอบที่ผิดปกติหรือมีตัวส่วนขนาดใหญ่ที่ไม่ใช่กำลังของสิบ มักจะเขียนในลักษณะนี้ (เช่น⁠√2/2, ⁠​1/xและ​​1/117เช่นรากที่สองของสองส่วนสองหนึ่งส่วน xและหนึ่งส่วนหนึ่งร้อยสิบเจ็ด ) ในขณะ ที่ตัวเลขที่มีตัวส่วนขนาดใหญ่ที่หารด้วยสิบลงตัว มักจะอ่านในรูปแบบลำดับปกติ (เช่น⁠6/1,000,000(เท่ากับหกในล้านส่วน )

เมื่อเขียนเศษส่วนแบบเต็มคำ จะต้องใช้เครื่องหมายยัติภังค์กำกับ โดย เฉพาะอย่างยิ่งเมื่อใช้เป็นคำคุณศัพท์ เศษส่วน⁠2/5เนื่องจากองค์ประกอบเดียวควรเขียนออกมาเป็นสองส่วนห้าการเขียนสองส่วนห้าโดยไม่มีเครื่องหมายยัติภังค์จะอธิบายค่าเดียวกัน แต่เข้าใจว่าเป็นสองกรณีที่แยกจากกัน1/5⁠ .

เศษส่วนอย่างง่าย (หรือที่รู้จักกันในชื่อเศษส่วนสามัญหรือเศษส่วนสามัญ ) ^{[ n 2 ]}คือจำนวนตรรกยะที่เขียนเป็นหรือ⁠ ⁠โดยที่aและbเป็นจำนวนเต็ม ทั้ง คู่^{[ 9 ]}เช่นเดียวกับเศษส่วนอื่นๆ ตัวส่วน ( b ) จะต้องไม่เป็นศูนย์ ตัวอย่างเช่น⁠${\displaystyle a\div b}$${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$1/2⁠ , − ⁠8/5, ⁠​−8/5และ​​8/−5เดิมทีคำนี้ใช้เพื่อแยกความแตกต่างระหว่างเศษส่วนประเภทนี้กับเศษส่วนฐานหกสิบที่ใช้ในทางดาราศาสตร์^{[ 10 ]}

เศษส่วนทั่วไปสามารถเป็นได้ทั้งบวกและลบ และอาจเป็นเศษส่วนแท้หรือเศษส่วนไม่แท้(ดูด้านล่าง) เศษส่วนประกอบ เศษส่วนเชิงซ้อน จำนวนคละ และนิพจน์ทศนิยม (ดูด้านล่าง) ไม่ใช่เศษส่วนทั่วไปแม้ว่าเว้นแต่จะเป็นจำนวนอตรรกยะ ก็สามารถแปลงเป็นเศษส่วนทั่วไปได้

• เศษส่วนหน่วยคือ เศษส่วนสามัญที่มีตัวเศษเป็น 1 (เช่น⁠1/7เศษส่วน หน่วยยังสามารถแสดงได้โดยใช้เลขชี้กำลังติดลบ เช่น ซึ่งแทนซึ่งเท่ากับและซึ่งแทนหรือ${\displaystyle 2^{-1}}$${\displaystyle {\frac {1}{2^{1}}}}$${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$${\displaystyle 2^{-2}}$${\displaystyle {\frac {1}{2^{2}}}}$${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$
• เศษส่วนทวิภาคคือ เศษส่วนสามัญที่ตัวส่วนเป็นกำลังของสองเช่น⁠1/8=​​1/2 ³⁠ .

ใน Unicode อักขระเศษส่วนที่ประกอบขึ้นล่วงหน้าจะอยู่ใน บล็อก รูปแบบตัวเลข (Number Forms )

เศษส่วนทั่วไปสามารถจำแนกได้เป็นเศษส่วนแท้หรือเศษส่วนไม่แท้ เมื่อตัวเศษและตัวส่วนเป็นบวกทั้งคู่ เศษส่วนจะเรียกว่าเศษส่วนแท้หากตัวเศษน้อยกว่าตัวส่วน และเรียกว่าเศษส่วนไม่แท้ในกรณีอื่น^{[ 11 ]}แนวคิดเรื่องเศษส่วนไม่แท้เป็นการพัฒนาในภายหลัง โดยคำศัพท์นี้มาจากความจริงที่ว่าเศษส่วนหมายถึง "ชิ้น" ดังนั้นเศษส่วนแท้จะต้องน้อยกว่า 1 ^{[ 10 ]} เรื่องนี้ได้รับการอธิบายไว้ในตำราเรียน The Ground of Artsในศตวรรษที่17 ^{[ 12 ] [ 13 ]}

โดยทั่วไป เศษส่วนสามัญจะเรียกว่าเศษส่วนแท้ก็ต่อเมื่อค่าสัมบูรณ์ของเศษส่วนนั้นน้อยกว่าหนึ่งอย่างเคร่งครัด นั่นคือ ถ้าเศษส่วนนั้นมากกว่า −1 และน้อยกว่า 1 ^{[ 14 ] [ 15 ]}จะเรียกว่าเศษส่วนไม่แท้หรือบางครั้ง เรียกว่า เศษส่วนที่หนักกว่า [ ^{16 ] ก็ต่อเมื่อค่าสัมบูรณ์ของเศษส่วน นั้น}มากกว่าหรือเท่ากับ 1 ตัวอย่างของเศษส่วนแท้ได้แก่, −3/4 และ 4/9 ในขณะที่ตัวอย่างของเศษส่วนไม่แท้ได้แก่, , และดังที่อธิบายไว้ด้านล่างเศษส่วนไม่แท้ใดๆ ก็สามารถแปลงเป็นจำนวนคละ (จำนวนเต็มบวกเศษส่วนแท้) และในทางกลับกันได้ ${\displaystyle {\frac {2}{3}}}$${\displaystyle {\frac {9}{4}}}$${\displaystyle {\frac {-4}{3}}}$${\displaystyle {\frac {3}{3}}}$

ส่วนกลับของเศษส่วน คือเศษส่วนอีกตัวหนึ่งที่สลับตัวเศษและตัวส่วน ส่วนกลับของ⁠3/7ตัวอย่างเช่นคือ7/3ผลคูณของเศษส่วนที่ไม่เป็นศูนย์กับส่วนกลับของเศษส่วนนั้นเท่ากับ 1 ดังนั้นส่วนกลับจึงเป็นตัวผกผันการคูณของเศษส่วน ส่วนกลับของเศษส่วนแท้จะเป็นเศษส่วนเกิน และส่วนกลับของเศษส่วนเกินที่ไม่เท่ากับ 1 (กล่าวคือ ตัวเศษและตัวส่วนไม่เท่ากัน) จะเป็นเศษส่วนแท้

เมื่อตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนเท่ากัน (ตัวอย่างเช่น⁠7/7)ค่าของมันคือ 1 และดังนั้นเศษส่วนนั้นจึงเป็นเศษส่วนไม่แท้ ส่วนกลับของมันเหมือนกันและดังนั้นจึงเท่ากับ 1 และเป็นเศษส่วนไม่แท้เช่นกัน

จำนวนเต็มใดๆ ก็สามารถเขียนเป็นเศษส่วนได้ โดยมีเลข 1 เป็นตัวส่วน ตัวอย่างเช่น 17 สามารถเขียนได้เป็น⁠17/1โดยที่ 1 บางครั้งเรียกว่าตัวหารที่มองไม่เห็น [ ^{17 ] ดังนั้น}เศษส่วนและจำนวนเต็มทุกตัว ยกเว้นศูนย์ จะมีส่วนกลับ ตัวอย่างเช่น ส่วนกลับของ 17 คือ1/17⁠ .

อัตราส่วนคือความสัมพันธ์ระหว่างตัวเลขสองตัวขึ้นไป ซึ่งบางครั้งอาจแสดงเป็นเศษส่วนได้ โดยทั่วไปแล้ว จะมีการจัดกลุ่มและเปรียบเทียบสิ่งของจำนวนหนึ่งในอัตราส่วน โดยระบุความสัมพันธ์เชิงตัวเลขระหว่างแต่ละกลุ่ม อัตราส่วนจะแสดงเป็น "กลุ่มที่ 1 ต่อ กลุ่มที่ 2 ... ต่อ กลุ่มที่n "ตัวอย่างเช่น ถ้าลานจอดรถมีรถ ​​12 คัน ซึ่ง...

