ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะในสาขาพีชคณิตวงแหวนพหุนามหรือพีชคณิตพหุนามคือวงแหวนที่เกิดจากเซตของพหุนาม ใน ตัวแปรหนึ่งตัวหรือมากกว่า(ซึ่งตามธรรมเนียมเรียกว่าตัวแปร ) โดยมีสัมประสิทธิ์ อยู่ใน วงแหวนอื่นซึ่งมักจะเป็น ฟิลด์

โดยทั่วไป คำว่า " วงแหวนพหุนาม" มักหมายถึงกรณีพิเศษของวงแหวนพหุนามในตัวแปรหนึ่งตัวบนฟิลด์ ความสำคัญของวงแหวนพหุนามดังกล่าวอยู่ที่จำนวนคุณสมบัติมากมายที่พวกมันมีร่วมกับวงแหวนของจำนวนเต็ม

วงแหวนพหุนามเกิดขึ้นและมักเป็นพื้นฐานในหลายสาขาของคณิตศาสตร์ เช่นทฤษฎีจำนวนพีชคณิตเชิงสลับที่และเรขาคณิตเชิงพีชคณิตในทฤษฎีวงแหวนมีวงแหวนหลายประเภท เช่นโดเมนการแยกตัวประกอบเฉพาะวงแหวนปกติวงแหวนกลุ่มวงแหวนของอนุกรมกำลังเชิงรูปธรรม พหุ นามโอเรวงแหวนแบบแบ่งระดับถูกนำมาใช้เพื่อขยายคุณสมบัติบางอย่างของวงแหวนพหุนาม

แนวคิดที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดคือ วงแหวนของฟังก์ชันพหุนามบนปริภูมิเวกเตอร์และโดยทั่วไปแล้ววงแหวน ของฟังก์ชันปกติบนวาไรตี้พีชคณิต

ให้Kเป็นฟิลด์หรือ (โดยทั่วไป) วงแหวนสลับที่ได้

วงแหวนพหุนามในXเหนือKซึ่งแสดงด้วยK [ X ]สามารถกำหนดได้หลายวิธีที่เทียบเท่ากัน วิธีหนึ่งคือการกำหนดK [ X ]เป็นเซตของนิพจน์ที่เรียกว่าพหุนามในXในรูปแบบ^{[ 1 ]}

${\displaystyle p=p_{0}+p_{1}X+p_{2}X^{2}+\cdots +p_{m-1}X^{m-1}+p_{m}X^{m},}$

โดยที่mเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบสัมประสิทธิ์p ₀ , p ₁ , ..., p _mของpเป็นองค์ประกอบของKและX , X ² , …,เป็นสัญลักษณ์ที่เรียกว่า "กำลัง" ของXที่เป็นไปตามกฎของเลขยกกำลัง ทั่วไป : X ⁰ = 1 , X ¹ = Xและสำหรับจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบkและl ใดๆ สัญลักษณ์Xเรียกว่าตัวแปรที่ไม่กำหนด^{[ 2 ]}หรือตัวแปร^{[ 3 ]} (คำว่า "ตัวแปร" มาจากศัพท์เฉพาะของฟังก์ชันพหุนามอย่างไรก็ตาม ในที่นี้Xไม่มีค่า (นอกจากตัวมันเอง) และไม่สามารถเปลี่ยนแปลงได้ เป็นค่าคงที่ในวงแหวนพหุนาม) ${\displaystyle X^{k}\cdot X^{l}=X^{k+l}}$

พหุนามสองพหุนามจะเท่ากันก็ต่อเมื่อสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกันของXk แต่ละ ^ตัวเท่ากัน

เราอาจมองว่าวงแหวนK [ X ]เกิดขึ้นจากKโดยการเพิ่มสมาชิกใหม่X หนึ่ง ตัวที่อยู่นอกKสลับที่ได้กับสมาชิกทั้งหมดของKและไม่มีคุณสมบัติเฉพาะอื่นใด ซึ่งสามารถนำไปใช้เป็นนิยามที่เทียบเท่ากันของวงแหวนพหุนามได้

วงแหวนพหุนามในXเหนือKประกอบด้วยการบวก การคูณ และการคูณสเกลาร์ซึ่งทำให้มันเป็นพีชคณิตสลับที่ได้การดำเนินการเหล่านี้ถูกกำหนดตามกฎปกติสำหรับการจัดการนิพจน์พีชคณิต โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้า

${\displaystyle p=p_{0}+p_{1}X+p_{2}X^{2}+\cdots +p_{m}X^{m},}$

และ

${\displaystyle q=q_{0}+q_{1}X+q_{2}X^{2}+\cdots +q_{n}X^{n},}$

แล้ว

${\displaystyle p+q=r_{0}+r_{1}X+r_{2}X^{2}+\cdots +r_{k}X^{k},}$

และ

${\displaystyle pq=s_{0}+s_{1}X+s_{2}X^{2}+\cdots +s_{l}X^{l},}$

โดยที่k = max( m , n ), l = m + n ,

${\displaystyle r_{i}=p_{i}+q_{i}}$

และ

${\displaystyle s_{i}=p_{0}q_{i}+p_{1}q_{i-1}+\cdots +p_{i}q_{0}.}$

ในสูตรเหล่านี้ พหุนามpและqจะถูกขยายโดยการเพิ่ม "พจน์สมมติ" ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นศูนย์ เพื่อให้p _iและq _i ทั้งหมด ที่ปรากฏในสูตรนั้นถูกกำหนดขึ้น โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าm < n แล้ว p i ₌ 0สำหรับm < i ≤ n

การคูณด้วยสเกลาร์เป็นกรณีพิเศษของการคูณที่p = p ₀ลดรูปเหลือเพียงพจน์คงที่ (พจน์ที่ไม่ขึ้นอยู่กับX ) นั่นคือ

${\displaystyle p_{0}\left(q_{0}+q_{1}X+\dots +q_{n}X^{n}\right)=p_{0}q_{0}+\left(p_{0}q_{1}\right)X+\cdots +\left(p_{0}q_{n}\right)X^{n}}$

เป็นการง่ายที่จะตรวจสอบว่าการดำเนินการทั้งสามนี้สอดคล้องกับสัจพจน์ของพีชคณิตสลับที่บนKดังนั้น วงแหวนพหุนามจึงถูกเรียกว่าพีชคณิตพหุนามด้วย เช่นกัน

นิยามที่เทียบเท่ากันอีกแบบหนึ่งมักเป็นที่นิยมมากกว่า แม้ว่าจะเข้าใจยากกว่า ก็ตามเพราะทำให้มีความเข้มงวดสมบูรณ์ได้ง่ายกว่า ซึ่งประกอบด้วยการนิยามพหุนามว่าเป็นลำดับ อนันต์ ( p₀ _, p₁ , p₂ _, …)ของสมาชิกในK ที่มีคุณสมบัติว่า _มีเพียงจำนวนจำกัดของสมาชิกที่ไม่เป็นศูนย์ หรือเทียบเท่ากับลำดับที่มีm บาง _ค่าที่ทำให้pᵢ = 0สำหรับn > mในกรณีนี้p₀และXถือเป็นสัญลักษณ์ทางเลือกสำหรับลำดับ( _{p₀ ,} 0, 0, …)และ(0, 1, 0, 0, …) ตามลำดับ การใช้กฎการ ดำเนินการอย่างตรงไปตรงมาแสดงให้เห็นว่านิพจน์

${\displaystyle p_{0}+p_{1}X+p_{2}X^{2}+\cdots +p_{m}X^{m}}$

ดังนั้นจึงเป็นสัญลักษณ์ทางเลือกสำหรับลำดับนั้น

( p ₀ , p ₁ , p ₂ , …, p _m , 0, 0, …) .

อนุญาต

${\displaystyle p=p_{0}+p_{1}X+p_{2}X^{2}+\cdots +p_{m-1}X^{m-1}+p_{m}X^{m},}$

เป็นพหุนามที่ไม่เป็นศูนย์ที่มี ${\displaystyle p_{m}\neq 0}$

• ค่าคงที่ของpคือซึ่งจะเป็นศูนย์ในกรณีของพหุนามศูนย์${\displaystyle p_{0}.}$
• ระดับของpเขียนว่าdeg( p )คือจำนวนk ^ที่ มากที่สุด ที่สัมประสิทธิ์ของXkไม่เป็นศูนย์^{[ 4 ]}
• สัมประสิทธิ์นำหน้าของpคือ^{[ 5 ]}${\displaystyle p_{m}.}$
• ในกรณีพิเศษของพหุนามศูนย์ ซึ่งสัมประสิทธิ์ทั้งหมดเป็นศูนย์ สัมประสิทธิ์นำหน้าจะไม่ถูกกำหนด และดีกรีจะถูกเว้นว่างไว้แตกต่างกันไป^{[ 6 ] กำหนดให้}เป็น−1 [ ^{7 ]}หรือกำหนดให้เป็น−∞ ^{[ 8} ]
• พหุนามคงที่คือ พหุนามศูนย์ หรือ พหุนามดีกรีศูนย์
• พหุนามที่ไม่เป็นศูนย์เรียกว่าพหุนามเอกลักษณ์ถ้าสัมประสิทธิ์นำหน้าของมันคือ${\displaystyle 1.}$

กำหนดให้พหุนามpและq สองตัว ถ้าดีกรีของพหุนามศูนย์ถูกกำหนดให้เป็นหนึ่ง จะได้ว่า ${\displaystyle -\infty ,}$

