ในทางคณิตศาสตร์เมทริกซ์สมมาตรที่มีสมาชิกเป็นจำนวน จริง จะเป็น เมทริกซ์บวกแน่นอนถ้าจำนวนจริงเป็นบวกสำหรับทุกเวกเตอร์คอลัมน์ จริงที่ไม่เป็นศูนย์ โดยที่คือเวกเตอร์แถวสลับ ตำแหน่ง ของ^{[ 1 ]} โดยทั่วไปแล้วเมทริกซ์เฮอร์มิเชียน (นั่นคือเมทริกซ์เชิงซ้อนที่เท่ากับเมทริกซ์สลับตำแหน่งสังยุค ของมัน ) จะเป็นเมทริกซ์บวกแน่นอนถ้าจำนวนจริงเป็นบวกสำหรับทุกเวกเตอร์คอลัมน์เชิงซ้อนที่ไม่เป็นศูนย์โดยที่หมายถึงเมทริกซ์สลับตำแหน่งสังยุคของ${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {x} ,}$${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}}$${\displaystyle \mathbf {x} .}$${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} }$${\displaystyle \mathbf {z} ,}$${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}}$${\displaystyle \mathbf {z} .}$

เมทริกซ์บวกกึ่งกำหนด (Positive semi-definite matrices) ถูกนิยามในทำนองเดียวกัน ยกเว้นว่าค่าคงที่ x และ y ต้องเป็นบวกหรือศูนย์ (กล่าวคือ ไม่เป็นลบ) เมทริกซ์ลบกำหนด (Negative- definite matrices) และเมทริกซ์ลบกึ่งกำหนด ( Negative semi-definite matrices) ถูกนิยามในทำนองเดียวกัน เมทริกซ์ที่ไม่ใช่ทั้งบวกกึ่งกำหนดและลบกึ่งกำหนด บางครั้งเรียกว่าเมทริกซ์ไม่กำหนด (Indefinite matrices ) ${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} }$

ผู้เขียนบางท่านใช้คำจำกัดความของความแน่นอนที่ครอบคลุมกว่า โดยอนุญาตให้เมทริกซ์ไม่สมมาตรหรือไม่เป็นเมทริกซ์เฮอร์มิเชียนได้ คุณสมบัติของเมทริกซ์แน่นอนแบบทั่วไปเหล่านี้จะได้รับการสำรวจในหัวข้อ§ การขยายสำหรับเมทริกซ์จัตุรัสที่ไม่เป็นเฮอร์มิเชียนด้านล่าง แต่ไม่ใช่ประเด็นหลักของบทความนี้

ในคำจำกัดความต่อไปนี้คือเมทริกซ์สลับตำแหน่งของคือ เมทริกซ์ สลับตำแหน่งสังยุคของและหมายถึงเวกเตอร์ ศูนย์มิติn${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}}$${\displaystyle \mathbf {x} ,}$${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}}$${\displaystyle \mathbf {z} ,}$${\displaystyle \mathbf {0} }$

เมทริกซ์สมมาตรจริงเรียกว่าเมทริกซ์บวกแน่นอน (positive-definite matrix) ถ้าสำหรับทุกค่าที่ไม่เป็นศูนย์ใน ในทางทฤษฎีแล้ว ${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} >0}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$$${\displaystyle M{\text{ positive-definite}}\quad \iff \quad \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} >0{\text{ for all }}\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}\setminus \{\mathbf {0} \}}$$

เมทริกซ์สมมาตรจริงจะเรียกว่าเป็นเมทริกซ์บวกกึ่งกำหนดหรือเมทริกซ์ไม่ติดลบกำหนดถ้าสำหรับทุกค่าใน ในทางรูปธรรม ${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} \geq 0}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$$${\displaystyle M{\text{ positive semi-definite}}\quad \iff \quad \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} \geq 0{\text{ for all }}\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$$

เมทริกซ์สมมาตรจริงจะเรียกว่าเป็นเมทริกซ์ลบกำหนด (negative-definite)ถ้าสำหรับทุกค่าที่ไม่เป็นศูนย์ใน ในทางทฤษฎีแล้ว ${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} <0}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$$${\displaystyle M{\text{ negative-definite}}\quad \iff \quad \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} <0{\text{ for all }}\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}\setminus \{\mathbf {0} \}}$$

เมทริกซ์สมมาตรจริงจะเรียกว่าเป็นเมทริกซ์กึ่งลบกำหนดหรือเมทริกซ์ไม่บวกกำหนดถ้าสำหรับทุกค่าใน ในทางรูปธรรม ${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} \leq 0}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$$${\displaystyle M{\text{ negative semi-definite}}\quad \iff \quad \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} \leq 0{\text{ for all }}\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$$

เมทริกซ์สมมาตรจริงที่ไม่ใช่ทั้งเมทริกซ์บวกกึ่งกำหนดและเมทริกซ์ลบกึ่งกำหนด เรียกว่าเมทริกซ์ไม่กำหนด ${\displaystyle n\times n}$

คำจำกัดความต่อไปนี้ทั้งหมดเกี่ยวข้องกับคำว่าโปรดสังเกตว่านี่จะเป็นจำนวนจริงเสมอสำหรับเมทริกซ์จัตุรัสเฮอร์มิเชียนใดๆ${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} .}$${\displaystyle M.}$

กล่าวได้ว่าเมทริกซ์เชิงซ้อนเฮอร์มิเชียนเป็นเมทริกซ์บวกแน่นอนถ้าสำหรับทุกค่าที่ไม่เป็นศูนย์ใน ในทางรูปธรรม ${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} >0}$${\displaystyle \mathbf {z} }$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$

${\displaystyle M{\text{ positive-definite}}\quad \iff \quad \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} >0{\text{ for all }}\mathbf {z} \in \mathbb {C} ^{n}\setminus \{\mathbf {0} \}}$

กล่าวได้ว่าเมทริกซ์เชิงซ้อนเฮอร์มิเชียนเป็นเมทริกซ์บวกกึ่งกำหนดหรือเมทริกซ์ไม่ลบกำหนดถ้าสำหรับทุกค่าใน ในทางรูปธรรม ${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} \geq 0}$${\displaystyle \mathbf {z} }$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$

${\displaystyle M{\text{ positive semi-definite}}\quad \iff \quad \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} \geq 0{\text{ for all }}\mathbf {z} \in \mathbb {C} ^{n}}$

กล่าวได้ว่าเมทริกซ์เชิงซ้อนเฮอร์มิเชียนเป็นเมทริกซ์กำหนดลบถ้าสำหรับทุกค่าที่ไม่เป็นศูนย์ใน ในทางรูปธรรม ${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} <0}$${\displaystyle \mathbf {z} }$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$

${\displaystyle M{\text{ negative-definite}}\quad \iff \quad \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} <0{\text{ for all }}\mathbf {z} \in \mathbb {C} ^{n}\setminus \{\mathbf {0} \}}$

กล่าวได้ว่าเมทริกซ์เชิงซ้อนเฮอร์มิเชียนเป็นเมทริกซ์กึ่งบวกเชิงลบหรือเมทริกซ์ไม่เป็นบวกเชิงบวกถ้าสำหรับทุกค่าใน ในทางรูปธรรม ${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} \leq 0}$${\displaystyle \mathbf {z} }$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$

