ในการวิเคราะห์เชิงตัวเลข พหุนามประมาณค่าแบบลากรางจ์เป็นพหุนาม ที่มี ดีกรีต่ำที่สุด เพียงหนึ่งเดียว ที่สามารถประมาณค่าชุดข้อมูลที่กำหนดได้

กำหนดให้ชุดข้อมูลคู่พิกัด⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle (x_{j},y_{j})}$โดยที่⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle x_{j}}$เรียกว่าจุดและ⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle y_{j}}$เรียกว่าค่าพหุนามลากรางจ์⁠ ⁠${\displaystyle L(x)}$ซึ่งประมาณค่าในช่วงข้อมูล จะถือว่าแต่ละค่าที่จุดที่สอดคล้องกัน⁠ ⁠ เป็น${\displaystyle \textstyle L(x_{j})=y_{j}}$ถ้ามี คู่ข้อมูล ⁠ ⁠${\displaystyle k+1}$คู่ พหุนามลากรางจ์จะมีดีกรี ⁠ ⁠${\displaystyle \leq k}$

แม้ว่าจะตั้งชื่อตามโจเซฟ-หลุยส์ ลากรองจ์ผู้ตีพิมพ์ในปี 1795 ^{[ 1 ]} แต่ วิธีการนี้ถูกค้นพบครั้งแรกในปี 1779 โดยเอ็ดเวิร์ด วอริ่ง [ ^{2 ] นอกจาก}นี้ยังเป็นผลลัพธ์ที่ง่ายจากสูตรที่ตีพิมพ์ในปี 1783 โดยเลออนฮาร์ด ออยเลอร์^{[ 3 ]}

การประยุกต์ใช้พหุนามลากรางจ์ ได้แก่ วิธีการอินทิเก รตเชิงตัวเลขของนิวตัน-โคทส์แผนการแบ่งปันความลับของชามีร์ในด้านการเข้ารหัสและการแก้ไขข้อผิดพลาดของรีด-โซโลมอนใน ทฤษฎี การ เข้ารหัส

สำหรับจุดที่มีระยะห่างเท่ากัน การประมาณค่าแบบลากรางจ์มีความเสี่ยงที่จะเกิดปรากฏการณ์การแกว่งตัวขนาดใหญ่แบบ รันจ์

กำหนดให้เซตของโหนด⁠ ⁠ ${\displaystyle k+1}$ซึ่งต้องแตกต่างกันทั้งหมดสำหรับดัชนี⁠ ⁠ ฐานลากรางจ์สำหรับพหุนามดีกรี⁠ ⁠สำหรับโหนดเหล่านั้นคือเซตของพหุนามแต่ละตัวดีกรี⁠ ⁠ซึ่งมีค่า⁠ ⁠ ถ้า ⁠ ⁠ และ ⁠ ⁠ โดยใช้เดลต้าโครเนกเกอร์สามารถเขียนได้ดังนี้⁠ ⁠ พหุนามฐานแต่ละตัวสามารถอธิบายได้อย่างชัดเจนด้วยผลคูณ: ${\displaystyle \{x_{0},x_{1},\ldots ,x_{k}\}}$${\displaystyle \textstyle x_{j}\neq x_{m}}$${\displaystyle j\neq m}$${\displaystyle \leq k}$${\displaystyle \textstyle \{\ell _{0}(x),\ell _{1}(x),\ldots ,\ell _{k}(x)\}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \textstyle \ell _{j}(x_{m})=0}$${\displaystyle m\neq j}$${\displaystyle \textstyle \ell _{j}(x_{j})=1}$${\displaystyle \textstyle \ell _{j}(x_{m})=\delta _{jm}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ell _{j}(x)&={\frac {(x-x_{0})}{(x_{j}-x_{0})}}\cdots {\frac {(x-x_{j-1})}{(x_{j}-x_{j-1})}}{\frac {(x-x_{j+1})}{(x_{j}-x_{j+1})}}\cdots {\frac {(x-x_{k})}{(x_{j}-x_{k})}}\\[8mu]&=\prod _{\begin{smallmatrix}0\leq m\leq k\\m\neq j\end{smallmatrix}}{\frac {x-x_{m}}{x_{j}-x_{m}}}{\vphantom {\Bigg |}}.\end{aligned}}}$$

