ในทางคณิตศาสตร์การประมาณค่าอนุพันธ์ด้วยความแม่นยำระดับใดก็ตาม สามารถใช้ผลต่างจำกัดได้ ผลต่างจำกัดอาจเป็นแบบศูนย์กลาง แบบไป ข้างหน้าหรือแบบย้อนกลับก็ได้

ตารางนี้ประกอบด้วยสัมประสิทธิ์ของ ความแตกต่าง ส่วนกลางสำหรับลำดับความแม่นยำหลายลำดับและด้วยระยะห่างกริดที่สม่ำเสมอ: ^{[ 1 ]}

ตัวอย่างเช่น อนุพันธ์อันดับสามที่มีความแม่นยำอันดับสองคือ

${\displaystyle f'''(x_{0})\approx {\frac {-{\frac {1}{2}}f(x_{-2})+f(x_{-1})-f(x_{+1})+{\frac {1}{2}}f(x_{+2})}{h_{x}^{3}}}+O\left(h_{x}^{2}\right),}$

โดยที่แทนระยะห่างของตารางที่สม่ำเสมอระหว่างช่วงผลต่างจำกัดแต่ละช่วง และ. ${\displaystyle h_{x}}$${\displaystyle x_{n}=x_{0}+nh_{x}}$

สำหรับอนุพันธ์อันดับที่ n ที่มีความแม่นยำn จะมีสัมประสิทธิ์ศูนย์กลาง n ตัว ซึ่งได้มาจากการแก้ระบบสมการเชิงเส้น ${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 2p+1=2\left\lfloor {\frac {m+1}{2}}\right\rfloor -1+n}$${\displaystyle a_{-p},a_{-p+1},...,a_{p-1},a_{p}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1&...&1&1\\-p&-p+1&...&p-1&p\\(-p)^{2}&(-p+1)^{2}&...&(p-1)^{2}&p^{2}\\...&...&...&...&...&...\\...&...&...&...&...&...\\...&...&...&...\\(-p)^{2p}&(-p+1)^{2p}&...&(p-1)^{2p}&p^{2p}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{-p}\\a_{-p+1}\\a_{-p+2}\\...\\...\\...\\a_{p}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\...\\m!\\...\\0\end{pmatrix}},}$

โดยค่าที่ไม่เป็นศูนย์เพียงค่าเดียวทางด้านขวามือนั้นอยู่ในแถวที่ -th ${\displaystyle (m+1)}$

มีการใช้งานแบบโอเพนซอร์สสำหรับการคำนวณสัมประสิทธิ์ความแตกต่างจำกัดของอนุพันธ์และลำดับความแม่นยำใดๆ ในมิติเดียว^{[ 2 ]} เนื่องจากเมทริกซ์ด้านซ้ายมือเป็นเมทริกซ์ Vandermonde ที่ถูกสลับ ตำแหน่ง การจัดเรียงใหม่เผยให้เห็นว่าสัมประสิทธิ์นั้นคำนวณโดยพื้นฐานแล้วโดยการปรับและหาอนุพันธ์ของพหุนามลำดับที่ n ไปยังหน้าต่างของจุด ดังนั้น สัมประสิทธิ์จึงสามารถคำนวณได้เป็นอนุพันธ์ลำดับที่ n ของตัวกรอง Savitzky–Golay ที่กำหนดอย่างสมบูรณ์ ด้วยดีกรีพหุนามและขนาดหน้าต่างn สำหรับสิ่งนี้ มีการใช้งานแบบโอเพนซอร์สเช่นกัน^{[ 3 ]}มีคำจำกัดความที่เป็นไปได้สองแบบที่แตกต่างกันในลำดับของสัมประสิทธิ์: ตัวกรองสำหรับการกรองผ่านการสังเคราะห์แบบไม่ต่อเนื่องหรือผ่านผลคูณเมทริกซ์-เวกเตอร์สัมประสิทธิ์ที่ให้ไว้ในตารางด้านบนสอดคล้องกับคำจำกัดความหลัง ${\displaystyle \mathbf {J} ^{T}}$${\displaystyle 2p}$${\displaystyle 2p+1}$${\displaystyle m}$${\displaystyle 2p}$${\displaystyle 2p+1}$

ทฤษฎีพหุนามลากรางจ์ให้สูตรที่ชัดเจนสำหรับสัมประสิทธิ์ความแตกต่างจำกัด^{[ 4 ]}สำหรับอนุพันธ์หกตัวแรก เรามีดังต่อไปนี้:

อนุพันธ์	${\displaystyle a_{0}}$	${\displaystyle a_{p}(p\neq 0)}$
1	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {1!(-1)^{p+1}(n!)^{2}}{p(n-p)!(n+p)!}}}$
2	${\displaystyle -2H_{n,2}}$	${\displaystyle {\frac {2!(-1)^{p+1}(n!)^{2}}{p^{2}(n-p)!(n+p)!}}}$
3	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {3!(-1)^{p+1}(n!)^{2}}{p^{3}(n-p)!(n+p)!}}(1-p^{2}H_{n,2})}$
4	${\displaystyle 12(H_{n,2}^{2}-H_{n,4})}$	${\displaystyle {\frac {4!(-1)^{p+1}(n!)^{2}}{p^{4}(n-p)!(n+p)!}}(1-p^{2}H_{n,2})}$
5	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {5!(-1)^{p+1}(n!)^{2}}{p^{5}(n-p)!(n+p)!}}\left(1-p^{2}H_{n,2}+{\frac {p^{4}}{2}}(H_{n,2}^{2}-H_{n,4})\right)}$
6	${\displaystyle -120H_{n,2}^{3}+360H_{n,2}H_{n,4}-120H_{n,6}}$	${\displaystyle {\frac {6!(-1)^{p+1}(n!)^{2}}{p^{6}(n-p)!(n+p)!}}\left(1-p^{2}H_{n,2}+{\frac {p^{4}}{2}}(H_{n,2}^{2}-H_{n,4})\right)}$

เลขฮาร์มอนิกทั่วไป อยู่ที่ไหน${\displaystyle H_{n,m}}$

ตารางนี้ประกอบด้วยสัมประสิทธิ์ของ ผลต่างไป ข้างหน้าสำหรับลำดับความแม่นยำหลายลำดับและด้วยระยะห่างกริดสม่ำเสมอ: ^{[ 1 ]}

ตัวอย่างเช่น อนุพันธ์อันดับแรกที่มีความแม่นยำอันดับสาม และอนุพันธ์อันดับสองที่มีความแม่นยำอันดับสอง คือ

${\displaystyle \displaystyle f'(x_{0})\approx \displaystyle {\frac {-{\frac {11}{6}}f(x_{0})+3f(x_{+1})-{\frac {3}{2}}f(x_{+2})+{\frac {1}{3}}f(x_{+3})}{h_{x}}}+O\left(h_{x}^{3}\right),}$

${\displaystyle \displaystyle f''(x_{0})\approx \displaystyle {\frac {2f(x_{0})-5f(x_{+1})+4f(x_{+2})-f(x_{+3})}{h_{x}^{2}}}+O\left(h_{x}^{2}\right),}$

ในขณะที่ค่าประมาณย้อนกลับที่สอดคล้องกันนั้นกำหนดโดย

${\displaystyle \displaystyle f'(x_{0})\approx \displaystyle {\frac {{\frac {11}{6}}f(x_{0})-3f(x_{-1})+{\frac {3}{2}}f(x_{-2})-{\frac {1}{3}}f(x_{-3})}{h_{x}}}+O\left(h_{x}^{3}\right),}$

${\displaystyle \displaystyle f''(x_{0})\approx \displaystyle {\frac {2f(x_{0})-5f(x_{-1})+4f(x_{-2})-f(x_{-3})}{h_{x}^{2}}}+O\left(h_{x}^{2}\right),}$

เพื่อให้ได้สัมประสิทธิ์ของ การประมาณย้อน หลังจากสัมประสิทธิ์ของการประมาณไปข้างหน้า ให้กำหนด เครื่องหมายตรงข้ามให้กับอนุพันธ์ คี่ ทั้งหมด ที่ระบุไว้ในตารางในส่วนก่อนหน้า ในขณะที่ อนุพันธ์ คู่จะมีเครื่องหมายเหมือนเดิม ตารางต่อไปนี้แสดงให้เห็นสิ่งนี้: ^{[ 5 ]}

สำหรับจุดสเตนซิลใดๆและอนุพันธ์ใดๆ ที่มีอันดับไม่เกินหนึ่งน้อยกว่าจำนวนจุดสเตนซิล สัมประสิทธิ์ความแตกต่างจำกัดสามารถหาได้โดยการแก้สมการเชิงเส้น^{[ 6 ]}${\displaystyle \displaystyle N}$${\displaystyle \displaystyle s}$${\displaystyle \displaystyle d<N}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}s_{1}^{0}&\cdots &s_{N}^{0}\\\vdots &\ddots &\vdots \\s_{1}^{N-1}&\cdots &s_{N}^{N-1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{N}\end{pmatrix}}=d!{\begin{pmatrix}\delta _{0,d}\\\vdots \\\delta _{i,d}\\\vdots \\\delta _{N-1,d}\end{pmatrix}},}$

โดยที่เดลต้าโครเนกเกอร์มีค่าเท่ากับหนึ่งถ้าและเป็นศูนย์ในกรณีอื่น ๆ ${\displaystyle \delta _{i,j}}$${\displaystyle i=j}$

ตัวอย่างเช่น สำหรับลำดับของการหาอนุพันธ์: ${\displaystyle s=[-3,-2,-1,0,1]}$${\displaystyle d=4}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\a_{4}\\a_{5}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\-3&-2&-1&0&1\\9&4&1&0&1\\-27&-8&-1&0&1\\81&16&1&0&1\\\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\24\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\-4\\6\\-4\\1\end{pmatrix}}.}$

ลำดับความแม่นยำของการประมาณค่าจะมีรูปแบบปกติ(หรือดีกว่าในกรณีของวิธีผลต่างจำกัดแบบศูนย์กลาง) ${\displaystyle O\left(h_{x}^{(N-d)}\right)}$

• วิธีผลต่างจำกัด
• ผลต่างจำกัด
• สเตนซิลห้าจุด
• การหาอนุพันธ์เชิงตัวเลข