${\displaystyle M{\text{ negative semi-definite}}\quad \iff \quad \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} \leq 0{\text{ for all }}\mathbf {z} \in \mathbb {C} ^{n}}$

เมทริกซ์เชิงซ้อนเฮอร์มิเชียนที่ไม่ใช่ทั้งเมทริกซ์บวกกึ่งกำหนดและเมทริกซ์ลบกึ่งกำหนด เรียกว่าเมทริกซ์ไม่กำหนด ${\displaystyle n\times n}$

เนื่องจากเมทริกซ์จริงทุกเมทริกซ์เป็นเมทริกซ์เชิงซ้อนด้วย ดังนั้นนิยามของ "ความแน่นอน" สำหรับทั้งสองประเภทจึงต้องสอดคล้องกัน

สำหรับเมทริกซ์เชิงซ้อน นิยามที่ใช้กันทั่วไปกล่าวว่า เมทริกซ์นั้นเป็นเมทริกซ์บวกแน่นอนก็ต่อเมื่อเป็นจำนวนจริงและเป็นบวกสำหรับทุกเวกเตอร์คอลัมน์เชิงซ้อนที่ไม่เป็นศูนย์ เงื่อนไขนี้หมายความว่าเมทริกซ์นั้นเป็นเมทริกซ์เฮอร์มิเชียน (กล่าวคือ เมทริกซ์ทรานสโพสของมันเท่ากับเมทริกซ์คอนจูเกตของมัน) เนื่องจากเป็นจำนวนจริง ดังนั้นมันจึงเท่ากับเมทริกซ์ทรานสโพสคอนจูเกตของมันสำหรับทุกซึ่งหมายความว่า${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} }$${\displaystyle \mathbf {z} .}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} }$${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M^{*}\mathbf {z} }$${\displaystyle \mathbf {z} ,}$${\displaystyle M=M^{*}.}$

ตามนิยามนี้ เมทริกซ์จริงบวกแน่นอน (positive-definite real matrix) จะเป็นเมทริกซ์เฮอร์มิเชียน (Hermitian matrix) ดังนั้นจึงเป็นเมทริกซ์สมมาตร (symmetric matrix) และ จะเป็นบวกสำหรับ เวกเตอร์คอลัมน์จริงที่ไม่เป็นศูนย์ทั้งหมด อย่างไรก็ตาม เงื่อนไขสุดท้ายเพียงอย่างเดียวไม่เพียงพอที่จะทำให้เมทริกซ์เป็นบวกแน่นอนได้ ตัวอย่างเช่น ถ้า ${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbf {z} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {z} }$${\displaystyle \mathbf {z} .}$${\displaystyle M}$$${\displaystyle M={\begin{bmatrix}1&1\\-1&1\end{bmatrix}},}$$

ดังนั้นสำหรับเวกเตอร์จริงใดๆที่มีสมาชิกเป็นและเราจะได้ซึ่งจะเป็นบวกเสมอหากไม่เป็นศูนย์ อย่างไรก็ตาม หากเป็นเวกเตอร์เชิงซ้อนที่มีสมาชิกเป็น 1และ⁠ ⁠จะได้ ${\displaystyle \mathbf {z} }$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \mathbf {z} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {z} =\left(a+b\right)a+\left(-a+b\right)b=a^{2}+b^{2},}$${\displaystyle \mathbf {z} }$${\displaystyle \mathbf {z} }$${\displaystyle i}$

$${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} ={\begin{bmatrix}1&-i\end{bmatrix}}M{\begin{bmatrix}1\\i\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+i&1-i\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\i\end{bmatrix}}=2+2i.}$$

ซึ่งไม่ใช่ของจริง ดังนั้นจึงไม่ใช่เมทริกซ์บวกแน่นอน ${\displaystyle M}$

ในทางกลับกัน สำหรับเมทริกซ์จริงสมมาตรเงื่อนไข " สำหรับเวกเตอร์จริงที่ไม่เป็นศูนย์ทั้งหมด" หมายความว่าเมทริกซ์นั้นเป็นเมทริกซ์บวกแน่นอนในความหมายเชิงซ้อน ${\displaystyle M,}$${\displaystyle \mathbf {z} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {z} >0}$${\displaystyle \mathbf {z} }$${\displaystyle M}$

ถ้าเมทริกซ์เฮอร์มิเชียนเป็นเมทริกซ์กึ่งบวกกำหนด เราจะเขียนว่าและถ้าเป็นเมทริกซ์บวกกำหนด เราจะเขียนว่า เพื่อแสดงว่าเป็นเมทริกซ์กึ่ง ลบกำหนด เราจะเขียนว่า และเพื่อแสดงว่าเป็นเมทริกซ์ลบกำหนด เราจะเขียนว่า${\displaystyle M}$${\displaystyle M\succeq 0}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M\succ 0.}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M\preceq 0}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M\prec 0.}$

สัญลักษณ์นี้มาจากคณิตศาสตร์วิเคราะห์เชิงฟังก์ชันโดยที่เมทริกซ์กึ่งบวกกำหนดตัวดำเนินการบวกถ้าเมทริกซ์สองตัวและเป็นไปตามเงื่อนไขเราสามารถกำหนดลำดับบางส่วนที่ไม่เข้มงวดซึ่งสะท้อนกลับสมมาตรผกผันและถ่ายทอดได้ อย่างไรก็ตาม มันไม่ใช่ลำดับทั้งหมดเพราะโดยทั่วไปแล้ว อาจไม่แน่นอน นอกจากนี้ โปรดสังเกตว่าและไม่เป็นไปตามความสัมพันธ์ปกติของลำดับบางส่วนที่ไม่เข้มงวดและเข้มงวดเพราะไม่ได้หมายความว่า ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B-A\succeq 0,}$${\displaystyle B\succeq A}$${\displaystyle B-A,}$${\displaystyle \succeq }$${\displaystyle \succ }$${\displaystyle B\succeq A\land B\neq A}$${\displaystyle B\succ A}$

สัญลักษณ์ทางเลือกที่นิยมใช้คือและสำหรับเมทริกซ์บวกกึ่งกำหนดและเมทริกซ์บวกกำหนด เมทริกซ์ลบกึ่งกำหนดและเมทริกซ์ลบกำหนด ตามลำดับ ซึ่งอาจทำให้สับสนได้ เนื่องจากบางครั้งเมทริกซ์ที่ไม่เป็นลบ (หรือเมทริกซ์ที่ไม่เป็นบวก) ก็ถูกแสดงด้วยวิธีนี้เช่นกัน ${\displaystyle M\geq 0,}$${\displaystyle M>0,}$${\displaystyle M\leq 0,}$${\displaystyle M<0}$

จากนิยามข้างต้น สรุปได้ว่าเมทริกซ์เฮอร์มิเชียนเป็นเมทริกซ์บวกแน่นอนก็ต่อเมื่อมันเป็นเมทริกซ์ของรูปแบบกำลังสองบวกแน่นอนหรือรูปแบบเฮอร์มิเชียนบวกแน่นอน กล่าวอีกนัยหนึ่ง เมทริกซ์เฮอร์มิเชียนเป็นเมทริกซ์บวกแน่นอนก็ต่อเมื่อมันกำหนดผลคูณภายในได้

