ในการวิเคราะห์เชิง ตัวเลข อัลกอริทึมการหา อนุพันธ์ เชิงตัวเลข จะประมาณค่า อนุพันธ์ของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์หรือซับรูทีนโดยใช้ค่าของฟังก์ชันนั้น แตกต่างจากการหาอนุพันธ์เชิงวิเคราะห์ซึ่งให้สูตรที่แน่นอนสำหรับอนุพันธ์ การหาอนุพันธ์เชิงตัวเลขอาศัยค่าของฟังก์ชัน ณ จุดต่างๆ เพื่อประมาณค่าอนุพันธ์ ณ จุดเหล่านั้นหรือจุดระหว่างกลาง วิธีนี้มีประโยชน์อย่างยิ่งเมื่อต้องจัดการกับข้อมูลที่ได้จากการทดลอง การจำลอง หรือสถานการณ์ที่ฟังก์ชันถูกกำหนดไว้เฉพาะในช่วงเวลาที่กำหนดเท่านั้น

วิธีที่ง่ายที่สุดคือการใช้การประมาณค่าความแตกต่างจำกัด

การประมาณค่าแบบสองจุดอย่างง่ายคือการคำนวณความชันของเส้นตัด ใกล้เคียงที่ ผ่านจุด( x , f ( x ))และ( x  +  h , f ( x  +  h )) ^{[ 1} ] การเลือกจำนวนเล็กน้อยhซึ่งh แทน ^การเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในxและอาจเป็นบวกหรือลบก็ได้ ความชันของเส้นนี้คือ นิพจน์นี้คือผลหารต่างของนิวตัน (หรือที่รู้จักกันในชื่อ ผลหารต่างอันดับแรก) $${\displaystyle {\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}.}$$

เพื่อให้ได้ค่าประมาณความคลาดเคลื่อนสำหรับการประมาณค่านี้ เราสามารถใช้การกระจายอนุกรมเทย์เลอร์ของ f รอบจุดฐานเพื่อให้ได้ ค่า f สำหรับบางค่าระหว่าง h และh เมื่อจัดเรียงใหม่จะได้ ความชันของเส้นตัดนี้แตกต่างจากความชันของเส้นสัมผัสในปริมาณที่แปรผันตรงกับh โดยประมาณ เมื่อhเข้าใกล้ศูนย์ ความชันของเส้นตัดจะเข้าใกล้ความชันของเส้นสัมผัส และพจน์ความคลาดเคลื่อนจะหายไป ดังนั้นอนุพันธ์ที่แท้จริงของfที่xคือลิมิตของค่าผลหารส่วนต่างเมื่อเส้นตัดเข้าใกล้เส้นสัมผัสมากขึ้นเรื่อยๆ ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x}$$${\displaystyle f(x+h)=f(x)+hf'(x)+{\frac {h^{2}}{2}}f''(c)}$$${\displaystyle c}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x+h}$$${\displaystyle f'(x)=\underbrace {\frac {f(x+h)-f(x)}{h}} _{\text{Slope of secant line}}-\underbrace {{\frac {h}{2}}f''(c)} _{\text{Error term}}.}$$$${\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}.}$$

เนื่องจากการแทนค่า 0 ลงในh ทันที จะทำให้ได้รูปแบบที่ไม่แน่นอนการคำนวณอนุพันธ์โดยตรงจึงอาจทำได้ยาก ${\displaystyle {\frac {0}{0}}}$

ในทำนองเดียวกัน สามารถประมาณความชันได้โดยใช้ตำแหน่ง x  −  hและx

สูตรสองจุดอีกสูตรหนึ่งคือการคำนวณความชันของเส้นตัดใกล้เคียงที่ลากผ่านจุด( x  −  h , f ( x  −  h ))และ( x  +  h , f ( x  +  h ))ความชันของเส้นนี้คือ $${\displaystyle {\frac {f(x+h)-f(x-h)}{2h}}.}$$

สูตรนี้เรียกว่าผลหารความแตกต่างสมมาตรในกรณีนี้ ข้อผิดพลาดอันดับแรกจะหักล้างกัน ดังนั้น ความชันของเส้นตัดเหล่านี้จะแตกต่างจากความชันของเส้นสัมผัสในปริมาณที่แปรผันตรงกับดังนั้น สำหรับค่าh น้อยๆ วิธีนี้จึงเป็นการประมาณเส้นสัมผัสที่แม่นยำกว่าการประมาณแบบด้านเดียว อย่างไรก็ตาม แม้ว่าจะคำนวณความชันที่xแต่ค่าของฟังก์ชันที่x นั้นไม่ได้เกี่ยวข้องด้วย ${\displaystyle h^{2}}$