โปรดสังเกตว่าตัวเศษมีราก${\displaystyle \textstyle \prod _{m\neq j}(x-x_{m})}$อยู่${\displaystyle k}$ที่จุดโหนดในขณะที่ตัวส่วนปรับขนาดพหุ นามที่ได้เพื่อให้${\displaystyle \textstyle \{x_{m}\}_{m\neq j}}$${\displaystyle \textstyle \prod _{m\neq j}(x_{j}-x_{m})}$${\displaystyle \textstyle \ell _{j}(x_{j})=1}$

พหุนามการประมาณค่าแบบลากรางจ์สำหรับจุดต่างๆ ผ่านค่า ที่สอดคล้องกัน คือการรวมเชิงเส้น : ${\displaystyle \{y_{0},y_{1},\ldots ,y_{k}\}}$

$${\displaystyle L(x)=\sum _{j=0}^{k}y_{j}\ell _{j}(x).}$$

พหุนามฐานแต่ละตัวมีดีกรี⁠ ⁠${\displaystyle k}$ดังนั้นผลรวม⁠ ⁠${\displaystyle L(x)}$จึง มีดีกรี⁠ ⁠${\displaystyle \leq k}$และเป็นการประมาณค่าในช่วงข้อมูลเนื่องจาก⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle L(x_{m})=\sum _{j=0}^{k}y_{j}\ell _{j}(x_{m})=\sum _{j=0}^{k}y_{j}\delta _{mj}=y_{m}}$

พหุนามที่ใช้ในการประมาณค่ามีเพียงหนึ่งเดียว พิสูจน์: สมมติว่ามีพหุนามดีกรี n บางตัวที่ใช้ประมาณค่า${\displaystyle M(x)}$ข้อมูล${\displaystyle \leq k}$ดังนั้นผลต่างจะเป็น${\displaystyle M(x)-L(x)}$ศูนย์ที่จุด${\displaystyle k+1}$ต่างกันแต่ พหุ นามดีกรี n เพียงตัวเดียวที่มี รากมากกว่าnคือฟังก์ชันศูนย์คงที่ ดังนั้นnหรือn${\textstyle \{x_{0},x_{1},\ldots ,x_{k}\}}$${\displaystyle \leq k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle M(x)-L(x)=0}$${\displaystyle M(x)=L(x)}$

พหุนามฐาน Lagrange แต่ละตัวสามารถเขียน${\displaystyle \textstyle \ell _{j}(x)}$ใหม่ได้เป็นผลคูณของสามส่วน ได้แก่ ฟังก์ชันที่ใช้ ร่วมกันในพหุนามฐานทุก ${\displaystyle \textstyle \ell (x)=\prod _{m}(x-x_{m})}$ตัว^ค่าคง${\displaystyle \textstyle w_{j}=\prod _{m\neq j}(x_{j}-x_{m})^{-1}}$ที่เฉพาะโหนด(เรียกว่าน้ำหนักแบรีเซนทริก ) และส่วนที่แสดงถึง^{การกระจัด}จากถึง${\displaystyle \textstyle x_{j}}$ : [ 4${\displaystyle x}$ ]

$${\displaystyle \ell _{j}(x)=\ell (x){\dfrac {w_{j}}{x-x_{j}}}}$$

โดยการดึงตัวประกอบออกจาก${\displaystyle \ell (x)}$ผลรวม เราสามารถเขียนพหุนามลากรางจ์ในรูปแบบที่เรียกว่ารูปแบบแบรีเซนทริกแรก ได้ :

$${\displaystyle L(x)=\ell (x)\sum _{j=0}^{k}{\frac {w_{j}}{x-x_{j}}}y_{j}.}$$

หาก ได้คำนวณน้ำหนักไว้ ล่วงหน้า แล้ว ขั้น ${\displaystyle \textstyle w_{j}}$ตอน นี้จะใช้การคำนวณเพียง ไม่กี่ครั้ง${\displaystyle {\mathcal {O}}(k)}$เมื่อเทียบกับการคำนวณพหุนามฐานลากรางจ์แต่ละตัวแยกกัน (ดูสัญลักษณ์ Big O ) ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {O}}(k^{2})}$${\displaystyle \textstyle \ell _{j}(x)}$