เมทริกซ์บวกกำหนดและเมทริกซ์บวกกึ่งกำหนดสามารถอธิบายได้หลายวิธี ซึ่งอาจอธิบายถึงความสำคัญของแนวคิดนี้ในสาขาคณิตศาสตร์ต่างๆ เมทริกซ์เฮอร์มิเชียนMเป็นเมทริกซ์บวกกำหนดก็ต่อเมื่อมันสอดคล้องกับเงื่อนไขที่เทียบเท่ากันข้อใดข้อหนึ่งต่อไปนี้

• ${\displaystyle M}$สอดคล้องกับเมทริกซ์แนวทแยงที่มีสมาชิกเป็นจำนวนจริงบวก
• ${\displaystyle M}$เป็นเมทริกซ์เฮอร์มิเชียน และค่าลักษณะเฉพาะ ทั้งหมด เป็นจำนวนจริงและเป็นบวก
• ${\displaystyle M}$เป็นเฮอร์มิเชียน และไมเนอร์หลักที่ สำคัญทั้งหมด เป็นบวก
• มีเมทริกซ์ผกผัน ที่มีทรานสโพสแบบสังยุคอยู่จริง โดยที่${\displaystyle B}$${\displaystyle B^{*}}$${\displaystyle M=B^{*}B.}$

เมทริกซ์จะเป็นเมทริกซ์บวกกึ่งกำหนด (positive semi-definite) ก็ต่อเมื่อมันตรงตามเงื่อนไขที่เทียบเท่ากัน โดยที่ "บวก" จะถูกแทนที่ด้วย "ไม่เป็นลบ" "เมทริกซ์ผกผันได้" จะถูกแทนที่ด้วย "เมทริกซ์" และคำว่า "นำหน้า" จะถูกตัดออกไป

เมทริกซ์จริงบวกแน่นอนและบวกกึ่งแน่นอนเป็นพื้นฐานของการหาค่าเหมาะสมที่สุดแบบนูนเนื่องจากเมื่อกำหนดฟังก์ชันของตัวแปรจริงหลายตัวที่สามารถหาอนุพันธ์ อันดับสองได้ ถ้าเมทริกซ์เฮสเซียน (เมทริกซ์ของอนุพันธ์ย่อยอันดับสอง) เป็นบวกแน่นอนที่จุดp ฟังก์ชันนั้นจะนูนใกล้pและในทางกลับกัน ถ้าฟังก์ชันนั้นนูนใกล้p เมทริกซ์เฮสเซียนจะเป็นบวกกึ่งแน่นอนที่ p${\displaystyle p,}$${\displaystyle p,}$${\displaystyle p.}$

เซตของเมทริกซ์บวกกำหนดเป็นกรวยนูนเปิด ในขณะที่เซตของเมทริกซ์บวกกึ่งกำหนดเป็นกรวยนูนปิด^{[ 2 ]}

ให้เป็นเมทริกซ์เฮอร์มิเชียน (ซึ่งรวมถึงเมทริกซ์สมมาตร จริงด้วย ) ค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดของ เป็นจำนวนจริง และเครื่องหมายของค่าลักษณะเฉพาะเหล่านั้นบ่งบอกถึงความเป็นเมทริกซ์แน่นอน: ${\displaystyle M}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle M}$

• ${\displaystyle M}$เมทริกซ์จะเป็นเมทริกซ์บวกแน่นอนก็ต่อเมื่อค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดของเมทริกซ์เป็นค่าบวก
• ${\displaystyle M}$เมทริกซ์ จะเป็นเมทริกซ์บวกกึ่งกำหนด (positive semi-definite) ก็ต่อเมื่อค่าลักษณะเฉพาะ (eigenvalues) ทั้งหมดเป็นค่าที่ไม่เป็นลบ
• ${\displaystyle M}$เมทริกซ์ จะเป็นเมทริกซ์กำหนดค่าลบได้ก็ต่อเมื่อค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดของเมทริกซ์นั้นเป็นค่าลบ
• ${\displaystyle M}$เมทริกซ์ดังกล่าวเป็นเมทริกซ์กึ่งบวกเชิงลบก็ต่อเมื่อค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดของเมทริกซ์นั้นไม่เป็นบวก
• ${\displaystyle M}$จะถือว่าไม่แน่นอนก็ต่อเมื่อมีค่าไอเกนทั้งบวกและลบ

ให้เป็นการแยกส่วนประกอบค่าลักษณะเฉพาะของโดยที่เป็นเมทริกซ์เชิงซ้อนเอกลักษณ์ที่มีคอลัมน์ประกอบเป็นฐานเชิงตั้งฉากปกติของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของและเป็นเมทริกซ์แนวทแยงจริงที่ มี แนวทแยงหลักประกอบด้วยค่าลักษณะ เฉพาะที่สอดคล้องกัน เมทริกซ์อาจถือได้ว่าเป็นเมทริกซ์แนวทแยงที่ถูกแสดงใหม่ในพิกัดของฐาน (เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ) กล่าวอีกนัยหนึ่ง การใช้กับเวกเตอร์บางตัวที่ให้ นั้นเหมือนกับการเปลี่ยนฐานเป็นระบบพิกัดเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะโดยใช้ที่ให้การใช้การแปลงยืดกับผลลัพธ์ที่ให้และจากนั้นเปลี่ยนฐานกลับโดยใช้ ที่ให้${\displaystyle PDP^{-1}}$${\displaystyle M,}$${\displaystyle P}$${\displaystyle M,}$${\displaystyle D}$${\displaystyle M}$${\displaystyle D}$${\displaystyle P.}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbf {z} ,}$${\displaystyle M\mathbf {z} ,}$${\displaystyle P^{-1},}$${\displaystyle P^{-1}\mathbf {z} ,}$${\displaystyle D}$${\displaystyle DP^{-1}\mathbf {z} ,}$${\displaystyle P,}$${\displaystyle PDP^{-1}\mathbf {z} .}$

ด้วยเหตุนี้ การเปลี่ยนตัวแปรแบบหนึ่งต่อหนึ่งแสดงให้เห็นว่าเป็นจำนวนจริงและเป็นบวกสำหรับเวกเตอร์เชิงซ้อนใดๆ ก็ต่อเมื่อเป็นจำนวนจริงและเป็นบวกสำหรับเวกเตอร์ใดๆกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ถ้าเป็นเมทริกซ์บวกแน่นอน สำหรับเมทริกซ์แนวทแยงมุม สิ่งนี้จะเป็นจริงก็ต่อเมื่อแต่ละองค์ประกอบของแนวทแยงมุมหลัก – นั่นคือ ค่าลักษณะเฉพาะทุกค่าของ– เป็นบวก เนื่องจากทฤษฎีบทสเปกตรัมรับประกันว่าค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดของเมทริกซ์เฮอร์มิเชียนเป็นจำนวนจริง ความเป็นบวกของค่าลักษณะเฉพาะสามารถตรวจสอบได้โดยใช้กฎของเดส์การ์ตส์เรื่องเครื่องหมายสลับกันเมื่อมี พหุนามลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์สมมาตรจริงอยู่${\displaystyle \mathbf {y} =P\mathbf {z} }$${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} }$${\displaystyle \mathbf {z} }$${\displaystyle \mathbf {y} ^{*}D\mathbf {y} }$${\displaystyle y;}$${\displaystyle D}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