${\displaystyle \deg(p+q)\leq \max(\deg(p),\deg(q)),}$

และเหนือฟิลด์หรือโดยทั่วไปแล้ว^{โดเมน}อินทิกรัล [ ^{9 ]}

${\displaystyle \deg(pq)=\deg(p)+\deg(q)}$

เป็นผลโดยตรงว่า ถ้าKเป็นโดเมนอินทิกรัล ดังนั้นK [ X ]ก็ เป็นโดเมนอินทิกรัลเช่นกัน ^{[ 10 ]}

นอกจากนี้ ยังสรุปได้ว่า ถ้าKเป็นโดเมนเชิงอินทิกรัล พหุนามจะเป็นหน่วย (กล่าวคือ มีตัวผกผันการคูณ ) ก็ต่อเมื่อพหุนามนั้นมีค่าคงที่และเป็นหน่วยใน K

พหุนามสองพหุนามจะมีความสัมพันธ์กันก็ต่อเมื่อพหุนาม ...หนึ่งเป็นผลคูณของพหุนามพหุนามพหุนามอีกพหุนามหนึ่งกับหน่วย

ในฟิลด์หนึ่งๆ พหุนามที่ไม่เป็นศูนย์ทุกตัวจะมีความสัมพันธ์กับพหุนามเอกลักษณ์เฉพาะตัวหนึ่งๆ

เมื่อกำหนดพหุ นาม สองตัวคือpและqเราจะกล่าวว่าp หาร q ลงตัว , pเป็นตัวหารของqหรือqเป็นพหุคูณของpถ้ามีพหุนามrที่ทำให้q = pr

พหุนามจะไม่สามารถแยก ตัวประกอบได้ หากมันไม่ใช่ผลคูณของพหุนามที่ไม่ใช่ค่าคงที่สองตัว หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ตัวหารของมันเป็นพหุนามค่าคงที่หรือมีดีกรีเดียวกัน

ให้Kเป็นฟิลด์ หรือโดยทั่วไปแล้วเป็นริงสลับที่และRเป็นริงที่บรรจุKสำหรับพหุนามP ใดๆ ในK [ X ]และสมาชิกa ใดๆ ในRการแทนที่Xด้วยaในPจะกำหนดสมาชิกของRซึ่งเขียนแทนด้วยP ( a )สมาชิกนี้ได้มาจากการดำเนินการในRหลังจากการแทนที่ตามที่ระบุโดยนิพจน์ของพหุนาม การคำนวณนี้เรียกว่าการประเมินค่าPที่aตัวอย่างเช่น ถ้าเรามี

${\displaystyle P=X^{2}-1,}$

เรามี

${\displaystyle {\begin{aligned}P(3)&=3^{2}-1=8,\\P(X^{2}+1)&=\left(X^{2}+1\right)^{2}-1=X^{4}+2X^{2}\end{aligned}}}$

(ในตัวอย่างแรกR = Kและในตัวอย่างที่สองR = K [ X ] ) การแทนที่Xด้วยตัวมันเองส่งผลให้

${\displaystyle P=P(X),}$

อธิบายว่าเหตุใดประโยค "ให้Pเป็นพหุนาม" และ "ให้P ( X )เป็นพหุนาม" จึงมีความหมายเทียบเท่ากัน

ฟังก์ชันพหุนามที่กำหนดโดยพหุนามPคือฟังก์ชันจากKไปยังKที่กำหนดโดยถ้าKเป็นฟิลด์อนันต์ พหุนามสองตัวที่แตกต่างกันจะกำหนดฟังก์ชันพหุนามที่แตกต่างกัน แต่คุณสมบัตินี้ไม่เป็นจริงสำหรับฟิลด์จำกัด ตัวอย่างเช่น ถ้าKเป็นฟิลด์ที่มี สมาชิก qตัว พหุนาม0และX ^q − Xต่างก็กำหนดฟังก์ชันศูนย์ ${\displaystyle x\mapsto P(x).}$

สำหรับทุกค่าaในRการประเมินค่าที่aนั่นคือ แผนที่กำหนดโฮโมมอร์ฟิซึมพีชคณิตจากK [ X ]ไปยังRซึ่งเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมที่ไม่ซ้ำกันจากK [ X ]ไปยังRที่ตรึงK ไว้ และแมปXไปยังaกล่าวอีกนัยหนึ่งK [ X ]มีคุณสมบัติสากล ดังต่อไปนี้ : ${\displaystyle P\mapsto P(a)}$

สำหรับทุกริงRที่ประกอบด้วยKและทุกองค์ประกอบaของRจะมีโฮโมมอร์ฟิซึมพีชคณิตที่ไม่ซ้ำกันจากK [ X ]ไปยังRซึ่งตรึงK ไว้ และแมปXไปยังa

เช่นเดียวกับคุณสมบัติสากลทั้งหมด สิ่งนี้กำหนดคู่( K [ X ], X )จนถึงไอโซมอร์ฟิซึมที่ไม่ซ้ำกัน และจึงสามารถถือได้ว่าเป็นนิยามของ K [ X ]

ภาพของแผนที่นั่นคือเซตย่อยของRที่ได้จากการแทนที่aด้วยXในองค์ประกอบของK [ X ]จะถูกแสดงด้วยK [ a ] ​​และเรียกว่าการต่อเติมของaไปยังK [ ^{11 ] ตัวอย่าง}เช่นและกฎการลดรูปสำหรับกำลังของรากที่สองบ่งชี้ว่า${\displaystyle P\mapsto P(a)}$${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {2}}]=\{P({\sqrt {2}})\mid P(X)\in \mathbb {Z} [X]\}}$${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {2}}]=\{a+b{\sqrt {2}}\mid a\in \mathbb {Z} ,b\in \mathbb {Z} \}.}$

ถ้าKเป็นฟิลด์วงแหวนพหุนามK [ X ]มีคุณสมบัติหลายอย่างที่คล้ายคลึงกับคุณสมบัติของวงแหวนจำนวนเต็มความคล้ายคลึงกันส่วนใหญ่เกิดจากความคล้ายคลึงกันระหว่างการหารยาวของจำนวนเต็มและการหารยาวของพหุนาม ${\displaystyle \mathbb {Z} .}$

คุณสมบัติส่วนใหญ่ของK [ X ]ที่ระบุไว้ในส่วนนี้จะไม่เป็นจริงหากKไม่ใช่ฟิลด์ หรือหากพิจารณาพหุนามในตัวแปรหลายตัว

เช่นเดียวกับจำนวนเต็มการหารพหุนามแบบยุคลิดมีคุณสมบัติความไม่ซ้ำกัน กล่าวคือ เมื่อกำหนดพหุนามสองตัวaและb ≠ 0ในK [ X ]จะมีคู่ พหุนาม ( q , r ) ที่ไม่ซ้ำกันเพียงคู่เดียว เท่านั้นที่ทำให้a = bq + rและr = 0หรือdeg( r ) < deg( b )คุณสมบัตินี้ทำให้K [ X ]เป็นโดเมนแบบยุคลิดอย่างไรก็ตาม โดเมนแบบยุคลิดอื่นๆ ส่วนใหญ่ (ยกเว้นจำนวนเต็ม) ไม่มีคุณสมบัติความไม่ซ้ำกันสำหรับการหาร และไม่มีอัลกอริทึมที่ง่าย (เช่น การหารยาว) สำหรับการคำนวณการหารแบบยุคลิด

การหารแบบยุคลิดเป็นพื้นฐานของอัลกอริทึมยุคลิดสำหรับพหุนามซึ่งคำนวณหาตัวหารร่วมมากที่สุดของพหุนามสองตัว โดยคำว่า "มากที่สุด" ในที่นี้หมายถึง "มีดีกรีสูงสุด" หรือเทียบเท่ากับค่าสูงสุดสำหรับลำดับก่อนหน้า (preorder ) ที่กำหนดโดยดีกรีนั้น เมื่อทราบตัวหารร่วมมากที่สุดของพหุนามสองตัวแล้ว ตัวหารร่วมมากที่สุดอื่นๆ จะได้มาจากการคูณด้วยค่าคงที่ที่ไม่เป็นศูนย์ (กล่าวคือ ตัวหารร่วมมากที่สุดทั้งหมดของaและbจะมีความสัมพันธ์กัน) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง พหุนามสองตัวที่ไม่เป็นศูนย์ทั้งคู่จะมีตัวหารร่วมมากที่สุดที่ไม่ซ้ำกัน ซึ่งเป็นพหุนามเอกลักษณ์ (สัมประสิทธิ์นำหน้าเท่ากับ 0)1 ).

