ในทางคณิตศาสตร์เมทริกซ์จัตุรัสคือเมทริกซ์ที่มีจำนวนแถวและคอลัมน์เท่ากัน เมทริกซ์ขนาด n x nเรียกว่าเมทริกซ์จัตุรัสอันดับn เมทริกซ์ จัตุรัสสองเมทริกซ์ใดๆ ที่มีอันดับเดียวกันสามารถบวกและคูณกันได้ ${\displaystyle n}$

เมทริกซ์จัตุรัสมักใช้เพื่อแสดงการแปลงเชิงเส้น อย่างง่าย เช่นการเฉือนหรือการหมุนตัวอย่างเช่น ถ้าเป็นเมทริกซ์จัตุรัสที่แสดงการหมุน ( เมทริกซ์การหมุน ) และเป็นเวกเตอร์คอลัมน์ที่อธิบายตำแหน่งของจุดในอวกาศ ผลคูณของจะได้เวกเตอร์คอลัมน์อีกตัวที่อธิบายตำแหน่งของจุดนั้นหลังจากการหมุน ถ้าเป็นเวกเตอร์แถว การ แปลงแบบเดียวกันสามารถทำได้โดยใช้ โดยที่คือเมท ริก ซ์สลับแถวของ${\displaystyle R}$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle R\mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {v} R^{\mathsf {T}}}$${\displaystyle R^{\mathsf {T}}}$${\displaystyle R}$

ค่าต่างๆ( i = 1, ..., n ) ประกอบกันเป็นแนวทแยงหลักของเมทริกซ์จัตุรัส ค่าเหล่านี้อยู่บนเส้นสมมติที่ลากจากมุมบนซ้ายไปยังมุมล่างขวาของเมทริกซ์ ตัวอย่างเช่น แนวทแยงหลักของเมทริกซ์ 4×4 ข้างต้นประกอบด้วยค่าa ₁₁ = 9 , a ₂₂ = 11 , a ₃₃ = 4 , a ₄₄ = 10 ${\displaystyle a_{ii}}$

เส้นทแยงมุมของเมทริกซ์จัตุรัสที่ลากจากมุมบนขวาไปยังมุมล่างซ้ายเรียกว่าเส้นทแยงมุมตรงข้ามหรือเส้นทแยงมุมหักล้าง

ชื่อ	ตัวอย่างที่มีn = 3
เมทริกซ์แนวทแยง	${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&0&0\\0&a_{22}&0\\0&0&a_{33}\end{bmatrix}}}$
เมทริกซ์สามเหลี่ยมล่าง	${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&0&0\\a_{21}&a_{22}&0\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}}$
เมทริกซ์สามเหลี่ยมบน	${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\0&a_{22}&a_{23}\\0&0&a_{33}\end{bmatrix}}}$

ถ้าค่าทั้งหมดที่อยู่นอกแนวทแยงมุมหลักเป็นศูนย์ เมทริกซ์นั้นจะเรียกว่าเมทริกซ์แนวทแยงมุมถ้าค่าทั้งหมดที่อยู่ด้านล่าง (หรือด้านบน) แนวทแยงมุมหลักเป็น ศูนย์ เมทริกซ์นั้นจะเรียกว่าเมทริกซ์สามเหลี่ยมบน (หรือล่าง) ${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

เมทริกซ์เอกลักษณ์ ขนาด n คือเมทริกซ์ที่สมาชิกทั้งหมดบนเส้นทแยงมุมหลักมีค่าเท่ากับ 1 และสมาชิกทั้งหมดบนเส้นทแยงมุมอื่นๆ มีค่าเท่ากับ 0 เช่น n = 1 เป็นเมทริกซ์จัตุรัสขนาด n และ ยังเป็น เมทริกซ์ทแยงมุมชนิดพิเศษอีกด้วยคำว่าเมทริกซ์เอกลักษณ์หมายถึงคุณสมบัติของการคูณเมทริกซ์ที่ว่า สำหรับเมทริกซ์ ใดๆ ก็ตาม${\displaystyle I_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n\times n}$$${\displaystyle I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ \ldots ,\ I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}.}$$${\displaystyle n}$$${\displaystyle I_{m}A=AI_{n}=A}$$${\displaystyle m\times n}$${\displaystyle A}$

