ในทางคณิตศาสตร์จำนวนตรรกยะทวิภาคหรือจำนวนตรรกยะไบนารีคือจำนวนที่สามารถแสดงในรูปเศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็นกำลังของสองตัวอย่างเช่น 1/2, 3/2 และ 3/8 เป็นจำนวนตรรกยะทวิภาค แต่ 1/3 ไม่ใช่ จำนวนเหล่านี้มีความสำคัญในวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์เพราะเป็นจำนวนเดียวที่มีการแสดงผลแบบไบนารี ที่จำกัด จำนวนตรรกยะทวิภาคยังมีประโยชน์ในการวัดน้ำหนักและปริมาตรจังหวะ ดนตรี และการศึกษาคณิตศาสตร์เบื้องต้น พวกมันสามารถประมาณค่าจำนวนจริง ใดๆ ได้ อย่างแม่นยำ

ผลรวม ผลต่าง หรือผลคูณของจำนวนตรรกยะคู่สองจำนวนใดๆ จะได้เป็นจำนวนตรรกยะคู่อีกจำนวนหนึ่ง ซึ่งหาได้จากสูตรอย่างง่าย อย่างไรก็ตาม การหารจำนวนตรรกยะคู่หนึ่งด้วยจำนวนตรรกยะคู่อื่นนั้น ไม่ได้ให้ผลลัพธ์เป็นจำนวนตรรกยะคู่เสมอไป ในทางคณิตศาสตร์ หมายความว่าจำนวนตรรกยะคู่ก่อตัวเป็นวงแหวนซึ่งอยู่ระหว่างวงแหวนของจำนวนเต็มและฟิลด์ของจำนวนตรรกยะวงแหวนนี้อาจเขียนแทนด้วย ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\tfrac {1}{2}}]}$

ในคณิตศาสตร์ขั้นสูง จำนวนตรรกยะไดอะดิกเป็นหัวใจสำคัญในการสร้างโซลีนอยด์ไดอะดิกฟังก์ชันเครื่องหมายคำถามของมินคอฟสกีเวฟเล็ตของ เดาเบชี กลุ่มของทอมป์สันกลุ่ม 2ของ พรูเฟอร์ จำนวนเหนือจริงและจำนวนหลอมรวมจำนวนเหล่านี้มีโครงสร้างสมมาตรเชิงลำดับกับจำนวนตรรกยะ พวกมันเป็นระบบย่อยของจำนวน 2-adicเช่นเดียวกับจำนวนจริง และสามารถแทนส่วนที่เป็นเศษส่วนของจำนวน 2-adic ได้ ฟังก์ชันจากจำนวนธรรมชาติไปยังจำนวนตรรกยะไดอะดิกถูกนำมาใช้เพื่อกำหนดรูปแบบทางคณิตศาสตร์ของการวิเคราะห์ในคณิตศาสตร์ย้อนกลับ

ตุ้มน้ำหนักสำหรับใช้ในครัว วัดน้ำหนักเป็นเศษส่วนทวิภาคของปอนด์ตั้งแต่2 ปอนด์ลงไปจนถึง 1/64 ปอนด์ (1/4 ออนซ์)

ระบบการวัดน้ำหนักแบบดั้งเดิมจำนวนมากมีพื้นฐานมาจากแนวคิดของการแบ่งครึ่งซ้ำๆ ซึ่งทำให้เกิดจำนวนตรรกยะแบบทวิภาคเมื่อวัดปริมาณเศษส่วนของหน่วย นิ้วมักถูกแบ่งย่อยด้วยจำนวนตรรกยะแบบทวิภาคแทนที่จะใช้การแบ่งย่อยแบบทศนิยม^{[ 1 ]}การแบ่งแกลลอน ตามธรรมเนียม ออกเป็นครึ่งแกลลอนควอร์ตไพนต์และถ้วยก็เป็นแบบทวิภาคเช่นกัน^{[ 2 ]}ชาวอียิปต์โบราณใช้จำนวนตรรกยะแบบทวิภาคในการวัด โดยมีตัวส่วนสูงสุดถึง 64 ^{[ 3 ]}ในทำนองเดียวกัน ระบบน้ำหนักจากอารยธรรมลุ่มแม่น้ำสินธุส่วนใหญ่มีพื้นฐานมาจากการแบ่งครึ่งซ้ำๆ นักมานุษยวิทยา Heather M.-L. Miller เขียนว่า "การแบ่งครึ่งเป็นการดำเนินการที่ค่อนข้างง่ายด้วยเครื่องชั่งคาน ซึ่งน่าจะเป็นเหตุผลว่าทำไมระบบน้ำหนักจำนวนมากในยุคนี้จึงใช้ระบบไบนารี" ^{[ 4 ]}