อัลกอริทึมยุคลิดแบบขยายช่วยให้สามารถคำนวณ (และพิสูจน์) เอกลักษณ์ของเบซูต์ ได้ ในกรณีของK [ X ]อาจกล่าวได้ดังนี้ กำหนดให้พหุนามpและq สองตัวที่มีดีกรี mและnตามลำดับถ้าตัวหารร่วมมากแบบเอกลักษณ์gมีดีกรีdแล้วจะมีคู่ พหุนาม ( a , b )ที่ไม่ซ้ำกันเพียงคู่เดียวเท่านั้นที่ทำให้

${\displaystyle ap+bq=g,}$

และ

${\displaystyle \deg(a)\leq n-d,\quad \deg(b)<m-d.}$

(เพื่อให้เป็นจริงในกรณีจำกัดที่m = dหรือn = dจะต้องกำหนดดีกรีของพหุนามศูนย์เป็นค่าลบ ยิ่งไปกว่านั้น ความเท่าเทียมกันจะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อpและqมีความสัมพันธ์กัน) คุณสมบัติความไม่ซ้ำกันนั้นค่อนข้างเฉพาะเจาะจงสำหรับK [ X ]ในกรณีของจำนวนเต็ม คุณสมบัติเดียวกันนี้เป็นจริง หากแทนที่ดีกรีด้วยค่าสัมบูรณ์ แต่เพื่อให้มีความไม่ซ้ำกัน จะต้องกำหนดให้a > 0 ${\displaystyle \deg(a)=n-d}$

ทฤษฎีบทของยูคลิดใช้ได้กับK [ X ]นั่นคือ ถ้าa หาร bcลงตัวและเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับbแล้วaจะหารc ลงตัว ในที่นี้จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์หมายความว่า ตัวหารร่วมมากที่สุดแบบเอกลักษณ์คือ1. บทพิสูจน์: จากสมมติฐานและเอกลักษณ์ของเบซู ต์จะมีe , pและqที่ทำให้ae = bcและ1 = ap + bqดังนั้น ${\displaystyle c=c(ap+bq)=cap+aeq=a(cp+eq).}$

คุณสมบัติการแยกตัวประกอบที่ไม่ซ้ำกันเป็นผลมาจากทฤษฎีบทของยูคลิด ในกรณีของจำนวนเต็ม นี่คือทฤษฎีบทพื้นฐานของเลขคณิตในกรณีของK [ X ]อาจกล่าวได้ว่าพหุนามที่ไม่ใช่ค่าคงที่ทุกตัวสามารถแสดงได้ในรูปแบบที่ไม่ซ้ำกัน โดยเป็นผลคูณของค่าคงที่และพหุนามเอกลักษณ์ที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้หนึ่งตัวหรือมากกว่า การแยกตัวประกอบนี้มีเอกลักษณ์เฉพาะตัวจนถึงลำดับของตัวประกอบ กล่าวอีกนัยหนึ่งK [ X ]คือโดเมนการแยกตัวประกอบที่ไม่ซ้ำกันหากKเป็นฟิลด์ของจำนวนเชิงซ้อนทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิตยืนยันว่าพหุนามเอกตัวแปรไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ก็ต่อเมื่อดีกรีของมันเป็นหนึ่ง ในกรณีนี้ คุณสมบัติการแยกตัวประกอบที่ไม่ซ้ำกันสามารถกล่าวใหม่ได้ว่า พหุนามเอกตัวแปร ที่ไม่ใช่ค่าคงที่ทุกตัวบนจำนวนเชิงซ้อนสามารถแสดงได้ในรูปแบบที่ไม่ซ้ำกัน โดยเป็นผลคูณของค่าคง ที่และพหุนามหนึ่งตัวหรือมากกว่าในรูปแบบX − rการแยกส่วนนี้มีลักษณะเฉพาะจนถึงลำดับของตัวประกอบสำหรับแต่ละตัวประกอบrคือรากของพหุนาม และจำนวนครั้งที่ตัวประกอบปรากฏคือความซ้ำซ้อนของรากที่สอดคล้องกัน

อนุพันธ์(เชิงรูปธรรม)ของพหุนาม

${\displaystyle a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}}$

คือพหุนาม

${\displaystyle a_{1}+2a_{2}X+\cdots +na_{n}X^{n-1}.}$

ในกรณีของพหุนามที่มี สัมประสิทธิ์เป็น จำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน นี่คือ อนุพันธ์มาตรฐานสูตรข้างต้นกำหนดอนุพันธ์ของพหุนามได้ แม้ว่าสัมประสิทธิ์จะอยู่ในวงแหวนที่ไม่มีแนวคิดเรื่องลิมิตก็ตาม อนุพันธ์ทำให้วงแหวนพหุนามกลายเป็นพีชคณิตเชิงอนุพันธ์

การมีอยู่ของอนุพันธ์เป็นหนึ่งในคุณสมบัติหลักของวงแหวนพหุนามที่ไม่พบในจำนวนเต็ม และทำให้การคำนวณบางอย่างง่ายกว่าในวงแหวนพหุนามเมื่อเทียบกับจำนวนเต็ม

พหุนามที่มีสัมประสิทธิ์อยู่ในฟิลด์หรือโดเมนอินทิกรัลจะเป็นพหุนามไร้ ตัวประกอบกำลังสอง ถ้าพหุนามนั้นไม่มีรากซ้ำซ้อนในฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตที่บรรจุสัมประสิทธิ์นั้นไว้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง พหุนามดีกรีnที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อนจะเป็นพหุนามไร้ตัวประกอบกำลังสอง ถ้ามี รากเชิงซ้อนที่แตกต่างกัน nราก หรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง พหุนามเหนือฟิลด์จะเป็นพหุนามไร้ตัวประกอบกำลังสองก็ต่อเมื่อตัวหารร่วมมาก ที่สุดของพหุนามและอนุพันธ์ของพหุนามนั้นเท่ากับ1

การแยกตัวประกอบแบบไม่มีตัวประกอบกำลังสองของพหุนาม คือ นิพจน์ของพหุนามนั้นในรูปผลคูณของกำลังของตัวประกอบแบบไม่มีตัวประกอบกำลัง สองที่ไม่มีตัวประกอบกำลัง สองและเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กัน บนจำนวนจริง (หรือฟิลด์อื่นใดที่มีลักษณะเฉพาะเป็น 0 ) การแยกตัวประกอบดังกล่าวสามารถคำนวณได้อย่างมีประสิทธิภาพโดยใช้อัลกอริทึมของ Yunมีอัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพน้อยกว่าสำหรับการแยกตัวประกอบแบบไม่มีตัวประกอบกำลังสองของพหุนามบนฟิลด์จำกัด

กำหนดให้เซตจำกัดของคู่ลำดับที่มีสมาชิกอยู่ในฟิลด์และค่าที่แตกต่างกันในบรรดาพหุนามที่ประมาณค่าจุดเหล่านี้ (ดังนั้นสำหรับทุก) จะมีพหุนามเพียงหนึ่งเดียวที่มีดีกรีน้อยที่สุด พหุนามนี้คือพหุนามการประมาณค่าแบบลากรางจ์ถ้ามีคู่ลำดับ ดีกรีของ จะมีค่าไม่เกินพหุนามนี้สามารถคำนวณได้อย่างชัดเจนในรูปของข้อมูลอินพุต ${\displaystyle (x_{j},y_{j})}$${\displaystyle x_{j}}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f(x_{j})=y_{j}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle L(x)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle L(x)}$${\displaystyle k-1}$${\displaystyle L(x)}$${\displaystyle (x_{j},y_{j})}$

การแยกตัวประกอบของพหุนาม คือวิธีการแสดงพหุนามนั้นในรูป ของ การประกอบพหุนามอื่น ๆ ที่มีดีกรีมากกว่า 1 พหุนามที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้เรียกว่าพหุนามที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้( indecomposable polynomial) ทฤษฎีบทการแยกตัวประกอบของริตต์กล่าวว่า ถ้าและ เป็นการแยกตัวประกอบที่แตกต่างกันสองแบบของพหุนามแล้วและดีกรีของพหุนามที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ในการแยกตัวประกอบแบบหนึ่งจะเท่ากับดีกรีของพหุนามที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ในการแยกตัวประกอบอีกแบบหนึ่ง (แต่ไม่จำเป็นต้องเรียงลำดับเดียวกัน) ${\displaystyle f=g_{1}\circ g_{2}\circ \cdots \circ g_{m}=h_{1}\circ h_{2}\circ \cdots \circ h_{n}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle m=n}$

ยกเว้นการแยกตัวประกอบ คุณสมบัติก่อนหน้านี้ทั้งหมดของK [ X ]ถือว่ามีประสิทธิภาพเนื่องจากบทพิสูจน์ของคุณสมบัติเหล่านั้น ดังที่ได้กล่าวไว้ข้างต้น เกี่ยวข้องกับอัลกอริธึมสำหรับการทดสอบคุณสมบัติและการคำนวณพหุนามที่ยืนยันว่ามีอยู่จริง ยิ่งไปกว่านั้น อัลกอริธึมเหล่านี้มีประสิทธิภาพ เนื่องจากความซับซ้อนในการคำนวณเป็น ฟังก์ชัน กำลังสองของขนาดอินพุต

สถานการณ์แตกต่างออกไปอย่างสิ้นเชิงสำหรับการแยกตัวประกอบ: การพิสูจน์การแยกตัวประกอบที่ไม่ซ้ำกันไม่ได้ให้เบาะแสใด ๆ เกี่ยวกับวิธีการแยกตัวประกอบ แม้แต่สำหรับจำนวนเต็ม ก็ยังไม่มีอัลกอริทึมใดที่ทำงานบนคอมพิวเตอร์แบบคลาสสิก (ไม่ใช่ควอนตัม) ที่สามารถแยกตัวประกอบได้ในเวลาพหุนามนี่คือพื้นฐานของระบบการเข้ารหัส RSAซึ่งใช้กันอย่างแพร่หลายสำหรับการสื่อสารทางอินเทอร์เน็ตที่ปลอดภัย