เมทริกซ์จัตุรัสเรียกว่าเมทริกซ์ผกผันได้หรือเมทริกซ์ไม่เอกฐานถ้ามีเมทริกซ์ อยู่เช่นนั้น^{[ 1 ] [ 2 ]} ถ้ามีอยู่ เมทริกซ์ผกผันนั้นจะมีเพียงเมทริกซ์เดียวและเรียกว่าเมทริกซ์ผกผันของซึ่งเขียนแทนด้วย${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$$${\displaystyle AB=BA=I_{n}.}$$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{-1}}$

เมทริกซ์จัตุรัสที่เท่ากับเมทริกซ์สลับเปลี่ยนของมัน นั่นคือ เรียก ว่าเมทริกซ์สมมาตรถ้า แทนด้วยแล้วจะเรียกว่าเมทริกซ์สมมาตรเฉียง ${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{\mathsf {T}}=A}$${\displaystyle A^{\mathsf {T}}=-A}$${\displaystyle A}$

สำหรับเมทริกซ์จัตุรัสเชิงซ้อน มัก จะใช้เมทริกซ์สลับเปลี่ยนแทนเมทริกซ์สลับเปลี่ยนแบบสังยุคซึ่งนิยามว่าเป็นเมทริกซ์สลับเปลี่ยนของเมทริกซ์สังยุคเชิงซ้อนของ เมทริก ซ์จัตุรัสเชิงซ้อน เมทริกซ์จัตุรัสเชิงซ้อนที่สอดคล้องกับเงื่อนไขเรียกว่าเมทริกซ์เฮอร์มิเชียนถ้า แทนเงื่อนไขแล้วเรียกว่าเมทริกซ์เฮอร์มิเชียนเฉียง ${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{*}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{*}=A}$${\displaystyle A^{*}=-A}$${\displaystyle A}$

ตามทฤษฎีบทสเปกตรัม เมทริกซ์สมมาตรจริง (หรือเมทริกซ์เฮอร์มิเชียนเชิงซ้อน) มี ฐานไอเกนตั้งฉาก (หรือเอกภาพ) กล่าวคือ เวกเตอร์ทุกตัวสามารถแสดงได้ในรูปผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ไอเกน ในทั้งสองกรณี ค่าไอเกนทั้งหมดเป็นจำนวนจริง^{[ 3 ]}

ยืนยันแน่นอน	ไม่จำกัดระยะเวลา
${\displaystyle {\begin{bmatrix}1/4&0\\0&1\\\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}1/4&0\\0&-1/4\end{bmatrix}}}$
Q ( x , y ) = 1/4 x 2 + y 2	Q ( x , y ) = 1/4 x 2 − 1/4 y 2
จุดต่างๆ ที่Q ( x , y ) = 1 ( วงรี )	จุดต่างๆ ที่ทำให้Q ( x , y ) = 1 ( ไฮเปอร์โบลา )

เมทริกซ์สมมาตรn × nเรียกว่าเมทริกซ์บวกแน่นอน (หรือเมทริกซ์ลบแน่นอน หรือเมทริกซ์ไม่แน่นอน) ถ้าสำหรับเวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์ทั้งหมดรูปแบบกำลัง สอง ที่เกี่ยวข้องซึ่งกำหนดโดย จะ มีค่าเป็นบวกเท่านั้น (หรือค่าเป็นลบเท่านั้น หรือทั้งค่าลบและค่าบวกบางส่วน) ^{[ 4 ]}ถ้ารูปแบบกำลังสองมีค่าเป็นลบเท่านั้น (หรือค่าไม่เป็นบวกเท่านั้น) เมทริกซ์สมมาตรจะเรียกว่าเมทริกซ์บวกกึ่งแน่นอน (หรือเมทริกซ์ลบกึ่งแน่นอน) ดังนั้นเมทริกซ์จะเป็นเมทริกซ์ไม่แน่นอนก็ต่อเมื่อมันไม่ใช่ทั้งเมทริกซ์บวกกึ่งแน่นอนและเมทริกซ์ลบกึ่งแน่นอน ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$$${\displaystyle Q(\mathbf {x} )=\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}A\mathbf {x} }$$

เมทริกซ์สมมาตรเป็นเมทริกซ์บวกแน่นอนก็ต่อเมื่อค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดเป็นบวก^{[ 5 ]}ตารางทางด้านขวาแสดงความเป็นไปได้สองแบบสำหรับเมทริกซ์ 2×2

การอนุญาตให้ใช้เวกเตอร์ที่แตกต่างกันสองตัวเป็นอินพุตจะให้รูปแบบเชิงเส้นคู่ที่เกี่ยวข้องกับA แทน : ^{[ 6 ]}$${\displaystyle B_{A}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}A\mathbf {y} .}$$