• 2 ตัวเป็นสีขาว
• 6 อันเป็นสีแดง และ
• 4 ตัวเป็นสีเหลือง

ดังนั้น อัตราส่วนของรถสีแดงต่อรถสีขาวต่อรถสีเหลืองคือ 6 ต่อ 2 ต่อ 4 ส่วนอัตราส่วนของรถสีเหลืองต่อรถสีขาวคือ 4 ต่อ 2 ซึ่งอาจเขียนได้เป็น 4:2 หรือ 2:1

อัตราส่วนมักถูกแปลงเป็นเศษส่วนเมื่อแสดงเป็นอัตราส่วนต่อทั้งหมด ในตัวอย่างข้างต้น อัตราส่วนของรถสีเหลืองต่อรถทั้งหมดในลานจอดรถคือ 4:12 หรือ 1:3 เราสามารถแปลงอัตราส่วนเหล่านี้เป็นเศษส่วนและกล่าวได้ว่า⁠4/12ของรถยนต์หรือ1/3รถยนต์ ในลานจอดรถส่วนใหญ่เป็นสีเหลือง ดังนั้น หากบุคคลใดสุ่มเลือกหนึ่งคันจากลานจอดรถ โอกาสที่จะได้รถสีเหลือง คือหนึ่งในสาม

เศษส่วนทศนิยมคือ เศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็นจำนวนเต็มยกกำลังของสิบ ซึ่งโดยทั่วไปแสดงด้วยสัญกรณ์ทศนิยม โดยที่ตัวส่วนไม่ได้ระบุไว้อย่างชัดเจน แต่จะถูกกำหนดโดยจำนวนหลักทางด้านขวาของจุดทศนิยม จุดทศนิยมอาจเป็นจุด ⟨.⟩, เครื่องหมายวรรคตอน ⟨·⟩ หรือเครื่องหมายจุลภาค ⟨,⟩ ขึ้นอยู่กับภาษาท้องถิ่น (ดูตัวอย่างได้ที่ จุดทศนิยม ) ดังนั้น สำหรับ 0.75 ตัวเศษคือ 75 และตัวส่วนโดยนัยคือ 10 ยกกำลังสอง นั่นคือ 100 เนื่องจากมีตัวเลขสองหลักทางด้านขวาของจุดทศนิยม ในจำนวนทศนิยมที่มากกว่า 1 (เช่น 3.75) ส่วนที่เป็นเศษส่วนของจำนวนจะแสดงด้วยตัวเลขทางด้านขวาของจุดทศนิยม (ซึ่งในกรณีนี้มีค่าเป็น 0.75) 3.75 สามารถเขียนได้ในรูปเศษส่วนเกิน⁠375/100หรือเป็นจำนวนคละ3+75/100⁠ .

เศษส่วนทศนิยมสามารถแสดงได้โดยใช้สัญกรณ์วิทยาศาสตร์ที่มีเลขชี้กำลังติดลบ เช่น6.023 × 10 ⁻⁷เป็นทางเลือกที่สะดวกกว่า 0.0000006023 ซึ่งยุ่งยากกว่ามาก10 ⁻⁷แสดงถึงตัวส่วนของ10 ⁷ . การหารด้วย10 ⁷เลื่อนจุดทศนิยมไปทางซ้ายเจ็ดตำแหน่ง

เศษส่วนทศนิยมที่มีจำนวนหลักทางด้านขวาของจุดทศนิยมเป็นอนันต์ แสดงถึงอนุกรมอนันต์ตัวอย่างเช่น⁠1/3= 0.333... แทนอนุกรมอนันต์ 3/10 + 3/100 + 3/1000 + ....

เศษส่วนอีกประเภทหนึ่งคือร้อยละ (มาจากภาษาละติน : per centumซึ่งหมายถึง "ต่อร้อย" แทนด้วยสัญลักษณ์ %) ซึ่งตัวส่วนโดยนัยคือ 100 เสมอ ดังนั้น 51% หมายถึง51/100 ร้อยละที่มากกว่า 100 หรือน้อยกว่าศูนย์จะถูกพิจารณาในลักษณะเดียวกัน เช่น 311% หมายถึง311/100 และ −27 %หมายถึง−27/100

แนวคิดที่เกี่ยวข้องคือเปอร์มิลล์หรือส่วนต่อพัน (ppt) หมายถึง ตัวหารคือ 1000 และสัญลักษณ์ส่วนต่อ นี้ มักใช้กับตัวหารที่ใหญ่กว่า เช่นล้านและพันล้านตัวอย่างเช่น75 ส่วนต่อล้าน ( ppm ) หมายความว่าสัดส่วนคือ⁠75/1,000,000​​⁠ .

การเลือก ใช้ระหว่างเศษส่วนและทศนิยมมักขึ้นอยู่กับความชอบและบริบท เศษส่วนมักใช้เมื่อตัวส่วนมีค่าค่อนข้างน้อยการคำนวณในใจจะง่ายกว่าการคูณ 16 ด้วย3/16มากกว่าการคำนวณเดียวกันโดยใช้ค่าทศนิยมของเศษส่วน (0.1875) และการคูณ 15 ด้วย 1/3 จะแม่นยำกว่า(ถูกต้องแม่นยำกว่า) การคูณ15 ด้วย ค่าประมาณทศนิยมของหนึ่งในสาม ตัวอย่างเช่น มูลค่าทางการเงินมักแสดงเป็นเศษส่วนทศนิยมที่มีตัวส่วนเป็น 100 กล่าวคือ มีตัวเลขสองหลักหลังจุดทศนิยม เช่น3.75ดอลลาร์ อย่างไรก็ตาม ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น ในสกุลเงินของอังกฤษก่อนระบบทศนิยม ชิลลิงและเพนนีมักจะแสดงในรูปแบบ (แต่ไม่ใช่ความหมาย) ของเศษส่วน เช่น "3/6" ซึ่งโดยทั่วไปอ่านว่าสามและหกหมายถึงสามชิลลิงและหกเพนนีและไม่มีความเกี่ยวข้องกับเศษส่วนสามในหก

จำนวนคละ (หรือเรียกว่าเศษส่วนคละหรือจำนวนคละ ) คือผลรวมของจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์และเศษส่วนแท้ ซึ่งโดยทั่วไปเขียนโดยการเรียงต่อกัน (หรือการเชื่อมต่อ ) ของทั้งสองส่วน โดยไม่ต้องใช้เครื่องหมายบวก (+) หรือลบ (−) คั่นกลาง เมื่อเขียนเศษส่วนในแนวนอน จะมีการเว้นวรรคระหว่างจำนวนเต็มและเศษส่วนเพื่อแยกออกจากกัน

ตัวอย่างง่ายๆ คือ เค้กสองก้อนเต็มๆ และเค้กอีกก้อนหนึ่งที่เหลืออีกสามในสี่ส่วน อาจเขียนได้ว่าcakes หรือcakes โดยตัวเลขแทนเค้กทั้งก้อน และเศษส่วนแทนเค้กส่วนที่เหลือ ซึ่งกระชับกว่าการเขียนcakes ที่ชัดเจนกว่า จำนวนคละ⁠2${\displaystyle 2{\tfrac {3}{4}}}$${\displaystyle 2\ \,3/4}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}$${\displaystyle 2+{\tfrac {3}{4}}}$+3/4⁠ออกเสียงว่าสองและสามส่วนสี่หรือสองและสามส่วนสี่โดยส่วนที่เป็นจำนวนเต็มและเศษส่วนเชื่อมต่อกันด้วยคำว่าและ[ ^{18 ] การ}ลบหรือการปฏิเสธถูกนำไปใช้กับจำนวนคละทั้งหมด ดังนั้นจึงหมายความว่า${\displaystyle -2{\tfrac {3}{4}}}$${\displaystyle -{\bigl (}2+{\tfrac {3}{4}}{\bigr )}.}$

จำนวนคละใดๆ สามารถแปลงเป็นเศษส่วนเกินได้โดยใช้กฎการบวกจำนวนที่ไม่เหมือนกัน : เปลี่ยนขนาดของจำนวนที่ไม่เหมือนกันจำนวนหนึ่งให้มีขนาดเท่ากับอีกจำนวนหนึ่ง ตัวอย่างเช่นหรืออีกวิธีหนึ่งคือ คูณส่วนที่เป็นจำนวนเต็มด้วยตัวส่วน แล้วบวกกับตัวเศษ เพื่อให้ได้ตัวเศษของเศษส่วนเกิน ซึ่งยังคงมีตัวส่วนเท่ากับเศษส่วนเกินนั้น ในทางกลับกัน เศษส่วนเกินสามารถแปลงเป็นจำนวนคละได้โดยใช้การหารแบบมีเศษเหลือโดยจำนวนคละที่ได้จะเป็นส่วนที่เป็นจำนวนเต็มเป็นผลหาร และส่วนที่เป็นเศษส่วน (ถ้ามี) คือเศษที่ได้จากการหารด้วยตัวส่วนของเศษส่วนเกินเดิม ตัวอย่างเช่น เนื่องจาก 4 หาร 11 ได้ 2 ครั้ง เหลือ 3${\displaystyle 2+{\tfrac {3}{4}}={\tfrac {8}{4}}+{\tfrac {3}{4}}={\tfrac {11}{4}}.}$${\displaystyle {\tfrac {11}{4}}=2+{\tfrac {3}{4}}.}$

ในโรงเรียนประถม ครูมักจะยืนยันว่าผลลัพธ์ที่เป็นเศษส่วนทุกตัวควรแสดงเป็นจำนวนคละ^{[ 19 ]}นอกโรงเรียน จำนวนคละมักใช้เพื่ออธิบายการวัด เช่น⁠2+1/2ชั่วโมงหรือ 5 3/16 นิ้วและยังคงใช้กันอย่างแพร่หลายในชีวิตประจำวันและในการค้าขาย โดยเฉพาะในภูมิภาคที่ไม่ได้ใช้ระบบเมตริก แบบทศนิยม อย่างไรก็ตาม การวัดทางวิทยาศาสตร์โดยทั่วไปใช้ระบบเมตริก ซึ่งอิงตามเศษส่วนทศนิยม และตั้งแต่ระดับมัธยมศึกษาตอนปลาย การสอนคณิตศาสตร์จะถือว่าเศษส่วนทุกตัวเป็นจำนวนตรรกยะ อย่างสม่ำเสมอ นั่นคือ ผลหารพี/q⁠ของจำนวนเต็ม โดยทิ้งแนวคิดของเศษส่วนไม่แท้และจำนวนคละไว้เบื้องหลัง [ ^{20 ] นักศึกษา}วิทยาลัยที่มีการฝึกอบรมทางคณิตศาสตร์มาหลายปีบางครั้งก็สับสนเมื่อได้พบกับจำนวนคละอีกครั้ง เพราะพวกเขาคุ้นเคยกับธรรมเนียมที่ว่าการวางเคียงข้างกันในนิพจน์พีชคณิตหมายถึงการคูณ^{[ 21 ]}