สูตรการประมาณค่า แบบ แบ รีเซนทริกสามารถปรับปรุงได้อย่างง่ายดายเพื่อรวมโหนดใหม่โดย${\displaystyle \textstyle x_{k+1}}$การหารแต่ละค่าด้วยและสร้างค่าใหม่${\displaystyle \textstyle w_{j}}$ดังที่กล่าวมาข้าง ต้น${\displaystyle j=0\dots k}$${\displaystyle \textstyle (x_{j}-x_{k+1})}$${\displaystyle \textstyle w_{k+1}}$

สำหรับx ใด ๆเนื่องจากฟังก์ชันคงที่คือพหุนามดีกรีเดียวที่แทรกข้อมูลดังนั้นเราจึงสามารถลดรูปสูตร barycentric ให้ง่ายขึ้นได้อีกโดยการหาร { :${\textstyle \sum _{j=0}^{k}\ell _{j}(x)=1}$${\textstyle g(x)=1}$${\displaystyle \leq k}$${\textstyle \{(x_{0},1),(x_{1},1),\ldots ,(x_{k},1)\}}$${\displaystyle L(x)=L(x)/g(x)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}L(x)&=\ell (x)\sum _{j=0}^{k}{\frac {w_{j}}{x-x_{j}}}y_{j}{\Bigg /}\ell (x)\sum _{j=0}^{k}{\frac {w_{j}}{x-x_{j}}}\\[10mu]&=\sum _{j=0}^{k}{\frac {w_{j}}{x-x_{j}}}y_{j}{\Bigg /}\sum _{j=0}^{k}{\frac {w_{j}}{x-x_{j}}}.\end{aligned}}}$$

นี่เรียกว่ารูปแบบที่สองหรือรูปแบบที่แท้จริงของสูตรการประมาณค่าแบบแบรีเซนทริก

รูปแบบที่สองนี้มีข้อดีในด้านต้นทุนการคำนวณและความแม่นยำ: มันหลีกเลี่ยงการประเมินค่า; งานในการคำนวณแต่ละพจน์ในตัวส่วนได้ดำเนินการไปแล้วในการคำนวณดังนั้นการคำนวณผลรวมในตัวส่วนจึงใช้เพียงแค่การดำเนินการบวกเท่านั้น สำหรับจุดประเมินค่าที่อยู่ใกล้กับโหนดใดโหนดหนึ่งการหักล้างกันอย่างรุนแรงมักจะเป็นปัญหาสำหรับค่าอย่างไรก็ตาม ปริมาณนี้ปรากฏทั้งในตัวเศษและตัวส่วน และทั้งสองจะหักล้างกัน ทำให้ได้ผลลัพธ์สุดท้ายที่มีความแม่นยำสัมพัทธ์ที่ดี ${\displaystyle \ell (x)}$${\displaystyle w_{j}/(x-x_{j})}$${\displaystyle {\bigl (}w_{j}/(x-x_{j}){\bigr )}y_{j}}$${\textstyle k}$${\textstyle x}$${\textstyle x_{j}}$${\textstyle (x-x_{j})}$

การใช้สูตรนี้ในการประเมินค่าที่โหนดใดโหนดหนึ่งจะทำให้ได้ผลลัพธ์ที่ไม่แน่นอนการใช้งานในคอมพิวเตอร์จะต้องแทนที่ผลลัพธ์ดังกล่าวด้วยวิธีการอื่น${\displaystyle L(x)}$${\displaystyle x_{j}}$${\displaystyle \infty y_{j}/\infty }$${\displaystyle L(x_{j})=y_{j}.}$

พหุนามฐานลากรางจ์แต่ละตัวสามารถเขียนในรูปแบบแบรีเซนทริกได้เช่นกัน:

$${\displaystyle \ell _{j}(x)={\frac {w_{j}}{x-x_{j}}}{\Bigg /}\sum _{m=0}^{k}{\frac {w_{m}}{x-x_{m}}}.}$$