เมทริกซ์เชิงตั้งฉาก (orthogonal matrix ) คือเมทริกซ์จัตุรัสที่มี สมาชิกเป็นจำนวน จริงโดยที่คอลัมน์และแถวเป็นเวกเตอร์หน่วยเชิงตั้งฉาก (กล่าวคือ เวกเตอร์ ตั้งฉากปกติ ) หรืออีกนัยหนึ่ง เมทริกซ์Aเป็นเมทริกซ์เชิงตั้งฉากก็ต่อเมื่อเมท ริกซ์ ทรานสโพส ของ A เท่ากับเมทริกซ์ ผกผันของ A ซึ่งหมายความว่า โดยที่Iคือเมทริกซ์เอกลักษณ์$${\displaystyle A^{\textsf {T}}=A^{-1},}$$$${\displaystyle A^{\textsf {T}}A=AA^{\textsf {T}}=I,}$$

เมทริกซ์เชิงตั้งฉากAจะต้องสามารถ หาเมทริก ซ์ผกผันได้ (โดยที่เมทริกซ์ผกผันA ⁻¹ = A ^T ) เป็น เมทริกซ์ เอกลักษณ์ ( A ⁻¹ = A * ) และ เป็นเมทริกซ์ ปกติ ( A * A = AA * ) ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์เชิงตั้งฉากใดๆ จะมีค่าเป็น +1 หรือ −1 กลุ่มเมทริกซ์เชิงตั้งฉากพิเศษ ประกอบด้วยเมทริกซ์เชิงตั้งฉากขนาดn × n ที่มี ดีเทอร์มิแนนต์ เป็น +1 ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$

เมทริกซ์ เชิงซ้อนที่เทียบเคียงได้กับเมทริกซ์ตั้งฉากคือเมท ริกซ์เอกลักษณ์

เมทริกซ์จัตุรัสจริงหรือเชิงซ้อนเรียกว่าเมทริกซ์ปกติถ้า. ถ้าเมทริกซ์จัตุรัสจริงเป็นเมทริกซ์สมมาตร เมทริกซ์สมมาตรเฉียง หรือเมทริกซ์ตั้งฉาก เมทริกซ์นั้นจะเป็นเมทริกซ์ปกติ ถ้าเมทริกซ์จัตุรัสเชิงซ้อนเป็นเมทริกซ์เฮอร์มิเชียน เมทริกซ์เฮอร์มิเชียนเฉียง หรือเมทริกซ์เอกภาพ เมทริกซ์นั้นจะเป็นเมทริกซ์ปกติ เมทริกซ์ปกติมีความน่าสนใจเป็นอย่างมาก เนื่องจากเมทริกซ์เหล่านี้รวมถึงเมทริกซ์ประเภทที่กล่าวมาข้างต้น และเป็นกลุ่มเมทริกซ์ที่กว้างที่สุดที่ทฤษฎีบทสเปกตรัมใช้ได้^{[ 7 ]}${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{*}A=AA^{*}}$

ร่องรอย ( trace ) tr( A ) ของเมทริกซ์จัตุรัสAคือผลรวมของสมาชิกในแนวทแยงมุม แม้ว่าการคูณเมทริกซ์จะไม่เป็นไปตามสมบัติการสลับที่ แต่ร่องรอยของผลคูณของเมทริกซ์สองเมทริกซ์นั้นไม่ขึ้นอยู่กับลำดับของตัวประกอบ: ซึ่งเห็นได้ชัดจากนิยามของการคูณเมทริกซ์: นอกจากนี้ ร่องรอยของเมทริกซ์หนึ่งเท่ากับร่องรอยของเมทริกซ์ทรานสโพส กล่าวคือ $${\displaystyle \operatorname {tr} (AB)=\operatorname {tr} (BA).}$$$${\displaystyle \operatorname {tr} (AB)=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}A_{ij}B_{ji}=\operatorname {tr} (BA).}$$$${\displaystyle \operatorname {tr} (A)=\operatorname {tr} (A^{\mathrm {T} }).}$$