เศษส่วนแบบอียิปต์คือผลรวมของเศษส่วนหน่วยบวกที่แตกต่างกัน ตัวอย่างเช่นนิยามนี้มาจากข้อเท็จจริงที่ว่าชาวอียิปต์โบราณแสดงเศษส่วนทั้งหมด ยกเว้นและในลักษณะนี้ จำนวนตรรกยะบวกทุกจำนวนสามารถขยายเป็นเศษส่วนแบบอียิปต์ได้ ตัวอย่างเช่นสามารถเขียนได้เป็น จำนวนตรรกยะ บวก ใดๆ ก็สามารถเขียนเป็นผลรวมของเศษส่วนหน่วยได้หลายวิธีอย่างไม่จำกัด สองวิธีในการเขียนคือและ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}$${\displaystyle {\tfrac {5}{7}}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{21}}.}$${\displaystyle {\tfrac {13}{17}}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{68}}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{68}}}$

ในเศษส่วนเชิงซ้อนตัวเศษหรือตัวส่วน หรือทั้งสองอย่าง อาจเป็นเศษส่วนหรือจำนวนคละ^{[ 22 ] [ 23 ]}ซึ่งสอดคล้องกับการหารเศษส่วน ตัวอย่างเช่นและเป็นเศษส่วนเชิงซ้อน ในการตีความเศษส่วนซ้อนกันที่เขียนเรียงกันด้วยเส้นเศษส่วนแนวนอน ให้ถือว่าเส้นที่สั้นกว่าซ้อนอยู่ภายในเส้นที่ยาวกว่า เศษส่วนเชิงซ้อนสามารถทำให้ง่ายขึ้นได้โดยใช้การคูณด้วยส่วนกลับ ดังที่อธิบายไว้ด้านล่างในหัวข้อ§ การหารตัวอย่างเช่น: ${\displaystyle {\tfrac {1/2}{1/3}}}$${\displaystyle {\bigl (}12{\tfrac {3}{4}}{\bigr )}{\big /}26}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\;\!{\tfrac {1}{2}}\;\!}{\tfrac {1}{3}}}&={\frac {1}{2}}\div {\frac {1}{3}}={\frac {1}{2}}\times {\frac {3}{1}}={\frac {3}{2}},\qquad {\frac {\;\!{\tfrac {3}{2}}\;\!}{5}}={\frac {3}{2}}\div 5={\frac {3}{2}}\times {\frac {1}{5}}={\frac {3}{10}},\\[10mu]{\frac {12{\tfrac {3}{4}}}{26}}&={\frac {12\times 4+3}{4}}\div 26={\frac {12\times 4+3}{4}}\times {\frac {1}{26}}={\frac {51}{104}}.\end{aligned}}}$

เศษส่วนซ้อนไม่ควรเขียนโดยไม่มีเครื่องหมายที่ชัดเจนว่าเศษส่วนใดซ้อนอยู่ภายในเศษส่วนอื่น เนื่องจากนิพจน์ดังกล่าวมีความกำกวม ตัวอย่างเช่น นิพจน์นี้อาจตีความได้ว่าเป็นหรือ เป็นความหมายสามารถทำให้ชัดเจนได้โดยการเขียนเศษส่วนโดยใช้ตัวคั่นที่แตกต่างกัน หรือโดยการเพิ่มวงเล็บอย่างชัดเจน ในกรณีนี้คือ หรือ${\displaystyle 5/10/20}$${\displaystyle {\tfrac {5}{10}}{\big /}20={\tfrac {1}{40}}}$${\displaystyle 5{\big /}{\tfrac {10}{20}}=10.}$${\displaystyle (5/10){\big /}20}$${\displaystyle 5{\big /}(10/20).}$

เศษส่วนประกอบคือเศษส่วนของเศษส่วน หรือเศษส่วนจำนวนใดๆ ที่เชื่อมโยงด้วยคำว่าของ[ ^{22 ] [ 23 ] ซึ่ง}สอดคล้องกับการคูณเศษส่วน ในการลดเศษส่วนประกอบให้เป็นเศษส่วนธรรมดา เพียงแค่ทำการคูณ (ดู§ การคูณ ) ตัวอย่างเช่นของเป็นเศษส่วนประกอบ ซึ่งสอดคล้องกับเศษส่วนประกอบและเศษส่วนซ้อนมีความสัมพันธ์กันอย่างใกล้ชิด และบางครั้งก็ใช้คำหนึ่งเป็นคำพ้องความหมายกับอีกคำหนึ่ง (ตัวอย่างเช่น เศษส่วนประกอบเทียบเท่ากับเศษส่วนซ้อน⁠ ⁠ ) ${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}$${\displaystyle {\tfrac {5}{7}}}$${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}\times {\tfrac {5}{7}}={\tfrac {15}{28}}}$${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}\times {\tfrac {5}{7}}}$${\displaystyle {\tfrac {3/4}{7/5}}}$

อย่างไรก็ตามเศษส่วนเชิงซ้อนและเศษส่วนเชิงประกอบอาจถือว่าล้าสมัยทั้งคู่^{[ 24 ]}และปัจจุบันไม่ได้ถูกนำมาใช้ในลักษณะที่ชัดเจน บางส่วนยังถูกมองว่ามีความหมายเหมือนกัน^{[ 25 ]}หรือเหมือนกับจำนวนผสม^{[ 26 ]} พวก มันสูญเสียความหมายในฐานะคำศัพท์ทางเทคนิค และคุณลักษณะเชิงซ้อนและเชิงประกอบมักถูกนำไปใช้ในความหมายในชีวิตประจำวันของการประกอบด้วยส่วนต่างๆ

เช่นเดียวกับจำนวนเต็ม เศษส่วนก็ปฏิบัติตาม กฎ การสลับที่ กฎ การ จัดกลุ่ม และ กฎ การแจกแจงรวมถึงกฎห้ามหารด้วยศูนย์ด้วย

การคำนวณจำนวนคละสามารถทำได้โดยการแปลงจำนวนคละแต่ละจำนวนให้เป็นเศษส่วนเกิน หรือโดยการพิจารณาแต่ละจำนวนเป็นผลรวมของส่วนที่เป็นจำนวนเต็มและส่วนที่เป็นเศษส่วน

การคูณตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนด้วยจำนวนเดียวกัน (ที่ไม่ใช่ศูนย์) จะได้เศษส่วนที่มีค่าเท่ากับเศษส่วนเดิม เนื่องจากสำหรับจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ใดๆเศษส่วนจะมีค่าเท่ากับ 1 ดังนั้น การคูณด้วย จึงเหมือนกับการคูณด้วยหนึ่ง และจำนวนใดๆ ที่คูณด้วยหนึ่งจะมีค่าเท่ากับจำนวนเดิม ยกตัวอย่างเช่น เริ่มจากเศษส่วน⁠ ⁠เมื่อคูณทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วย 2 ผลลัพธ์คือ⁠${\displaystyle n}$${\displaystyle {\tfrac {n}{n}}}$${\displaystyle {\tfrac {n}{n}}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$2/4ซึ่งมีค่าเท่ากัน (0.5) กับ1/2เพื่อให้เห็นภาพชัดเจน ลองนึกภาพการหั่นเค้กออกเป็นสี่ชิ้น โดย วางสองชิ้นไว้ด้วยกัน(2/4⁠ ) ประกอบเป็นเค้กครึ่งหนึ่ง ( ⁠1/2)​

การหารตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนด้วยจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์เดียวกัน จะได้เศษส่วนที่เท่ากัน: ถ้าทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนหารลงตัวด้วยจำนวน (เรียกว่าตัวประกอบ) ที่มากกว่า 1 เศษส่วนนั้นสามารถลดรูปเป็นเศษส่วนที่เท่ากันได้ โดยมีตัวเศษและตัวส่วนที่เล็กลง ตัวอย่างเช่น ถ้าทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนหารลงตัวด้วย⁠ ⁠แล้ว สามารถเขียนได้เป็น, , และเศษส่วนนั้นจะกลายเป็น⁠${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle a=cd}$${\displaystyle b=ce}$ซีดี/ซีซึ่งสามารถลดทอนได้โดยการหารทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยcเพื่อให้ได้เศษส่วนที่ลดทอนแล้วง/อี⁠ .