ข้อผิดพลาดในการประมาณค่าคำนวณได้จากสูตร โดย ที่เป็นจุดใดจุดหนึ่งระหว่างและข้อผิดพลาดนี้ไม่รวมข้อผิดพลาดจากการปัดเศษเนื่องจากตัวเลขที่แสดงและการคำนวณมีความแม่นยำจำกัด $${\displaystyle R={\frac {-f^{(3)}(c)}{6}}h^{2},}$$${\displaystyle c}$${\displaystyle x-h}$${\displaystyle x+h}$

อัตราส่วนผลต่างสมมาตรถูกนำมาใช้เป็นวิธีการประมาณค่าอนุพันธ์ในเครื่องคิดเลขหลายเครื่อง รวมถึงTI-82 , TI-83 , TI-84 , TI-85ซึ่งทั้งหมดนี้ใช้วิธีนี้กับh  = 0.001 ^{[ 2 ] [ 3 ]}

สิ่งสำคัญที่ควรพิจารณาในทางปฏิบัติเมื่อคำนวณฟังก์ชันโดยใช้เลขคณิตจุดลอยตัวที่มีความแม่นยำจำกัด คือ การเลือกขนาดขั้นตอนhเพื่อเป็นตัวอย่าง ลองพิจารณาสูตรการประมาณค่าแบบสองจุดที่มีพจน์ความคลาดเคลื่อน:

$${\displaystyle f'(x)={\frac {f(x+h)-f(x-h)}{2h}}-{\frac {f^{(3)}(c)}{6}}h^{2}}$$

โดยที่เป็นจุดใดจุดหนึ่งระหว่างและให้แทนค่าความคลาดเคลื่อนจากการปัดเศษที่เกิดขึ้นเมื่อประเมินฟังก์ชันและแทนค่าที่คำนวณได้ของดังนั้น ความคลาดเคลื่อนทั้งหมดในการประมาณค่าคือ สมมติว่าความคลาดเคลื่อนจากการปัดเศษมีค่าจำกัดโดยจำนวนใดจำนวนหนึ่งและอนุพันธ์อันดับสามของมีค่าจำกัดโดยจำนวนใดจำนวนหนึ่งเราจะได้ ${\displaystyle c}$${\displaystyle x-h}$${\displaystyle x+h}$${\displaystyle e(x)}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle {\hat {f}}(x)}$${\displaystyle f(x)}$$${\displaystyle f(x)={\hat {f}}(x)+e(x).}$$$${\displaystyle f'(x)-{\frac {{\hat {f}}(x+h)-{\hat {f}}(x-h)}{2h}}=\underbrace {\frac {e(x+h)-e(x-h)}{2h}} _{\text{Roundoff error}}-\underbrace {{\frac {f^{(3)}(c)}{6}}h^{2}} _{\text{Truncation error}}.}$$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle M>0}$$${\displaystyle \left|f'(x)-{\frac {{\hat {f}}(x+h)-{\hat {f}}(x-h)}{2h}}\right|\leq {\frac {\varepsilon }{h}}+{\frac {h^{2}}{6}}M.}$$

เพื่อลดข้อผิดพลาดจากการตัดทอน เราต้องลดค่า hแต่เมื่อค่า hลดลง ข้อผิดพลาดจากการปัดเศษก็จะเพิ่มขึ้น เนื่องจากความจำเป็นในการหารด้วยค่าh ที่มีขนาดเล็ก สูตรผลต่างจำกัดทั้งหมดสำหรับการหาอนุพันธ์เชิงตัวเลขจึงมีสภาพไม่ดีเช่น เดียวกัน ^{[ 4 ]}${\displaystyle {\frac {h^{2}}{6}}M}$${\displaystyle {\frac {\varepsilon }{h}}}$

หากแทนที่จะประมาณอนุพันธ์โดยใช้และเราสมมติว่าข้อผิดพลาดในการประมาณสัมพัทธ์เนื่องจากการปัดเศษมีขอบเขตจำกัดโดยค่าเอปไซลอนของเครื่องและค่าและมีขอบเขตจำกัดโดยและตามลำดับ จะสามารถแสดงได้ว่า: ^{[ 5 ]}โดยการลดขอบเขตบนนี้ให้เหลือน้อยที่สุด จะสามารถประมาณขนาดขั้นตอนที่เหมาะสมที่สุดได้ อย่างไรก็ตาม การใช้วิธีนี้จะต้องทราบขอบเขตและแทน หากใช้ขอบเขตบนโดยประมาณ ซึ่งและถูกแทนที่ด้วยและข้อผิดพลาดสามารถประมาณได้ดังนี้: โดยการลดให้เหลือน้อยที่สุดจะสามารถหาค่าประมาณขนาดขั้นตอนที่เหมาะสมที่สุดh ได้: ^{[ 5 ]} (แม้ว่าจะไม่ใช่เมื่อ) หากไม่มีข้อมูลเกี่ยวกับฟังก์ชันบางครั้งจะใช้การประมาณค่าทำให้มีตัวเลือกสำหรับhที่มีขนาดเล็กโดยไม่ทำให้เกิดข้อผิดพลาดในการปัดเศษมาก: โดยที่ ค่า เอปไซลอนของเครื่องεโดยทั่วไปจะมีขนาดประมาณ${\displaystyle f'(x)={\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$${\displaystyle |f''(x)|}$${\displaystyle |f(x)|}$${\displaystyle [x_{0},x_{0}+h]}$${\displaystyle M_{1}}$${\displaystyle M_{2}}$$${\displaystyle \left|f'(x_{0})-{\frac {{\hat {f}}(x_{0}+h)-{\hat {f}}(x_{0})}{h}}\right|\leq {\frac {h}{2}}M_{1}+{\frac {2\varepsilon }{h}}M_{2}}$$${\displaystyle M_{1}}$${\displaystyle M_{2}}$${\displaystyle M_{1}}$${\displaystyle M_{2}}$${\displaystyle |f''(x_{0})|}$${\displaystyle |f(x_{0})|}$$${\displaystyle e(h)={\frac {h}{2}}|f''(x_{0})|+{\frac {2\varepsilon }{h}}|f(x_{0})|}$$${\displaystyle e(h)}$$${\displaystyle h=2{\sqrt {\varepsilon \left|{\frac {f(x)}{f''(x)}}\right|}}}$$${\displaystyle f''(x)=0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle {\sqrt {\left|{\frac {f(x)}{f''(x)}}\right|}}\approx x}$${\displaystyle {\sqrt {\varepsilon }}x}$2.2 × 10 ⁻¹⁶สำหรับความแม่นยำสองเท่า [ ^{6 ] ใน}ทางปฏิบัติ ไม่สามารถคำนวณค่าที่ทำให้ขอบเขตข้อผิดพลาดข้างต้นน้อยที่สุดได้ ดังนั้นจึงไม่สามารถคำนวณค่าประมาณของขนาดขั้นตอนที่เหมาะสมที่สุดได้หากไม่มีข้อมูลเกี่ยวกับอนุพันธ์ลำดับสูงกว่า^{[ 7 ]}

เพื่อแสดงให้เห็นถึงความยากลำบากนี้ ลองพิจารณาการประมาณค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ที่จุดในกรณีนี้ เราสามารถคำนวณได้ ซึ่งให้ ผลลัพธ์ดังนี้ โดยใช้ตัวเลขทศลอย 64 บิต ค่าประมาณต่อไปนี้จะถูกสร้างขึ้นโดยใช้สูตรการประมาณค่าแบบสองจุดและขนาดขั้นตอนที่เล็กลงเรื่อยๆ ค่าความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์ที่น้อยที่สุดจะเกิดขึ้นเมื่อขนาดขั้นตอนเท่ากับหลังจากนั้นค่าความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์จะเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ เนื่องจากความคลาดเคลื่อนจากการปัดเศษจะครอบงำการคำนวณ $${\displaystyle f(x)={\frac {2x}{1+{\sqrt {x}}}}}$$${\displaystyle x_{0}=9}$$${\displaystyle f'(x)={\frac {2+{\sqrt {x}}}{(1+{\sqrt {x}})^{2}}}}$$$${\displaystyle f'(9)={\frac {2+{\sqrt {9}}}{(1+{\sqrt {9}})^{2}}}={\frac {2+3}{(1+3)^{2}}}={\frac {5}{16}}=0.3125.}$$${\displaystyle 10^{-4}}$

ขนาดขั้น (ชม.)	การประมาณค่า	ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์
${\displaystyle 10^{-1}}$	${\displaystyle 0.31250397877426117}$	${\displaystyle 3.97877\times 10^{-6}}$
${\displaystyle 10^{-2}}$	${\displaystyle 0.31250003978589014}$	${\displaystyle 3.97858\times 10^{-8}}$
${\displaystyle 10^{-3}}$	${\displaystyle 0.3125000003976197}$	${\displaystyle 3.97619\times 10^{-10}}$
${\displaystyle 10^{-4}}$	${\displaystyle 0.31250000000593303}$	${\displaystyle 5.93303\times 10^{-12}}$
${\displaystyle 10^{-5}}$	${\displaystyle 0.3124999999215561}$	${\displaystyle 7.84439\times 10^{-11}}$
${\displaystyle 10^{-6}}$	${\displaystyle 0.31249999965510256}$	${\displaystyle 3.44897\times 10^{-10}}$
${\displaystyle 10^{-7}}$	${\displaystyle 0.31249999921101335}$	${\displaystyle 7.88986\times 10^{-10}}$
${\displaystyle 10^{-8}}$	${\displaystyle 0.31250002585636594}$	${\displaystyle 2.58563\times 10^{-8}}$
${\displaystyle 10^{-9}}$	${\displaystyle 0.31250024790097086}$	${\displaystyle 2.47900\times 10^{-7}}$
${\displaystyle 10^{-10}}$	${\displaystyle 0.31249669518729206}$	${\displaystyle 3.30481\times 10^{-6}}$
${\displaystyle 10^{-11}}$	${\displaystyle 0.31246116805050406}$	${\displaystyle 3.88319\times 10^{-5}}$
${\displaystyle 10^{-12}}$	${\displaystyle 0.312194714524594}$	${\displaystyle 3.05285\times 10^{-4}}$
${\displaystyle 10^{-13}}$	${\displaystyle 0.31530333899354446}$	${\displaystyle 2.80333\times 10^{-3}}$
${\displaystyle 10^{-14}}$	${\displaystyle 3.552713678800501}$	${\displaystyle 4.27713\times 10^{-2}}$

สำหรับการคำนวณด้วยคอมพิวเตอร์ ปัญหาจะยิ่งรุนแรงขึ้น เพราะถึงแม้ว่าxจะต้องเป็นตัวเลขทศนิยมที่สามารถแสดงได้ด้วยความแม่นยำระดับหนึ่ง (32 หรือ 64 บิตเป็นต้น ) แต่x + hแทบจะแน่นอนว่าจะไม่สามารถแสดงได้อย่างแม่นยำด้วยความแม่นยำนั้น นั่นหมายความว่าx + hจะถูกเปลี่ยนแปลง (โดยการปัดเศษหรือการตัดทิ้ง) ไปเป็นตัวเลขที่เครื่องสามารถแสดงได้ใกล้เคียง ส่งผลให้( x  +  h ) −  xจะไม่เท่ากับhการประเมินค่าฟังก์ชันทั้งสองจะไม่ ห่างกัน h พอดี ในแง่นี้ เนื่องจากเศษส่วนทศนิยมส่วนใหญ่เป็นลำดับซ้ำในระบบเลขฐานสอง (เช่นเดียวกับ 1/3 ในระบบเลขฐานสิบ) ขั้นตอนที่ดูเหมือนกลม เช่นh  = 0.1จะไม่ใช่ตัวเลขกลมในระบบเลขฐานสอง แต่จะเป็น 0.000110011001100... ₂แนวทางที่เป็นไปได้มีดังนี้:

h := sqrt(eps) * x; xph := x + h; dx := xph - x; slope := (F(xph) - F(x)) / dx; 

อย่างไรก็ตาม ในกรณีของคอมพิวเตอร์ ระบบ การเพิ่มประสิทธิภาพของคอมไพเลอร์อาจไม่สามารถจัดการกับรายละเอียดของการคำนวณทางคณิตศาสตร์ที่แท้จริงของคอมพิวเตอร์ได้ และกลับนำเอาหลักการพื้นฐานทางคณิตศาสตร์ มาใช้ เพื่อสรุปว่าdxและhเหมือนกัน ใน ภาษา Cและภาษาที่คล้ายกัน คำสั่งที่ระบุว่าxphเป็นตัวแปรแบบ volatileจะช่วยป้องกันปัญหานี้ได้

เพื่อให้ได้สูตรการประมาณค่าอนุพันธ์ทั่วไปสำหรับฟังก์ชันบางฟังก์ชันให้เป็นจำนวนบวกที่อยู่ใกล้ศูนย์ การกระจายอนุกรมเทย์เลอร์ของรอบจุดฐานคือ ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle h>0}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle f(x+h)=f(x)+hf'(x)+{\frac {h^{2}}{2!}}f''(x)+{\frac {h^{3}}{3!}}f'''(x)+...}$

1

การแทนที่ด้วยให้ ${\displaystyle h}$${\displaystyle 2h}$

${\displaystyle f(x+2h)=f(x)+2hf'(x)+{\frac {4h^{2}}{2!}}f''(x)+{\frac {8h^{3}}{3!}}f'''(x)+...}$

2

การคูณเอกลักษณ์ ( 1 ) ด้วย 4 จะได้

${\displaystyle 4f(x+h)=4f(x)+4hf'(x)+{\frac {4h^{2}}{2!}}f''(x)+{\frac {4h^{3}}{3!}}f'''(x)+...}$

1'

การลบเอกลักษณ์ ( 1' ) ออกจาก ( 2 ) จะกำจัดเทอม: ${\displaystyle h^{2}}$

$${\displaystyle f(x+2h)-4f(x+h)=-3f(x)-2hf'(x)+{\frac {4h^{3}}{3!}}f'''(x)+...}$$

ซึ่งสามารถเขียนได้ดังนี้

$${\displaystyle f(x+2h)-4f(x+h)=-3f(x)-2hf'(x)+O(h^{3}).}$$

การเรียงลำดับคำศัพท์ใหม่ทำให้ได้ผลลัพธ์ดังนี้ $${\displaystyle f'(x)={\frac {-3f(x)+4f(x+h)-f(x+2h)}{2h}}+O(h^{2}),}$$

ซึ่งเรียกว่าสูตรผลต่างไปข้างหน้าสามจุดสำหรับการหาอนุพันธ์ โดยใช้วิธีการที่คล้ายกันนี้ เราสามารถแสดงให้เห็นได้ว่า

$${\displaystyle f'(x)={\frac {f(x+h)-f(x-h)}{2h}}+O(h^{2})}$$ ซึ่งเรียกว่าสูตรผลต่างกลางสามจุดและ ซึ่งเรียกว่าสูตรผลต่างย้อนหลังสามจุด $${\displaystyle f'(x)={\frac {f(x-2h)-4f(x-h)+3f(x)}{2h}}+O(h^{2})}$$

ด้วยวิธีการที่คล้ายกัน สูตรการประมาณค่าจุดกึ่งกลางห้าจุดสามารถหาได้ดังนี้: ^{[ 8 ]}$${\displaystyle f'(x)={\frac {-f(x+2h)+8f(x+h)-8f(x-h)+f(x-2h)}{12h}}+O(h^{4}).}$$

พิจารณาการประมาณค่าอนุพันธ์ของที่จุดเนื่องจากค่าที่แท้จริงคือ ${\displaystyle f(x)=x\sin {x}}$${\displaystyle x_{0}={\frac {\pi }{4}}}$${\displaystyle f'(x)=\sin {x}+x\cos {x}}$$${\displaystyle f'({\frac {\pi }{4}})=\sin {\frac {\pi }{4}}+{\frac {\pi }{4}}\cos {\frac {\pi }{4}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}+{\frac {\pi }{4{\sqrt {2}}}}\approx 1.2624671484563432.}$$

สูตร	ขนาดขั้น (ชม.)	การประมาณค่า	ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์
สูตรคำนวณผลต่างคะแนนนำสามแต้ม	${\displaystyle 10^{-1}}$	${\displaystyle 1.2719084899816118}$	${\displaystyle 9.441\times 10^{-3}}$
	${\displaystyle 10^{-2}}$	${\displaystyle 1.2625569346253918}$	${\displaystyle 8.978\times 10^{-5}}$
	${\displaystyle 10^{-3}}$	${\displaystyle 1.2624680412510747}$	${\displaystyle 8.927\times 10^{-7}}$
	${\displaystyle 10^{-4}}$	${\displaystyle 1.2624671573796542}$	${\displaystyle 8.923\times 10^{-9}}$
สูตรผลต่างย้อนหลังสามจุด	${\displaystyle 10^{-1}}$	${\displaystyle 1.2719084899816118}$	${\displaystyle 8.307\times 10^{-3}}$
	${\displaystyle 10^{-2}}$	${\displaystyle 1.2625569346253918}$	${\displaystyle 8.864\times 10^{-5}}$
	${\displaystyle 10^{-3}}$	${\displaystyle 1.2624680412510747}$	${\displaystyle 8.916\times 10^{-7}}$
	${\displaystyle 10^{-4}}$	${\displaystyle 1.2624671573796542}$	${\displaystyle 8.922\times 10^{-9}}$
สูตรความแตกต่างกลางสามจุด	${\displaystyle 10^{-1}}$	${\displaystyle 1.2719084899816118}$	${\displaystyle 4.457\times 10^{-3}}$
	${\displaystyle 10^{-2}}$	${\displaystyle 1.2625569346253918}$	${\displaystyle 4.461\times 10^{-5}}$
	${\displaystyle 10^{-3}}$	${\displaystyle 1.2624680412510747}$	${\displaystyle 4.461\times 10^{-7}}$
	${\displaystyle 10^{-4}}$	${\displaystyle 1.2624671573796542}$	${\displaystyle 4.461\times 10^{-9}}$

ต่อไปนี้เป็นตัวอย่าง การใช้งาน Python สำหรับการ หา อนุพันธ์เชิงตัวเลขโดยใช้สูตรผลต่างสามจุดต่างๆ ที่ฟังก์ชันนี้มีอนุพันธ์${\displaystyle f(x)={\frac {2x}{1+{\sqrt {x}}}}}$${\displaystyle x_{0}=4}$funcfunc_prime

นำเข้าคณิตศาสตร์def func ( x ):คืนค่า( 2 * x ) / ( 1 + math . sqrt ( x ))def func_prime ( x ):return ( 2 + math . sqrt ( x )) / (( 1 + math . sqrt ( x )) ** 2 )def three_point_forward ( value , h ):คืนค่า(( - 3 / 2 ) * func ( value ) + 2 * func ( value + h ) - ( 1 / 2 ) * func ( value + 2 * h )) / hdef three_point_central ( value , h ):คืนค่า(( - 1 / 2 ) * func ( value - h ) + ( 1 / 2 ) * func ( value + h )) / hdef three_point_backward ( value , h ):คืนค่า(( 1 / 2 ) * func ( value - 2 * h ) - 2 * func ( value - h ) + ( 3 / 2 ) * func ( value )) / hค่า= 4actual = func_prime ( value )พิมพ์( "ค่าจริง " + str ( actual ))พิมพ์( "==========================================" )สำหรับstep_size ในช่วง[ 0.1 , 0.01 , 0.001 , 0.0001 ]:พิมพ์( "ขนาดขั้นตอน " + str ( step_size ))forward = three_point_forward ( value , step_size )backward = three_point_backward ( value , step_size )จุดศูนย์กลาง= จุดศูนย์กลางสามจุด( ค่า, ขนาดขั้นตอน)พิมพ์( "ส่งต่อ {:>12} , ข้อผิดพลาด = {:>12} " . format ( str ( forward ), str ( abs ( forward - actual ))))พิมพ์( "ย้อนกลับ{:>12} , ข้อผิดพลาด = {:>12} " . format ( str ( forward ), str ( abs ( backward - actual ))))พิมพ์( "Central {:>12} , Error = {:>12} " . format ( str ( forward ), str ( abs ( central - actual ))))พิมพ์( "==========================================" )

ค่าจริง0.4444444444444444============================================ขนาดขั้น0.1ส่งต่อ0.4443963018050967 , ข้อผิดพลาด= 4.814263934771468e-05ย้อนกลับ0.4443963018050967 , ข้อผิดพลาด= 2.5082646145202503e-05ศูนย์กลาง0.4443963018050967 , ข้อผิดพลาด= 5.231976394060034e-05============================================ขนาดขั้น0.01ส่งต่อ0.4444439449793336 , ข้อผิดพลาด= 4.994651108258807e-07ย้อนกลับ0.4444439449793336 , ข้อผิดพลาด= 2.507721614808389e-07ศูนย์กลาง0.4444439449793336 , ข้อผิดพลาด= 5.036366184096863e-07============================================ขนาดขั้น0.001ส่งต่อ0.4444444394311464 , ข้อผิดพลาด= 5.013297998957e-09ย้อนกลับ0.4444444394311464 , ข้อผิดพลาด= 2.507574814458735e-09ศูนย์กลาง0.4444444394311464 , ข้อผิดพลาด= 5.017960935660426e-09============================================ขนาดขั้น0.0001ส่งต่อ0.4444444443896245 , ข้อผิดพลาด= 5.4819926376126205e-11ย้อนกลับ0.4444444443896245 , ข้อผิดพลาด= 2.5116131396885066e-11ศูนย์กลาง0.4444444443896245 , ข้อผิดพลาด= 5.037903427762558e-11============================================

โดยใช้ทฤษฎีบทอนุกรมเทย์เลอร์ เราสามารถหาอนุพันธ์อันดับสอง (และอันดับสูงกว่า) ของฟังก์ชันทั่วไปได้ สำหรับฟังก์ชันหนึ่งและจำนวนหนึ่งการกระจายฟังก์ชันนั้นรอบ ๆและจะได้ ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle h>0}$${\displaystyle x+h}$${\displaystyle x-h}$

$${\displaystyle f(x+h)=f(x)+f'(x)h+{\frac {1}{2}}f''(x)h^{2}+{\frac {1}{6}}f'''(x)h^{3}+{\frac {1}{24}}f^{(4)}(\xi _{1})h^{4}}$$ และ ที่ไหน. เมื่อบวกสมการทั้งสองนี้เข้าด้วยกันจะได้ $${\displaystyle f(x-h)=f(x)-f'(x)h+{\frac {1}{2}}f''(x)h^{2}-{\frac {1}{6}}f'''(x)h^{3}+{\frac {1}{24}}f^{(4)}(\xi _{2})h^{4}}$$${\displaystyle x-h<\xi _{2}<x<\xi _{1}<x+h}$

$${\displaystyle f(x+h)+f(x-h)=2f(x)+f''(x)h^{2}+{\frac {1}{24}}\left[f^{(4)}(\xi _{1})+f^{(4)}(\xi _{2})\right]h^{4}.}$$

ถ้าฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วงแล้วจะอยู่ระหว่างและทฤษฎีบทค่ากลางรับประกันว่าจะมีจำนวนหนึ่ง เช่นอยู่ระหว่างและดังนั้นเราจึงสามารถเขียนได้ว่า ${\displaystyle f^{(4)}}$${\displaystyle [x-h,x+h]}$${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left[f^{(4)}(\xi _{1})+f^{(4)}(\xi _{2})\right]}$${\displaystyle f^{(4)}(\xi _{1})}$${\displaystyle f^{(4)}(\xi _{2})}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \xi _{1}}$${\displaystyle \xi _{2}}$

$${\displaystyle f''(x)={\frac {1}{h^{2}}}\left[f(x-h)-2f(x)+f(x+h)\right]-{\frac {h^{2}}{12}}f^{(4)}(\xi ).}$$

ที่ไหน. ${\displaystyle x-h<\xi <x+h}$

พิจารณาการประมาณค่าอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชันที่จุดนั้น ${\displaystyle f(x)=e^{x}\sin {x}}$${\displaystyle x_{0}={\frac {\pi }{4}}}$

เนื่องจากค่าที่แน่นอนคือ. ${\displaystyle f''(x)=2e^{x}\cos {x}}$${\displaystyle f''({\frac {\pi }{4}})={\sqrt {2}}e^{\frac {\pi }{4}}\approx 3.1017663}$

ขนาดขั้น (ชม.)	การประมาณค่า	ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์
${\displaystyle 10^{-1}}$	${\displaystyle 3.096593338003672}$	${\displaystyle 5.17305\times 10^{-3}}$
${\displaystyle 10^{-2}}$	${\displaystyle 3.1017146973844056}$	${\displaystyle 5.16964\times 10^{-5}}$
${\displaystyle 10^{-3}}$	${\displaystyle 3.1017658768117684}$	${\displaystyle 5.17024\times 10^{-7}}$
${\displaystyle 10^{-4}}$	${\displaystyle 3.1017663770782633}$	${\displaystyle 1.67577\times 10^{-8}}$

โดยใช้ผลหารความแตกต่างของนิวตัน สามารถแสดงได้ดังต่อไปนี้^{[ 9 ]} (สำหรับn > 0 ): $${\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$$$${\displaystyle f^{(n)}(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h^{n}}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{\binom {n}{k}}f(x+kh)}$$

การประมาณความแตกต่างจำกัดแบบคลาสสิกสำหรับการหาอนุพันธ์เชิงตัวเลขนั้นมีเงื่อนไขไม่ดี อย่างไรก็ตาม ถ้าเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกที่มีค่าเป็นจำนวนจริงบนเส้นจำนวนจริง ซึ่งสามารถประเมินได้ที่จุดในระนาบเชิงซ้อนใกล้แล้วจะมี วิธีการ ที่เสถียรตัวอย่างเช่น^{[ 10 ]}อนุพันธ์อันดับแรกสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรอนุพันธ์ขั้นเชิงซ้อน: ^{[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]}${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$$${\displaystyle f'(x)={\frac {\Im (f(x+\mathrm {i} h))}{h}}+O(h^{2}),\quad \mathrm {i^{2}} :=-1.}$$

ขนาดขั้นตอนที่แนะนำเพื่อให้ได้อนุพันธ์ที่แม่นยำสำหรับเงื่อนไขต่างๆ คือ[ ^{14 ] สูตร} นี้สามารถหาได้จาก การขยาย อนุกรมเทย์เลอร์ : ${\displaystyle h=10^{-200}}$$${\displaystyle f(x+\mathrm {i} h)=f(x)+\mathrm {i} hf'(x)-{\tfrac {1}{2!}}h^{2}f''(x)-{\tfrac {\mathrm {i} }{3!}}h^{3}f^{(3)}(x)+\cdots .}$$

สูตรอนุพันธ์ขั้นซับซ้อนใช้ได้เฉพาะกับการคำนวณอนุพันธ์อันดับแรกเท่านั้น การขยายความข้างต้นสำหรับการคำนวณอนุพันธ์ทุกอันดับใช้จำนวนเชิงซ้อนหลายตัวส่งผลให้ได้อนุพันธ์เชิงซ้อนหลายตัว^{[ 15 ] [ 16 ] [ 17 ]} โดยที่แทนหน่วยจินตนาการเชิงซ้อนหลายตัว ตัว ดำเนินการจะดึงส่วนประกอบที่ ของจำนวนเชิงซ้อนหลายตัวระดับเช่นดึงส่วนประกอบจริง และดึงส่วนประกอบสุดท้ายที่ "เป็นจินตนาการมากที่สุด" วิธีนี้สามารถนำไปใช้กับอนุพันธ์แบบผสมได้ เช่น สำหรับอนุพันธ์อันดับสอง $${\displaystyle f^{(n)}(x)\approx {\frac {{\mathcal {C}}_{n^{2}-1}^{(n)}(f(x+\mathrm {i} ^{(1)}h+\cdots +\mathrm {i} ^{(n)}h))}{h^{n}}}}$$${\displaystyle \mathrm {i} ^{(k)}}$${\displaystyle \mathrm {i} ^{(1)}\equiv \mathrm {i} }$${\displaystyle {\mathcal {C}}_{k}^{(n)}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}^{(n)}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}_{n^{2}-1}^{(n)}}$$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f(x,y)}{\partial x\,\partial y}}\approx {\frac {{\mathcal {C}}_{3}^{(2)}(f(x+\mathrm {i} ^{(1)}h,y+\mathrm {i} ^{(2)}h))}{h^{2}}}}$$

มีการใช้งานการคำนวณเลขคณิตเชิงซ้อนหลายตัวด้วยภาษา C++ ^{[ 18 ]}

โดยทั่วไป อนุพันธ์ลำดับใดๆ ก็สามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรอินทิกรัลของ Cauchy : ^{[ 19 ]} โดยที่การอินทิเกรตจะทำในเชิงตัวเลข $${\displaystyle f^{(n)}(a)={\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-a)^{n+1}}}\,\mathrm {d} z,}$$

การใช้ตัวแปรเชิงซ้อนสำหรับการหาอนุพันธ์เชิงตัวเลขเริ่มต้นโดย Lyness และ Moler ในปี พ.ศ. 2510 ^{[ 20 ]}อัลกอริทึมของพวกเขาสามารถนำไปใช้กับอนุพันธ์อันดับสูงได้

Abate และ Dubner ได้พัฒนาวิธีการที่ใช้การผกผันเชิงตัวเลขของการแปลงลาปลา สเชิงซ้อน ^{[ 21 ]} Fornberg ได้พัฒนาอัลกอริทึมที่สามารถใช้งานได้โดยไม่ต้องมีความรู้เกี่ยวกับวิธีการหรือลักษณะของฟังก์ชัน^{[ 4 ]}

การประมาณค่าเชิงอนุพันธ์โดยใช้ผลรวมถ่วงน้ำหนักของค่าฟังก์ชันเรียกว่าการประมาณค่าเชิงอนุพันธ์^{[ 22 ] [ 23 ]}การประมาณค่าเชิงอนุพันธ์มีความสำคัญในทางปฏิบัติเพราะช่วยให้สามารถคำนวณอนุพันธ์จากข้อมูลที่มีสัญญาณรบกวนได้ชื่อนี้มาจากการเปรียบเทียบกับquadratureซึ่งหมายถึงการอิน ทิเกรตเชิงตัวเลข โดยใช้ผลรวมถ่วงน้ำหนักในวิธีการต่างๆ เช่นกฎของซิมป์สันหรือกฎสี่เหลี่ยมคางหมูมีวิธีการต่างๆ มากมายในการกำหนดสัมประสิทธิ์น้ำหนัก เช่นตัวกรอง Savitzky–Golayการประมาณค่าเชิงอนุพันธ์ใช้ในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยนอกจากนี้ยังมีวิธีการอื่นๆ ในการคำนวณอนุพันธ์จากข้อมูลที่มีสัญญาณรบกวน^{[ 24 ]}

• การหาอนุพันธ์อัตโนมัติ  – การคำนวณเชิงตัวเลขที่รวมอนุพันธ์เข้าไปด้วย
• แม่แบบห้าจุด  – จุดหนึ่งและจุดข้างเคียงที่ใกล้ที่สุดสี่จุด
• รายชื่อซอฟต์แวร์วิเคราะห์เชิงตัวเลข
• การอินทิเกรตเชิงตัวเลข  – วิธีการคำนวณอินทิกรัลจำกัด
• วิธีการเชิงตัวเลขสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ  – วิธีการที่ใช้ในการหาคำตอบเชิงตัวเลขของสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ
• ตัวกรอง Savitzky–Golay  – อัลกอริทึมสำหรับปรับความเรียบของจุดข้อมูล

เว็บไซต์ Wikibooks มีหนังสือเกี่ยวกับหัวข้อวิธีการเชิงตัวเลข

• การหาอนุพันธ์เชิงตัวเลขจาก wolfram.com
• รูทีนการหาอนุพันธ์เชิงตัวเลขของไลบรารี NAG
• Boost. คณิตศาสตร์การหาอนุพันธ์เชิงตัวเลข รวมถึงการหาอนุพันธ์แบบจำกัด และการหาอนุพันธ์แบบขั้นซับซ้อน
• การหาความแตกต่างโดยไม่มีความแตกต่างโดยNicholas Higham , SIAM News