ให้เป็นเมทริกซ์เฮอร์มิเชียนเป็น เมทริกซ์บวกกึ่งกำหนด (positive semidefinite) ก็ต่อเมื่อสามารถแยกส่วนได้เป็นผลคูณ ของเมทริกซ์กับ เมทริก ซ์ทรานสโพสสังยุค ของ มัน ${\displaystyle M}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle M}$$${\displaystyle M=B^{*}B}$$${\displaystyle B}$

เมื่อเป็นจริงก็สามารถเป็นจริงได้เช่นกัน และการแยกส่วนสามารถเขียนได้ดังนี้${\displaystyle M}$${\displaystyle B}$$${\displaystyle M=B^{\mathsf {T}}B.}$$

${\displaystyle M}$จะเป็นเมทริกซ์บวกแน่นอนก็ต่อเมื่อมีการแยกส่วนดัง กล่าวที่มีเมทริกซ์ผกผันได้ โดยทั่วไปแล้วจะเป็นเมทริกซ์บวกกึ่งแน่นอนที่มีอันดับก็ต่อเมื่อมีการแยกส่วนที่มีเมทริกซ์ที่มีอันดับแถวเต็ม (เช่น อันดับ) ยิ่งไปกว่านั้น สำหรับการแยกส่วนใดๆ^{[ 3 ]}${\displaystyle B}$${\displaystyle M}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k\times n}$${\displaystyle B}$${\displaystyle k}$${\displaystyle M=B^{*}B,}$${\displaystyle \operatorname {rank} (M)=\operatorname {rank} (B).}$

คอลัมน์ของสามารถมองได้ว่าเป็นเวกเตอร์ในปริภูมิเวกเตอร์เชิงซ้อนหรือ เชิงจริง ตามลำดับ จากนั้นรายการของจะเป็นผลคูณภายใน (นั่นคือผลคูณดอทในกรณีจริง) ของเวกเตอร์เหล่านี้ กล่าวอีกนัยหนึ่ง เมทริกซ์เฮอร์มิเชียนจะเป็นเมทริกซ์บวกกึ่งกำหนดก็ต่อเมื่อเป็นเมทริกซ์แกรมของเวกเตอร์บางตัว และจะเป็นเมทริกซ์บวกกำหนดก็ต่อเมื่อเป็นเมทริกซ์แกรมของ เวกเตอร์ ที่เป็นอิสระเชิงเส้น บางตัว โดยทั่วไป อันดับของเมทริกซ์แกรมของเวกเตอร์จะเท่ากับมิติของปริภูมิที่แผ่ขยายโดยเวกเตอร์เหล่านี้^{[ 4 ]}${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{k},}$${\displaystyle M}$$${\displaystyle M_{ij}=\langle b_{i},b_{j}\rangle .}$$${\displaystyle M}$${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}.}$${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}}$

การแยกส่วนนี้ไม่เป็นเอกลักษณ์: ถ้าสำหรับเมทริกซ์ บางตัว และถ้าเป็น เมทริก ซ์เอกลักษณ์ ใดๆ (หมายความว่า) แล้วสำหรับ${\displaystyle M=B^{*}B}$${\displaystyle k\times n}$${\displaystyle B}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle k\times k}$${\displaystyle Q^{*}Q=QQ^{*}=I}$${\displaystyle M=B^{*}B=B^{*}Q^{*}QB=A^{*}A}$${\displaystyle A=QB.}$

อย่างไรก็ตาม นี่เป็นวิธีเดียวที่การแยกส่วนสองแบบจะแตกต่างกันได้: การแยกส่วนจะมีเอกลักษณ์เฉพาะตัวจนถึงการแปลงแบบเอกภาพกล่าวอย่างเป็นทางการมากขึ้น ถ้าเป็นเมทริกซ์ และเป็นเมทริกซ์ เช่นนั้น จะมีเมทริกซ์ที่มีคอลัมน์ตั้งฉากกัน (หมายความว่า) เช่นนั้น^{[ 5 ]} เมื่อหมายความว่า เป็นเอกภาพ${\displaystyle A}$${\displaystyle k\times n}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \ell \times n}$${\displaystyle A^{*}A=B^{*}B,}$${\displaystyle \ell \times k}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle Q^{*}Q=I_{k\times k}}$${\displaystyle B=QA.}$${\displaystyle \ell =k}$${\displaystyle Q}$

ข้อความนี้มีการตีความทางเรขาคณิตที่เข้าใจง่ายในกรณีจริง: ให้คอลัมน์ของและเป็นเวกเตอร์และใน เมทริกซ์เอกลักษณ์จริง คือเมทริกซ์เชิงตั้งฉากซึ่งอธิบายการแปลงแบบคงรูป (ไอโซเมตรีของปริภูมิยุคลิด) ที่รักษาจุด 0 ไว้ (เช่นการหมุนและการสะท้อนโดยไม่มีการเลื่อน) ดังนั้น ผลคูณดอทและจะเท่ากันก็ต่อเมื่อการแปลงแบบคงรูปบางอย่างของแปลงเวกเตอร์ไปเป็น(และ 0 ไปเป็น 0) ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}.}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$${\displaystyle a_{i}\cdot a_{j}}$${\displaystyle b_{i}\cdot b_{j}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}}$

เมทริกซ์เฮอร์มิเชียนเป็นเมทริกซ์บวกกึ่งกำหนดก็ต่อเมื่อมีเมทริกซ์บวกกึ่งกำหนด (โดยเฉพาะอย่างยิ่งเป็นเมทริกซ์เฮอร์มิเชียน ดังนั้น) ที่ สอดคล้องกับ เมทริกซ์นี้มีเอกลักษณ์^{[ 6 ]}เรียกว่ารากที่สองที่ไม่เป็นลบของและใช้สัญลักษณ์แทนด้วย เมื่อเป็นเมทริกซ์บวกกำหนด ดังนั้น จึงเป็นเมทริกซ์บวกกำหนดเช่นกัน ดังนั้นจึงเรียกว่ารากที่สองบวกของ${\displaystyle M}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B^{*}=B}$${\displaystyle M=BB.}$${\displaystyle B}$${\displaystyle M,}$${\displaystyle B=M^{\frac {1}{2}}.}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M^{\frac {1}{2}},}$${\displaystyle M.}$

รากที่สองที่ไม่เป็นลบไม่ควรสับสนกับการแยกตัวประกอบแบบอื่น ผู้เขียนบางคนใช้ชื่อรากที่สองสำหรับการแยกตัวประกอบดังกล่าว หรือโดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับการแยกตัวประกอบแบบ Choleskyหรือการแยกตัวประกอบใดๆ ในรูปแบบ ในขณะที่ผู้เขียน คนอื่นๆ ใช้ชื่อนี้เฉพาะกับรากที่สองที่ไม่เป็นลบเท่านั้น ${\displaystyle M=B^{*}B.}$${\displaystyle M^{\frac {1}{2}}}$${\displaystyle M=BB;}$