ถ้าเราเลือกc เป็น ตัวหารร่วมมากที่สุดของตัวเศษและตัวส่วน เราจะได้เศษส่วนที่เท่ากันซึ่งตัวเศษและตัวส่วนมีค่าสัมบูรณ์ น้อยที่สุด กล่าวได้ว่าเศษส่วนนั้นได้ถูกลดรูปให้อยู่ในรูปอย่างง่ายที่สุดแล้ว

ถ้าตัวเศษและตัวส่วนไม่มีตัวประกอบร่วมกันที่มากกว่า 1 เศษส่วนนั้นจะอยู่ในรูปอย่างง่ายที่สุดแล้ว และเราเรียกว่า เศษส่วน ที่ไม่สามารถแยก ตัวประกอบได้อีกต่อไป หรืออยู่ในรูปอย่างง่ายที่สุดแล้วตัวอย่างเช่นไม่ได้อยู่ในรูปอย่างง่ายที่สุด เพราะทั้ง 3 และ 9 หารด้วย 3 ลงตัว ในทางตรงกันข้ามอยู่ในรูปอย่างง่ายที่สุดแล้ว เพราะจำนวนเต็มบวกเพียงจำนวนเดียวที่หารทั้ง 3 และ 8 ลงตัวคือ 1 ${\displaystyle {\tfrac {3}{9}}}$${\displaystyle {\tfrac {3}{8}}}$

โดยใช้กฎเหล่านี้ เราสามารถแสดงให้เห็นว่า⁠5/10=​​1/2=​​10/20=​​50/100ตัวอย่างเช่น

อีกตัวอย่างหนึ่ง เนื่องจากตัวหารร่วมมากที่สุดของ 63 และ 462 คือ 21 ดังนั้นเศษส่วน⁠63/462สามารถลดรูปให้อยู่ในรูปอย่างง่ายที่สุดได้โดยการหารทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วย 21 :

${\displaystyle {\frac {63}{462}}={\frac {63\,\div \,21}{462\,\div \,21}}={\frac {3}{22}}.}$

อัลกอริทึมของยุคลิดเป็นวิธีการหาตัวหารร่วมมากที่สุดของจำนวนเต็มสองจำนวนใดๆ

การเปรียบเทียบเศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็นบวกเหมือนกันจะได้ผลลัพธ์เช่นเดียวกับการเปรียบเทียบตัวเศษ:

${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}>{\tfrac {2}{4}}}$เนื่องจาก3 > 2และตัวส่วนที่เท่ากันเป็นจำนวนบวก${\displaystyle 4}$

ถ้าตัวส่วนที่เท่ากันเป็นค่าลบ ผลลัพธ์ของการเปรียบเทียบตัวเศษจะเป็นไปในทางตรงกันข้ามกับเศษส่วนนั้น:

${\displaystyle {\tfrac {3}{-4}}<{\tfrac {2}{-4}}{\text{ because }}{\tfrac {a}{-b}}={\tfrac {-a}{b}}{\text{ and }}-3<-2.}$

ถ้าเศษส่วนบวกสองตัวมีตัวเศษเท่ากัน เศษส่วนที่มีตัวส่วนน้อยกว่าจะมีค่ามากกว่า เมื่อแบ่งส่วนทั้งหมดออกเป็นส่วนเท่าๆ กัน ถ้าต้องการส่วนเท่าๆ กันน้อยลงเพื่อให้ได้ส่วนทั้งหมดเหมือนเดิม แต่ละส่วนจะต้องมีค่ามากกว่า เมื่อเศษส่วนบวกสองตัวมีตัวเศษเท่ากัน เศษส่วนทั้งสองแสดงถึงจำนวนส่วนเท่ากัน แต่ในเศษส่วนที่มีตัวส่วนน้อยกว่า ส่วนต่างๆ จะมีค่ามากกว่า

วิธีหนึ่งในการเปรียบเทียบเศษส่วนที่มีตัวเศษและตัวส่วนต่างกันคือการหาตัวส่วนร่วม ในการเปรียบเทียบและเราจะแปลง เป็นและ(โดยที่จุดหมายถึงการคูณและเป็นสัญลักษณ์แทน ×) จากนั้นbdจะเป็นตัวส่วนร่วม และเราสามารถเปรียบเทียบตัวเศษadและbcได้ ไม่จำเป็นต้องหาค่าของตัวส่วนร่วมเพื่อเปรียบเทียบเศษส่วน – เราสามารถเปรียบเทียบadและbc ได้เลย โดยไม่ต้องหาค่าbdเช่น การเปรียบเทียบจะ ได้ =${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$${\displaystyle {\tfrac {c}{d}}}$${\displaystyle {\tfrac {a\cdot d}{b\cdot d}}}$${\displaystyle {\tfrac {b\cdot c}{b\cdot d}}}$${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$${\displaystyle {\tfrac {4}{6}}>{\tfrac {3}{6}}}$

สำหรับคำถามที่ซับซ้อนกว่านั้น ให้คูณทั้งตัวเศษและตัวส่วนของแต่ละเศษส่วนด้วยตัวส่วนของเศษส่วนอีกตัว เพื่อให้ได้ตัวส่วนร่วม ซึ่งจะได้ผลลัพธ์เป็น ? ไม่จำเป็นต้องคำนวณเพียงแค่เปรียบเทียบตัวเศษเท่านั้น เนื่องจาก 5×17 (= 85) มากกว่า 4×18 (= 72) ผลลัพธ์ของการเปรียบเทียบจึงเป็น⁠ ⁠ . ${\displaystyle {\tfrac {5}{18}}}$${\displaystyle {\tfrac {4}{17}},}$${\displaystyle {\tfrac {5\times 17}{18\times 17}}}$${\displaystyle {\tfrac {18\times 4}{18\times 17}}}$${\displaystyle 18\times 17}$${\displaystyle {\tfrac {5}{18}}>{\tfrac {4}{17}}}$

เนื่องจากจำนวนลบทุกจำนวน รวมทั้งเศษส่วนลบ มีค่าน้อยกว่าศูนย์ และจำนวนบวกทุกจำนวน รวมทั้งเศษส่วนบวก มีค่ามากกว่าศูนย์ ดังนั้นเศษส่วนลบทุกจำนวนจึงมีค่าน้อยกว่าเศษส่วนบวกทุกจำนวน ซึ่งเมื่อรวมกับกฎข้างต้นแล้ว จะทำให้สามารถเปรียบเทียบเศษส่วนที่เป็นไปได้ทั้งหมดได้

กฎข้อแรกของการบวกคือ เราสามารถบวกเฉพาะปริมาณที่เท่ากันเท่านั้น ตัวอย่างเช่น การบวกเหรียญควอเตอร์จำนวนต่างๆ กัน ปริมาณที่ต่างกัน เช่น การบวกเหรียญสามส่วนกับเหรียญสี่ส่วน จะต้องแปลงให้เป็นปริมาณที่เท่ากันก่อน ดังที่อธิบายไว้ด้านล่าง: ลองนึกภาพกระเป๋าข้างหนึ่งมีเหรียญควอเตอร์สองเหรียญ และอีกกระเป๋าหนึ่งมีเหรียญควอเตอร์สามเหรียญ รวมแล้วมีเหรียญควอเตอร์ห้าเหรียญ เนื่องจากเหรียญควอเตอร์สี่เหรียญเท่ากับหนึ่งเหรียญ (ดอลลาร์) ดังนั้นจึงสามารถแสดงได้ดังนี้:

${\displaystyle {\tfrac {2}{4}}+{\tfrac {3}{4}}={\tfrac {5}{4}}=1{\tfrac {1}{4}}}$.

ในการบวกเศษส่วนที่มีปริมาณต่างกัน (เช่น หนึ่งในสี่และหนึ่งในสาม) จำเป็นต้องแปลงปริมาณทั้งหมดให้เป็นปริมาณที่เหมือนกันก่อน การหาชนิดของเศษส่วนที่จะแปลงนั้นทำได้ง่าย เพียงแค่คูณตัวส่วน (ตัวเลขด้านล่าง) ของเศษส่วนแต่ละตัวเข้าด้วยกัน ในกรณีที่เป็นจำนวนเต็ม ให้ใช้ตัวส่วนที่มองไม่เห็นคือ 1

สำหรับการบวกเศษส่วนหนึ่งในสี่กับเศษส่วนหนึ่งในสาม ทั้งสองประเภทเศษส่วนจะถูกแปลงเป็นเศษส่วนหนึ่งในสิบสอง ดังนี้:

${\displaystyle {\frac {1}{4}}+{\frac {1}{3}}={\frac {1\times 3}{4\times 3}}+{\frac {1\times 4}{3\times 4}}={\frac {3}{12}}+{\frac {4}{12}}={\frac {7}{12}}.}$

ลองพิจารณาการบวกปริมาณสองอย่างต่อไปนี้เข้าด้วยกัน:

${\displaystyle {\frac {3}{5}}+{\frac {2}{3}}.}$

ขั้นแรก แปลงให้ อยู่ในหลักสิบห้าโดยการ คูณทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยสาม : เนื่องจาก${\displaystyle {\tfrac {3}{5}}}$${\displaystyle {\tfrac {3}{5}}\times {\tfrac {3}{3}}={\tfrac {9}{15}}}$3/3เท่ากับ 1 การคูณด้วย3/3ไม่ทำให้ค่าของเศษส่วนเปลี่ยนแปลงไป

ประการที่สอง แปลง⁠2/3แบ่งเป็นส่วนสิบห้าโดยการคูณทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยห้า: ⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}\times {\tfrac {5}{5}}={\tfrac {10}{15}}}$ .

ตอนนี้จึงเห็นได้ว่า

${\displaystyle {\frac {3}{5}}+{\frac {2}{3}}}$

เทียบเท่ากับ

${\displaystyle {\frac {9}{15}}+{\frac {10}{15}}={\frac {19}{15}}=1{\frac {4}{15}}.}$

วิธีการนี้สามารถแสดงออกมาในรูปพีชคณิตได้ดังนี้:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+cb}{bd}}.}$

วิธีทางพีชคณิตนี้ใช้ได้ผลเสมอ จึงรับประกันได้ว่าผลรวมของเศษส่วนอย่างง่ายจะยังคงเป็นเศษส่วนอย่างง่ายเสมอ อย่างไรก็ตาม หากตัวส่วนแต่ละตัวมีตัวประกอบร่วมกัน เราสามารถใช้ตัวส่วนที่เล็กกว่าผลคูณของตัวประกอบเหล่านั้นได้ ตัวอย่างเช่น เมื่อบวกเศษส่วนและตัวส่วนแต่ละตัวมีตัวประกอบร่วมกันคือ 2 ดังนั้น แทนที่จะใช้ตัวส่วน 24 (4 × 6) เราสามารถใช้ตัวส่วนหารครึ่ง 12 ได้ ซึ่งไม่เพียงแต่จะลดขนาดของตัวส่วนในผลลัพธ์เท่านั้น แต่ยังลดตัวประกอบในตัวเศษด้วย ${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}$${\displaystyle {\tfrac {5}{6}}}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\frac {3}{4}}+{\frac {5}{6}}&={\frac {3\cdot 6}{4\cdot 6}}+{\frac {4\cdot 5}{4\cdot 6}}={\frac {18}{24}}+{\frac {20}{24}}&&={\frac {19}{12}}\\[10mu]&={\frac {3\cdot 3}{4\cdot 3}}+{\frac {2\cdot 5}{2\cdot 6}}={\frac {9}{12}}+{\frac {10}{12}}&&={\frac {19}{12}}.\end{alignedat}}}$

ตัวหารที่เล็กที่สุดที่เป็นไปได้นั้นหาได้จากตัวคูณร่วมน้อยที่สุดของตัวหารแต่ละตัว ซึ่งได้มาจากการหารตัวคูณร่วมน้อยที่สุดนั้นด้วยตัวประกอบร่วมทั้งหมดของตัวหารแต่ละตัว นี่เรียกว่าตัวหารร่วมน้อยที่สุด

โดยพื้นฐานแล้ว กระบวนการลบเศษส่วนนั้นเหมือนกับการบวกเศษส่วน กล่าวคือ หาตัวส่วนร่วม แล้วเปลี่ยนเศษส่วนแต่ละตัวให้เป็นเศษส่วนที่เทียบเท่ากันโดยใช้ตัวส่วนร่วมที่เลือกไว้ เศษส่วนที่ได้จะมีตัวส่วนเท่ากับตัวส่วนร่วมนั้น และตัวเศษจะเป็นผลลัพธ์ของการลบตัวเศษของเศษส่วนเดิม ตัวอย่างเช่น

${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}-{\tfrac {1}{2}}={\tfrac {4}{6}}-{\tfrac {3}{6}}={\tfrac {1}{6}}.}$

ในการลบจำนวนคละ สามารถยืมเลข 1 จากตัวตั้งลบได้ เช่น

${\displaystyle 4-2{\tfrac {3}{4}}=(4-2-1)+{\bigl (}1-{\tfrac {3}{4}}{\bigr )}=1{\tfrac {1}{4}}.}$

ในการคูณเศษส่วน ให้คูณตัวเศษและตัวส่วนเข้าด้วยกัน ดังนี้:

${\displaystyle {\frac {2}{3}}\times {\frac {3}{4}}={\frac {6}{12}}.}$

เพื่ออธิบายกระบวนการ ลองพิจารณาหนึ่งในสามของหนึ่งในสี่ ยกตัวอย่างเช่น เค้ก ถ้าชิ้นเล็กๆ สามชิ้นที่มีขนาดเท่ากันประกอบกันเป็นหนึ่งในสี่ และสี่ในสี่ประกอบกันเป็นหนึ่งส่วนทั้งหมด ดังนั้น ชิ้นเล็กๆ ที่มีขนาดเท่ากันสิบสองชิ้นจึงประกอบกันเป็นหนึ่งส่วนทั้งหมด ดังนั้น หนึ่งในสามของหนึ่งในสี่จึงเท่ากับหนึ่งในสิบสอง ทีนี้ลองพิจารณาตัวเศษ เศษส่วนแรก สองในสาม มีค่าเป็นสองเท่าของหนึ่งในสาม เนื่องจากหนึ่งในสามของหนึ่งในสี่เท่ากับหนึ่งในสิบสอง ดังนั้น สองในสามของหนึ่งในสี่จึงเท่ากับสองในสิบสอง เศษส่วนที่สอง สามในสี่ มีค่าเป็นสามเท่าของหนึ่งในสี่ ดังนั้น สองในสามของสามในสี่ จึงมีค่าเป็นสามเท่าของสองในสามของหนึ่งในสี่ ดังนั้น สองในสามคูณสามในสี่ จึงเท่ากับหกในสิบสอง

วิธีลัดในการคูณเศษส่วนเรียกว่าการตัดทอน โดย หลักแล้วคำตอบจะถูกลดรูปให้อยู่ในรูปอย่างง่ายที่สุดระหว่างการคูณ ตัวอย่างเช่น:

${\displaystyle {\frac {2}{3}}\times {\frac {3}{4}}={\frac {{\color {RoyalBlue}{\cancel {\color {Black}2}}}^{~1}}{{\color {RedOrange}{\cancel {\color {Black}3}}}^{~1}}}\times {\frac {{\color {RedOrange}{\cancel {\color {Black}3}}}^{~1}}{{\color {RoyalBlue}{\cancel {\color {Black}4}}}^{~2}}}={\frac {1}{1}}\times {\frac {1}{2}}={\frac {1}{2}}.}$

เลข 2 เป็นตัวประกอบร่วมทั้งในตัวเศษของเศษส่วนด้านซ้ายและตัวส่วนของเศษส่วนด้านขวา และหารลงตัวทั้งสองเศษส่วน เช่นเดียวกับเลข 3 ที่เป็นตัวประกอบร่วมของตัวส่วนด้านซ้ายและตัวเศษด้านขวา และหารลงตัวทั้งสองเศษส่วน

เนื่องจากจำนวนเต็มสามารถเขียนใหม่ได้เป็นตัวมันเองหารด้วย 1 ดังนั้นกฎการคูณเศษส่วนปกติจึงยังคงใช้ได้ ตัวอย่างเช่น

${\displaystyle 6\times {\tfrac {3}{4}}={\tfrac {6}{1}}\times {\tfrac {3}{4}}={\tfrac {18}{4}}.}$

วิธีนี้ใช้ได้ผลเพราะเศษส่วน 6/1 หมายถึงหกส่วนเท่าๆ กัน ซึ่งแต่ละส่วนเป็นส่วนเต็ม

ผลคูณของจำนวนคละสามารถคำนวณได้โดยการแปลงแต่ละจำนวนให้เป็นเศษส่วนเกิน^{[ 27 ]}ตัวอย่างเช่น:

${\displaystyle 3\times 2{\frac {3}{4}}={\frac {3}{1}}\times {\frac {2\times 4+3}{4}}={\frac {33}{4}}=8{\frac {1}{4}}.}$

อีกวิธีหนึ่งคือ เราสามารถมองจำนวนคละเป็นผลรวม และคูณกันเหมือนพหุนามในตัวอย่างนี้

${\displaystyle 3\times 2{\frac {3}{4}}=3\times 2+3\times {\frac {3}{4}}=6+{\frac {9}{4}}=8{\frac {1}{4}}.}$

ในการหารเศษส่วนด้วยจำนวนเต็ม คุณอาจหารตัวเศษด้วยจำนวนนั้น ถ้าตัวเศษหารลงตัว หรือคูณตัวส่วนด้วยจำนวนนั้นก็ได้ ตัวอย่างเช่นเท่ากับและเท่ากับซึ่งลดรูปเหลือการหารจำนวนด้วยเศษส่วน ให้คูณจำนวนนั้นด้วยส่วนกลับของเศษส่วนนั้น ดังนั้น. ${\displaystyle {\tfrac {10}{3}}\div 5}$${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$${\displaystyle {\tfrac {10}{3\cdot 5}}={\tfrac {10}{15}}}$${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\div {\tfrac {3}{4}}={\tfrac {1}{2}}\times {\tfrac {4}{3}}={\tfrac {1\cdot 4}{2\cdot 3}}={\tfrac {2}{3}}}$

ในการเปลี่ยนเศษส่วนธรรมดาให้เป็นทศนิยม ให้ทำการหารยาวตัวเศษด้วยตัวส่วน (ซึ่งในเชิงสำนวนอาจเขียนได้ว่า "หารตัวส่วนด้วยตัวเศษ") แล้วปัดเศษผลลัพธ์ให้ได้ความแม่นยำตามต้องการ ตัวอย่างเช่น ในการเปลี่ยน⁠1/4หารนิพจน์ทศนิยม1คูณ4 ("4เข้า1 " เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่แน่นอน0.25เพื่อเปลี่ยนแปลง1/3หารนิพจน์ทศนิยม1...โดย3 ("3เข้า1... "), และหยุดเมื่อได้ความแม่นยำที่ต้องการ เช่น ที่สี่ตำแหน่งหลังจุดทศนิยม (หลักหมื่น) ดังนี้0.3333เศษส่วน⁠1/4ค่า ⁠สามารถแสดงได้อย่างแม่นยำด้วยตัวเลขเพียงสองหลักหลังจุดทศนิยม ในขณะที่เศษส่วน⁠1/3ไม่สามารถเขียนเป็นทศนิยมที่มีจำนวนหลักจำกัดได้อย่างแม่นยำ สามารถแปลงนิพจน์ทศนิยมเป็นเศษส่วนได้โดยการลบจุดทศนิยมออก ใช้ผลลัพธ์เป็นตัวเศษ และใช้1ตามด้วยเลขศูนย์จำนวนเท่ากับจำนวนหลักทางด้านขวาของจุดทศนิยมของตัวส่วน ดังนั้น${\displaystyle 1.23={\tfrac {123}{100}}.}$

ถึงแม้ว่าเลขทศนิยมจะใช้งานได้สะดวกกว่าในการคำนวณ แต่บางครั้งก็ขาดความแม่นยำเท่ากับเศษส่วนทั่วไป บางครั้ง อาจต้องใช้ เลขทศนิยมซ้ำ ไม่รู้จบ เพื่อให้ได้ความแม่นยำเท่ากัน ดังนั้น การแปลงเลขทศนิยมซ้ำเป็นเศษส่วนจึงมักเป็นประโยชน์

วิธีทั่วไปในการแสดงทศนิยมซ้ำคือการวางเส้นขีด (เรียกว่าvinculum ) ไว้เหนือตัวเลขที่ซ้ำกัน เช่น0.789 = 0.789789789.... สำหรับรูปแบบที่ซ้ำกันซึ่งเริ่มต้นทันทีหลังจุดทศนิยม ผลลัพธ์ของการแปลงคือเศษส่วนที่มีรูปแบบนั้นเป็นตัวเศษ และมีจำนวนเลขเก้าเท่ากันเป็นตัวส่วน ตัวอย่างเช่น:

0.5 = 5/9

0.62 = 62/99

0.264 = 264/999

0.6291 = 6291/9999

หากมีเลขศูนย์ นำหน้ารูปแบบดังกล่าว เลขเก้าแต่ละตัวจะมี เลขศูนย์ต่อท้ายจำนวนเท่ากัน:

0.0 5 = 5/90

0.000 392 = 392/999000

0.00 12 = 12/9900

หากมีชุดตัวเลขที่ไม่ซ้ำกันนำหน้ารูปแบบ (เช่น 0.1523 987 ) เราสามารถเขียนตัวเลขนั้นได้ในรูปผลรวมของส่วนที่ไม่ซ้ำกันและส่วนที่ซ้ำกันตามลำดับ:

0.1523 + 0.0000 987

จากนั้นแปลงทั้งสองส่วนเป็นเศษส่วน แล้วบวกเข้าด้วยกันโดยใช้วิธีการที่อธิบายไว้ข้างต้น:

1523 / 10000 + 987 / 9990000 = 1522464 / 9990000

อีกทางเลือกหนึ่งคือการใช้พีชคณิต ดังตัวอย่างด้านล่าง:

1. ให้xแทนทศนิยมซ้ำ:

   x = 0.1523 987

2. คูณทั้งสองข้างด้วยเลขยกกำลังของ 10 ที่มากพอ (ในกรณีนี้คือ 10⁴ ⁾เพื่อเลื่อนจุดทศนิยมไปอยู่ก่อนส่วนที่ซ้ำกันของตัวเลขทศนิยม:

   10,000 x = 1,523.987

3. คูณทั้งสองข้างด้วยเลขยกกำลังของ 10 (ในกรณีนี้คือ 10³ ⁾ซึ่งเท่ากับจำนวนตำแหน่งที่ซ้ำกัน:

   10,000,000 x = 1,523,987.987

4. นำสมการทั้งสองมาลบกัน (ถ้าa = bและc = dแล้วa − c = b − d ):

   10,000,000 x − 10,000 x = 1,523,987.987 − 1,523.987

5. ดำเนินการลบต่อเพื่อกำจัดทศนิยมซ้ำ:

   9,990,000 x = 1,523,987 − 1,523

   9,990,000 x = 1,522,464

6. หารทั้งสองข้างด้วย 9,990,000 เพื่อแสดงค่าxในรูปเศษส่วน

   x = ⁠1522464/9990000⁠

นอกจากจะมีความสำคัญในทางปฏิบัติอย่างมากแล้ว เศษส่วนยังได้รับการศึกษาโดยนักคณิตศาสตร์ ซึ่งตรวจสอบว่ากฎสำหรับเศษส่วนที่กล่าวมาข้างต้นมีความสอดคล้องและเชื่อถือได้นักคณิตศาสตร์กำหนดเศษส่วนเป็นคู่ลำดับของจำนวนเต็มและการดำเนินการบวกลบคูณและหาร สำหรับ เศษส่วนนั้นกำหนดไว้ดังนี้: ^{[ 28 ]}${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b\neq 0,}$

${\displaystyle (a,b)+(c,d)=(ad+bc,bd)\,}$

${\displaystyle (a,b)-(c,d)=(ad-bc,bd)\,}$

${\displaystyle (a,b)\cdot (c,d)=(ac,bd)}$

${\displaystyle (a,b)\div (c,d)=(ad,bc)\quad ({\text{with, additionally, }}c\neq 0)}$

คำจำกัดความเหล่านี้สอดคล้องกับคำจำกัดความที่ให้ไว้ข้างต้นในทุกกรณี เพียงแต่สัญลักษณ์แตกต่างกันเท่านั้น หรืออีกทางเลือกหนึ่ง แทนที่จะกำหนดการลบและการหารเป็นการดำเนินการ เรา อาจกำหนดเศษส่วน ผกผันกับการบวกและการคูณได้ดังนี้:

${\displaystyle {\begin{aligned}-(a,b)&=(-a,b)&&{\text{additive inverse fractions,}}\\&&&{\text{with }}(0,b){\text{ as additive unities, and}}\\(a,b)^{-1}&=(b,a)&&{\text{multiplicative inverse fractions, for }}a\neq 0,\\&&&{\text{with }}(b,b){\text{ as multiplicative unities}}.\end{aligned}}}$

นอกจากนี้ความสัมพันธ์ดังกล่าวยังระบุไว้ดังนี้

${\displaystyle (a,b)\sim (c,d)\quad \iff \quad ad=bc,}$

เป็นความสัมพันธ์สมมูลของเศษส่วน เศษส่วนแต่ละตัวจากชั้นสมมูลหนึ่งๆ สามารถถือได้ว่าเป็นตัวแทนของชั้นสมมูลทั้งหมด และแต่ละชั้นสมมูลทั้งหมดสามารถถือได้ว่าเป็นเศษส่วนนามธรรมหนึ่งตัว ความสมมูลนี้ได้รับการรักษาไว้โดยการดำเนินการที่กำหนดไว้ข้างต้น กล่าวคือ ผลลัพธ์ของการดำเนินการกับเศษส่วนจะไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกตัวแทนจากชั้นสมมูลของเศษส่วนนั้นๆ ในทางคณิตศาสตร์ สำหรับการบวกเศษส่วน

${\displaystyle (a,b)\sim (a',b')\quad }$และบ่งบอกเป็นนัย ${\displaystyle \quad (c,d)\sim (c',d')\quad }$

${\displaystyle ((a,b)+(c,d))\sim ((a',b')+(c',d'))}$

และเช่นเดียวกันสำหรับขั้นตอนการดำเนินการอื่นๆ

ในกรณีของเศษส่วนของจำนวนเต็ม เศษส่วนเหล่านั้น⁠เอ/ขโดยที่a และ b เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์และb > 0มักถูกนำมาใช้เป็นตัวแทนที่กำหนดได้อย่างเฉพาะเจาะจงสำหรับ เศษส่วน ที่เทียบเท่ากันซึ่งถือว่าเป็น จำนวนตรรกยะ เดียวกันด้วยวิธีนี้ เศษส่วนของจำนวนเต็มจึงประกอบขึ้นเป็นฟิลด์ของจำนวนตรรกยะ

โดยทั่วไปแล้วaและbอาจเป็นสมาชิกของโดเมนจำนวนเต็ม ใดๆ Rซึ่งในกรณีนี้เศษส่วนจะเป็นสมาชิกของฟิลด์เศษส่วนของRตัวอย่างเช่นพหุนามในตัวแปรหนึ่งตัวที่มีสัมประสิทธิ์จากโดเมนจำนวนเต็มD บางโดเมน ก็เป็นโดเมนจำนวนเต็มเช่นกัน เรียกว่าPดังนั้นสำหรับaและbที่เป็นสมาชิกของP ฟิลด์เศษส่วนที่สร้างขึ้นจะเป็นฟิลด์เศษส่วนตรรกยะ (หรือที่รู้จักกันในชื่อฟิลด์ฟังก์ชันตรรกยะ )

เศษส่วนพีชคณิต คือผลหาร ที่ระบุ ของนิพจน์พีชคณิต สองตัว เช่นเดียวกับเศษส่วนของจำนวนเต็ม ตัวส่วนของเศษส่วนพีชคณิตต้องไม่เป็นศูนย์ ตัวอย่างของเศษส่วนพีชคณิตสองตัวคือและเศษส่วนพีชคณิตมีคุณสมบัติทางฟิลด์ เดียวกัน กับเศษส่วนเลขคณิต ${\displaystyle {\frac {3x}{x^{2}+2x-3}}}$${\displaystyle {\frac {\sqrt {x+2}}{x^{2}-3}}}$

ถ้าตัวเศษและตัวส่วนเป็นพหุนามดังเช่น${\displaystyle {\frac {3x}{x^{2}+2x-3}}}$ในเศษส่วนพีชคณิตนั้นเรียกว่าเศษส่วนตรรกยะ (หรือนิพจน์ตรรกยะ ) เศษส่วนอตรรกยะคือเศษส่วนที่ไม่ใช่ตรรกยะ เช่น เศษส่วนที่มีตัวแปรอยู่ภายใต้เลขชี้กำลังหรือรากที่เป็นเศษส่วนดัง เช่นใน${\displaystyle {\frac {\sqrt {x+2}}{x^{2}-3}}}$