ตรรกยะไดอะดิกเป็นหัวใจสำคัญของวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ในฐานะที่เป็นประเภทของจำนวนเศษส่วนที่คอมพิวเตอร์หลายเครื่องสามารถจัดการได้โดยตรง^{[ 5 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ในฐานะประเภทข้อมูลที่ใช้โดยคอมพิวเตอร์จำนวนจุดลอยตัวมักถูกกำหนดให้เป็นจำนวนเต็มที่คูณด้วยกำลังบวกหรือลบของสอง จำนวนที่สามารถแสดงได้อย่างแม่นยำในรูปแบบจุดลอยตัว เช่นประเภทข้อมูลจุดลอยตัวของ IEEEเรียกว่าจำนวนที่แสดงได้ สำหรับการแสดงจุดลอยตัวส่วนใหญ่ จำนวนที่แสดงได้จะเป็นเซตย่อยของตรรกยะไดอะดิก^{[ 6 ]}เช่นเดียวกันกับประเภทข้อมูลจุดคงที่ซึ่งใช้กำลังของสองโดยปริยายในกรณีส่วนใหญ่^{[ 7 ]}เนื่องจากความเรียบง่ายของการคำนวณด้วยตรรกยะไดอะดิก จึงมีการใช้สำหรับการคำนวณจริงที่แม่นยำโดยใช้เลขคณิตช่วง^{[ 8 ]}และเป็นหัวใจสำคัญของแบบจำลองทางทฤษฎีบางอย่างของจำนวนที่คำนวณได้^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]}

การสร้างตัวแปรสุ่มจากบิตสุ่มในช่วงเวลาที่กำหนดนั้นเป็นไปได้ก็ต่อเมื่อตัวแปรนั้นมีผลลัพธ์จำนวนจำกัดซึ่งความน่าจะเป็นทั้งหมดเป็นจำนวนตรรกยะไดอะดิก สำหรับตัวแปรสุ่มที่มีความน่าจะเป็นไม่เป็นไดอะดิก จำเป็นต้องประมาณความน่าจะเป็นด้วยจำนวนตรรกยะไดอะดิก หรือใช้กระบวนการสร้างแบบสุ่มที่มีเวลาเป็นแบบสุ่มและไม่มีขอบเขต^{[ 12 ]}

เบราว์เซอร์ของคุณไม่รองรับการเล่นไฟล์เสียง คุณสามารถดาวน์โหลดไฟล์เสียงได้

ห้าท่อนจากเพลง The Rite of SpringของIgor Stravinskiที่แสดงจังหวะดนตรี³ ₁₆,² ₁₆,³ ₁₆, และ² ₈

ใน ระบบ การเขียนโน้ตดนตรี แบบตะวันตก เครื่องหมายกำหนด จังหวะมักเขียนในรูปแบบที่คล้ายกับเศษส่วน (ตัวอย่างเช่น:² ₂,⁴ ₄, หรือ⁶ ₈), ^{[ 13 ]}แม้ว่าเส้นแนวนอนของบรรทัดห้าเส้นที่แยกตัวเลขบนและล่างมักจะถูกละเว้นเมื่อเขียนเครื่องหมายแยกจากบรรทัดห้าเส้นก็ตาม โดยทั่วไปแล้วเครื่องหมายจังหวะจะเป็นเศษส่วนแบบทวิภาค^{[ 14 ]}แม้ว่าจะมีการใช้เครื่องหมายจังหวะที่ไม่ใช่แบบทวิภาค ด้วยก็ตาม ^{[ 15 ]}ค่าตัวเลขของเครื่องหมายจังหวะ ซึ่งตีความว่าเป็นเศษส่วน จะอธิบายความยาวของห้องเพลงเป็นเศษส่วนของโน้ตตัวเต็ม ตัวเศษจะอธิบายจำนวนจังหวะต่อห้องเพลง และตัวส่วนจะอธิบายความยาวของแต่ละจังหวะ^{[ 13 ] [ 14 ]}

ในทฤษฎีพัฒนาการของแนวคิดเรื่องเศษส่วนในวัยเด็กโดยอิงจากงานของฌอง ปิอาเจต์เศษส่วนที่เกิดจากการหารครึ่งและการหารครึ่งซ้ำๆ ถือเป็นรูปแบบเศษส่วนแรกๆ ที่พัฒนาขึ้น^{[ 16 ]} ขั้น ตอนการพัฒนาแนวคิดเรื่องเศษส่วนนี้เรียกว่า "การหารครึ่งแบบอัลกอริทึม" ^{[ 17 ]}การบวกและการลบจำนวนเหล่านี้สามารถทำได้ในขั้นตอนที่เกี่ยวข้องกับการคูณสอง การหารครึ่ง การบวก และการลบจำนวนเต็มเท่านั้น ในทางตรงกันข้าม การบวกและการลบเศษส่วนทั่วไปเกี่ยวข้องกับการคูณจำนวนเต็มและการแยกตัวประกอบเพื่อให้ได้ตัวส่วนร่วม ดังนั้น เศษส่วนแบบทวิภาคจึงอาจง่ายกว่าสำหรับนักเรียนในการคำนวณมากกว่าเศษส่วนทั่วไป^{[ 18 ]}

จำนวนไดอะดิกคือจำนวนตรรกยะที่ได้จากการหารจำนวนเต็มด้วย กำลัง ของสอง^{[ 9 ]}จำนวนตรรกยะในแง่ที่ง่ายที่สุดคือจำนวนตรรกยะไดอะดิกเมื่อเป็นกำลังของสอง^{[ 19 ]}อีกวิธีหนึ่งที่เทียบเท่ากันในการนิยามจำนวนตรรกยะไดอะดิกคือจำนวนจริงที่มีการแสดงเลขฐานสองที่ สิ้นสุด ^{[ 9 ]}${\displaystyle p/q}$${\displaystyle q}$

การบวกการลบและการคูณของจำนวนตรรกยะคู่สองจำนวนใดๆ จะให้ผลลัพธ์เป็นจำนวนตรรกยะคู่อีกจำนวนหนึ่ง ตามสูตรต่อไปนี้: ^{[ 20 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a}{2^{b}}}+{\frac {c}{2^{d}}}&={\frac {2^{d-\min(b,d)}a+2^{b-\min(b,d)}c}{2^{\max(b,d)}}}\\[6px]{\frac {a}{2^{b}}}-{\frac {c}{2^{d}}}&={\frac {2^{d-\min(b,d)}a-2^{b-\min(b,d)}c}{2^{\max(b,d)}}}\\[6px]{\frac {a}{2^{b}}}\cdot {\frac {c}{2^{d}}}&={\frac {ac}{2^{b+d}}}\end{aligned}}}$

อย่างไรก็ตาม ผลลัพธ์ของการหารจำนวนตรรกยะคู่หนึ่งด้วยอีกจำนวนหนึ่งนั้น ไม่จำเป็นต้องเป็นจำนวนตรรกยะคู่เสมอไป^{[ 21 ]}ตัวอย่างเช่น 1 และ 3 ต่างก็เป็นจำนวนตรรกยะคู่ แต่ 1/3 ไม่ใช่

จำนวนเต็มทุกจำนวนและครึ่งจำนวนเต็ม ทุกจำนวน เป็นจำนวนตรรกยะแบบทวิภาค^{[ 22 ]}ทั้งสองตรงตามคำจำกัดความของการเป็นจำนวนเต็มหารด้วยกำลังของสอง: จำนวนเต็มทุกจำนวนเป็นจำนวนเต็มหารด้วยหนึ่ง (กำลังศูนย์ของสอง) และครึ่งจำนวนเต็มทุกจำนวนเป็นจำนวนเต็มหารด้วยสอง