ถ้าเช่นนั้น${\displaystyle M\succ N\succ 0}$${\displaystyle M^{\frac {1}{2}}\succ N^{\frac {1}{2}}\succ 0.}$

เมทริกซ์เฮอร์มิเชียนบวกกึ่งกำหนดสามารถเขียนได้เป็น โดยที่เป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมล่างที่มีแนวทแยงไม่เป็นลบ (หรือเทียบเท่ากับโดยที่เป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมบน) นี่คือการแยกส่วนแบบโคลสกี้ถ้าเป็นเมทริกซ์บวกกำหนด แนวทแยงของจะเป็นบวก และการแยกส่วนแบบโคลสกี้จะมีเพียงหนึ่งเดียว ในทางกลับกัน ถ้าเป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมล่างที่มีแนวทแยงไม่เป็นลบ แล้วจะเป็นเมทริกซ์บวกกึ่งกำหนด การแยกส่วนแบบโคลสกี้มีประโยชน์อย่างยิ่งสำหรับการคำนวณเชิงตัวเลขที่มีประสิทธิภาพ การแยกส่วนที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดคือการแยกส่วนแบบ LDLโดยที่เป็นแนวทแยง และเป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมล่างหน่วย ${\displaystyle M}$${\displaystyle M=LL^{*},}$${\displaystyle L}$${\displaystyle M=B^{*}B}$${\displaystyle B=L^{*}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle L}$${\displaystyle L}$${\displaystyle LL^{*}}$${\displaystyle M=LDL^{*},}$${\displaystyle D}$${\displaystyle L}$

เมทริกซ์เฮอร์มิเชียนจริงบวกแน่นอนใดๆสามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้โดยใช้เมทริกซ์ซิมเพล็กติก (จริง) กล่าวโดยละเอียดกว่า นั้น ทฤษฎีบทของวิลเลียมสันรับประกันการมีอยู่ของเมทริกซ์ซิมเพล็กติกและเมทริกซ์ทแยงมุมจริงบวก ซึ่งทำให้ ${\displaystyle 2n\times 2n}$${\displaystyle M}$${\displaystyle S\in \mathbf {Sp} (2n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle D\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$${\displaystyle SMS^{T}=D\oplus D}$

ให้เป็นเมทริกซ์สมมาตรจริงและให้เป็น "ทรงกลมหน่วย" ที่กำหนดโดยแล้วเราจะได้สิ่งต่อไปนี้ ${\displaystyle M}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle B_{1}(M)\equiv \{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}:\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} \leq 1\}}$${\displaystyle M.}$

• ${\displaystyle B_{1}(\mathbf {v} \mathbf {v} ^{\mathsf {T}})}$เป็นแผ่นแข็งที่ประกบอยู่ตรงกลาง${\displaystyle \pm \{\mathbf {w} :\langle \mathbf {w} ,\mathbf {v} \rangle =1\}.}$
• ${\displaystyle M\succeq 0}$ก็ต่อเมื่อเป็นทรงรี หรือทรงกระบอกทรงรี เท่านั้น${\displaystyle B_{1}(M)}$
• ${\displaystyle M\succ 0}$ก็ต่อเมื่อเป็นทรงรีที่มีขอบเขตจำกัด${\displaystyle B_{1}(M)}$
• ถ้าเช่นนั้นถ้าและเฉพาะเมื่อถ้าและเฉพาะเมื่อ${\displaystyle N\succ 0,}$${\displaystyle M\succeq N}$${\displaystyle B_{1}(M)\subseteq B_{1}(N);}$${\displaystyle M\succ N}$${\displaystyle B_{1}(M)\subseteq \operatorname {int} {\bigl (}B_{1}(N){\bigr )}.}$
• ถ้าเช่นนั้นสำหรับทุกๆก็ต่อเมื่อดังนั้น เนื่องจากทรงรีคู่เชิงขั้วก็เป็นทรงรีที่มีแกนหลักเดียวกันและมีความยาวผกผันกัน เราจึงได้ว่า นั่นคือ ถ้าเป็นเมทริกซ์บวกแน่นอน แล้วสำหรับทุกๆก็ต่อเมื่อ${\displaystyle N\succ 0,}$${\displaystyle M\succeq {\frac {\mathbf {v} \mathbf {v} ^{\mathsf {T}}}{\mathbf {v} ^{\mathsf {T}}N\mathbf {v} }}}$${\displaystyle v\neq 0}$${\textstyle B_{1}(M)\subset \bigcap _{\mathbf {v} ^{\mathsf {T}}N\mathbf {v} =1}B_{1}(\mathbf {v} \mathbf {v} ^{\mathsf {T}}).}$$${\displaystyle B_{1}(N^{-1})=\bigcap _{\mathbf {v} ^{\mathsf {T}}N\mathbf {v} =1}B_{1}(\mathbf {v} \mathbf {v} ^{\mathsf {T}})=\bigcap _{\mathbf {v} ^{\mathsf {T}}N\mathbf {v} =1}\{\mathbf {w} :|\langle \mathbf {w} ,\mathbf {v} \rangle |\leq 1\}.}$$${\displaystyle N}$${\displaystyle M\succeq {\frac {\mathbf {v} \mathbf {v} ^{\mathsf {T}}}{\mathbf {v} ^{\mathsf {T}}N\mathbf {v} }}}$${\displaystyle \mathbf {v} \neq \mathbf {0} }$${\displaystyle M\succeq N^{-1}.}$

ให้เป็นเมทริกซ์เฮอร์มิเชียนคุณสมบัติต่อไปนี้เทียบเท่ากับการเป็นเมทริกซ์บวกกำหนด: ${\displaystyle M}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle M}$

รูปแบบเซสควิลิเนียร์ที่เกี่ยวข้องคือผลคูณภายใน

รูปแบบเซสควิลิเนียร์ที่กำหนดโดยคือฟังก์ชันจากไปโดยที่สำหรับทุกและใน โดยที่คือทรานสโพสสังยุคของสำหรับเมทริกซ์เชิงซ้อนใดๆรูปแบบนี้เป็นเชิงเส้นในและกึ่งเชิงเส้นในดังนั้น รูปแบบนี้เป็นผลคูณภายในบนก็ต่อเมื่อเป็นจำนวนจริงและเป็นบวกสำหรับทุก ที่ไม่เป็นศูนย์นั่นคือ ก็ต่อเมื่อเป็นเมทริกซ์บวกกำหนด (อันที่จริง ผลคูณภายในทุกตัวบนเกิดขึ้นในลักษณะนี้จากเมทริกซ์เฮอร์มิเชียนบวกกำหนด)${\displaystyle M}$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle \equiv \mathbf {y} ^{*}M\mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {y} }$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n},}$${\displaystyle \mathbf {y} ^{*}}$${\displaystyle \mathbf {y} .}$${\displaystyle M,}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathbf {y} .}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \langle \mathbf {z} ,\mathbf {z} \rangle }$${\displaystyle \mathbf {z} ;}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

