ในทางคณิตศาสตร์โอเวอร์ริงของโดเมนเชิงอินทิกรัลจะครอบคลุมโดเมนเชิงอินทิกรัล และฟิลด์เศษส่วนของโดเมนเชิงอินทิกรั ลจะครอบคลุมโอเวอร์ริง โอเวอร์ริงช่วยให้เข้าใจประเภทต่างๆ ของริงและโดเมน ได้ดียิ่งขึ้น

ในบทความนี้วงแหวน ทั้งหมด เป็นวงแหวนสลับที่และวงแหวนและวงแหวนซ้อนมีองค์ประกอบเอกลักษณ์ เดียวกัน

ให้แทนฟิลด์เศษส่วนของโดเมนจำนวนเต็มวงแหวนเป็นวงแหวนเหนือโดเมนจำนวนเต็มถ้าเป็นวงแหวนย่อยของและเป็นวงแหวนย่อยของฟิลด์เศษส่วน[ ^{1 ] : 167} ความสัมพันธ์คือ[ ^{2 ] : 373} ${\textstyle Q(A)}$${\textstyle A}$${\textstyle B}$${\textstyle A}$${\textstyle A}$${\textstyle B}$${\textstyle B}$${\textstyle Q(A)}$${\textstyle A\subseteq B\subseteq Q(A)}$

วงแหวนเหล่านี้เป็นวงแหวนของเศษส่วนของวงแหวนโดยเซตตัวคูณ [ ^{3 ] : 46} สมมติว่าเป็นโอเวอร์ริงของและเป็นเซตตัวคูณในวงแหวนเป็นโอเวอร์ริงของวงแหวนเป็นวงแหวนทั้งหมดของเศษส่วนของถ้า สมาชิก ที่ไม่ใช่หน่วย ทุกตัว ของเป็นตัวหารศูนย์^{[ 4 ] : 52–53} โอเวอร์ริงทุกตัวของที่อยู่ในเป็นวงแหวนและเป็นโอเวอร์ริงของ[ ^{4 ] : 52–53} วงแหวนปิดสมบูรณ์ในถ้าปิดสมบูรณ์ใน[ ^{4 ] : 52–53} ${\textstyle R_{A},S_{A},T_{A}}$${\textstyle R,S,T}$${\textstyle A}$${\textstyle T}$${\textstyle R}$${\textstyle A}$${\textstyle R}$${\textstyle T_{A}}$${\textstyle R_{A}}$${\textstyle T_{A}}$${\textstyle R_{A}}$${\textstyle T_{A}}$${\textstyle R_{A}}$${\textstyle T_{A}}$${\textstyle S_{A}}$${\textstyle S}$${\textstyle R}$${\textstyle R_{A}}$${\textstyle T_{A}}$${\textstyle R}$${\textstyle T}$

วงแหวนโนเธอร์เรียนเป็น ไปตาม เงื่อนไขความจำกัดที่เทียบเท่ากัน 3 ประการ ได้แก่i) โซ่แห่งอุดมคติ ที่เพิ่มขึ้นทุกอัน มีความจำกัด ii) ตระกูลอุดมคติที่ไม่ว่างเปล่าทุกตระกูลมีองค์ประกอบสูงสุดและ iii) อุดมคติทุกอันมี ฐาน ที่จำกัด^{[ 3 ] : 199}

โดเมนอินทิกรัลเป็นโดเมนเดเดคินด์หากอุดมคติทุกตัวของโดเมนเป็นผลคูณจำกัดของอุดมคติเฉพาะ [ ^{3 ] : 270}

มิติที่จำกัดของวงแหวน คือ อันดับสูงสุดในบรรดาอันดับของอุดมคติเฉพาะทั้งหมดที่มีองค์ประกอบปกติ^{[ 4 ] : 52}

วงแหวนจะเรียกว่าปราศจากองค์ประกอบนิลโพเทนต์เฉพาะที่หากวงแหวนทุกวงที่มีอุดมคติสูงสุดปราศจากองค์ประกอบนิลโพเทนต์ หรือวงแหวนที่มีตัวหารศูนย์ที่ไม่ใช่หน่วย ทุกตัว ^{[ 4 ] : 52} ${\textstyle R}$${\textstyle R_{M}}$${\textstyle M}$