จำนวนจริงทุก จำนวน สามารถประมาณค่าได้อย่างแม่นยำด้วยจำนวนตรรกยะแบบไดอะดิก โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สำหรับจำนวนจริงให้พิจารณาจำนวนตรรกยะแบบไดอะดิกในรูปแบบโดยที่สามารถเป็นจำนวนเต็มใดๆ และหมายถึงฟังก์ชันปัดเศษลงที่ปัดเศษอาร์กิวเมนต์ลงเป็นจำนวนเต็ม จำนวนเหล่านี้ประมาณค่าจากล่างขึ้นบนได้ภายในข้อผิดพลาดซึ่งสามารถทำให้เล็กลงได้ตามอำเภอใจโดยการเลือกให้มีขนาดใหญ่ขึ้นตามอำเภอใจ สำหรับ เซตย่อย แบบแฟรกทัลของจำนวนจริง ขอบเขตข้อผิดพลาดนี้จะอยู่ภายในปัจจัยคงที่ของค่าที่เหมาะสมที่สุด: สำหรับจำนวนเหล่านี้ ไม่มีการประมาณค่าใดที่มีข้อผิดพลาดน้อยกว่าค่าคงที่คูณ[ ^{23 ] [ 24 ] การ}มีอยู่ของการประมาณค่าแบบไดอะดิกที่แม่นยำสามารถแสดงได้โดยการกล่าวว่าเซตของจำนวนตรรกยะแบบไดอะดิกทั้งหมดมีความหนาแน่นใน เส้น จำนวนจริง^{[ 22 ]}ยิ่งไปกว่านั้น เซตนี้มีความหนาแน่นสม่ำเสมอในแง่ที่ว่าจำนวนตรรกยะคู่ที่มีตัวส่วนกระจายอย่างสม่ำเสมอบนเส้นจำนวนจริง^{[ 9 ]}${\displaystyle x}$${\textstyle \lfloor 2^{i}x\rfloor /2^{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \lfloor \dots \rfloor }$${\displaystyle x}$${\displaystyle 1/2^{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle n/2^{i}}$${\displaystyle 1/2^{i}}$${\displaystyle 2^{i}}$

จำนวนตรรกยะคู่คือจำนวนที่มีการขยายเลขฐานสอง แบบ จำกัด^{[ 9 ]}การขยายเลขฐานสองของจำนวนเหล่านี้ไม่ซ้ำกัน มีการแสดงแทนแบบจำกัดหนึ่งแบบและแบบอนันต์หนึ่งแบบสำหรับจำนวนตรรกยะคู่แต่ละตัวที่ไม่ใช่ 0 (โดยไม่สนใจเลข 0 ที่ปลาย) ตัวอย่างเช่น 0.11 ₂ = 0.10111... ₂ซึ่งให้การแสดงแทนที่แตกต่างกันสองแบบสำหรับ 3/4 ^{[ 9 ] [ 25 ]}จำนวนตรรกยะคู่เป็นจำนวนเดียวที่มีการขยายเลขฐานสองไม่ซ้ำกัน^{[ 9 ]}

เนื่องจากจำนวนตรรกยะไดดิกปิดภายใต้การบวก การลบ และการคูณ แต่ไม่ปิดภายใต้การหาร จำนวนตรรกยะไดดิกจึงเป็นวงแหวนแต่ไม่ใช่ฟิลด์^{[ 26 ]}วงแหวนของจำนวนตรรกยะไดดิกอาจเขียนแทนด้วยซึ่งหมายความว่าสามารถสร้างขึ้นได้โดยการประเมินพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม ที่อาร์กิวเมนต์ 1/2 ^{[ 27 ]}ในฐานะวงแหวน จำนวนตรรกยะไดดิกเป็นวงแหวนย่อยของจำนวนตรรกยะ และเป็นวงแหวนเหนือของจำนวนเต็ม^{[ 28 ]}ในทางพีชคณิต วงแหวนนี้คือการกำหนดตำแหน่งของจำนวนเต็มโดยสัมพันธ์กับเซตของกำลังของสอง^{[ 29 ]}${\displaystyle \mathbb {Z} [{\tfrac {1}{2}}]}$