ปัจจัยรองที่สำคัญทั้งหมดล้วนเป็นไปในทางบวก

ไมเนอร์หลักลำดับที่ k ของเมทริกซ์คือดีเทอร์มิแนนต์ของซับเมทริกซ์ด้านบนซ้ายปรากฏว่าเมทริกซ์เป็นเมทริกซ์บวกแน่นอนก็ต่อเมื่อดีเทอร์มิแนนต์ทั้งหมดเป็นบวก เงื่อนไขนี้เรียกว่าเกณฑ์ของซิลเวสเตอร์และเป็นวิธีทดสอบที่มีประสิทธิภาพสำหรับความเป็นบวกแน่นอนของเมทริกซ์สมมาตรจริง กล่าวคือ เมทริกซ์จะถูกลดรูปเป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนโดยใช้การดำเนินการแถวพื้นฐานเช่นเดียวกับในส่วนแรกของ วิธี การกำจัดแบบเกาส์เซียนโดยต้องระมัดระวังในการรักษาเครื่องหมายของดีเทอร์มิแนนต์ในระหว่าง กระบวนการ สลับแถวเนื่องจาก ไมเนอร์หลักลำดับที่ kของเมทริกซ์สามเหลี่ยมคือผลคูณขององค์ประกอบแนวทแยงมุมจนถึงแถวนั้น เกณฑ์ของซิลเวสเตอร์จึงเทียบเท่ากับการตรวจสอบว่าองค์ประกอบแนวทแยงมุมทั้งหมดเป็นบวกหรือไม่ เงื่อนไขนี้สามารถตรวจสอบได้ทุกครั้งที่ ได้แถวใหม่ ของเมทริกซ์สามเหลี่ยม${\displaystyle M}$${\displaystyle k\times k}$${\displaystyle k,}$${\displaystyle k}$

เมทริกซ์บวกกึ่งกำหนดจะเป็นเมทริกซ์บวกกำหนดก็ต่อเมื่อเมทริกซ์นั้นสามารถผกผันได้ [ ^{7 ] เมท} ริกซ์จะเป็นเมทริกซ์ลบ (กึ่ง) กำหนดก็ต่อเมื่อเมทริกซ์นั้นเป็นเมทริกซ์บวก (กึ่ง) กำหนด ${\displaystyle M}$${\displaystyle -M}$

รูปแบบกำลังสอง (บริสุทธิ์) ที่เกี่ยวข้องกับเมทริกซ์ จริง คือฟังก์ชันที่สำหรับทุกค่าสามารถถือว่าสมมาตรได้โดยการแทนที่ด้วยเนื่องจากส่วนที่ไม่สมมาตรใด ๆ จะถูกทำให้เป็นศูนย์ในผลคูณสองด้าน ${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle M}$${\displaystyle Q:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle Q(\mathbf {x} )=\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {x} .}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\left(M+M^{\mathsf {T}}\right),}$

เมทริกซ์สมมาตรจะเป็นเมทริกซ์บวกแน่นอนก็ต่อเมื่อรูปแบบกำลังสองของเมทริกซ์นั้นเป็นฟังก์ชันนูนอย่างเคร่งครัด ${\displaystyle M}$

โดยทั่วไปแล้วฟังก์ชันกำลังสอง ใดๆ จากไปสามารถเขียนได้เป็น โดยที่เป็นเมทริกซ์ สมมาตร เป็นเวกเตอร์จริงn  และเป็นค่าคงที่จริง ในกรณีนี้ นี่คือพาราโบลา และเช่นเดียวกับในกรณี เราจะได้ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} +\mathbf {b} ^{\mathsf {T}}\mathbf {x} +c}$${\displaystyle M}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle \mathbf {b} }$${\displaystyle c}$${\displaystyle n=1}$${\displaystyle n=1}$

ทฤษฎีบท:ฟังก์ชันกำลังสองนี้เป็นฟังก์ชันนูนอย่างเคร่งครัด และดังนั้นจึงมีค่าต่ำสุดทั่วโลกเพียงค่าเดียวและจำกัด ก็ต่อเมื่อ เมทริกซ์นั้น เป็นเมทริกซ์บวกแน่นอน ${\displaystyle M}$

บทพิสูจน์:ถ้าเป็นเมทริกซ์บวกกำหนด (positive definite) แล้ว ฟังก์ชันจะเป็นฟังก์ชันนูนอย่างเคร่งครัด(strictly convex) เนื่องจากเกรเดียนต์ของฟังก์ชันเป็นศูนย์ ณ จุดเพียงจุดเดียว ซึ่งจุดนั้นจะต้องเป็นจุดต่ำสุดทั่วโลก (global minimum) เพราะฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันนูนอย่างเคร่งครัด แต่ถ้าไม่ใช่เมทริกซ์บวกกำหนด (non-positive definite) แล้ว จะมีเวกเตอร์บางตัวที่ทำให้ดังนั้นฟังก์ชันจะเป็นเส้นตรงหรือพาราโบลาคว่ำลง ซึ่งไม่ใช่ฟังก์ชันนูนอย่างเคร่งครัดและไม่มีจุดต่ำสุดทั่วโลก ${\displaystyle M}$${\displaystyle M^{-1}\mathbf {b} ,}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {v} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {v} \leq 0,}$${\displaystyle f(t)\equiv (t\mathbf {v} )^{\mathsf {T}}M(t\mathbf {v} )+b^{\mathsf {T}}(t\mathbf {v} )+c}$

ด้วยเหตุนี้ เมทริกซ์บวกกำหนดจึงมีบทบาทสำคัญในปัญหา การหาค่าเหมาะสมที่สุด

เมทริกซ์สมมาตรหนึ่งเมทริกซ์และเมทริกซ์อีกเมทริกซ์หนึ่งที่เป็นทั้งเมทริกซ์สมมาตรและเมทริกซ์บวกกำหนด สามารถทำให้เป็น เมทริกซ์ ทแยงมุมพร้อมกันได้ถึงแม้ว่าการทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมพร้อมกันนั้นไม่จำเป็นต้องใช้การแปลงความคล้ายคลึงกัน ก็ตาม ผลลัพธ์นี้ใช้ไม่ได้กับกรณีที่มีเมทริกซ์สามเมทริกซ์ขึ้นไป ในส่วนนี้เราจะเขียนถึงกรณีจำนวนจริง การขยายไปยังกรณีจำนวนเชิงซ้อนนั้นทำได้ทันที