ในกรณีของK [ X ]ปัจจัยและวิธีการคำนวณปัจจัยเหล่านั้นขึ้นอยู่กับK อย่างมาก บนจำนวนเชิงซ้อน ปัจจัยที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้อีก (ปัจจัยที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบต่อไปได้อีก) จะมีดีกรีหนึ่งทั้งหมด ในขณะที่บนจำนวนจริง จะมีพหุนามที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้อีกที่มีดีกรี 2 และบนจำนวนตรรกยะ จะมีพหุนามที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้อีกที่มีดีกรีใดๆ ก็ได้ ตัวอย่างเช่น พหุนามไม่สามารถแยกตัวประกอบได้อีกบนจำนวนตรรกยะ สามารถแยกตัวประกอบได้เป็นบนจำนวนจริง และ และบนจำนวนเชิงซ้อน ${\displaystyle X^{4}-2}$${\displaystyle (X-{\sqrt[{4}]{2}})(X+{\sqrt[{4}]{2}})(X^{2}+{\sqrt {2}})}$${\displaystyle (X-{\sqrt[{4}]{2}})(X+{\sqrt[{4}]{2}})(X-i{\sqrt[{4}]{2}})(X+i{\sqrt[{4}]{2}})}$

การมีอยู่ของอัลกอริทึมการแยกตัวประกอบนั้นขึ้นอยู่กับฟิลด์พื้นฐานด้วย ในกรณีของจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อนทฤษฎีบทของ Abel–Ruffiniแสดงให้เห็นว่ารากของพหุนามบางตัว และด้วยเหตุนี้ ตัวประกอบที่ไม่สามารถแยกได้ จึงไม่สามารถคำนวณได้อย่างแม่นยำ ดังนั้น อัลกอริทึมการแยกตัวประกอบจึงสามารถคำนวณได้เพียงค่าประมาณของตัวประกอบเท่านั้น มีอัลกอริทึมต่างๆ ที่ได้รับการออกแบบมาเพื่อคำนวณค่าประมาณดังกล่าว ดูได้ที่ การหารากของพหุนาม

มีตัวอย่างของฟิลด์Kที่มีอัลกอริทึมที่แน่นอนสำหรับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ของKแต่ไม่มีอัลกอริทึมใดที่จะตัดสินได้ว่าพหุนามในรูปแบบนั้นไม่สามารถแยกตัวประกอบได้หรือเป็นผลคูณของพหุนามที่มีดีกรีต่ำกว่า^{[ 12 ]}${\displaystyle X^{p}-a}$

ในทางกลับกัน สำหรับจำนวนตรรกยะและฟิลด์จำกัด สถานการณ์ดีกว่าการแยกตัวประกอบจำนวนเต็มเนื่องจากมีอัลกอริธึมการแยกตัวประกอบที่มีความซับซ้อนแบบพหุนาม ซึ่งถูกนำไปใช้ใน ระบบพีชคณิตคอมพิวเตอร์อเนกประสงค์ ส่วนใหญ่

ถ้าθเป็นสมาชิกของพีชคณิตKแบบสมาคมLการประเมินค่าพหุนามที่θคือโฮโมมอร์ฟิซึมพีชคณิตφ ที่ ไม่ซ้ำกัน จากK [ X ]ไปยังLซึ่งแมปXไปยังθและไม่ส่งผลกระทบต่อสมาชิกของKเอง (มันคือแผนที่เอกลักษณ์บนK ) ประกอบด้วยการแทนที่Xด้วยθในทุกพหุนาม นั่นคือ

${\displaystyle \varphi \left(a_{m}X^{m}+a_{m-1}X^{m-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}\right)=a_{m}\theta ^{m}+a_{m-1}\theta ^{m-1}+\cdots +a_{1}\theta +a_{0}.}$

ภาพของโฮโมมอร์ฟิซึมการประเมิน นี้ คือซับอัลเจบราที่สร้างขึ้นโดยθซึ่งจำเป็นต้องเป็นแบบสลับที่ได้ หากφเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ซับอัลเจบราที่สร้างขึ้นโดยθจะสม isomorphic กับK [ X ]ในกรณีนี้ ซับอัลเจบรานี้มักจะถูกแทนด้วยK [ θ ]ความกำกวมของสัญลักษณ์โดยทั่วไปไม่เป็นอันตราย เนื่องจากความสม isomorphic

ถ้าฟังก์ชันประเมินค่าไม่ใช่ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง นั่นหมายความว่าเคอร์เนล ของมัน คือไอเดียล ที่ไม่เป็นศูนย์ ซึ่งประกอบด้วยพหุนามทั้งหมดที่กลายเป็นศูนย์เมื่อแทนที่X ด้วย θไอเดียลนี้ประกอบด้วยพหุนามเอกลักษณ์ทุกตัวที่เป็นผลคูณกัน ซึ่งเรียกว่าพหุนามขั้นต่ำของθคำว่าขั้นต่ำมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าดีกรีของมันน้อยที่สุดในบรรดาดีกรีของสมาชิกในไอเดียล

มีสองกรณีหลักที่พิจารณาพหุนามขั้นต่ำ

ในทฤษฎีฟิลด์และทฤษฎีจำนวนสมาชิกθของฟิลด์ส่วนขยายLของKจะเป็นพีชคณิตเหนือK ก็ต่อ เมื่อมันเป็นรากของพหุนามบางตัวที่มีสัมประสิทธิ์อยู่ในK ดังนั้น พหุนามขั้นต่ำสุดเหนือKของθจึงเป็นพหุนามเอกลักษณ์ที่มีดีกรีน้อยที่สุดที่มีθเป็นราก เนื่องจากLเป็นฟิลด์ พหุนามขั้นต่ำสุดนี้จึงจำเป็นต้องไม่สามารถแยกตัวประกอบได้เหนือKตัวอย่างเช่น พหุนามขั้นต่ำสุด (เหนือจำนวนจริงและเหนือจำนวนตรรกยะ) ของจำนวนเชิงซ้อนiคือพหุนามไซโคลโทมิกคือพหุนามขั้นต่ำสุดของรากของเอกภาพ ${\displaystyle X^{2}+1}$

ในพีชคณิตเชิงเส้นเมทริกซ์จัตุรัสขนาดn × n บนKก่อให้เกิดพีชคณิตKแบบสมาคมที่มีมิติจำกัด (ในฐานะปริภูมิเวกเตอร์) ดังนั้น โฮโมมอร์ฟิซึมการประเมินค่าจึงไม่สามารถเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งได้ และทุกเมทริกซ์จะมีพหุนามขั้นต่ำ (ไม่จำเป็นต้องเป็นพหุนามที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้) ตามทฤษฎีบทของเคย์ลีย์-แฮมิลตัน โฮโมมอร์ฟิซึมการประเมินค่าจะแมปพหุนามลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ไปยังศูนย์ ดังนั้น พหุนามขั้นต่ำจึงหารพหุนามลักษณะเฉพาะลงตัว และด้วยเหตุนี้ ดีกรีของพหุนามขั้นต่ำจึงมีค่าไม่เกิน n

ในกรณีของK [ X ]วงแหวนผลหารโดยไอเดียลสามารถสร้างขึ้นได้เช่นเดียวกับในกรณีทั่วไป โดยใช้เซตของชั้นสมมูลอย่างไรก็ตาม เนื่องจากแต่ละชั้นสมมูลมีพหุนามที่มีดีกรีต่ำสุดเพียงตัวเดียว การสร้างแบบอื่นจึงมักสะดวกกว่า

เมื่อกำหนดพหุนามpที่มีดีกรีdแล้ววงแหวนผลหารของK [ X ]โดยไอเดียลที่สร้างโดยpสามารถระบุได้ว่าเป็นปริภูมิเวกเตอร์ของพหุนามที่มีดีกรีน้อยกว่าdโดยมี "การคูณมอดูลp " เป็นการคูณ ซึ่งการคูณมอดูล pประกอบด้วยเศษเหลือจากการหารด้วยpของผลคูณ (ปกติ) ของพหุนาม วงแหวนผลหารนี้มีสัญลักษณ์ต่างๆ กัน เช่นหรือเรียกง่ายๆ ว่า${\displaystyle K[X]/pK[X],}$${\displaystyle K[X]/\langle p\rangle ,}$${\displaystyle K[X]/(p),}$${\displaystyle K[X]/p.}$

ริงจะเป็นฟิลด์ก็ต่อเมื่อpเป็นพหุนามที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ในความเป็นจริง ถ้าpไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ พหุนามq ที่ไม่ใช่ศูนย์ทุกตัวที่มี ดีกรีต่ำกว่าจะเป็นพหุนามเฉพาะสัมพัทธ์กับpและเอกลักษณ์ของเบซูต์ช่วยให้สามารถคำนวณrและs ได้ โดยที่sp + qr = 1ดังนั้นr จึง เป็นตัวผกผันการคูณของqมอดูลpในทางกลับกัน ถ้าpสามารถแยกตัวประกอบได้ จะมีพหุนามa, bที่มีดีกรีต่ำกว่าdeg( p )โดยที่ab = p ดังนั้นa, bจึงเป็นตัวหารศูนย์ที่ไม่ใช่ศูนย์มอดูล pและไม่สามารถหาตัวผกผันได้ ${\displaystyle K[X]/(p)}$

ตัวอย่างเช่น นิยามมาตรฐานของฟิลด์ของจำนวนเชิงซ้อนสามารถสรุปได้ว่ามันคือวงแหวนผลหาร