นอกจากจะเป็นซับริงของจำนวนจริงแล้ว จำนวนตรรกยะไดอะดิกยังเป็นซับริงของจำนวน 2-adicซึ่งเป็นระบบของจำนวนที่สามารถกำหนดได้จากการแสดงเลขฐานสองที่จำกัดทางด้านขวาของจุดเลขฐานสอง แต่สามารถขยายไปได้ไกลอย่างไม่มีที่สิ้นสุดทางด้านซ้าย จำนวน 2-adic ประกอบด้วยจำนวนตรรกยะทั้งหมด ไม่ใช่เฉพาะจำนวนตรรกยะไดอะดิกเท่านั้น การฝังจำนวนตรรกยะไดอะดิกเข้าไปในจำนวน 2-adic ไม่ได้เปลี่ยนแปลงเลขคณิตของจำนวนตรรกยะไดอะดิก แต่ทำให้มีโครงสร้างทางโทโพโลยีที่แตกต่างจากที่เป็นซับริงของจำนวนจริง เช่นเดียวกับในจำนวนจริง จำนวนตรรกยะไดอะดิกเป็นเซตย่อยที่หนาแน่นของจำนวน 2-adic ^{[ 30 ]}และเป็นเซตของจำนวน 2-adic ที่มีการขยายเลขฐานสองที่จำกัด จำนวน 2-adic ทุกจำนวนสามารถแยกออกเป็นผลรวมของจำนวนเต็ม 2-adic และจำนวนตรรกยะไดอะดิกได้ ในแง่นี้ จำนวนตรรกยะแบบไดอะดิกสามารถแทนส่วนที่เป็นเศษส่วนของจำนวน 2-อะดิกได้ แต่การแยกส่วนนี้ไม่เป็นเอกลักษณ์^{[ 31 ]}

การบวกจำนวนตรรกยะคู่โมดูล 1 ( กลุ่มผลหาร ของจำนวนตรรกยะคู่โดยจำนวนเต็ม) ก่อให้เกิด กลุ่ม Prüfer 2 ^{[ 32 ]}${\displaystyle \mathbb {Z} [{\tfrac {1}{2}}]/\mathbb {Z} }$

การพิจารณาเฉพาะการดำเนินการบวกและการลบของจำนวนตรรกยะไดอะดิกทำให้พวกมันมีโครงสร้างของกลุ่มอาเบเลียน แบบบวก ความเป็นคู่ของปอนทรียาจินเป็นวิธีการทำความเข้าใจกลุ่มอาเบเลียนโดยการสร้างกลุ่มคู่ ซึ่งองค์ประกอบเป็นอักขระของกลุ่มดั้งเดิมโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มไปยังกลุ่มการคูณของจำนวนเชิงซ้อนโดยมีการคูณแบบจุดต่อจุดเป็นการดำเนินการของกลุ่มคู่ กลุ่มคู่ของจำนวนตรรกยะไดอะดิกแบบบวกที่สร้างขึ้นในลักษณะนี้ยังสามารถมองได้ว่าเป็นกลุ่มโทโพโลยีเรียกว่าโซลีนอยด์ไดอะดิก และมีความสมมาตรกับผลคูณโทโพโลยีของจำนวนจริงและจำนวน 2-adic ซึ่งหารด้วยการฝังแนวทแยงของจำนวนตรรกยะไดอะดิกในผลคูณนี้^{[ 30 ]}มันเป็นตัวอย่างของโปรทอรัสโซลีนอยด์และ คอนตินิว อัมที่ไม่สามารถแยกส่วนได้^{[ 33 ]}

ฟังก์ชันเครื่องหมายคำถามของมินคอฟสกีแปลงจำนวนตรรกยะเป็นจำนวนตรรกยะแบบไดอะดิก

เวฟเล็ต Daubechiesแสดงจุดที่ไม่เรียบที่จำนวนตรรกยะแบบไดอะดิก

เนื่องจากเป็นเซตย่อยที่หนาแน่นของจำนวนจริง จำนวนตรรกยะแบบไดอะดิกจึงสร้างลำดับที่หนาแน่น ด้วยการเรียงลำดับเชิงตัวเลข เช่นเดียวกับลำดับเชิงเส้นที่หนาแน่นนับได้สองลำดับใดๆ ตามทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิซึมของแคนเตอร์^[ 34 ^{] จำนวนตรรกยะ}แบบไดอะดิกจึงเป็นไอโซมอร์ฟิกเชิงลำดับกับจำนวนตรรกยะ ในกรณีนี้ฟังก์ชันเครื่องหมายคำถามของมินคอฟสกีให้การจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งที่รักษาลำดับระหว่างเซตของจำนวนตรรกยะทั้งหมดกับเซตของจำนวนตรรกยะแบบไดอะดิก^{[ 35 ]}

ตรรกะแบบไดอะดิกมีบทบาทสำคัญในการวิเคราะห์เวฟเล็ต Daubechiesเนื่องจากเป็นเซตของจุดที่ฟังก์ชันการปรับขนาดของเวฟเล็ตเหล่านี้ไม่เรียบ^{[ 26 ]}ในทำนองเดียวกัน ตรรกะแบบไดอะดิกจะกำหนดพารามิเตอร์ความไม่ต่อเนื่องในขอบเขตระหว่างจุดที่เสถียรและไม่เสถียรในพื้นที่พารามิเตอร์ของแผนที่Hénon ^{[ 36 ]}