การแก้ปัญหาการประมาณค่าในช่วงนำไปสู่ปัญหาในพีชคณิตเชิงเส้นซึ่งเทียบเท่ากับการหาเมทริกซ์ผกผัน หากใช้ฐานเอกนาม มาตรฐาน สำหรับพหุนามการประมาณค่าในช่วงเราต้องหาเมทริกซ์ผกผันของ Vandermondeเพื่อหาค่าสัมประสิทธิ์ของโดยการเลือกฐานที่ดีกว่า คือ ฐาน Lagrange เราจะได้เมทริกซ์เอกลักษณ์ซึ่งเป็นเมทริกซ์ผกผันของตัวเอง: ฐาน Lagrange จะหาเมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์ Vandermonde โดยอัตโนมัติ${\textstyle L(x)=\sum _{j=0}^{k}x^{j}m_{j}}$${\displaystyle (x_{i})^{j}}$${\displaystyle L(x_{i})=y_{i}}$${\displaystyle m_{j}}$${\displaystyle L(x)}$${\textstyle L(x)=\sum _{j=0}^{k}l_{j}(x)y_{j}}$${\displaystyle \delta _{ij}}$

โครงสร้างนี้คล้ายคลึงกับทฤษฎีบทเศษเหลือของจีนแทนที่จะตรวจสอบเศษเหลือของการหารจำนวนเต็มด้วยจำนวนเฉพาะ เราจะตรวจสอบเศษเหลือของการหารพหุนามด้วยตัวหารเชิงเส้น

นอกจากนี้ เมื่อลำดับมีขนาดใหญ่การแปลงฟูริเยร์แบบเร็ว (Fast Fourier Transformation)สามารถนำมาใช้เพื่อหาค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนามที่แทรกเข้าไปได้

เราต้องการทำการประมาณค่าในช่วงโดเมนณ จุดทั้งสามจุด:${\displaystyle f(x)=x^{2}}$${\displaystyle 1\leq x\leq 3}$${\displaystyle \{1,\,2,\,3\}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{0}&=1,&&&y_{0}=f(x_{0})&=1,\\[3mu]x_{1}&=2,&&&y_{1}=f(x_{1})&=4,\\[3mu]x_{2}&=3,&&&y_{2}=f(x_{2})&=9.\end{aligned}}}$$

พหุนามโหนดคือ ${\displaystyle \ell }$$${\displaystyle \ell (x)=(x-1)(x-2)(x-3)=x^{3}-6x^{2}+11x-6.}$$

น้ำหนักบารีเซนทริกคือ $${\displaystyle {\begin{aligned}w_{0}&=(1-2)^{-1}(1-3)^{-1}={\tfrac {1}{2}},\\[3mu]w_{1}&=(2-1)^{-1}(2-3)^{-1}=-1,\\[3mu]w_{2}&=(3-1)^{-1}(3-2)^{-1}={\tfrac {1}{2}}.\end{aligned}}}$$

พหุนามฐานลากรางจ์คือ

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ell _{0}(x)&={\frac {x-2}{1-2}}\cdot {\frac {x-3}{1-3}}={\tfrac {1}{2}}x^{2}-{\tfrac {5}{2}}x+3,\\[5mu]\ell _{1}(x)&={\frac {x-1}{2-1}}\cdot {\frac {x-3}{2-3}}=-x^{2}+4x-3,\\[5mu]\ell _{2}(x)&={\frac {x-1}{3-1}}\cdot {\frac {x-2}{3-2}}={\tfrac {1}{2}}x^{2}-{\tfrac {3}{2}}x+1.\end{aligned}}}$$

พหุนามการประมาณค่าแบบลากรางจ์คือ: $${\displaystyle {\begin{aligned}L(x)&=y_{0}\cdot \ell _{0}(x)+y_{1}\cdot \ell _{1}(x)+y_{2}\cdot \ell _{2}(x)=x^{2}.\end{aligned}}}$$