${\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {R} [X]/(X^{2}+1),}$

และภาพของXใน นั้น แสดงด้วยiในความเป็นจริง ตามคำอธิบายข้างต้น ผลหารนี้ประกอบด้วยพหุนามดีกรีหนึ่งในi ทั้งหมด ซึ่งมีรูปแบบa + biโดยที่aและbอยู่ในเศษเหลือของการหารแบบยุคลิดที่จำเป็นสำหรับการคูณองค์ประกอบสองตัวของวงแหวนผลหารได้มาจากการแทนที่i ²ด้วย−1ในผลคูณของพวกมันเป็นพหุนาม (นี่คือคำจำกัดความปกติของผลคูณของจำนวนเชิงซ้อน) การสร้างนี้ แสดงให้เห็นถึงการสร้าง พีชคณิตกำลังสองทั่วไปมากขึ้นในฐานะวงแหวนผลหารเหนือพหุนามกำลังสองเอกลักษณ์^{[ 13 ]}${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {R} .}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

ให้θเป็นองค์ประกอบเชิงพีชคณิตในK-พีชคณิตA คำ ว่าเชิงพีชคณิตหมายความว่าθมีพหุนามขั้นต่ำpทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิซึมของวงแหวนข้อแรกกล่าวว่า โฮโมมอร์ฟิซึมการแทนที่เหนี่ยวนำให้เกิดไอโซมอร์ฟิซึมจากไปยังภาพK [ θ ]ของโฮโมมอร์ฟิซึมการแทนที่ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าAเป็นส่วนขยายอย่างง่ายของKที่สร้างขึ้นโดยθจะทำให้สามารถระบุAและ ได้ การระบุนี้ใช้กันอย่างแพร่หลายในทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิต ${\displaystyle K[X]/(p)}$${\displaystyle K[X]/(p).}$

ทฤษฎีบทโครงสร้างสำหรับโมดูลที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดเหนือโดเมนอุดมคติหลักใช้ได้กับ K [ X ] เมื่อKเป็นฟิลด์ ซึ่งหมายความว่าโมดูลที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดทุกโมดูลเหนือK [ X ] สามารถแยกออกเป็นผลรวมโดยตรงของโมดูลอิสระและโมดูลจำนวนจำกัดในรูปแบบโดยที่Pเป็นพหุนามที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้เหนือKและkเป็นจำนวนเต็มบวก ${\displaystyle K[X]/\left\langle P^{k}\right\rangle }$

กำหนดให้มีสัญลักษณ์n ตัว ที่เรียกว่าตัวแปรไม่กำหนด เอกนาม (หรือเรียกว่าผลคูณกำลัง ) ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n},}$

${\displaystyle X_{1}^{\alpha _{1}}\cdots X_{n}^{\alpha _{n}}}$

เป็นผลคูณอย่างเป็นทางการของค่าที่ไม่กำหนดเหล่านี้ ซึ่งอาจยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังที่ไม่เป็นลบ ตามปกติแล้ว สามารถละเว้นเลขชี้กำลังที่เท่ากับหนึ่งและตัวประกอบที่มีเลขชี้กำลังเป็นศูนย์ได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง${\displaystyle X_{1}^{0}\cdots X_{n}^{0}=1.}$

ทูเปิลของเลขชี้กำลังα = ( α ₁ , …, α _n )เรียกว่า เวกเตอร์ หลายดีกรีหรือเวกเตอร์เลขชี้กำลังของเอกนาม เพื่อความสะดวกในการเขียน เราใช้ตัวย่อว่า

${\displaystyle X^{\alpha }=X_{1}^{\alpha _{1}}\cdots X_{n}^{\alpha _{n}}}$

มักใช้ดีกรีของเอกนามX ^αซึ่งมักเขียนแทนด้วยdeg αหรือ| α |คือผลรวมของเลขชี้กำลัง:

${\displaystyle \deg \alpha =\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}.}$

พหุนามในตัวแปรเหล่านี้ ซึ่งมีสัมประสิทธิ์อยู่ในฟิลด์Kหรือโดยทั่วไปแล้ว อยู่ ในริงเป็นผลรวมเชิงเส้น จำกัด ของเอกนาม

${\displaystyle p=\sum _{\alpha }p_{\alpha }X^{\alpha },}$

โดยที่สัมประสิทธิ์เป็นสมาชิกของKดีกรี ของพหุนามที่ไม่เป็นศูนย์คือ ค่าสูงสุดของดีกรีของเอกนามที่มีสัมประสิทธิ์ไม่เป็นศูนย์ ${\displaystyle p_{\alpha }}$

ดังนั้น เซตของพหุนามในที่นี้จึงเป็นปริภูมิเวกเตอร์ (หรือโมดูลอิสระถ้าKเป็นริง) ที่มีเอกนามเป็นฐาน ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n},}$${\displaystyle K[X_{1},\dots ,X_{n}],}$

${\displaystyle K[X_{1},\dots ,X_{n}]}$โดยธรรมชาติแล้ว วงแหวนนี้มีคุณสมบัติ (ดูด้านล่าง) ด้วยการคูณที่สร้างวงแหวนและพีชคณิตแบบสมาคมเหนือKซึ่งเรียกว่าวงแหวนพหุนามในตัวแปรn ตัว เหนือK (คำนำหน้าtheสะท้อนให้เห็นว่ามันถูกกำหนดอย่างไม่ซ้ำกันจนถึงชื่อและลำดับของตัวแปร) ถ้าวงแหวนKเป็นวงแหวนสลับที่ได้ วงแหวนนี้ ก็เป็นวงแหวนสลับที่ได้เช่นกัน ${\displaystyle K[X_{1},\dots ,X_{n}]}$

การบวกและการคูณสเกลาร์ของพหุนามเป็นคุณสมบัติในปริภูมิเวกเตอร์หรือโมดูลอิสระที่มีฐานเฉพาะ (ในที่นี้คือฐานของเอกนาม) กล่าวคือ ให้ โดยที่IและJเป็นเซตจำกัดของเวกเตอร์เลขชี้กำลัง ${\displaystyle p=\sum _{\alpha \in I}p_{\alpha }X^{\alpha },\quad q=\sum _{\beta \in J}q_{\beta }X^{\beta },}$

การคูณสเกลาร์ของpกับสเกลาร์คือ ${\displaystyle c\in K}$

${\displaystyle cp=\sum _{\alpha \in I}cp_{\alpha }X^{\alpha }.}$

ผลรวมของpและqคือ

${\displaystyle p+q=\sum _{\alpha \in I\cup J}(p_{\alpha }+q_{\alpha })X^{\alpha },}$

โดยที่ถ้าและถ้านอกจากนี้ ถ้ามี ค่าศูนย์ที่สอดคล้องกัน สำหรับบางค่าจะถูกลบออกจากผลลัพธ์ ${\displaystyle p_{\alpha }=0}$${\displaystyle \alpha \not \in I,}$${\displaystyle q_{\beta }=0}$${\displaystyle \beta \not \in J.}$${\displaystyle p_{\alpha }+q_{\alpha }=0}$${\displaystyle \alpha \in I\cap J,}$

การคูณคือ

${\displaystyle pq=\sum _{\gamma \in I+J}\left(\sum _{\alpha ,\beta \mid \alpha +\beta =\gamma }p_{\alpha }q_{\beta }\right)X^{\gamma },}$

โดยที่คือเซตของผลรวมของเวกเตอร์เลขชี้กำลังตัวหนึ่งในIและอีกตัวหนึ่งในJ (ผลรวมของเวกเตอร์ตามปกติ) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ผลคูณของเอกนามสองตัว คือเอกนามที่มีเวกเตอร์เลขชี้กำลังเป็นผลรวมของเวกเตอร์เลขชี้กำลังของตัวประกอบ ${\displaystyle I+J}$

การตรวจสอบสัจพจน์ของพีชคณิตแบบสมาคมนั้นทำได้ง่าย

นิพจน์พหุนามคือนิพจน์ที่สร้างขึ้นจากค่าคงที่ (องค์ประกอบของK ) ตัวแปรที่ไม่กำหนด และตัวดำเนินการบวก คูณ และยกกำลังด้วยจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ

เนื่องจากการดำเนินการทั้งหมดเหล่านี้ถูกกำหนดไว้ในนิพจน์พหุนาม ซึ่งแสดงถึงพหุนาม นั่นคือองค์ประกอบของนิยามของพหุนามในฐานะการรวมเชิงเส้นของเอกนาม คือนิพจน์พหุนามเฉพาะ ซึ่งมักเรียกว่ารูปแบบมาตรฐานรูปแบบปกติหรือรูปแบบขยายของพหุนาม เมื่อกำหนดนิพจน์พหุนามแล้ว เราสามารถคำนวณ รูปแบบ ขยายของพหุนามที่แสดงได้โดยการกระจายผลคูณทั้งหมดที่มีผลรวมใน ตัวประกอบ โดยใช้กฎการกระจาย จาก นั้นใช้ สมบัติการสลับที่ (ยกเว้นผลคูณของสเกลาร์สองตัว) และสมบัติการจัดกลุ่มเพื่อแปลงพจน์ของผลรวมที่ได้ให้เป็นผลคูณของสเกลาร์และเอกนาม จากนั้นเราจะได้รูปแบบมาตรฐานโดยการจัดกลุ่มพจน์ที่เหมือนกัน ${\displaystyle K[X_{1},\dots ,X_{n}]}$${\displaystyle K[X_{1},\dots ,X_{n}].}$

ความแตกต่างระหว่างนิพจน์พหุนามกับพหุนามที่นิพจน์นั้นแทนนั้นค่อนข้างใหม่ และส่วนใหญ่ได้รับแรงบันดาลใจจากการเกิดขึ้นของพีชคณิตคอมพิวเตอร์ซึ่งตัวอย่างเช่น การทดสอบว่านิพจน์พหุนามสองนิพจน์แทนพหุนามเดียวกันหรือไม่ อาจเป็นการคำนวณที่ไม่ธรรมดา