คำศัพท์ที่ใช้ในการอธิบายเศษส่วนพีชคณิตนั้นคล้ายคลึงกับคำศัพท์ที่ใช้สำหรับเศษส่วนธรรมดา ตัวอย่างเช่น เศษส่วนพีชคณิตจะอยู่ในรูปอย่างง่ายที่สุดก็ต่อเมื่อตัวประกอบร่วมของตัวเศษและตัวส่วนมีเพียง 1 และ −1 เท่านั้น เศษส่วนพีชคณิตที่มีตัวเศษหรือตัวส่วน หรือทั้งสองตัว ประกอบด้วยเศษส่วน เช่น⁠ ⁠${\displaystyle {\frac {1+{\tfrac {1}{x}}}{1-{\tfrac {1}{x}}}}}$เรียกว่าเศษส่วน เชิงซ้อน

ฟิลด์ของจำนวนตรรกยะคือฟิลด์ของเศษส่วนของจำนวนเต็ม ในขณะที่จำนวนเต็มเองไม่ใช่ฟิลด์ แต่เป็นโดเมนเชิงอินทิกรัลในทำนองเดียวกันเศษส่วนตรรกยะที่มีสัมประสิทธิ์อยู่ในฟิลด์จะก่อให้เกิดฟิลด์ของเศษส่วนของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์อยู่ในฟิลด์นั้น เมื่อพิจารณาเศษส่วนตรรกยะที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริงนิพจน์รากที่แทนจำนวน เช่น⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle {\sqrt {2}}/2}$ก็เป็นเศษส่วนตรรกยะเช่นกัน เช่นเดียวกับจำนวนอดิศัยเช่น ⁿ เนื่องจาก ⁿ และ ⁿ ทั้งหมดเป็นจำนวนจริงจึงถือว่าเป็นสัมประสิทธิ์ อย่างไรก็ตาม จำนวนเหล่านี้ไม่ใช่เศษส่วนตรรกยะที่มีสัมประสิทธิ์ เป็นจำนวนเต็ม${\textstyle \pi /2,}$${\displaystyle {\sqrt {2}},\pi ,}$${\displaystyle 2}$

คำว่าการแยกส่วนเศษส่วน (partial fraction)ใช้ในการแยกเศษส่วนตรรกยะออกเป็นผลรวมของเศษส่วนที่ง่ายกว่า ตัวอย่างเช่น เศษส่วนตรรกยะสามารถแยกออกเป็นผลรวมของเศษส่วนสองจำนวนได้ดังนี้⁠ ⁠ซึ่งมีประโยชน์สำหรับการคำนวณอนุพันธ์ผกผันของฟังก์ชันตรรกยะ (ดู รายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับ การแยกส่วนเศษส่วนได้ในหัวข้อนี้) ${\displaystyle {\frac {2x}{x^{2}-1}}}$${\displaystyle {\frac {1}{x+1}}+{\frac {1}{x-1}}}$

เศษส่วนอาจมีรากที่สอง อยู่ ในตัวเศษหรือตัวส่วน หากตัวส่วนมีรากที่สองการทำให้เป็นจำนวนตรรกยะ (เปรียบเทียบกับรูปแบบอย่างง่ายของนิพจน์รากที่สอง ) จะช่วยได้มาก โดยเฉพาะอย่างยิ่งหากต้องดำเนินการเพิ่มเติม เช่น การบวกหรือการเปรียบเทียบเศษส่วนนั้นกับเศษส่วนอื่น นอกจากนี้ยังสะดวกกว่าหากต้องหารด้วยตนเอง เมื่อตัวส่วนเป็น ราก ที่สองของ เอก นาม สามารถทำให้เป็นจำนวนตรรกยะได้โดยการคูณทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนด้วยตัวส่วน:

${\displaystyle {\frac {3}{\sqrt {7}}}={\frac {3}{\sqrt {7}}}\cdot {\frac {\sqrt {7}}{\sqrt {7}}}={\frac {3{\sqrt {7}}}{7}}.}$

กระบวนการแปลงตัวส่วนของพหุนาม ให้เป็นจำนวนตรรกยะ เกี่ยวข้องกับการคูณตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนด้วยตัวหารร่วมของตัวส่วน เพื่อให้ตัวส่วนกลายเป็นจำนวนตรรกยะ ตัวอย่างเช่น:

${\displaystyle {\frac {3}{3-2{\sqrt {5}}}}={\frac {3}{3-2{\sqrt {5}}}}\cdot {\frac {3+2{\sqrt {5}}}{3+2{\sqrt {5}}}}={\frac {3(3+2{\sqrt {5}})}{{3}^{2}-(2{\sqrt {5}})^{2}}}={\frac {3(3+2{\sqrt {5}})}{9-20}}=-{\frac {9+6{\sqrt {5}}}{11}},}$

${\displaystyle {\frac {3}{3+2{\sqrt {5}}}}={\frac {3}{3+2{\sqrt {5}}}}\cdot {\frac {3-2{\sqrt {5}}}{3-2{\sqrt {5}}}}={\frac {3(3-2{\sqrt {5}})}{{3}^{2}-(2{\sqrt {5}})^{2}}}={\frac {3(3-2{\sqrt {5}})}{9-20}}=-{\frac {9-6{\sqrt {5}}}{11}}.}$

แม้ว่ากระบวนการนี้จะทำให้ตัวเศษเป็นจำนวนอตรรกยะ ดังเช่นในตัวอย่างข้างต้น กระบวนการนี้ก็ยังอาจช่วยอำนวยความสะดวกในการดำเนินการในขั้นตอนต่อไปได้ โดยการลดจำนวนอตรรกยะที่ต้องใช้ในการหาตัวส่วน

ในการแสดงผลบนหน้าจอคอมพิวเตอร์และการจัดพิมพ์ตัวอักษรเศษส่วนอย่างง่ายบางครั้งจะถูกพิมพ์เป็นอักขระตัวเดียว เช่น ½ ( หนึ่งส่วนสอง ) ดูบทความเรื่องรูปแบบตัวเลขสำหรับข้อมูลเกี่ยวกับการทำเช่นนี้ใน Unicode

การตีพิมพ์ทางวิทยาศาสตร์จำแนกวิธีการกำหนดเศษส่วนออกเป็นสี่วิธี พร้อมด้วยแนวทางในการใช้งาน: ^{[ 29 ]}

• เศษส่วนพิเศษ: เศษส่วนที่แสดงด้วยตัวอักษรเดี่ยวที่มีเส้นขีดเอียง โดยมีความสูงและความกว้างใกล้เคียงกับตัวอักษรอื่นๆ ในข้อความ โดยทั่วไปใช้สำหรับเศษส่วนอย่างง่าย เช่น ½, ⅓, ⅔, ¼ และ ¾ เนื่องจากตัวเลขมีขนาดเล็กกว่า จึงอาจอ่านยาก โดยเฉพาะอย่างยิ่งในแบบอักษรขนาดเล็ก เศษส่วนเหล่านี้ไม่ได้ใช้ในสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์สมัยใหม่ แต่ใช้ในบริบทอื่นๆ
• เศษส่วนตัวพิมพ์ใหญ่-เล็ก: คล้ายกับเศษส่วนพิเศษ เศษส่วนเหล่านี้จะแสดงเป็นตัวอักษรเดียว แต่มีเส้นแนวนอนคั่น ทำให้ดูตั้งตรงตัวอย่างเช่น⁠1/2แต่แสดงผลด้วยความสูงเท่ากับตัวอักษรอื่นๆ บางแหล่งข้อมูลรวมการแสดงผลเศษส่วนทั้งหมดเป็นเศษส่วนตัวพิมพ์ใหญ่หากใช้พื้นที่พิมพ์เพียงช่องเดียวโดยไม่คำนึงถึงทิศทางของเส้นขีด^{[ 30 ]}
• เศษส่วนชิลลิงหรือโซลิดัส: 1/2 เรียกเช่นนั้นเพราะสัญลักษณ์นี้ใช้สำหรับสกุลเงินอังกฤษก่อนระบบทศนิยม ( £sd ) เช่น "2/6" สำหรับเหรียญครึ่งคราวน์ หมายถึงสองชิลลิงและหกเพนนี แม้ว่าสัญลักษณ์สองชิลลิงและหกเพนนีจะไม่ได้แสดงถึงเศษส่วน แต่ปัจจุบันมีการใช้เครื่องหมายทับในเศษส่วน โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับเศษส่วนที่แทรกอยู่ในข้อความ (แทนที่จะแสดง) เพื่อหลีกเลี่ยงบรรทัดที่ไม่สม่ำเสมอ นอกจากนี้ยังใช้สำหรับเศษส่วนซ้อนเศษส่วน ( เศษส่วนเชิงซ้อน ) หรือภายในเลขยกกำลังเพื่อเพิ่มความชัดเจน เศษส่วนที่เขียนด้วยวิธีนี้ หรือที่เรียกว่าเศษส่วนชิ้นส่วน [ ^{31 ] จะ}เขียนทั้งหมดบนบรรทัดเดียว แต่ใช้ช่องว่างสามช่องขึ้นไป
• เศษส่วนแบบประกอบ: สัญลักษณ์นี้ใช้ข้อความธรรมดาตั้งแต่สองบรรทัดขึ้นไป ทำให้ระยะห่างระหว่างบรรทัดเปลี่ยนแปลงไปเมื่ออยู่ภายในข้อความอื่น แม้ว่าจะมีขนาดใหญ่และอ่านง่าย แต่ก็อาจรบกวนการอ่านได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับเศษส่วนอย่างง่ายหรือเศษส่วนที่ซับซ้อน${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$

