ในทางคณิตศาสตร์พีชคณิตที่สร้างขึ้นโดยจำนวนจำกัด (เรียกอีกอย่างว่าพีชคณิตประเภทจำกัด ) บนริง (สลับที่) หรือเรียกสั้น ๆ ว่าพีชคณิตที่สร้างขึ้นโดยจำนวนจำกัด คือพีชคณิตแบบสลับที่และเชื่อมโยงกันซึ่งกำหนดโดยโฮโมมอร์ฟิซึมของริงโดยที่ทุกองค์ประกอบของสามารถแสดงได้ในรูปพหุนามในตัวสร้างจำนวนจำกัดที่มีสัมประสิทธิ์อยู่ในกล่าวอีกนัยหนึ่ง มีโฮโมมอร์ฟิซึมของ พีชคณิตแบบทั่วถึง จากริงพหุนามไปยัง ${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle A}$${\displaystyle f:R\to A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}\in A}$${\displaystyle f(R)}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R[X_{1},\dots ,X_{n}]}$${\displaystyle A}$

ถ้าเป็นฟิลด์ซึ่งถือว่าเป็นพีชคณิตย่อยของและเป็นการฉีดแบบธรรมชาติแล้วพีชคณิต ของชนิดจำกัด คือพีชคณิตแบบสลับที่และเชื่อมโยงกันซึ่งมีเซตจำกัดของสมาชิกอยู่ชุดหนึ่งโดยที่ทุกสมาชิกของสามารถแสดงได้ในรูปพหุนามในโดยมีสัมประสิทธิ์อยู่ ใน${\displaystyle K}$${\displaystyle A}$${\displaystyle f}$${\displaystyle K\hookrightarrow A}$${\displaystyle K}$${\displaystyle A}$${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}\in A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$${\displaystyle K}$

ในทำนองเดียวกัน มีองค์ประกอบอยู่ซึ่งโฮโมมอร์ฟิซึมการประเมินที่${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}\in A}$${\displaystyle {\bf {a}}=(a_{1},\dots ,a_{n})}$

${\displaystyle \phi _{\bf {a}}\colon K[X_{1},\dots ,X_{n}]\twoheadrightarrow A}$

เป็นฟังก์ชันทั่วถึงดังนั้น โดยการใช้ทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิซึมข้อแรก จะได้ ว่า${\displaystyle A\cong K[X_{1},\dots ,X_{n}]/{\rm {ker}}(\phi _{\bf {a}})}$

ในทางกลับกันสำหรับอุดมคติใดๆจะเป็นพีชคณิตของประเภทจำกัด อันที่จริงแล้ว สมาชิกใดๆ ของจะเป็นพหุนามในโคเซตที่มีสัมประสิทธิ์ในดังนั้น เราจึงได้ลักษณะเฉพาะของพีชคณิตที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดดังต่อไปนี้: ^{[ 1 ]}${\displaystyle A:=K[X_{1},\dots ,X_{n}]/I}$${\displaystyle I\subseteq K[X_{1},\dots ,X_{n}]}$${\displaystyle K}$${\displaystyle A}$${\displaystyle a_{i}:=X_{i}+I,i=1,\dots ,n}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle A}$จะเป็นพีชคณิตที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดก็ต่อเมื่อมันสมสัณฐานในฐานะพีชคณิตกับวงแหวนผลหารประเภทโดยอุดมคติ${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K[X_{1},\dots ,X_{n}]/I}$${\displaystyle I\subseteq K[X_{1},\dots ,X_{n}].}$

พีชคณิตที่ไม่สามารถสร้างขึ้นได้โดยจำนวนจำกัด เรียกว่า พีชคณิตที่สร้างขึ้นได้โดยจำนวนอนันต์

วงแหวนที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดหมายถึง วงแหวนที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดเมื่อพิจารณาว่าเป็นพีชคณิตแบบn-algebra ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

พีชคณิตที่สร้างขึ้นอย่างจำกัด ( ประเภทจำกัด ) ไม่ควรสับสนกับพีชคณิตที่เป็นจำกัด (ดูด้านล่าง) พีชคณิตจำกัดเหนือคือพีชคณิตแบบสลับที่และเชื่อมโยงกันที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดในฐานะโมดูลกล่าวคือพีชคณิตที่กำหนดโดยโฮโมมอร์ฟิซึมของริงโดยที่ทุกองค์ประกอบของสามารถแสดงได้ในรูปผลรวมเชิงเส้นของตัวสร้างจำนวนจำกัดที่มีสัมประสิทธิ์ในนี่เป็นเงื่อนไขที่เข้มงวดกว่าการที่สามารถแสดงได้ในรูปพหุนามในชุดตัวสร้างจำนวนจำกัดในกรณีที่พีชคณิตสร้างขึ้นอย่างจำกัด ${\displaystyle R}$${\displaystyle A}$${\displaystyle R}$${\displaystyle f:R\to A}$${\displaystyle A}$${\textstyle a_{1},\dots ,a_{n}\in A}$${\displaystyle f(R)}$${\displaystyle A}$

• พีชคณิตพหุนาม ถูกสร้างขึ้นโดยตัวสร้างจำนวนจำกัด ส่วนพีชคณิตพหุนามที่มี ตัวสร้าง จำนวนอนันต์นับได้นั้น ถูกสร้างขึ้นโดยไม่จำกัดจำนวน${\displaystyle K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$
• วงแหวนของพหุนามสัมประสิทธิ์จริงนั้นสร้างขึ้นโดยจำนวนจำกัดบนแต่ไม่ใช่บน${\displaystyle {\mathbb {R}}[x]}$${\displaystyle {\mathbb {R}}}$${\displaystyle {\mathbb {Q}}}$
• ฟิลด์ของฟังก์ชันตรรกยะในตัวแปรเดียวเหนือฟิลด์อนันต์ไม่ใช่พีชคณิตที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดเหนือ ฟิลด์นั้น ในทางกลับกันถูกสร้างขึ้นเหนือฟิลด์นั้นโดยองค์ประกอบเดียวคือซึ่งเป็นฟิลด์${\displaystyle E=K(t)}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle E}$${\displaystyle K}$${\displaystyle t}$
• ถ้าเป็นส่วนขยายของฟิลด์จำกัดแล้ว จากนิยามต่างๆ จะสรุปได้ว่าเป็นพีชคณิตที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดเหนือ${\displaystyle E/F}$${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$
• ในทางกลับกัน ถ้าเป็นส่วนขยายของฟิลด์ และเป็นพีชคณิตที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดเหนือแล้วส่วนขยายของฟิลด์นั้นจะเป็นส่วนขยายจำกัด นี่เรียกว่าทฤษฎีบทของซาริสกิดูเพิ่มเติมที่ส่วนขยายเชิงอินทิก รั ล${\displaystyle E/F}$${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$
• ถ้าเป็นกลุ่มที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดแล้วพีชคณิตกลุ่มจะเป็นพีชคณิตที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดเหนือ${\displaystyle G}$${\displaystyle KG}$${\displaystyle K}$

• ภาพโฮโมมอร์ฟิก ของพีชคณิตที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดนั้น ตัวมันเอง ก็สร้างขึ้นอย่างจำกัดเช่นกัน อย่างไรก็ตาม คุณสมบัติที่คล้ายกันนี้สำหรับพีชคณิตย่อยนั้นโดยทั่วไปแล้วจะไม่เป็นจริง
• ทฤษฎีบทพื้นฐานของฮิลเบิร์ต : ถ้าA เป็นพีชคณิตสลับที่ที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดเหนือวงแหวนโนเธอร์เรียน แล้ว อุดมคติทุก ตัว ของAก็สร้างขึ้นอย่างจำกัดเช่นกัน หรือเทียบเท่ากับเป็นวงแหวนโนเธอร์เรียน${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

พีชคณิตสลับที่ลดรูปซึ่ง สร้างขึ้นอย่างจำกัดเป็นวัตถุพื้นฐานที่พิจารณาในเรขาคณิตพีชคณิต สมัยใหม่ โดยที่พีชคณิตเหล่านี้สอดคล้องกับวาไรตี้พีชคณิตเชิงเส้นตรงด้วยเหตุนี้ พีชคณิตเหล่านี้จึงถูกเรียกว่าพีชคณิตเชิงเส้นตรง (สลับที่) ด้วยเช่นกัน กล่าว ให้แม่นยำยิ่งขึ้น เมื่อกำหนดเซตพีชคณิตเชิงเส้นตรงเราสามารถเชื่อมโยงพีชคณิต ที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดเข้ากับเซตนั้นได้${\displaystyle V\subseteq \mathbb {A} ^{n}}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle \Gamma (V):=K[X_{1},\dots ,X_{n}]/I(V)}$

เรียกว่าวงแหวนพิกัด เชิงเส้น ของ; ยิ่งไปกว่านั้น ถ้าเป็นแผนที่ปกติระหว่างเซตพีชคณิตเชิงเส้นและเราสามารถกำหนดโฮโมมอร์ฟิซึมของพีชคณิต - ได้${\displaystyle V}$${\displaystyle \phi \colon V\to W}$${\displaystyle V\subseteq \mathbb {A} ^{n}}$${\displaystyle W\subseteq \mathbb {A} ^{m}}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle \Gamma (\phi )\equiv \phi ^{*}\colon \Gamma (W)\to \Gamma (V),\,\phi ^{*}(f)=f\circ \phi ,}$

จากนั้นจะเป็นฟังก์ชันคอนทราแวเรียนต์จากหมวดหมู่ของเซตพีชคณิตเชิงเส้นที่มีแผนที่ปกติไปยังหมวดหมู่ของพีชคณิตที่สร้างแบบจำกัดที่ลดลง: ฟังก์ชันนี้^{[ 2 ]} กลาย เป็นความสมมูลของหมวดหมู่${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle K}$

${\displaystyle \Gamma \colon ({\text{affine algebraic sets}})^{\rm {opp}}\to ({\text{reduced finitely generated }}K{\text{-algebras}}),}$

และเมื่อจำกัดเฉพาะวาไรตี้เชิงเส้นตรง (เช่น เซตพีชคณิตเชิงเส้น ตรงที่ไม่สามารถลดทอนได้ )

${\displaystyle \Gamma \colon ({\text{affine algebraic varieties}})^{\rm {opp}}\to ({\text{integral finitely generated }}K{\text{-algebras}}).}$

เราจำได้ว่าพีชคณิต สลับที่ - เป็น โฮโมมอร์ฟิ ซึมของวงแหวนโครงสร้างโมดูล - ของ ถูกกำหนดโดย ${\displaystyle R}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \phi \colon R\to A}$${\displaystyle R}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle \lambda \cdot a:=\phi (\lambda )a,\quad \lambda \in R,a\in A.}$

พีชคณิต-algebra เรียกว่าจำกัดถ้ามันถูกสร้างขึ้นอย่างจำกัดในฐานะ-module กล่าวคือ มีโฮโมมอร์ฟิซึมแบบทั่วถึงของ-module ${\displaystyle R}$${\displaystyle A}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle R^{\oplus _{n}}\twoheadrightarrow A.}$

อีกครั้งหนึ่ง มีการกำหนดลักษณะของพีชคณิตจำกัดในแง่ของผลหาร: ^{[ 3 ]}

พีชคณิต- จะจำกัดก็ต่อเมื่อมันสมสัณฐานกับผลหารโดยโมดูลย่อย - เท่านั้น${\displaystyle R}$${\displaystyle A}$${\displaystyle R^{\oplus _{n}}/M}$${\displaystyle R}$${\displaystyle M\subseteq R}$

ตามนิยามแล้ว พหุนามพีชคณิตจำกัดจะมีประเภทจำกัด แต่ในทางกลับกันนั้นไม่จริง กล่าวคือ วงแหวนพหุนามจะมีประเภทจำกัดแต่ไม่ใช่จำกัด อย่างไรก็ตาม ถ้าพหุนามพีชคณิตมีประเภทจำกัดและเป็นจำนวนเต็มแล้ว พหุนามพีชคณิตนั้นก็จะเป็นจำกัด กล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้น พหุนามพีชคณิตจะเป็นโมดูลที่สร้างขึ้นโดยจำนวนจำกัดก็ต่อเมื่อ พหุนามพีชคณิต ถูกสร้างขึ้นโดยจำนวนสมาชิกจำกัดที่เป็นจำนวนเต็มเหนือ ${\displaystyle R}$${\displaystyle R[X]}$${\displaystyle R}$${\displaystyle A}$${\displaystyle R}$${\displaystyle A}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$

พีชคณิตจำกัดและพีชคณิตประเภทจำกัดมีความเกี่ยวข้องกับแนวคิดของมอร์ฟิซึมจำกัดและ มอร์ฟิ ซึม ประเภทจำกัด

• โมดูลที่สร้างขึ้นอย่างจำกัด
• การขยายฟิลด์ที่สร้างขึ้นอย่างจำกัด
• ทฤษฎีบทอาร์ติน-เทต
• บทพิสูจน์การทำให้เป็นมาตรฐานของโนอีเธอร์
• พีชคณิตจำกัด
• มอร์ฟิซึมของประเภทจำกัด