ในพีชคณิตเชิงเส้นเมทริกซ์จตุรัสเชิงซ้อนที่ผกผันได้Uจะเป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ก็ต่อเมื่อเมทริกซ์ผกผันU ⁻¹เท่ากับเมทริกซ์สลับตำแหน่งสั งยุค U ^*นั่นคือ ถ้า

$${\displaystyle U^{*}U=UU^{*}=I,}$$

โดยที่I คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

ในวิชาฟิสิกส์โดยเฉพาะในกลศาสตร์ควอนตัมเมทริกซ์ผกผันแบบคอนจูเกตเรียกว่าเมทริกซ์ผกผันแบบเฮอร์มิเชียนของเมทริกซ์ และใช้สัญลักษณ์กริช ( ⁠ ⁠${\displaystyle \dagger }$ ) ดังนั้นสมการข้างต้นจึงเขียนได้ดังนี้

$${\displaystyle U^{\dagger }U=UU^{\dagger }=I.}$$

เมทริกซ์เชิงซ้อนUเรียกว่าเมทริกซ์เอกลักษณ์พิเศษ ถ้าเมทริกซ์นั้นเป็นเมทริก ซ์ เอกลักษณ์ และดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ นั้น เท่ากับ1

สำหรับจำนวนจริงเมทริกซ์ที่เทียบเท่ากับเมทริกซ์เอกลักษณ์คือเมทริกซ์เชิงตั้งฉากเมทริกซ์เอกลักษณ์มีความสำคัญอย่างมากในกลศาสตร์ควอนตัม เนื่องจากเมทริกซ์เอกลักษณ์จะรักษาการทำให้เป็นมาตรฐานของเวกเตอร์สถานะและผลคูณภายในระหว่างเวกเตอร์เหล่านั้น^{[ 1 ] [ 2 ]}

สำหรับเมทริกซ์เอกลักษณ์U ใดๆ ที่มีขนาดจำกัด จะเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้:

• เมื่อกำหนดเวกเตอร์เชิงซ้อนสองตัวคือxและyการคูณด้วยUจะรักษาสัมประสิทธิ์ผลคูณภายใน ของเวกเตอร์ทั้งสอง ไว้ กล่าวคือ⟨ U x , U y ⟩ = ⟨ x , y ⟩
• Uเป็นปกติ ( )${\displaystyle U^{*}U=UU^{*}}$
• Uสามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้กล่าวคือUมีความคล้ายคลึงแบบเอกภาพกับเมทริกซ์ทแยงมุม อันเป็นผลมาจากทฤษฎีบทสเปกตรัมดังนั้นU จึง มีการแยกส่วนในรูปแบบที่Vเป็นเมทริกซ์เอกภาพ และDเป็นเมทริกซ์ทแยงมุมและเมทริกซ์เอกภาพ${\displaystyle U=VDV^{*},}$
• ค่าลักษณะเฉพาะของอยู่บนวงกลมหน่วยเช่นเดียวกับ${\displaystyle U}$${\displaystyle \det(U)}$
• ปริภูมิไอเกนของ นั้นตั้งฉากกัน${\displaystyle U}$
• Uสามารถเขียนได้เป็นU = e ^iHโดยที่eคือเมทริกซ์เอกซ์โพเนนเชียล i คือหน่วยจินตนาการ และHคือเมทริกซ์เฮอร์มิเชียน

สำหรับจำนวนเต็มที่ ไม่เป็นลบ n ใดๆ เซตของ เมทริกซ์เอกลักษณ์ n × n ทั้งหมด ที่มีการคูณเมทริกซ์จะก่อตัวเป็นกลุ่ม เรียกว่ากลุ่มเอกลักษณ์U( n )

เมทริกซ์จัตุรัสทุกเมทริกซ์ที่มีนอร์มยุคลิดหน่วยเป็นค่าเฉลี่ยของเมทริกซ์เอกภาพสองเมทริกซ์^{[ 3 ]}

ถ้าUเป็นเมทริกซ์เชิงซ้อนจัตุรัส เงื่อนไขต่อไปนี้จะเทียบเท่ากัน: ^{[ 4 ]}

1. ${\displaystyle U}$เป็นเอกภาพ
2. ${\displaystyle U^{*}}$ เป็นเอกภาพ
3. ${\displaystyle U}$สามารถผกผันได้ด้วย.${\displaystyle U^{-1}=U^{*}}$
4. คอลัมน์ของก่อให้เกิดฐานเชิงตั้งฉากปกติของโดยสัมพันธ์กับผลคูณภายในปกติ กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ.${\displaystyle U}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle U^{*}U=I}$
5. แถวของก่อให้เกิดฐานเชิงตั้งฉากปกติของโดยสัมพันธ์กับผลคูณภายในปกติ กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ.${\displaystyle U}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle UU^{*}=I}$
6. ${\displaystyle U}$เป็นไอโซเมตรีโดยสัมพันธ์กับบรรทัดฐานปกติ นั่นคือสำหรับทุกค่าโดยที่${\displaystyle \|Ux\|_{2}=\|x\|_{2}}$${\displaystyle x\in \mathbb {C} ^{n}}$${\textstyle \|x\|_{2}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}}}}$
7. ${\displaystyle U}$เป็นเมทริกซ์ปกติ (หรือเทียบเท่ากับมีฐานเชิงตั้งฉากปกติที่เกิดจากเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของ) โดยที่ค่าลักษณะเฉพาะอยู่บนวงกลมหน่วย${\displaystyle U}$

รูปแบบทั่วไปอย่างหนึ่งของ เมทริกซ์เอกลักษณ์ขนาด 2 × 2คือ $${\displaystyle U={\begin{bmatrix}a&b\\-e^{i\varphi }b^{*}&e^{i\varphi }a^{*}\\\end{bmatrix}},\qquad \left|a\right|^{2}+\left|b\right|^{2}=1\ ,}$$

ซึ่งขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์จริง 4 ตัว (เฟสของa , เฟสของb , ขนาดสัมพัทธ์ระหว่างaและbและมุมφ ) และ * คือค่าสังยุคเชิงซ้อนรูปแบบถูกกำหนดค่าไว้เพื่อที่ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ดังกล่าวคือ $${\displaystyle \det(U)=e^{i\varphi }~.}$$

กลุ่มย่อยขององค์ประกอบเหล่านั้นเรียกว่ากลุ่มเอกภาพพิเศษ SU(2) ${\displaystyle U}$${\displaystyle \det(U)=1}$

ในบรรดารูปแบบทางเลือกต่างๆ เมทริกซ์Uสามารถเขียนได้ในรูปแบบนี้: $${\displaystyle \ U=e^{i\varphi /2}{\begin{bmatrix}e^{i\alpha }\cos \theta &e^{i\beta }\sin \theta \\-e^{-i\beta }\sin \theta &e^{-i\alpha }\cos \theta \\\end{bmatrix}}\ ,}$$

โดยที่และด้านบน และมุมสามารถมีค่าใดก็ได้ ${\displaystyle e^{i\alpha }\cos \theta =a}$${\displaystyle e^{i\beta }\sin \theta =b,}$${\displaystyle \varphi ,\alpha ,\beta ,\theta }$

โดยการแนะนำและมีการแยกตัวประกอบดังต่อไปนี้: ${\displaystyle \alpha =\psi +\delta }$${\displaystyle \beta =\psi -\delta ,}$

$${\displaystyle U=e^{i\varphi /2}{\begin{bmatrix}e^{i\psi }&0\\0&e^{-i\psi }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{i\delta }&0\\0&e^{-i\delta }\end{bmatrix}}~.}$$

นิพจน์นี้เน้นความสัมพันธ์ระหว่าง เมทริก ซ์ เอกภาพ2 × 2 และ เมทริกซ์เชิงตั้งฉาก2 × 2 ที่มีมุมθ

การแยกตัวประกอบอีกแบบหนึ่งคือ^{[ 5 ]}

$${\displaystyle U={\begin{bmatrix}\cos \rho &-\sin \rho \\\sin \rho &\;\cos \rho \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{i\xi }&0\\0&e^{i\zeta }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\;\cos \sigma &\sin \sigma \\-\sin \sigma &\cos \sigma \\\end{bmatrix}}~.}$$

การแยกตัวประกอบเมทริกซ์เอกลักษณ์ในเมทริกซ์พื้นฐานอื่นๆ อีกมากมายก็เป็นไปได้เช่นกัน^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]}

• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "เมทริกซ์เอกภาพ" . MathWorld . ท็อดด์ โรว์แลนด์.
• Ivanova, OA (2001) [1994], "เมทริกซ์เอกภาพ" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press
• "จงแสดงว่าค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์เอกลักษณ์มีค่าสัมบูรณ์เท่ากับ 1" Stack Exchange 28 มีนาคม 2016