เซตของ โฮ มีโอเมอร์ฟิซึมเชิงเส้นแบบแบ่งส่วน จากช่วงหน่วยไปยังตัวมันเองที่มีความชันเป็นกำลังของ 2 และจุดเปลี่ยนแบบไดอะดิก-ราชันนัล ก่อให้เกิดกลุ่มภายใต้การดำเนินการของการประกอบฟังก์ชันนี่คือกลุ่มของทอมป์สันซึ่งเป็นตัวอย่างแรกที่รู้จักของกลุ่ม ง่ายอนันต์แต่ มีการนำเสนอแบบจำกัด [ ^{37 ] กลุ่ม}เดียวกันนี้ยังสามารถแสดงได้ด้วยการกระทำบนต้นไม้ไบนารีแบบมีราก^{[ 38 ]}หรือด้วยการกระทำบนไดอะดิกราชันนัลภายในช่วงหน่วย^{[ 32 ]}

ในคณิตศาสตร์ย้อนกลับวิธีหนึ่งในการสร้างจำนวนจริงคือการแสดงจำนวนจริงเป็นฟังก์ชันจากจำนวนเอกภาคไปยังจำนวนตรรกยะคู่ โดยที่ค่าของฟังก์ชันเหล่านี้สำหรับอาร์กิวเมนต์คือจำนวนตรรกยะคู่ที่มีตัวส่วนที่ประมาณจำนวนจริงที่กำหนด การกำหนดจำนวนจริงในลักษณะนี้ทำให้สามารถพิสูจน์ผลลัพธ์พื้นฐานหลายอย่างของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ได้ภายในทฤษฎีที่จำกัดของเลขคณิตอันดับสองที่เรียกว่า "การวิเคราะห์ที่เป็นไปได้" (BTFA) ^{[ 39 ]}${\displaystyle i}$${\displaystyle 2^{i}}$

ตัวเลขเหนือจริงถูกสร้างขึ้นโดยหลักการสร้างแบบวนซ้ำซึ่งเริ่มต้นด้วยการสร้างจำนวนตรรกยะคู่จำกัดทั้งหมด จากนั้นจึงสร้างจำนวนอนันต์ จำนวนอนันต์เล็ก และจำนวนอื่นๆ ชนิดใหม่และแปลกประหลาด^{[ 40 ]}ระบบตัวเลขนี้เป็นพื้นฐานของทฤษฎีเกมเชิงการจัดเรียงและจำนวนตรรกยะคู่เกิดขึ้นตามธรรมชาติในทฤษฎีนี้ในฐานะเซตของค่าของเกมเชิงการจัดเรียงบางเกม^{[ 41 ] [ 42 ] [ 19 ]}

จำนวนฟิวซิเบิลเป็นเซตย่อยของจำนวนตรรกยะไดอะดิก ซึ่งเป็นการปิดของเซตภายใต้การดำเนินการโดยจำกัดเฉพาะคู่ที่มี พวก มันมีลำดับที่ดีโดยมีประเภทลำดับเท่ากับจำนวนเอปซิลอนสำหรับแต่ละจำนวนเต็มจำนวนฟิวซิเบิลที่เล็กที่สุดที่มากกว่ามีรูปแบบการมีอยู่ของสำหรับแต่ละไม่สามารถพิสูจน์ได้ในเลขคณิตของ Peano [ ^{43 ] และ}เติบโตอย่างรวดเร็วเป็นฟังก์ชันของจนกระทั่งสำหรับมัน (ในสัญกรณ์ลูกศรขึ้นของ Knuth สำหรับจำนวนมาก) มี ค่ามากกว่าอยู่แล้ว^{[ 44 ]}${\displaystyle \{0\}}$${\displaystyle x,y\mapsto (x+y+1)/2}$${\displaystyle x,y}$${\displaystyle |xy|<1}$${\displaystyle \varepsilon _{0}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n+1/2^{k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n=3}$${\displaystyle 2\uparrow ^{9}16}$

การพิสูจน์ทฤษฎีบทของUrysohn โดยทั่วไป จะใช้เศษส่วนแบบไดอะดิกในการสร้างฟังก์ชันแยกจากทฤษฎีบทดังกล่าว