วงแหวนแอฟฟินคือภาพ โฮโม มอร์ฟิก ของวงแหวนพหุนาม ( พีชคณิตที่สร้างขึ้นอย่างจำกัด ) เหนือฟิลด์^{[ 4 ] : 58}

การสวมแหวน Dedekind ทุกอันถือเป็นแหวน Dedekind ^{[ 5 ] [ 6 ]}

วงแหวนทุกวงที่เป็นผลรวมโดยตรงของวงแหวนที่มีองค์ประกอบที่ไม่ใช่หน่วยเป็นตัวหารศูนย์ทั้งหมดเป็นวงแหวนโนเธอร์เรียน^{[ 4 ] : 53}

วงแหวนทุกวงของ โดเมน Noetherian 1 มิติของ Krullคือวงแหวน Noetherian ^{[ 4 ] : 53}

ข้อความเหล่านี้เทียบเท่ากับวงแหวน Noetherian ที่มีการปิดแบบอินทิกรัล[ ^{4 ] : 57} ${\textstyle R}$${\textstyle {\bar {R}}}$

• วงแหวนทุกวงที่ซ้อนทับกันนั้นเป็นวงแหวนโนเธอร์เรียน${\textstyle R}$
• สำหรับแต่ละอุดมคติสูงสุดของทุกโอเวอร์ริงของจะเป็นวงแหวนโนเธอร์เรียน${\textstyle M}$${\textstyle R}$${\textstyle R_{M}}$
• วงแหวนนี้เป็นวัสดุที่ปราศจากสารเจือปนเฉพาะที่ และมีมิติจำกัดไม่เกิน 1${\textstyle R}$
• แหวนวงนี้เป็นแหวนโนเธอร์เรียน และมีมิติจำกัดเพียง 1 หรือน้อยกว่านั้น${\textstyle {\bar {R}}}$${\textstyle R}$
• วงแหวนทุกวงปิดสนิทโดยสมบูรณ์${\textstyle {\bar {R}}}$

ข้อความเหล่านี้เทียบเท่ากันสำหรับวงแหวนแอฟฟินที่มีการปิดแบบอินทิกรัล[ ^{4 ] : 58} ${\textstyle R}$${\textstyle {\bar {R}}}$

• Ring ปราศจากสารนิลโพเทนต์ในระดับท้องถิ่น${\textstyle R}$
• ริงเป็นโมดูลจำกัด${\textstyle {\bar {R}}}$${\textstyle R}$
• แหวนวงนี้เป็นแหวนจากโนเธอร์เรียน${\textstyle {\bar {R}}}$

วงแหวนท้องถิ่นที่ปิดสนิทคือโดเมนหรือวงแหวนแบบอินทิกรัลที่มีองค์ประกอบที่ไม่ใช่หน่วยทั้งหมดเป็นตัวหารศูนย์^{[ 4 ] : 58} ${\textstyle R}$

โดเมนอินทิกรัล Noetherian เป็นวงแหวน Dedekind ถ้าวงแหวนโอเวอร์ริงทุกวงของวงแหวน Noetherian ปิดอย่างสมบูรณ์^{[ 7 ] : 198}

วงแหวนทุกวงของโดเมนอินทิกรัล Noetherian เป็นวงแหวนเศษส่วนหากโดเมนอินทิกรัล Noetherian เป็นวงแหวน Dedekind ที่มีกลุ่มชั้นทอร์ชั่น^{[ 7 ] : 200}

วงแหวนที่สอดคล้องกันคือวงแหวนสลับตำแหน่งที่มีอุดมคติที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดแต่ละรายการนำเสนออย่างจำกัด [ ^{2 ] : 373} โดเมน Noetherian และโดเมน Prüferสอดคล้องกัน^{[ 8 ] : 137}

คู่หนึ่ง บ่ง ชี้ถึง การขยายโดเมนอินทิกรัลเหนือ^{[ 9 ] : 331} ${\textstyle (R,T)}$${\textstyle T}$${\textstyle R}$

วงแหวนเป็น โดเมน ระดับกลางสำหรับคู่ถ้าเป็นโดเมนย่อยของและเป็นโดเมนย่อยของ[ ^{9 ] : 331} ${\textstyle S}$${\textstyle (R,T)}$${\textstyle R}$${\textstyle S}$${\textstyle S}$${\textstyle T}$