ในรูปแบบแบรีเซนทริก (แบบที่สอง)

$${\displaystyle L(x)={\frac {\displaystyle \sum _{j=0}^{2}{\frac {w_{j}}{x-x_{j}}}y_{j}}{\displaystyle \sum _{j=0}^{2}{\frac {w_{j}}{x-x_{j}}}}}={\frac {\displaystyle {\frac {\tfrac {1}{2}}{x-1}}+{\frac {-4}{x-2}}+{\frac {\tfrac {9}{2}}{x-3}}}{\displaystyle {\frac {\tfrac {1}{2}}{x-1}}+{\frac {-1}{x-2}}+{\frac {\tfrac {1}{2}}{x-3}}}}.}$$

รูปแบบลากรางจ์ของพหุนามการประมาณค่าแสดงให้เห็นถึงลักษณะเชิงเส้นของการประมาณค่าด้วยพหุนามและความเป็นเอกลักษณ์ของพหุนามการประมาณค่า ดังนั้นจึงนิยมใช้ในการพิสูจน์และการให้เหตุผลเชิงทฤษฎี ความเป็นเอกลักษณ์ยังสามารถเห็นได้จากความสามารถในการผกผันของเมทริกซ์แวนเดอร์มอนด์ เนื่องจากการดีเทอร์มิแนนต์ของแวนเดอร์มอนด์ไม่เป็น ศูนย์

แต่ดังที่เห็นได้จากโครงสร้าง ทุกครั้งที่โหนดx _kเปลี่ยนแปลง พหุนามฐานลากรางจ์ทั้งหมดจะต้องถูกคำนวณใหม่ รูปแบบที่ดีกว่าของพหุนามการประมาณค่าในช่วงสำหรับการใช้งานจริง (หรือการคำนวณ) คือรูปแบบแบรีเซนทริกของการประมาณค่าในช่วงลากรางจ์ (ดูด้านล่าง) หรือพหุนามนิวตัน

การแทรกสอดแบบ Lagrange และการแทรกสอดอื่นๆ ที่จุดเว้นระยะห่างเท่ากัน ดังตัวอย่างข้างต้น จะให้พหุนามที่แกว่งไปมาเหนือและใต้ฟังก์ชันจริง พฤติกรรมนี้มีแนวโน้มที่จะเพิ่มขึ้นตามจำนวนจุด ทำให้เกิดความแตกต่างที่เรียกว่าปรากฏการณ์ Rungeปัญหานี้สามารถกำจัดได้โดยการเลือกจุดแทรกสอดที่โหนด Chebyshev ^{[ 5 ]}

สามารถใช้พหุนามฐานลากรางจ์ในการอินทิเกรตเชิงตัวเลขเพื่อหาอนุพันธ์ของสูตรนิวตัน-โคเตสได้

เมื่อทำการประมาณค่าฟังก์ชันf ที่กำหนด โดยใช้พหุนามดีกรีkที่จุดโหนดเราจะได้ส่วนที่เหลือซึ่งสามารถแสดงได้ดังนี้^{[ 6 ]}${\displaystyle x_{0},\dots ,x_{k}}$${\displaystyle R(x)=f(x)-L(x)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}R(x)&=f[x_{0},\ldots ,x_{k},x]\ell (x)\\[1ex]&=\ell (x){\frac {f^{(k+1)}(\xi )}{(k+1)!}},&x_{0}<\xi <x_{k},\end{aligned}}}$$

สัญลักษณ์ที่ใช้แทนผลต่างหาร คือ หรืออีกทางหนึ่ง เศษเหลือสามารถแสดงได้ในรูปอินทิกรัลเส้นโค้งในโดเมนเชิงซ้อนดังนี้ ${\displaystyle f[x_{0},\ldots ,x_{k},x]}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}R(x)&={\frac {\ell (x)}{2\pi i}}\int _{C}{\frac {f(t)}{(t-x)(t-x_{0})\cdots (t-x_{k})}}dt\\[1ex]&={\frac {\ell (x)}{2\pi i}}\int _{C}{\frac {f(t)}{(t-x)\ell (t)}}dt.\end{aligned}}}$$