ถ้าKเป็นริงสลับที่ ริงพหุนามK [ X ₁ , …, X _n ]จะมีคุณสมบัติสากลดัง ต่อไปนี้ : สำหรับพีชคณิตKสลับที่A ทุกตัว และทุกๆn - tuple ( x ₁ , …, x _n )ของสมาชิกในAจะมีโฮโมมอร์ฟิซึมพีชคณิต ที่ไม่ซ้ำกัน จากK [ X ₁ , …, X _n ]ไปยังAที่แมปแต่ละ x 1 ไปยัง x n ที่สอดคล้องกันโฮโมมอร์ฟิซึมนี้คือโฮโมมอร์ฟิซึมการประเมินค่าที่ประกอบด้วยการแทนที่ x 1 ด้วยx n ในทุกพหุนาม ${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle x_{i}.}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle x_{i}}$

เช่นเดียวกับคุณสมบัติสากลทุกประการ คุณสมบัตินี้จะบ่งบอกลักษณะของคู่ ดังกล่าว ได้ จนถึงไอโซมอร์ฟิซึมที่ ไม่ซ้ำกันเพียงหนึ่งเดียว${\displaystyle (K[X_{1},\dots ,X_{n}],(X_{1},\dots ,X_{n}))}$

สิ่งนี้อาจตีความได้ในแง่ของฟังก์ชันผกผัน (adjoint functors ) กล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้น ให้SETและALGเป็นหมวดหมู่ของเซตและ พีชคณิต K แบบสลับที่ได้ ตามลำดับ (ในที่นี้และต่อไปนี้ มอร์ฟิซึมจะถูกกำหนดอย่างง่ายๆ) มีฟังก์ชันลืม (forgetful functor) ที่แมปพีชคณิตไปยังเซตพื้นฐาน ในทางกลับกัน แผนที่นี้กำหนดฟังก์ชันในทิศทางตรงกันข้าม (ถ้าXเป็นอนันต์K [ X ]คือเซตของพหุนามทั้งหมดในจำนวนสมาชิกที่จำกัดของX ) ${\displaystyle \mathrm {F} :\mathrm {ALG} \to \mathrm {SET} }$${\displaystyle X\mapsto K[X]}$${\displaystyle \mathrm {POL} :\mathrm {SET} \to \mathrm {ALG} }$

คุณสมบัติสากลของวงแหวนพหุนามหมายความว่าFและPOLเป็นฟังก์ชันผกผันนั่นคือ มีการจับคู่แบบ หนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathrm {SET} }(X,\operatorname {F} (A))\cong \operatorname {Hom} _{\mathrm {ALG} }(K[X],A).}$

อาจกล่าวได้อีกนัยหนึ่งว่า วงแหวนพหุนามเป็นพีชคณิตสลับที่อิสระเนื่องจากเป็นวัตถุอิสระในหมวดหมู่ของพีชคณิตสลับที่ ในทำนองเดียวกัน วงแหวนพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มเป็นวงแหวนสลับที่อิสระเหนือเซตของตัวแปร เนื่องจากวงแหวนสลับที่และพีชคณิตสลับที่เหนือจำนวนเต็มเป็นสิ่งเดียวกัน

วงแหวนพหุนามทุกวงเป็นวงแหวนแบบมีระดับ : เราสามารถเขียนวงแหวนพหุนามเป็นผลรวมโดยตรง โดยที่เป็นปริภูมิย่อยที่ประกอบด้วยพหุนามเอกพันธุ์ ทั้งหมดที่มี ดีกรี(รวมถึงพหุนามศูนย์) จากนั้นสำหรับสมาชิกใดๆและ ผลคูณของ สมาชิก เหล่านั้นจะอยู่ใน${\displaystyle R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$$${\displaystyle R=\bigoplus _{i=0}^{\infty }R_{i}}$$${\displaystyle R_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle f\in R_{i}}$${\displaystyle g\in R_{j}}$${\displaystyle fg}$${\displaystyle R_{i+j}}$

พหุนามในสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นพหุนามเอกตัวแปรในตัวแปรไม่แน่นอนเหนือริงโดยการจัดกลุ่มพจน์ที่มีกำลังเดียวกันของนั่นคือ โดยใช้เอกลักษณ์ ${\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n-1}]}$${\displaystyle X_{n},}$

${\displaystyle \sum _{(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})\in I}c_{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}X_{1}^{\alpha _{1}}\cdots X_{n}^{\alpha _{n}}=\sum _{i}\left(\sum _{(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n-1})\mid (\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n-1},i)\in I}c_{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n-1}}X_{1}^{\alpha _{1}}\cdots X_{n-1}^{\alpha _{n-1}}\right)X_{n}^{i},}$

ซึ่งเป็นผลมาจากคุณสมบัติการกระจายและการเชื่อมโยงของการดำเนินการวงแหวน^{[ 14 ]}

หมายความว่ามีการสมมาตรเชิงพีชคณิตเกิดขึ้น

${\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\cong (K[X_{1},\ldots ,X_{n-1}])[X_{n}]}$

ที่แมปตัวแปรไม่กำหนดแต่ละตัวไปยังตัวมันเอง (ไอโซมอร์ฟิซึมนี้มักเขียนในรูปความเท่าเทียมกัน ซึ่งมีเหตุผลมาจากการที่วงแหวนพหุนามถูกกำหนดขึ้นโดยมี ไอโซมอร์ฟิซึมที่ไม่ซ้ำกัน เพียงหนึ่งเดียว )

กล่าวอีกนัยหนึ่ง วงแหวนพหุนามหลายตัวแปรสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นพหุนามตัวแปรเดียวบนวงแหวนพหุนามที่เล็กกว่า วิธีนี้มักใช้ในการพิสูจน์คุณสมบัติของวงแหวนพหุนามหลายตัวแปร โดยใช้การอุปมานตามจำนวนตัวแปรที่ไม่กำหนด

คุณสมบัติหลักๆ ดังกล่าวมีระบุไว้ด้านล่างนี้

ในส่วนนี้Rคือวงแหวนสลับที่Kคือฟิลด์Xแทนตัวแปรไม่แน่นอนตัวเดียว และตามปกติ คือวงแหวนของจำนวนเต็ม ต่อไป นี้ คือรายการคุณสมบัติหลักของวงแหวนที่ยังคงเป็นจริงเมื่อเปลี่ยนจากRเป็นR [ X ]${\displaystyle \mathbb {Z} }$

• ถ้าRเป็นโดเมนอินทิกรัลแล้ว หลักการเดียวกันนี้จะใช้ได้กับR [ X ]ด้วย (เนื่องจากสัมประสิทธิ์นำของผลคูณของพหุนามนั้น ถ้าไม่ใช่ศูนย์ ก็จะเป็นผลคูณของสัมประสิทธิ์นำของตัวประกอบ)
  • โดยเฉพาะอย่างยิ่งและเป็นโดเมนจำนวนเต็ม${\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$${\displaystyle \mathbb {Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]}$
• ถ้าRเป็นโดเมนการแยกตัวประกอบที่ไม่ซ้ำกัน แล้ว R [ X ]ก็จะเป็นเช่นเดียวกันผลลัพธ์นี้ได้มาจากทฤษฎีบท ของเกาส์และคุณสมบัติการแยกตัวประกอบที่ไม่ซ้ำกันของโดยที่Lคือฟิลด์เศษส่วนของR${\displaystyle L[X],}$
  • โดยเฉพาะอย่างยิ่งและเป็นโดเมนการแยกตัวประกอบที่ไม่ซ้ำกัน${\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$${\displaystyle \mathbb {Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]}$
• ถ้าRเป็นวงแหวนโนเธอร์เรียนแล้วR [ X ]ก็ จะเป็นเช่นเดียวกัน
  • โดยเฉพาะอย่างยิ่งและเป็นวงแหวนโนเธอร์เรียน นี่คือทฤษฎีบทพื้นฐานของฮิลเบิร์ต${\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$${\displaystyle \mathbb {Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]}$
• ถ้าRเป็นวงแหวนโนเธอร์เรียน แล้ว โดยที่ " " หมายถึงมิติครูลล์ ${\displaystyle \dim R[X]=1+\dim R,}$${\displaystyle \dim }$
  • โดยเฉพาะอย่างยิ่งและ${\displaystyle \dim K[X_{1},\ldots ,X_{n}]=n}$${\displaystyle \dim \mathbb {Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]=n+1.}$
• ถ้าRเป็นวงแหวนปกติก็จะเป็นเช่นเดียวกันสำหรับR [ X ]ในกรณีนี้ จะมีโดยที่ " " หมายถึงมิติโดยรวม $${\displaystyle \operatorname {gl} \,\dim R[X]=\dim R[X]=1+\operatorname {gl} \,\dim R=1+\dim R,}$$${\displaystyle \operatorname {gl} \,\dim }$
  • โดยเฉพาะอย่างยิ่งและ เป็นวงแหวนปกติและความเท่าเทียมกันหลังนี้คือทฤษฎีบทซิซีจีของฮิลเบิร์ต${\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$${\displaystyle \mathbb {Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]}$${\displaystyle \operatorname {gl} \,\dim \mathbb {Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]=n+1,}$${\displaystyle \operatorname {gl} \,\dim K[X_{1},\ldots ,X_{n}]=n.}$