มิติ Krull ของวงแหวน Noetherian มีค่า 1 หรือน้อยกว่า หากวงแหวนซ้อนทุกวงมีความสอดคล้องกัน^{[ 2 ] : 373}

สำหรับคู่โดเมนอินทิกรัลจะเป็นโอเวอร์ริงของถ้าโดเมนอินทิกรัลระดับกลางแต่ละโดเมนปิดสนิทใน[ ^{9 ] : 332 [ 10 ] : 175} ${\textstyle (R,T)}$${\textstyle T}$${\textstyle R}$${\textstyle T}$

การปิดอินทิกรัลของเป็นโดเมน Prüfer หาก วงแหวนโอเวอร์ริง ที่เหมาะสม แต่ละอัน ของมีความสอดคล้องกัน^{[ 8 ] : 137} ${\textstyle R}$${\textstyle R}$

วงแหวนของโดเมน Prüfer และโดเมน Noetherian 1 มิติของ Krull มีความสอดคล้องกัน^{[ 8 ] : 138}

วงแหวนมีคุณสมบัติ QRถ้าวงแหวนโอเวอร์ริงทุกวงเป็นโลคัลไลเซชันที่มีเซตตัวคูณ^{[ 11 ] : 196} โดเมน QR เป็นโดเมน Prüfer ^{[ 11 ] : 196} โดเมน Prüfer ที่มีกลุ่ม Picard แบบ ทอร์ชั่น เป็นโดเมน QR ^{[ 11 ] : 196} โดเมน Prüfer เป็นโดเมน QR ถ้ารากของอุดมคติที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดทุกตัวเท่ากับรากที่สร้างขึ้นโดยอุดมคติหลัก^{[ 12 ] : 500}

ข้อความดังกล่าวเป็นโดเมน Prüferซึ่งเทียบเท่ากับ: ^{[ 13 ] : 56} ${\textstyle R}$

• แต่ละวงครอบของ คือจุดตัดของโลคัลไลเซชันของและปิดสนิทโดยสมบูรณ์${\textstyle R}$${\textstyle R}$${\textstyle R}$
• แต่ละโอเวอร์ริงของ คือจุดตัดของริงเศษส่วนของและเป็นวงแหวนปิดโดยสมบูรณ์${\textstyle R}$${\textstyle R}$${\textstyle R}$
• แต่ละโอเวอร์ริงของ มีไอเดียลเฉพาะที่เป็นส่วนขยายของไอเดียลเฉพาะของและปิดสนิทโดยสมบูรณ์${\textstyle R}$${\textstyle R}$${\textstyle R}$
• แต่ละโอเวอร์ริงของ มีไอเดียลเฉพาะตัวไม่เกิน 1 ตัวที่อยู่เหนือไอเดียลเฉพาะตัวใดๆ ของและเป็นโครงสร้างปิดแบบอินทิกรัล${\textstyle R}$${\textstyle R}$${\textstyle R}$
• วงแหวนแต่ละวงนั้น ปิดสนิทโดยสมบูรณ์${\textstyle R}$
• แต่ละวงแหวนซ้อนทับนั้น มีความสอดคล้องกัน${\textstyle R}$

ข้อความดังกล่าวเป็นโดเมน Prüferซึ่งเทียบเท่ากับ: ^{[ 1 ] : 167} ${\textstyle R}$

• แต่ละวงซ้อนของนั้นแบนราบเหมือนโมดูล$เอส$${\textstyle R}$${\displaystyle S}$
• วงแหวนการประเมินค่าแต่ละ วง ของคือวงแหวนของเศษส่วน${\textstyle R}$

โฮโมมอร์ฟิซึมวงแหวนขั้นต่ำ คือ โฮโมมอร์ฟิซึม แบบฉีด ที่ ไม่ครอบคลุมและถ้าโฮโมมอร์ฟิซึมเป็นการประกอบของโฮโมมอร์ฟิซึมแล้วหรือเป็นไอโซมอร์ฟิซึม^{[ 14 ] : 461} ${\textstyle f}$${\textstyle f}$${\textstyle g}$${\textstyle h}$${\textstyle g}$${\textstyle h}$

การขยายวงแหวนขั้นต่ำที่เหมาะสม ของวงแหวน ย่อยเกิดขึ้นหาก การรวมวงแหวนของในเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมวงแหวนขั้นต่ำ ซึ่งหมายความว่าคู่วงแหวนไม่มีวงแหวนระดับกลางที่เหมาะสม^{[ 15 ] : 186} ${\textstyle T}$${\textstyle R}$${\textstyle R}$${\textstyle T}$${\textstyle (R,T)}$