ส่วนที่เหลือสามารถผูกมัดได้ดังนี้

$${\displaystyle |R(x)|\leq {\frac {(x_{k}-x_{0})^{k+1}}{(k+1)!}}\max _{x_{0}\leq \xi \leq x_{k}}|f^{(k+1)}(\xi )|.}$$

เห็นได้ชัดว่าเป็นศูนย์ที่จุดโหนด ในการหาที่จุดให้กำหนดฟังก์ชันใหม่และเลือกโดยที่เป็นค่าคงที่ที่เราต้องหาค่าสำหรับ ที่กำหนดเราเลือกเพื่อให้มีศูนย์ (ที่ทุกโหนด และ) ระหว่างและ(รวมถึงจุดปลาย) สมมติว่าสามารถหาอนุพันธ์ได้ ครั้ง เนื่องจากและเป็นพหุนาม ดังนั้น จึงสามารถหาอนุพันธ์ได้ไม่จำกัดครั้ง ดังนั้นจะสามารถหาอนุพันธ์ได้ ครั้ง ตามทฤษฎีบทของโรลล์มีศูนย์มีศูนย์... มีศูนย์ 1 จุด สมมติว่า โดยที่เขียนอย่างชัดเจนว่า :${\displaystyle R(x)}$${\displaystyle R(x)}$${\displaystyle x_{p}}$${\displaystyle F(x)=R(x)-{\tilde {R}}(x)=f(x)-L(x)-{\tilde {R}}(x)}$${\textstyle {\tilde {R}}(x)=C\cdot \prod _{i=0}^{k}(x-x_{i})}$${\displaystyle C}$${\displaystyle x_{p}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle F(x)}$${\displaystyle k+2}$${\displaystyle x_{p}}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x_{k}}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle k+1}$${\displaystyle L(x)}$${\displaystyle {\tilde {R}}(x)}$${\displaystyle F(x)}$${\displaystyle k+1}$${\displaystyle F^{(1)}(x)}$${\displaystyle k+1}$${\displaystyle F^{(2)}(x)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle F^{(k+1)}}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle x_{0}<\xi <x_{k}}$${\displaystyle F^{(k+1)}(\xi )}$

$${\displaystyle F^{(k+1)}(\xi )=f^{(k+1)}(\xi )-L^{(k+1)}(\xi )-{\tilde {R}}^{(k+1)}(\xi )}$$$${\displaystyle L^{(k+1)}=0,{\tilde {R}}^{(k+1)}=C\cdot (k+1)!}$$(เพราะกำลังสูงสุดของin คือ) ${\displaystyle x}$${\displaystyle {\tilde {R}}(x)}$${\displaystyle k+1}$

$${\displaystyle 0=f^{(k+1)}(\xi )-C\cdot (k+1)!}$$

สมการสามารถจัดเรียงใหม่ได้ดังนี้^{[ 7 ]}

$${\displaystyle C={\frac {f^{(k+1)}(\xi )}{(k+1)!}}}$$ เนื่องจากเรามี${\displaystyle F(x_{p})=0}$${\displaystyle R(x_{p})={\tilde {R}}(x_{p})={\frac {f^{k+1}(\xi )}{(k+1)!}}\prod _{i=0}^{k}(x_{p}-x_{i})}$

อนุพันธ์อันดับที่dของพหุนามประมาณค่าแบบลากรางจ์สามารถเขียนได้ในรูปของอนุพันธ์ของพหุนามพื้นฐาน

$${\displaystyle L^{(d)}(x):=\sum _{j=0}^{k}y_{j}\ell _{j}^{(d)}(x).}$$

โปรดจำไว้ (ดูหัวข้อ § คำจำกัดความด้านบน) ว่าพหุนามฐานลากรางจ์แต่ละตัวคือ

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ell _{j}(x)&=\prod _{\begin{smallmatrix}m=0\\m\neq j\end{smallmatrix}}^{k}{\frac {x-x_{m}}{x_{j}-x_{m}}}.\end{aligned}}}$$

สามารถหาอนุพันธ์อันดับแรกได้โดยใช้กฎการคูณ :

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ell _{j}'(x)&=\sum _{\begin{smallmatrix}i=0\\i\not =j\end{smallmatrix}}^{k}{\Biggl [}{\frac {1}{x_{j}-x_{i}}}\prod _{\begin{smallmatrix}m=0\\m\not =(i,j)\end{smallmatrix}}^{k}{\frac {x-x_{m}}{x_{j}-x_{m}}}{\Biggr ]}\\[5mu]&=\ell _{j}(x)\sum _{\begin{smallmatrix}i=0\\i\not =j\end{smallmatrix}}^{k}{\frac {1}{x-x_{i}}}.\end{aligned}}}$$

อนุพันธ์อันดับสองคือ

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ell _{j}''(x)&=\sum _{\begin{smallmatrix}i=0\\i\neq j\end{smallmatrix}}^{k}{\frac {1}{x_{j}-x_{i}}}{\Biggl [}\sum _{\begin{smallmatrix}m=0\\m\neq (i,j)\end{smallmatrix}}^{k}{\Biggl (}{\frac {1}{x_{j}-x_{m}}}\prod _{\begin{smallmatrix}n=0\\n\neq (i,j,m)\end{smallmatrix}}^{k}{\frac {x-x_{n}}{x_{j}-x_{n}}}{\Biggr )}{\Biggr ]}\\[10mu]&=\ell _{j}(x)\sum _{0\leq i<m\leq k}{\frac {2}{(x-x_{i})(x-x_{m})}}\\[10mu]&=\ell _{j}(x){\Biggl [}{\Biggl (}\sum _{\begin{smallmatrix}i=0\\i\not =j\end{smallmatrix}}^{k}{\frac {1}{x-x_{i}}}{\Biggr )}^{2}-\sum _{\begin{smallmatrix}i=0\\i\not =j\end{smallmatrix}}^{k}{\frac {1}{(x-x_{i})^{2}}}{\Biggr ]}.\end{aligned}}}$$

อนุพันธ์อันดับสามคือ

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ell _{j}'''(x)&=\ell _{j}(x)\sum _{0\leq i<m<n\leq k}{\frac {3!}{(x-x_{i})(x-x_{m})(x-x_{n})}}\end{aligned}}}$$

และเช่นเดียวกันสำหรับอนุพันธ์อันดับสูงกว่า

โปรดทราบว่าสูตรอนุพันธ์ทั้งหมดนี้ใช้ไม่ได้ที่จุดโหนดหรือบริเวณใกล้เคียง วิธีการประเมินอนุพันธ์ทุกอันดับของพหุนามลากรางจ์อย่างมีประสิทธิภาพที่ทุกจุดของโดเมน รวมถึงจุดโหนด คือการแปลงพหุนามลากรางจ์ให้อยู่ในรูปฐานกำลัง แล้วจึงประเมินอนุพันธ์

พหุนามลากรางจ์สามารถคำนวณได้ในฟิลด์จำกัด เช่นกัน ซึ่งมีประโยชน์ในด้านการเข้ารหัสลับเช่น ในแผนการ แบ่งปันความลับของชามีร์

ในวิกิบุ๊คเรื่องการนำอัลกอริทึมไปใช้ มีหน้าหนึ่งที่กล่าวถึงหัวข้อ: การประมาณค่าแบบพหุนาม

• "สูตรการแทรกสอดของลากรางจ์" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
• ALGLIBมีการใช้งานในภาษา C++ / C# / VBA / Pascal
• GSLมีโค้ดการประมาณค่าแบบพหุนามในภาษาซี
• SOมีตัวอย่าง MATLAB ที่สาธิตอัลกอริธึมและสร้างภาพแรกในบทความนี้ขึ้นมาใหม่
• วิธีการประมาณค่าแบบลากรางจ์ — บันทึกย่อ, สไลด์นำเสนอ, Mathcad, Mathematica, MATLAB, Maple
• พหุนามการประมาณค่าแบบลากรางจ์บนเว็บไซต์ www.math-linux.com
• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "พหุนามแทรกสอดลากรางจ์" . MathWorld .
• ฟังก์ชันในเวิร์กชีต Excel สำหรับการประมาณค่าแบบ Bicubic Lagrange
• พหุนามลากรางจ์ใน Python