เศษส่วนที่เก่าแก่ที่สุดคือส่วนกลับของจำนวนเต็ม : สัญลักษณ์โบราณที่แสดงถึงหนึ่งส่วนของสอง หนึ่งส่วนของสาม หนึ่งส่วนของสี่ และอื่นๆ^{[ 32 ]}ชาวอียิปต์ใช้เศษส่วนแบบอียิปต์ราว 1000  ปีก่อนคริสตกาล เมื่อประมาณ 4000 ปีที่แล้ว ชาวอียิปต์หารเศษส่วนโดยใช้วิธีที่แตกต่างออกไปเล็กน้อย พวกเขาใช้ตัวคูณร่วมน้อยที่สุดกับเศษส่วนหน่วยวิธีของพวกเขาให้คำตอบเดียวกันกับวิธีสมัยใหม่^{[ 33 ]}ชาวอียิปต์ยังมีสัญลักษณ์ที่แตกต่างกันสำหรับเศษส่วนทวิภาคซึ่งใช้สำหรับระบบน้ำหนักและการวัดบางระบบ^{[ 34 ]}

ชาวกรีกใช้เศษส่วนหน่วยและ (ต่อมา) เศษส่วนต่อเนื่องอย่างง่ายผู้ติดตามของนักปรัชญากรีกพีทาโก拉斯( ประมาณ 530  ปีก่อนคริสตกาล) ค้นพบว่ารากที่สองของสองไม่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนของจำนวนเต็มได้ (โดยทั่วไปแล้ว มักมีการกล่าวอ้างว่า ฮิปปาซัสแห่งเมตาปอนตัม เป็นผู้ค้นพบเรื่องนี้ แต่ก็อาจเป็นการกล่าวอ้างที่ผิดพลาดซึ่งกล่าวกันว่าเขาถูกประหารชีวิตเพราะเปิดเผยข้อเท็จจริงนี้) ในปี 150 ก่อนคริสตกาล นักคณิตศาสตร์ ชาวเชนในอินเดียได้เขียนสถานังคะสูตรซึ่งประกอบด้วยงานเกี่ยวกับทฤษฎีจำนวน การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ และการดำเนินการกับเศษส่วน

รูปแบบเศษส่วนสมัยใหม่ที่เรียกว่าbhinnaดูเหมือนจะมีต้นกำเนิดมาจากอินเดีย มีการอธิบายครั้งแรกในต้นฉบับBakhshali ( ประมาณ ค.ศ. 400 ) ^{[ 35 ]} Brahmagupta ( ประมาณ ค.ศ. 628 ) และBhaskara ( ประมาณ ค.ศ. 1150 ) ^{[ 36 ]}งานของพวกเขาสร้างเศษส่วนโดยวางตัวเศษ ( สันสกฤต : amsa ) ไว้เหนือตัวส่วน ( cheda ) แต่ไม่มีเส้นคั่นระหว่างกัน^{[ 36 ]}จำนวนเต็มเขียนไว้ในบรรทัดหนึ่ง และเศษส่วนในสองส่วนเขียนไว้ในบรรทัดถัดไป ถ้าเศษส่วนมีเครื่องหมายวงกลมเล็ก⟨०⟩หรือเครื่องหมายกากบาท⟨+⟩แสดงว่านำไปลบออกจากจำนวนเต็ม ถ้าไม่มีเครื่องหมายดังกล่าว แสดงว่านำไปบวก ตัวอย่างเช่นBhaskara Iเขียนว่า: ^{[ 37 ]}

6 1 2

1 1 _{1 0}

4 5 9

ซึ่งเทียบเท่ากับ

6 1 2

1 1 −1

4 5 9

และจะเขียนในรูปแบบโน้ตดนตรีสมัยใหม่เป็น61/4, 1​1/5และ  2 −1/9(เช่น 1 )8/9)​

เครื่องหมายเศษส่วนแนวนอนปรากฏครั้งแรกในงานของอัล-ฮัสซาร์ ( ราวปี ค.ศ. 1200 ) ^{[ 36 ]}นักคณิตศาสตร์มุสลิมจากเฟซประเทศโมร็อกโกผู้เชี่ยวชาญด้านนิติศาสตร์มรดกอิสลามในการอภิปรายของเขา เขาเขียนว่า: "ตัวอย่างเช่น หากคุณได้รับคำสั่งให้เขียนสามในห้าและหนึ่งในสามของหนึ่งในห้า ให้เขียนดังนี้" ^{[ 38 ]}สัญกรณ์เศษส่วนแบบเดียวกัน—โดยมีเศษส่วนอยู่หน้าจำนวนเต็ม^{[ 36 ]} —ปรากฏขึ้นไม่นานหลังจากนั้นในงานของเลโอนาร์โด ฟิโบนาชชีในศตวรรษที่ 13 ^{[ 39 ]}${\displaystyle {\frac {3\quad 1}{5\quad 3}}}$

ในการอธิบายที่มาของเศษส่วนทศนิยมDirk Jan Struikกล่าวว่า: ^{[ 40 ]}

การนำเศษส่วนทศนิยมมาใช้เป็นวิธีการคำนวณทั่วไปสามารถย้อนกลับไปได้ถึงจุลสารภาษาเฟลมิชชื่อDe Thiendeซึ่งตีพิมพ์ที่เมืองไลเดนในปี 1585 พร้อมกับการแปลเป็นภาษาฝรั่งเศสชื่อLa Dismeโดยนักคณิตศาสตร์ชาวเฟลมิชชื่อSimon Stevin (1548–1620) ซึ่งในขณะนั้นได้ตั้งถิ่นฐานอยู่ในเนเธอร์แลนด์ ตอนเหนือ จริงอยู่ที่ชาวจีน ใช้เศษส่วนทศนิยมมา หลายศตวรรษก่อน Stevin และนักดาราศาสตร์ชาวเปอร์เซียAl-Kāshīก็ใช้ทั้งเศษส่วนทศนิยมและ เศษส่วน ฐานหกสิบได้อย่างคล่องแคล่วในหนังสือ Key to arithmetic ของเขา ( ซามาร์คันด์ต้นศตวรรษที่สิบห้า) ^{[ 41 ]}

แม้ว่านักคณิตศาสตร์ชาวเปอร์เซียJamshīd al-Kāshīจะอ้างว่าได้ค้นพบเศษส่วนทศนิยมด้วยตนเองในศตวรรษที่ 15 แต่ J. Lennart Berggren ตั้งข้อสังเกตว่าเขาเข้าใจผิด เนื่องจากเศษส่วนทศนิยมถูกนำมาใช้ครั้งแรกเมื่อห้าศตวรรษก่อนหน้าเขาโดยนักคณิตศาสตร์ชาวแบกแดดAbu'l-Hasan al-Uqlidisiในช่วงต้นศตวรรษที่ 10 ^{[ 42 ] [ n 3 ]}

ในโรงเรียนประถม การสาธิตเรื่องเศษส่วนได้ใช้สื่อต่างๆ เช่นแท่ง Cuisenaire , แท่งเศษส่วน, แถบเศษส่วน, วงกลมเศษส่วน, กระดาษ (สำหรับพับหรือตัด), บล็อกรูปทรงเรขาคณิต , ชิ้นรูปทรงพาย, สี่เหลี่ยมผืนผ้าพลาสติก, กระดาษตาราง, กระดาษจุด , กระดานเรขาคณิต , ตัวนับ และซอฟต์แวร์คอมพิวเตอร์

หลายรัฐในสหรัฐอเมริกาได้นำแนวทางการเรียนรู้จากแนวทางของโครงการมาตรฐานหลักร่วมแห่งรัฐ (Common Core State Standards Initiative) มาใช้ในการศึกษาคณิตศาสตร์ นอกเหนือจากการจัดลำดับการเรียนรู้เศษส่วนและการดำเนินการกับเศษส่วนแล้ว เอกสารยังให้คำจำกัดความของเศษส่วนดังนี้: "จำนวนที่แสดงได้ในรูปแบบ ⁄โดยที่เป็นจำนวนเต็ม และเป็นจำนวนเต็มบวก (คำว่าเศษส่วนในมาตรฐานเหล่านี้หมายถึงจำนวนที่ไม่เป็นลบเสมอ)" ^{[ 44 ]}เอกสารฉบับนี้ยังกล่าวถึงเศษส่วนที่เป็นลบด้วย ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

• การคูณไขว้
• 0.999...
• หลายรายการ
• แฟรกทราน

วิกิมีเดียคอมมอน ส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับเศษส่วน

ค้นหาคำว่า "ตัวหาร"ในวิกิพีเดีย ซึ่งเป็นพจนานุกรมเสรี

ค้นหาคำว่า "numerator"ใน Wiktionary ซึ่งเป็นพจนานุกรมฟรี

• "เศษส่วนทางคณิตศาสตร์"สารานุกรมคณิตศาสตร์ออนไลน์เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2014-10-21 เรียกดูเมื่อ2011-12-28
• "เศษส่วน"สารานุกรมบริแทนนิกา 5 มกราคม 2024