วงแหวนโอเวอร์ริงขั้นต่ำ จะเกิดขึ้นหากมีวงแหวนย่อยอยู่ และคู่วงแหวนไม่มีวงแหวนกลางที่เหมาะสม^{[ 16 ] : 60} ${\textstyle T}$${\textstyle R}$${\textstyle T}$${\textstyle R}$${\textstyle (R,T)}$

การแปลงอุดมคติของ Kaplansky ( การแปลง Hayes , การแปลง S ) ของอุดมคติที่เกี่ยวข้องกับโดเมนอินทิกรัลเป็นเซตย่อยของฟิลด์เศษส่วนเซตย่อยนี้มีองค์ประกอบที่สำหรับแต่ละองค์ประกอบของอุดมคติจะมีจำนวนเต็มบวกที่ มีผลคูณ อยู่ในโดเมนอินทิกรัล[ ^{17 ] [ 16 ] : 60} ${\textstyle I}$${\textstyle R}$${\textstyle Q(R)}$${\textstyle x}$${\textstyle y}$${\textstyle I}$${\textstyle n}$${\textstyle x\cdot y^{n}}$${\textstyle R}$

โดเมนใดๆ ที่สร้างขึ้นจากส่วนขยายวงแหวนขั้นต่ำของโดเมนจะเป็นวงแหวนทับซ้อนของถ้าไม่ใช่ฟิลด์^{[ 17 ] [ 15 ] : 186} ${\textstyle R}$${\textstyle R}$${\textstyle R}$

ฟิลด์เศษส่วนประกอบด้วยโอเวอร์ริงขั้นต่ำของเมื่อไม่ใช่ฟิลด์^{[ 16 ] : 60} ${\textstyle R}$${\textstyle T}$${\textstyle R}$${\textstyle R}$

สมมติว่าโดเมนอินทิกรัลที่ปิดสนิทไม่ใช่ฟิลด์ หากมีโอเวอร์ริงขั้นต่ำของโดเมนอินทิกรัลอยู่ โอเวอร์ริงขั้นต่ำนี้จะเกิดขึ้นเป็นการแปลงคาปลันสกีของอุดมคติสูงสุดของ[ ^{16 ] : 60} ${\textstyle R}$${\textstyle R}$${\textstyle R}$

โดเมนอินทิกรัล Bézoutเป็นโดเมน Prüfer ประเภทหนึ่ง คุณสมบัติที่กำหนดของโดเมน Bézout คือไอเดียลที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดทุกอันเป็นไอเดียลหลัก โดเมน Bézout จะมีคุณสมบัติโอเวอร์ริงทั้งหมดของโดเมน Prüfer ^{[ 1 ] : 168}

วงแหวนจำนวนเต็มเป็นวงแหวน Prüfer และวงแหวนโอเวอร์ริงทั้งหมดเป็นวงแหวนของผลหาร^{[ 7 ] : 196} เศษส่วนทวิภาคเป็นเศษส่วนที่มีตัวเศษเป็นจำนวนเต็มและตัวส่วนเป็นกำลังของ 2 วงแหวนทวิภาคเป็นการกำหนดตำแหน่งของจำนวนเต็มด้วยกำลังของ 2 และเป็นโอเวอร์ริงของวงแหวนจำนวนเต็ม

• หมวดหมู่ของวงแหวน  – หมวดหมู่ที่มีวัตถุเป็นวงแหวน และมอร์ฟิซึมเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวน
• คำศัพท์เฉพาะทางทฤษฎีวงแหวน
• การหาตำแหน่งเฉพาะที่ (พีชคณิตเชิงสลับที่)
• ซับริง  – ส่วนย่อยของริงที่ประกอบกันเป็นริงอีกครั้ง
• วงแหวนเศษส่วนทั้งหมด  – การสร้างภายในพีชคณิตนามธรรม

• Atiyah, Michael Francis ; Macdonald, Ian G. (1969). บทนำสู่พีชคณิตเชิงสลับเปลี่ยน . เรดดิง, แมสซาชูเซตส์: สำนักพิมพ์แอดดิสัน-เวสลีย์. ISBN 978-0-201-40751-8.