ดีเทอร์มิแนนต์ หรือเมทริกซ์จัตุรัสเป็นจำนวนที่เข้ารหัสคุณสมบัติบางอย่างของเมทริกซ์ เมทริกซ์จะผกผันได้ก็ต่อเมื่อดีเทอร์มิแนนต์ไม่เป็นศูนย์ค่าสัมบูรณ์ ของดีเทอร์มิแนนต์ เท่ากับพื้นที่ (ในหน่วย) หรือปริมาตร (ในหน่วย) ของภาพของสี่เหลี่ยมจัตุรัสหน่วย (หรือลูกบาศก์หน่วย) ในขณะที่เครื่องหมายของดีเทอร์มิแนนต์สอดคล้องกับทิศทางของการแมปเชิงเส้นที่สอดคล้องกัน: ดีเทอร์มิแนนต์จะเป็นบวกก็ต่อเมื่อทิศทางยังคงอยู่ ${\displaystyle \det(A)}$${\displaystyle |A|}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ 2×2 กำหนดโดย ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ 3×3 ประกอบด้วย 6 เทอม ( กฎของ Sarrus ) สูตร Leibnizที่ยาวกว่าจะขยายสูตรทั้งสองนี้ไปยังทุกมิติ^{[ 8 ]}$${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc.}$$

ดีเทอร์มิแนนต์ของผลคูณของเมทริกซ์จัตุรัสเท่ากับผลคูณของดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์เหล่านั้น: ^{[ 9 ]} การเพิ่มผลคูณของแถวใดๆ กับแถวอื่น หรือผลคูณของคอลัมน์ใดๆ กับคอลัมน์อื่น จะไม่ทำให้ดีเทอร์มิแนนต์เปลี่ยนแปลง การสลับสองแถวหรือสองคอลัมน์จะส่งผลต่อดีเทอร์มิแนนต์โดยการคูณด้วย −1 ^{[ 10 ]}โดยใช้การดำเนินการเหล่านี้ เมทริกซ์ใดๆ ก็สามารถแปลงเป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมล่าง (หรือบน) ได้ และสำหรับเมทริกซ์ดังกล่าว ดีเทอร์มิแนนต์จะเท่ากับผลคูณของค่าบนเส้นทแยงมุมหลัก ซึ่งเป็นวิธีการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ใดๆ สุดท้ายการขยายลาปลาสจะแสดงดีเทอร์มิแนนต์ในรูปของไมเนอร์กล่าวคือ ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่เล็กกว่า^{[ 11 ]}การขยายนี้สามารถใช้สำหรับนิยามแบบเวียนซ้ำของดีเทอร์มิแนนต์ (โดยเริ่มต้นจากดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ 1×1 ซึ่งมีค่าเดียว หรือแม้แต่ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ 0×0 ซึ่งมีค่าเท่ากับ 1) ซึ่งสามารถมองได้ว่าเทียบเท่ากับสูตรของไลบ์นิซ ดีเทอร์มิแนนต์สามารถใช้แก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้กฎของเครเมอร์ซึ่งการหารดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จัตุรัสสองเมทริกซ์ที่เกี่ยวข้องกันจะเท่ากับค่าของตัวแปรแต่ละตัวของระบบ^{[ 12 ]}$${\displaystyle \det(AB)=\det(A)\cdot \det(B)}$$

จำนวนλและเวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์ที่สอดคล้องกับเงื่อนไข λ เรียกว่าค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของλตามลำดับ^{[ 13 ] [ 14 ]}จำนวนλเป็นค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์n × n Aก็ต่อเมื่อA − λ I _nไม่สามารถผกผันได้ ซึ่งเทียบเท่ากับ^{[ 15 ]} พหุนามp _Aในตัวแปรสุ่มXที่กำหนดโดยการประเมินดีเทอร์มิแนนต์det( XI _n − A )เรียกว่าพหุนามลักษณะเฉพาะของAเป็นพหุนามเอกลักษณ์ดีกรีnดังนั้นสมการพหุนามp _A (λ) = 0จึงมีคำตอบที่แตกต่างกันอย่างมากที่สุดnคำตอบ นั่นคือค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์^{[ 16 ]}คำตอบเหล่านี้อาจเป็นจำนวนเชิงซ้อนได้แม้ว่าค่าในAจะเป็นจำนวนจริงก็ตาม ตามทฤษฎีบทของเคย์ลีย์-แฮมิลตัน p A ( A ) = 0นั่นคือ ผลลัพธ์ของการแทนที่เมทริกซ์เองลงในพหุนามลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์นั้นเองจะได้_เมท ริก ซ์ ศูนย์${\displaystyle \mathbf {v} }$$${\displaystyle A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} }$$${\displaystyle A}$$${\displaystyle \det(A-\lambda I)=0.}$$

• เมทริกซ์คาร์ตัน
• ทฤษฎีบทเคย์ลีย์-แฮมิลตัน

• สื่อที่เกี่ยวข้องกับเมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัสในวิกิมีเดียคอมมอนส์