ในทางคณิตศาสตร์วงแหวนของฟังก์ชันพหุนามบนปริภูมิเวกเตอร์Vเหนือฟิลด์kให้อนาล็อกที่ไม่ขึ้นกับพิกัดของวงแหวนพหุนามโดยใช้สัญลักษณ์k [ V ] ถ้าVมีมิติจำกัดและถูกมองว่าเป็นวาไรตี้เชิงพีชคณิตแล้วk [ V ] ก็คือวงแหวนพิกัดของVนั่นเอง

นิยามที่ชัดเจนของวงแหวนสามารถให้ได้ดังนี้ เมื่อกำหนดวงแหวนพหุนามเราสามารถมองว่าเป็นฟังก์ชันพิกัดบน; กล่าวคือโดยที่สิ่งนี้ชี้ให้เห็นดังต่อไปนี้: เมื่อกำหนดปริภูมิเวกเตอร์Vให้k [ V ] เป็นพีชคณิตkสลับที่ที่สร้างขึ้นโดยปริภูมิคู่ซึ่งเป็นวงแหวนย่อยของวงแหวนของฟังก์ชัน ทั้งหมด ถ้าเรากำหนดฐานสำหรับVและเขียนสำหรับฐานคู่ของมัน แล้วk [ V ]ประกอบด้วยพหุนามใน${\displaystyle k[t_{1},\dots ,t_{n}]}$${\displaystyle t_{i}}$${\displaystyle k^{n}}$${\displaystyle t_{i}(x)=x_{i}}$${\displaystyle x=(x_{1},\dots ,x_{n}).}$${\displaystyle V^{*}}$${\displaystyle V\to k}$${\displaystyle t_{i}}$${\displaystyle t_{i}}$

ถ้าkเป็นอนันต์ แล้วk [ V ] คือพีชคณิต สมมาตรของปริภูมิคู่${\displaystyle V^{*}}$

ในการใช้งานจริง เรายังกำหนดk [ V ] เมื่อVถูกกำหนดไว้บนฟิลด์ย่อยบางส่วนของk (เช่นkเป็น ฟิลด์ เชิงซ้อนและVเป็น ปริภูมิเวกเตอร์ จริง ) นิยามเดียวกันนี้ยังคงใช้ได้อยู่

ตลอดทั้งบทความนี้ เพื่อความง่าย เราจะถือว่าฟิลด์ฐานkมีค่าเป็นอนันต์

ให้A เป็นเซตของพหุนามทั้งหมดเหนือฟิลด์KและBเป็นเซตของฟังก์ชันพหุนามตัวแปรเดียวทั้งหมดเหนือKทั้งAและBเป็นพีชคณิตเหนือKที่กำหนดโดยการคูณและการบวกพหุนามและฟังก์ชันมาตรฐาน เราสามารถแมปแต่ละตัวในAไปยังในB ได้ โดยใช้กฎการตรวจสอบตามปกติแสดงให้เห็นว่าการแมปนี้เป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของพีชคณิตAและBโฮโมมอร์ฟิซึมนี้เป็นไอโซมอร์ฟิซึมก็ต่อเมื่อKเป็นฟิลด์อนันต์ ตัวอย่างเช่น ถ้าKเป็นฟิลด์จำกัด ให้pเป็นพหุนามที่ไม่เป็นศูนย์ในK [ x ] อย่างไรก็ตามสำหรับทุกtในK p ก็ เป็นฟังก์ชันศูนย์เช่นกัน และโฮโมมอร์ฟิซึมของเราไม่ใช่ไอโซมอร์ฟิซึม (และที่จริงแล้ว พีชคณิตทั้ง สองไม่เป็นไอโซมอร์ฟิกกัน เนื่องจากพีชคณิตของพหุนามเป็นอนันต์ ในขณะที่พีชคณิตของฟังก์ชันพหุนามเป็นจำกัด) ${\displaystyle A=K[x]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle {\hat {f}}}$${\displaystyle {\hat {f}}(t)=f(t)}$${\displaystyle f\mapsto {\หมวก {f}}}$${\displaystyle p(x)=\prod \limits _{t\in K}(xt)}$${\displaystyle p(t)=0}$${\displaystyle {\hat {p}}=0}$

ถ้าKเป็นอนันต์ ให้เลือกพหุนามfที่ทำให้เราต้องการแสดงว่าสิ่งนี้หมายความว่าให้และให้เป็น องค์ประกอบที่แตกต่างกัน n + 1 ตัวของKแล้วสำหรับและโดยการประมาณค่าแบบลากรางจ์เราจะได้ดังนั้นการแมปเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งเนื่องจากการแมปนี้เป็นฟังก์ชันทั่วถึง อย่างชัดเจน จึง เป็น ฟังก์ชัน หนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง และดังนั้นจึง เป็น ไอโซมอร์ฟิซึมเชิงพีชคณิตของAและB${\displaystyle {\hat {f}}=0}$${\displaystyle f=0}$${\displaystyle \deg f=n}$${\displaystyle t_{0},t_{1},\dots ,t_{n}}$${\displaystyle f(t_{i})=0}$${\displaystyle 0\leq i\leq n}$${\displaystyle f=0}$${\displaystyle f\mapsto {\หมวก {f}}}$

ให้kเป็นฟิลด์อนันต์ที่มีลักษณะ เฉพาะ เป็นศูนย์ (หรืออย่างน้อยก็มีค่ามาก) และVเป็นปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัด

ให้แทนปริมาณเวกเตอร์ของฟังก์ชันเชิงเส้นหลายตัวที่มีสมมาตร โดยที่จะมีค่าเหมือนกันสำหรับทุกการเรียงสับเปลี่ยนของ's ${\displaystyle S^{q}(V)}$${\displaystyle \textstyle \lambda :\prod _{1}^{q}V\to k}$${\displaystyle \lambda (v_{1},\dots ,v_{q})}$${\displaystyle v_{i}}$

ค่า λ ใดๆ ในจะทำให้เกิดฟังก์ชันพหุนามเอกพันธุ์fที่มีดีกรีq : เราเพียงแค่กำหนดให้เพื่อแสดงว่าfเป็นฟังก์ชันพหุนาม ให้เลือกฐานของVและฐานคู่ของมัน จากนั้น ${\displaystyle S^{q}(V)}$${\displaystyle f(v)=\lambda (v,\dots ,v)}$${\displaystyle e_{i},\,1\leq i\leq n}$${\displaystyle t_{i}}$

${\displaystyle \lambda (v_{1},\dots ,v_{q})=\sum _{i_{1},\dots ,i_{q}=1}^{n}\lambda (e_{i_{1}},\dots ,e_{i_{q}})t_{i_{1}}(v_{1})\cdots t_{i_{q}}(v_{q})}$,

ซึ่งหมายความว่าfเป็นพหุนามในt _i 's

ดังนั้น จึงมีแผนที่เชิงเส้น ที่กำหนดไว้อย่างชัดเจน :

${\displaystyle \phi :S^{q}(V)\to k[V]_{q},\,\phi (\lambda )(v)=\lambda (v,\cdots ,v)}$

เราแสดงให้เห็นว่ามันเป็นไอโซมอร์ฟิซึม โดยการเลือกฐานเช่นเดียวกับก่อนหน้านี้ ฟังก์ชันพหุนามเอกพันธุ์ใดๆfที่มีดีกรีqสามารถเขียนได้ดังนี้:

${\displaystyle f=\sum _{i_{1},\dots ,i_{q}=1}^{n}a_{i_{1}\cdots i_{q}}t_{i_{1}}\cdots t_{i_{q}}}$

โดยที่สมมาตรในให้ ${\displaystyle a_{i_{1}\cdots i_{q}}}$${\displaystyle i_{1},\dots ,i_{q}}$

${\displaystyle \psi (f)(v_{1},\dots ,v_{q})=\sum _{i_{1},\cdots ,i_{q}=1}^{n}a_{i_{1}\cdots i_{q}}t_{i_{1}}(v_{1})\cdots t_{i_{q}}(v_{q}).}$

เห็นได้ชัดว่าφ คือเอกลักษณ์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง φ เป็นฟังก์ชันทั่วถึง (surjective) เพื่อให้เห็นว่า φ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (injective) ให้สมมติว่า φ(λ) = 0 พิจารณา ${\displaystyle \phi \circ \psi }$

${\displaystyle \phi (\lambda )(t_{1}v_{1}+\cdots +t_{q}v_{q})=\lambda (t_{1}v_{1}+\cdots +t_{q}v_{q},...,t_{1}v_{1}+\cdots +t_{q}v_{q})}$,

ซึ่งก็คือศูนย์ สัมประสิทธิ์ของt ₁ t ₂ ... t _qในนิพจน์ข้างต้นคือq ! คูณ λ( v ₁ , ..., v _q ); ดังนั้น λ = 0

หมายเหตุ: φ ไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกฐาน ดังนั้นการพิสูจน์ข้างต้นแสดงให้เห็นว่า ψ ก็ไม่ขึ้นอยู่กับฐานเช่นกัน ซึ่งเป็นข้อเท็จจริงที่ไม่ชัดเจน ตั้งแต่แรก

ตัวอย่าง: ฟังก์ชันเชิงเส้นคู่ (bilinear functional) ก่อให้เกิดรูปแบบกำลังสอง (quadratic form)ในลักษณะเฉพาะ และรูปแบบกำลังสองใดๆ ก็เกิดขึ้นในลักษณะนี้เช่นกัน

เมื่อกำหนด ฟังก์ชัน เรียบแล้วในระดับท้องถิ่น เราสามารถหาอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันได้จาก การกระจาย อนุกรมเทย์เลอร์และในทางกลับกัน เราสามารถกู้คืนฟังก์ชันได้จากการกระจายอนุกรม ข้อเท็จจริงนี้ยังคงใช้ได้กับฟังก์ชันพหุนามบนปริภูมิเวกเตอร์ ถ้าfอยู่ในk [ V ] แล้วเราเขียนได้ว่า: สำหรับx , yในV ,

${\displaystyle f(x+y)=\sum _{n=0}^{\infty }g_{n}(x,y)}$

โดยที่g _n (x, y) เป็นฟังก์ชันเอกพันธุ์ดีกรีnในyและมีเพียงจำนวนจำกัดเท่านั้นที่ไม่เป็นศูนย์ จากนั้นเรากำหนด

${\displaystyle (P_{y}f)(x)=g_{1}(x,y),}$

ส่งผลให้เกิดเอนโดมอร์ฟิซึม เชิงเส้น P _yของk [ V ] เรียกว่าตัวดำเนินการโพลาไรเซชัน จากนั้นเราก็จะได้ตามที่สัญญาไว้:

พิสูจน์: ก่อนอื่นเราสังเกตว่า ( P _y f ) ( x ) คือสัมประสิทธิ์ของtในf ( x + t y ); กล่าวอีกนัยหนึ่ง เนื่องจากg ₀ ( x , y ) = g ₀ ( x , 0) = f ( x )

${\displaystyle P_{y}f(x)=\left.{d \over dt}\right|_{t=0}f(x+ty)}$

โดยที่ด้านขวามือ ตามนิยามแล้ว คือ

${\displaystyle \left.{f(x+ty)-f(x) \over t}\right|_{t=0}.}$

ทฤษฎีบทนี้ได้มาจากสิ่งนี้ ตัวอย่างเช่น สำหรับn = 2 เราจะได้ว่า:

${\displaystyle P_{y}^{2}f(x)=\left.{\partial \over \partial t_{1}}\right|_{t_{1}=0}P_{y}f(x+t_{1}y)=\left.{\partial \over \partial t_{1}}\right|_{t_{1}=0}\left.{\partial \over \partial t_{2}}\right|_{t_{2}=0}f(x+(t_{1}+t_{2})y)=2!g_{2}(x,y).}$

โดยทั่วไปแล้วกรณีนี้ก็คล้ายคลึงกัน${\displaystyle \square }$

When the polynomials are valued not over a field k, but over some algebra, then one may define additional structure. Thus, for example, one may consider the ring of functions over GL(n,m), instead of for k = GL(1,m). In this case, one may impose an additional axiom.

The operator product algebra is an associative algebra of the form

${\displaystyle A^{i}(x)B^{j}(y)=\sum _{k}f_{k}^{ij}(x,y,z)C^{k}(z)}$

The structure constants${\displaystyle f_{k}^{ij}(x,y,z)}$ are required to be single-valued functions, rather than sections of some vector bundle. The fields (or operators) ${\displaystyle A^{i}(x)}$ are required to span the ring of functions. In practical calculations, it is usually required that the sums be analytic within some radius of convergence; typically with a radius of convergence of ${\displaystyle |xy|}$. Thus, the ring of functions can be taken to be the ring of polynomial functions.

The above can be considered to be an additional requirement imposed on the ring; it is sometimes called the bootstrap. In physics, a special case of the operator product algebra is known as the operator product expansion.

• Algebraic geometry of projective spaces
• Polynomial ring
• Symmetric algebra
• Zariski tangent space