วงแหวนพหุนามในตัวแปรหลายตัวเหนือฟิลด์มีความสำคัญอย่างยิ่งในทฤษฎีความไม่แปรเปลี่ยนและเรขาคณิตเชิงพีชคณิตคุณสมบัติบางอย่างของวงแหวนเหล่านี้ เช่นที่อธิบายไว้ข้างต้น สามารถลดทอนลงเหลือกรณีของตัวแปรไม่กำหนดเพียงตัวเดียวได้ แต่ก็ไม่ใช่เช่นนั้นเสมอไป โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เนื่องจากแอปพลิเคชันทางเรขาคณิต คุณสมบัติที่น่าสนใจหลายอย่างจะต้องไม่แปรเปลี่ยนภายใต้ การแปลง เชิงเส้นหรือเชิงฉายของตัวแปรไม่กำหนด ซึ่งมักหมายความว่าเราไม่สามารถเลือกตัวแปรไม่กำหนดตัวใดตัวหนึ่งสำหรับความสัมพันธ์เวียนเกิดบนตัวแปรไม่กำหนดได้

ทฤษฎีบทของเบซูต์ , สมมติฐานนัลสเตลเลนแซทซ์ของฮิลเบิร์ตและสมมติฐานจาโคเบียนเป็นคุณสมบัติที่มีชื่อเสียงที่สุดบางส่วนที่เฉพาะเจาะจงกับพหุนามหลายตัวแปรบนฟิลด์

ทฤษฎีบทนัลส์เทลเลนแซทซ์ (Nullstellensatz ในภาษาเยอรมันแปลว่า "ทฤษฎีบทตำแหน่งศูนย์") เป็นทฤษฎีบทที่เดวิด ฮิลเบิร์ต พิสูจน์เป็นคนแรก ซึ่งขยายบางแง่มุมของ ทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิตไปสู่กรณีหลายตัวแปร ทฤษฎีบทนี้เป็นพื้นฐานสำหรับเรขาคณิตเชิงพีชคณิตเนื่องจากสร้างความเชื่อมโยงที่แข็งแกร่งระหว่างคุณสมบัติทางพีชคณิตและคุณสมบัติทางเรขาคณิตของวาไรตี้เชิงพีชคณิตซึ่ง (โดยคร่าวๆ) คือเซตของจุดที่กำหนดโดยสม การพหุนามโดยปริยาย${\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$

หลักการ Nullstellensatz มีสามเวอร์ชันหลัก โดยแต่ละเวอร์ชันเป็นผลสืบเนื่องมาจากเวอร์ชันอื่น สองเวอร์ชันแรกได้กล่าวถึงไว้ด้านล่างแล้ว สำหรับเวอร์ชันที่สาม ผู้อ่านสามารถศึกษาเพิ่มเติมได้จากบทความหลักเกี่ยวกับหลักการ Nullstellensatz

เวอร์ชันแรกเป็นการสรุปข้อเท็จจริงที่ว่าพหุนามเอกตัวแปรที่ไม่เป็นศูนย์จะมี ศูนย์ เชิงซ้อนก็ต่อเมื่อมันไม่ใช่ค่าคงที่ ข้อความดังกล่าวคือ: เซตของพหุนามSในมีศูนย์ร่วมกันในฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตที่ประกอบด้วยKก็ต่อเมื่อ${\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$1 ไม่ได้อยู่ในไอเดียลที่สร้างโดยSนั่นคือ ถ้า1 ไม่ใช่การรวมเชิงเส้นของสมาชิกในSที่มีสัมประสิทธิ์เป็นพหุนาม

เวอร์ชันที่สองขยายข้อเท็จจริงที่ว่าพหุนามเอกตัวแปรที่ไม่สามารถแยก ตัวประกอบได้ เหนือจำนวนเชิงซ้อนนั้นเกี่ยวข้องกับพหุนามในรูปแบบข้อความดังกล่าวคือ: ถ้าKเป็นเซตปิดเชิงพีชคณิตแล้วอุดมคติสูงสุดของจะมีรูปแบบ${\displaystyle X-\alpha .}$${\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$${\displaystyle \langle X_{1}-\alpha _{1},\ldots ,X_{n}-\alpha _{n}\rangle .}$

ทฤษฎีบทของเบซูต์อาจมองได้ว่าเป็นการขยายความทั่วไปแบบหลายตัวแปรของทฤษฎีบทพื้นฐานทางพีชคณิตซึ่งกล่าวว่าพหุนามเอกตัวแปรดีกรีnมี รากเชิงซ้อน nราก หากนับรวมความซ้ำซ้อนของรากเหล่านั้นด้วย

ในกรณีของพหุนามสองตัวแปร ทฤษฎีบทนี้กล่าวว่า พหุนามสองตัวที่มีดีกรีdและeในสองตัวแปร ซึ่งไม่มีตัวประกอบร่วมที่มีดีกรีเป็นบวก จะมีค่าศูนย์ร่วมกันเพียงdeค่าในฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตที่ประกอบด้วยสัมประสิทธิ์ของพหุนามทั้งสองนั้น หากนับค่าศูนย์โดยรวมถึงความซ้ำซ้อนและรวมถึงค่าศูนย์ที่อนันต์ด้วย

เพื่อกล่าวถึงกรณีทั่วไป และไม่พิจารณา "ศูนย์ที่อนันต์" เป็นศูนย์พิเศษ การทำงานกับพหุนามเอกพันธุ์และพิจารณาศูนย์ในปริภูมิเชิงฉาย จึงสะดวกกว่า ในบริบทนี้ศูนย์เชิงฉายของพหุนามเอกพันธุ์คือ( n + 1) - tuple ขององค์ประกอบKที่แตกต่างจาก(0, …, 0)และเป็นไปตาม เงื่อนไขที่ กำหนด โดยที่ "ขึ้นอยู่กับการปรับขนาด" หมายความว่าและถือว่าเป็นศูนย์เดียวกันสำหรับค่าที่ไม่ใช่ศูนย์ใดๆกล่าวอีกนัยหนึ่ง ศูนย์คือเซตของพิกัดเอกพันธุ์ของจุดในปริภูมิเชิงฉายที่มีมิติn${\displaystyle P(X_{0},\ldots ,X_{n})}$${\displaystyle (x_{0},\ldots ,x_{n})}$${\displaystyle P(x_{0},\ldots ,x_{n})=0}$${\displaystyle (x_{0},\ldots ,x_{n})}$${\displaystyle (\lambda x_{0},\ldots ,\lambda x_{n})}$${\displaystyle \lambda \in K.}$

จากนั้น ทฤษฎีบทของเบซูต์กล่าวว่า: กำหนดให้พหุนามเอกพันธุ์n ตัวที่มีดีกรีอยู่ ใน ตัวแปร n + 1ตัว ซึ่งมีศูนย์เชิงโปรเจกทีฟร่วมกันเพียงจำนวนจำกัดในส่วนขยายปิดเชิง พีชคณิต ของKผลรวมของความซ้ำซ้อนของศูนย์เหล่านี้คือผลคูณ${\displaystyle d_{1},\ldots ,d_{n}}$${\displaystyle d_{1}\cdots d_{n}.}$

วงแหวนพหุนามสามารถขยายความได้หลายวิธี รวมถึงวงแหวนพหุนามที่มีเลขชี้กำลังทั่วไป วงแหวนอนุกรมกำลังวงแหวนพหุนามไม่สลับที่วงแหวนพหุนามเฉียงและริจ พหุ นาม

การขยายแนวคิดเรื่องวงแหวนพหุนามเล็กน้อยประการหนึ่งคือ การอนุญาตให้มีตัวแปรไม่สิ้นสุดจำนวนอนันต์ แต่ละเอกนามยังคงเกี่ยวข้องกับตัวแปรเพียงจำนวนจำกัด (ดังนั้นดีกรีของมันจึงยังคงจำกัด) และแต่ละพหุนามยังคงเป็นการรวมเชิงเส้น (แบบจำกัด) ของเอกนาม ดังนั้น พหุนามแต่ละตัวจึงเกี่ยวข้องกับตัวแปรเพียงจำนวนจำกัด และการคำนวณแบบจำกัดใดๆ ที่เกี่ยวข้องกับพหุนามจะยังคงอยู่ภายในวงแหวนย่อยของพหุนามที่มีตัวแปรจำนวนจำกัด การขยายแนวคิดนี้มีคุณสมบัติเช่นเดียวกับวงแหวนพหุนามทั่วไป คือ เป็นพีชคณิตสลับที่อิสระ ความแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือ มันเป็นวัตถุอิสระบนเซตอนันต์

นอกจากนี้ เรายังสามารถพิจารณาวงแหวนที่ใหญ่กว่าอย่างเคร่งครัดได้ โดยการกำหนดให้พหุนามทั่วไปเป็นผลรวมเชิงรูปธรรมอนันต์ (หรือจำกัด) ของเอกนามที่มีดีกรีจำกัด วงแหวนนี้มีขนาดใหญ่กว่าวงแหวนพหุนามทั่วไป เนื่องจากรวมถึงผลรวมอนันต์ของตัวแปร อย่างไรก็ตาม มันมีขนาดเล็กกว่าวงแหวนของอนุกรมกำลังในตัวแปรจำนวนอนันต์ วงแหวนดังกล่าวใช้ในการสร้างวงแหวนของฟังก์ชันสมมาตรเหนือเซตอนันต์