ให้เป็นเมทริกซ์สมมาตร และเป็นเมทริกซ์สมมาตรและบวกแน่นอน เขียนสมการค่าลักษณะเฉพาะทั่วไปเป็น โดยที่เรากำหนดให้เป็นเมทริกซ์ปกติ นั่นคือตอนนี้เราใช้การแยกตัวประกอบ Choleskyเพื่อเขียนเมทริกซ์ผกผันของเป็นคูณด้วยและให้เราจะได้ซึ่งสามารถเขียนใหม่ได้เป็น โดยที่การจัดการในตอนนี้ให้ผลลัพธ์เป็นโดยที่เป็นเมทริกซ์ที่มีคอลัมน์เป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะทั่วไป และเป็นเมทริกซ์แนวทแยงของค่าลักษณะเฉพาะทั่วไป ตอนนี้การคูณล่วงหน้าด้วยให้ผลลัพธ์สุดท้าย: และแต่โปรดทราบว่านี่ไม่ใช่การทำให้เป็นแนวทแยงเชิงตั้งฉากอีกต่อไปเมื่อเทียบกับผลคูณภายใน โดยที่ในความเป็นจริง เราทำให้เป็นแนวทแยงเมื่อเทียบกับผลคูณภายในที่เกิดจาก^{[ 8 ]}${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \left(M-\lambda N\right)\mathbf {x} =0}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}N\mathbf {x} =1.}$${\displaystyle N}$${\displaystyle Q^{\mathsf {T}}Q.}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle \mathbf {x} =Q^{\mathsf {T}}\mathbf {y} ,}$${\displaystyle Q\left(M-\lambda N\right)Q^{\mathsf {T}}\mathbf {y} =0,}$${\displaystyle \left(QMQ^{\mathsf {T}}\right)\mathbf {y} =\lambda \mathbf {y} }$${\displaystyle \mathbf {y} ^{\mathsf {T}}\mathbf {y} =1.}$${\displaystyle MX=NX\Lambda }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle X^{\mathsf {T}}}$${\displaystyle X^{\mathsf {T}}MX=\Lambda }$${\displaystyle X^{\mathsf {T}}NX=I,}$${\displaystyle \mathbf {y} ^{\mathsf {T}}\mathbf {y} =1.}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N.}$

โปรดทราบว่าผลลัพธ์นี้ไม่ได้ขัดแย้งกับสิ่งที่กล่าวไว้เกี่ยวกับการหาค่าเฉพาะของเมทริกซ์พร้อมกันในบทความเรื่อง เมทริกซ์ที่หา ค่าเฉพาะได้ ซึ่งหมายถึงการหาค่าเฉพาะของเมทริกซ์พร้อมกันโดยใช้การแปลงความคล้ายคลึงกัน ผลลัพธ์ของเราในที่นี้คล้ายกับการหาค่าเฉพาะของเมทริกซ์กำลังสองสองรูปแบบพร้อมกันมากกว่า และมีประโยชน์สำหรับการหาค่าเหมาะสมที่สุดของรูปแบบหนึ่งภายใต้เงื่อนไขของอีกรูปแบบหนึ่ง

สำหรับเมทริกซ์จัตุรัสใดๆเราเขียนว่าถ้านั่นคือ เป็นเมทริกซ์กึ่งบวกกำหนด (positive semi-definite) นี่เป็นการกำหนดลำดับบางส่วนบนเซตของเมทริกซ์จัตุรัสทั้งหมด เราสามารถกำหนดลำดับบางส่วนที่เข้มงวดได้ในทำนองเดียวกันลำดับนี้เรียกว่าลำดับโลวเนอร์ (Loewner order ) ${\displaystyle M,}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M\geq N}$${\displaystyle M-N\geq 0}$${\displaystyle M-N}$${\displaystyle M>N.}$

เมทริกซ์บวกแน่นอนทุกเมทริกซ์สามารถผกผันได้และเมทริกซ์ผกผันของมันก็เป็นเมทริกซ์บวกแน่นอนเช่นกัน^{[ 9 ]}ถ้าเช่นนั้น^{[ 10 ]}ยิ่งไปกว่านั้น ตามทฤษฎีบท min-max ค่าลักษณะเฉพาะที่ใหญ่ที่สุด ลำดับ ที่ kของจะมากกว่าหรือเท่ากับ ค่าลักษณะเฉพาะที่ใหญ่ที่สุดลำดับที่ kของ${\displaystyle M\geq N>0}$${\displaystyle N^{-1}\geq M^{-1}>0.}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N.}$

ถ้าเป็นจำนวนบวกแน่นอนและเป็นจำนวนจริง แล้วจะเป็นจำนวนบวกแน่นอน^{[ 11 ]}${\displaystyle M}$${\displaystyle r>0}$${\displaystyle rM}$

• ถ้าและเป็นค่าบวกแน่นอน ผลรวมก็จะเป็นค่าบวกแน่นอนเช่นกัน^{[ 11 ]}${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M+N}$
• ถ้าและเป็นเมทริกซ์บวกกึ่งกำหนด (positive-semidefinite) แล้ว ผลรวมก็จะเป็นเมทริกซ์บวกกึ่งกำหนดเช่นกัน${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M+N}$
• ถ้าเมทริกซ์ เป็นเมทริกซ์บวกกำหนด และเมทริกซ์ เป็นเมทริกซ์บวกกึ่งกำหนด ผลรวมก็จะเป็นเมทริกซ์บวกกำหนดเช่นกัน${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M+N}$

• ถ้าและเป็นเมทริกซ์บวกกำหนด (positive definite) แล้ว ผลคูณและก็จะเป็นเมทริกซ์บวกกำหนดเช่นกัน ถ้าแล้วก็จะเป็นเมทริกซ์บวกกำหนดด้วย${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle MNM}$${\displaystyle NMN}$${\displaystyle MN=NM,}$${\displaystyle MN}$
• ถ้าเป็นเมทริกซ์บวกกึ่งกำหนด เมทริกซ์บวกกึ่งกำหนดจะเป็นเมทริกซ์บวกกึ่งกำหนดสำหรับเมทริกซ์ใดๆ (อาจเป็นเมทริกซ์สี่เหลี่ยมผืนผ้า) ถ้าเป็นเมทริกซ์บวกกำหนดและมีอันดับคอลัมน์เต็ม เมทริกซ์บวกกำหนดจะเป็นเมทริกซ์บวกกำหนด^{[ 12 ]}${\displaystyle M}$${\displaystyle A^{*}MA}$${\displaystyle A.}$${\displaystyle M}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{*}MA}$

ค่าในแนวทแยงของเมทริกซ์บวกกึ่งกำหนดจะเป็นจำนวนจริงและไม่เป็นลบ ดังนั้นร่องรอย จึง เป็น ดังนี้ นอกจากนี้^{[ 13 ]}เนื่องจากเมทริกซ์ย่อยหลักทุกตัว (โดยเฉพาะเมทริกซ์ 2x2) เป็นเมทริกซ์บวกกึ่งกำหนด ดังนั้นเมื่อ${\displaystyle m_{ii}}$${\displaystyle \operatorname {tr} (M)\geq 0.}$$${\displaystyle \left|m_{ij}\right|\leq {\sqrt {m_{ii}m_{jj}}}\quad \forall i,j}$$${\displaystyle n\geq 1,}$$${\displaystyle \max _{i,j}\left|m_{ij}\right|\leq \max _{i}m_{ii}}$$

เมทริกซ์เฮอร์มิเชียนเป็นเมทริกซ์บวกแน่นอนหากเป็นไปตามอสมการร่องรอยต่อไปนี้: ^{[ 14 ]}${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle M}$$${\displaystyle \operatorname {tr} (M)>0\quad \mathrm {and} \quad {\frac {(\operatorname {tr} (M))^{2}}{\operatorname {tr} (M^{2})}}>n-1.}$$