การสรุปทั่วไปอย่างง่ายจะเปลี่ยนเฉพาะเซตที่ใช้ดึงเลขชี้กำลังของตัวแปรเท่านั้น สูตรสำหรับการบวกและการคูณยังคงมีความหมายตราบใดที่สามารถบวกเลขชี้กำลังได้: X ⁱ ⋅ X ^j = X ^{i + j}เซตที่การบวกมีความหมาย (ปิดและมีคุณสมบัติการสลับที่) เรียกว่าโมโนอิดเซตของฟังก์ชันจากโมโนอิดNไปยังริงRซึ่งมีค่าไม่เป็นศูนย์เพียงจำนวนจำกัด สามารถกำหนดโครงสร้างของริงที่เรียกว่าR [ N ] ซึ่งเป็นริงโมโนอิดของNที่มีสัมประสิทธิ์ในRการบวกถูกกำหนดแบบทีละส่วนประกอบ ดังนั้นถ้าc = a + bแล้วc _n = a _n + b _nสำหรับทุกnในNการคูณถูกกำหนดเป็นผลคูณของโคชี ดังนั้นถ้าc = a ⋅ bแล้วสำหรับแต่ละnในN c nคือผลรวมของa _i b _j ทั้งหมด โดยที่i , _jครอบคลุมคู่ของสมาชิกทั้งหมดในNที่ รวมกันได้n

เมื่อNเป็นแบบสลับที่ได้ จะสะดวกกว่าที่จะใช้สัญลักษณ์ผลรวมเชิงรูปธรรมแทนฟังก์ชันaในR [ N ] ดังนี้:

${\displaystyle \sum _{n\in N}a_{n}X^{n}}$

และสูตรสำหรับการบวกและการคูณก็เป็นสูตรที่เราคุ้นเคยกันดี:

${\displaystyle \left(\sum _{n\in N}a_{n}X^{n}\right)+\left(\sum _{n\in N}b_{n}X^{n}\right)=\sum _{n\in N}\left(a_{n}+b_{n}\right)X^{n}}$

และ

${\displaystyle \left(\sum _{n\in N}a_{n}X^{n}\right)\cdot \left(\sum _{n\in N}b_{n}X^{n}\right)=\sum _{n\in N}\left(\sum _{i+j=n}a_{i}b_{j}\right)X^{n}}$

โดยผลรวมหลังนี้คำนวณจากทุกค่าiและjในNที่รวมกันได้เท่ากับ n

ผู้เขียนบางคนถึงกับใช้คำจำกัดความของโมโนอิดนี้เป็นจุดเริ่มต้น และพหุนามตัวแปรเดียวปกติถือเป็นกรณีพิเศษที่Nเป็นโมโนอิดของจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ^{[ 15 ]}พหุนามในหลายตัวแปรนั้นเพียงแค่ใช้Nเป็นผลคูณโดยตรงของโมโนอิดของจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบหลายๆ ชุด

ตัวอย่างที่น่าสนใจหลายอย่างของวงแหวนและกลุ่มถูกสร้างขึ้นโดยกำหนดให้Nเป็นโมโนอิดแบบบวกของจำนวนตรรกยะที่ไม่เป็นลบ^{[ 16 ]}

อนุกรมกำลังเป็นการขยายแนวคิดการเลือกเลขชี้กำลังไปในทิศทางที่แตกต่างออกไป โดยอนุญาตให้มีพจน์ที่ไม่เป็นศูนย์ได้เป็นอนันต์ ซึ่งต้องอาศัยสมมติฐานต่างๆ เกี่ยวกับโมโนอิดNที่ใช้สำหรับเลขชี้กำลัง เพื่อให้แน่ใจว่าผลรวมในผลคูณโคชีเป็นผลรวมจำกัด หรืออีกทางหนึ่ง สามารถวางโทโพโลยีลงบนริง แล้วจำกัดให้เป็นผลรวมอนันต์ที่ลู่เข้า สำหรับการเลือกN แบบมาตรฐาน ซึ่งเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ จะไม่มีปัญหา และริงของอนุกรมกำลังเชิงรูปธรรมจะถูกกำหนดให้เป็นเซตของฟังก์ชันจากNไปยังริงRโดยมีการบวกแบบแยกส่วน และการคูณที่กำหนดโดยผลคูณโคชี ริงของอนุกรมกำลังยังสามารถมองได้ว่าเป็นริ งเติมเต็มของริงพหุนามโดยสัมพันธ์กับอุดมคติที่สร้างโดยx

สำหรับวงแหวนพหุนามที่มีตัวแปรมากกว่าหนึ่งตัว ผลคูณX ⋅ YและY ⋅ Xนั้นถูกกำหนดให้เท่ากัน แนวคิดทั่วไปของวงแหวนพหุนามจะเกิดขึ้นได้เมื่อยังคงรักษาความแตกต่างระหว่างผลคูณเชิงรูปธรรมทั้งสองนี้ไว้ ในทางรูปธรรม วงแหวนพหุนามใน ตัวแปร nตัวที่ไม่สลับที่กัน โดยมีสัมประสิทธิ์อยู่ในวงแหวนRคือวงแหวนโมโนอิดR [ N ] โดยที่โมโนอิดNคือโมโนอิดอิสระบน ตัวอักษร nตัว หรือที่รู้จักกันในชื่อเซตของสตริงทั้งหมดบนตัวอักษรของ สัญลักษณ์ nตัว โดยการคูณกำหนดโดยการต่อกัน ทั้งสัมประสิทธิ์และตัวแปรไม่จำเป็นต้องสลับที่กัน แต่สัมประสิทธิ์และตัวแปรสลับที่กันได้

เช่นเดียวกับที่วงแหวนพหุนามใน ตัวแปร nตัวที่มีสัมประสิทธิ์อยู่ในวงแหวนสลับที่Rเป็นพีชคณิตR สลับที่ อิสระที่มีอันดับnวงแหวนพหุนามไม่สลับที่ใน ตัวแปร nตัวที่มีสัมประสิทธิ์อยู่ในวงแหวนสลับที่R เป็นพีชคณิต R เชื่อมโยง อิสระและมีเอกลักษณ์บน ตัวสร้าง nตัว ซึ่งไม่สลับที่เมื่อn  > 1

การขยายความทั่วไปอื่นๆ ของพหุนาม ได้แก่ วงแหวนเชิงอนุพันธ์และวงแหวนพหุนามเฉียง

วงแหวนพหุนามเชิงอนุพันธ์คือวงแหวนของตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ที่สร้างขึ้นจากวงแหวนRและอนุพันธ์δจากRไปยังRอนุพันธ์นี้ดำเนินการบนRและจะถูกแทนด้วยXเมื่อมองในฐานะตัวดำเนินการ สมาชิกของRก็ดำเนินการบนRโดยการคูณเช่นกันการประกอบตัวดำเนินการจะถูกแทนด้วยการคูณตามปกติ ดังนั้น ความสัมพันธ์δ ( ab ) = aδ ( b ) + δ ( a ) bอาจเขียนใหม่ได้เป็น

${\displaystyle X\cdot a=a\cdot X+\delta (a).}$

ความสัมพันธ์นี้สามารถขยายเพื่อกำหนดการคูณแบบเฉียงระหว่างพหุนามสองตัวในXที่มีสัมประสิทธิ์ในRซึ่งทำให้พหุนาม ทั้งสองเป็น วงแหวนที่ไม่สลับที่ได้

ตัวอย่างมาตรฐานที่เรียกว่าพีชคณิตเวล์ (Weyl algebra ) กำหนดให้Rเป็นวงแหวนพหุนาม (ปกติ) k [ Y ] และδเป็นอนุพันธ์พหุนามมาตรฐานเมื่อกำหนดให้a = Yในความสัมพันธ์ข้างต้น จะได้ความสัมพันธ์การสลับตำแหน่งแบบแคนอนิกX ⋅ Y − Y ⋅ X = 1 การขยายความสัมพันธ์นี้ด้วย คุณสมบัติการสมาคมและการกระจาย จะทำให้สามารถสร้างพีชคณิตเวล์ ได้อย่างชัดเจน ( Lam 2001 , §1,ex1.9) ${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial Y}}}$

วงแหวนพหุนามเฉียงถูกนิยามในทำนองเดียวกันสำหรับวงแหวนR และ เอนโดมอร์ ฟิซึม วงแหวนfของRโดยการขยายการคูณจากความสัมพันธ์X ⋅ r = f ( r )⋅ Xเพื่อสร้างการคูณแบบสมาคมที่กระจายไปทั่วการบวกมาตรฐาน โดยทั่วไปแล้ว เมื่อกำหนดโฮโมมอร์ฟิซึมFจากโมโนอิดNของจำนวนเต็มบวกไปยังวงแหวนเอนโดมอร์ฟิ ซึม ของRสูตรX ⁿ ⋅ r = F ( n )( r )⋅ X ⁿอนุญาตให้สร้างวงแหวนพหุนามเฉียงได้ ( Lam 2001 , §1,ex 1.11) วงแหวนพหุนามเฉียงมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับพีชคณิตผล คูณไขว้

นิยามของวงแหวนพหุนามสามารถขยายความได้โดยการผ่อนปรนข้อกำหนดที่ว่าโครงสร้างพีชคณิตRต้องเป็นฟิลด์หรือวงแหวนไปเป็นข้อกำหนดที่ว่าRต้องเป็นเพียงเซมิฟิลด์หรือริกเท่านั้น โครงสร้าง/ส่วนขยายพหุนามที่ได้R [ X ] ก็คือริกพหุนามตัวอย่างเช่น เซตของพหุนามหลายตัวแปรทั้งหมดที่มี สัมประสิทธิ์ เป็นจำนวนธรรมชาติก็เป็นริกพหุนามเช่นกัน

• พหุนามบวก
• พหุนามลอเรนต์