ผลลัพธ์ที่สำคัญอีกประการหนึ่งคือ สำหรับเมทริกซ์บวกกึ่งกำหนด ใด ๆ จะ ได้ว่า ซึ่งเป็นผลมาจากการเขียนว่าเมทริกซ์นั้นเป็นเมทริกซ์บวกกึ่งกำหนด และดังนั้นจึงมีค่าลักษณะเฉพาะที่ไม่เป็นลบ ซึ่งผลรวมของค่าลักษณะเฉพาะเหล่านี้ หรือร่องรอย จึงไม่เป็นลบเช่นกัน ${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \operatorname {tr} (MN)\geq 0.}$${\displaystyle \operatorname {tr} (MN)=\operatorname {tr} (M^{\frac {1}{2}}NM^{\frac {1}{2}}).}$${\displaystyle M^{\frac {1}{2}}NM^{\frac {1}{2}}}$

ถึงแม้ว่าไม่จำเป็นต้องเป็นบวกกึ่งกำหนด แต่ผลคูณของ Hadamardก็คือ(ผลลัพธ์นี้มักเรียกว่าทฤษฎีบทผลคูณของ Schur ) ^{[ 15 ]}${\displaystyle M,N\geq 0,}$${\displaystyle MN}$${\displaystyle M\circ N\geq 0}$

เกี่ยวกับการคูณแบบ Hadamard ของเมทริกซ์กึ่งบวกสองเมทริกซ์มีอสมการที่น่าสนใจอยู่สองประการ: ${\displaystyle M=(m_{ij})\geq 0,}$${\displaystyle N\geq 0,}$

• ความไม่เท่าเทียมกันของออปเพนไฮม์: ^{[ 16 ]}${\displaystyle \det(M\circ N)\geq \det(N)\prod \nolimits _{i}m_{ii}.}$
• ${\displaystyle \det(M\circ N)\geq \det(M)\det(N).}$^{[ 17 ]}

ถึงแม้ว่าเมทริกซ์จะไม่จำเป็นต้องเป็นเมทริกซ์บวกกึ่งกำหนด แต่ผลคูณโครเนกเกอร์${\displaystyle M,N\geq 0,}$${\displaystyle MN}$${\displaystyle M\otimes N\geq 0.}$

แม้ว่าเมทริกซ์จะไม่จำเป็นต้องเป็นเมทริกซ์บวกกึ่งกำหนด (positive semidefinite) ก็ตามผลคูณภายในของฟรอเบนิอุส (Lancaster–Tismenetsky, The Theory of Matrices , หน้า 218) ${\displaystyle M,N\geq 0,}$${\displaystyle MN}$${\displaystyle M:N\geq 0}$

เซตของเมทริกซ์สมมาตรบวกกึ่งกำหนด (positive semidefinite symmetric matrices) เป็นเซตแบบนูน (convex ) กล่าวคือ ถ้าและเป็นเมทริกซ์บวกกึ่งกำหนดแล้ว สำหรับค่าใดๆระหว่าง0ถึง1ก็จะเป็นเมทริกซ์บวกกึ่งกำหนดเช่นกัน สำหรับเวกเตอร์ใดๆ: ${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha M+\left(1-\alpha \right)N}$${\displaystyle \mathbf {x} }$$${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}\left(\alpha M+\left(1-\alpha \right)N\right)\mathbf {x} =\alpha \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} +(1-\alpha )\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}N\mathbf {x} \geq 0.}$$

คุณสมบัตินี้รับประกันว่า ปัญหา การเขียนโปรแกรมเชิงกึ่งกำหนดจะลู่เข้าสู่คำตอบที่เหมาะสมที่สุดในระดับสากล

คุณสมบัติความเป็นเมทริกซ์บวกแน่นอน (positive-definiteness) แสดงให้เห็นว่ามุมระหว่างเวกเตอร์ใดๆกับภาพของ เวกเตอร์นั้น จะมีค่าเป็นศูนย์เสมอ${\displaystyle A}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle A\mathbf {x} }$${\displaystyle -\pi /2<\theta <+\pi /2:}$

$${\displaystyle \cos \theta ={\frac {\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}A\mathbf {x} }{\lVert \mathbf {x} \rVert \lVert A\mathbf {x} \rVert }}={\frac {\langle \mathbf {x} ,A\mathbf {x} \rangle }{\lVert \mathbf {x} \rVert \lVert A\mathbf {x} \rVert }},\theta =\theta (\mathbf {x} ,A\mathbf {x} )\equiv {\widehat {\left(\mathbf {x} ,A\mathbf {x} \right)}}\equiv }$$มุมระหว่างและ${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle A\mathbf {x} .}$

1. ถ้าเป็นเมทริกซ์โทพลิทซ์สมมาตร กล่าว คือ ค่าในเมทริกซ์กำหนดเป็นฟังก์ชันของผลต่างสัมบูรณ์ของดัชนีและอสมการที่เข้มงวดเป็นจริงแล้วจะเป็นเมทริกซ์บวกแน่นอนอย่าง เข้มงวด${\displaystyle M}$${\displaystyle m_{ij}}$${\displaystyle m_{ij}=h(|i-j|),}$${\textstyle \sum _{j\neq 0}\left|h(j)\right|<h(0)}$${\displaystyle M}$
2. ให้และเฮอร์มิเชียน ถ้า(ตามลำดับ, ) แล้ว(ตามลำดับ, ) ^{[ 18 ]}${\displaystyle M>0}$${\displaystyle N}$${\displaystyle MN+NM\geq 0}$${\displaystyle MN+NM>0}$${\displaystyle N\geq 0}$${\displaystyle N>0}$
3. ถ้าเป็นจำนวนจริง จะมีค่าที่ทำให้โดยที่คือเมทริกซ์เอกลักษณ์${\displaystyle M>0}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle M>\delta I,}$${\displaystyle I}$
4. ถ้าหมายถึงไมเนอร์ หลัก คือ ตัวหมุนลำดับที่ kในระหว่างการแยกตัวประกอบ LU${\displaystyle M_{k}}$${\displaystyle k\times k}$${\displaystyle \det \left(M_{k}\right)/\det \left(M_{k-1}\right)}$
5. เมทริกซ์เรียกว่าเมทริกซ์กำหนดลบ (negative definite) ถ้าไมเนอร์หลักลำดับที่k ของ เมทริกซ์ นั้น เป็นลบเมื่อk เป็นจำนวนคี่ และเป็นบวกเมื่อk เป็นจำนวนคู่${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$
6. ถ้าเป็นเมทริกซ์บวกกำหนดจริง แล้วจะมีจำนวนจริงบวกอยู่จำนวนหนึ่งที่ทำให้ สำหรับทุกเวกเตอร์${\displaystyle M}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \mathbf {v} ,}$${\displaystyle \mathbf {v} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {v} \geq m\|\mathbf {v} \|_{2}^{2}.}$
7. เมทริกซ์เฮอร์มิเชียนจะเป็นเมทริกซ์บวกกึ่งกำหนด (positive semidefinite) ก็ต่อเมื่อไมเนอร์หลักทั้งหมดของเมทริกซ์นั้นมีค่าไม่เป็นลบ อย่างไรก็ตาม การพิจารณาเฉพาะไมเนอร์หลักที่นำหน้าเพียงอย่างเดียวนั้นไม่เพียงพอ ดังที่ได้ตรวจสอบแล้วในเมทริกซ์แนวทแยงที่มีค่า0และ−1