ในการวิเคราะห์เชิงตัวเลขเมื่อกำหนดตารางสี่เหลี่ยมในหนึ่งหรือสองมิติสเตนซิลห้าจุดของจุดในตารางนั้นคือสเตนซิลที่ประกอบขึ้นจากจุดนั้นเองพร้อมกับ "จุดข้างเคียง" อีกสี่จุด สเตนซิลนี้ใช้ในการเขียนการประมาณ ค่า อนุพันธ์ ด้วยวิธีผล ต่างจำกัดที่จุดในตาราง และเป็นตัวอย่างหนึ่งของการหาอนุพันธ์เชิงตัวเลข

ในมิติเดียว ถ้าช่องว่างระหว่างจุดในตารางคือhแล้ว รูปแบบห้าจุดของจุดxในตารางจะเป็นดังนี้

$${\displaystyle \{x-2h,xh,x,x+h,x+2h\}.}$$

อนุพันธ์อันดับแรกของฟังก์ชันfของ ตัวแปร จริงณ จุดxสามารถประมาณได้โดยใช้สเตนซิลห้าจุดดังนี้: ^{[ 1 ]}

$${\displaystyle f'(x)\approx {\frac {-f(x+2h)+8f(x+h)-8f(xh)+f(x-2h)}{12h}}}$$

จุดศูนย์กลางf ( x ) เองไม่ได้เกี่ยวข้อง มีเพียงจุดข้างเคียงทั้งสี่จุดเท่านั้นที่เกี่ยวข้อง

สูตรนี้สามารถหาได้โดยการเขียนอนุกรมเทย์เลอร์สี่ชุดของและที่จุดออกมาจนถึงพจน์ของh ³ (หรือจนถึงพจน์ของh ⁵เพื่อประมาณค่าความคลาดเคลื่อนด้วย) ประเมินค่าอนุกรมแต่ละชุดที่และตามลำดับ (เพื่อให้ทุกอย่างอยู่ในรูปพจน์ร่วมของ) และแก้ระบบสมการสี่สมการนี้เพื่อหาf ′( x ) ที่จริงแล้ว เรามี ที่จุดx  +  hและx  −  hดังนี้: ${\displaystyle f(x\pm h)}$${\displaystyle f(x\pm 2h)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a=x\mp h}$${\displaystyle a=x\mp 2h}$${\displaystyle f^{(k)}(x)}$

$${\displaystyle f(x\pm h)=f(x)\pm hf'(x)+{\frac {h^{2}}{2}}f''(x)\pm {\frac {h^{3}}{6}}f^{(3)}(x)+O_{1\pm }(h^{4}).\qquad (E_{1\pm }).}$$

การประเมินทำให้เราได้ ${\displaystyle (E_{1+})-(E_{1-})}$

$${\displaystyle f(x+h)-f(xh)=2hf'(x)+{\frac {h^{3}}{3}}f^{(3)}(x)+O_{1}(h^{4}).\qquad (E_{1}).}$$

พจน์ที่เหลือ O ₁ ( h ⁴ ) ควรมีลำดับเป็นh ⁵แทนที่จะเป็นh ⁴เพราะถ้าหากพจน์ของh ⁴ถูกเขียนออกมาใน ( E ₁₊ ) และ ( E ₁₋ ) จะเห็นได้ว่าพจน์เหล่านั้นจะหักล้างกันเองโดยf ( x + h ) − f ( x − h )แต่สำหรับการคำนวณนี้ จะปล่อยไว้เช่นนั้น เนื่องจากไม่ได้พิจารณาลำดับของการประมาณค่าความคลาดเคลื่อนในที่นี้ (ดูด้านล่าง)

ในทำนองเดียวกัน เราก็มี

$${\displaystyle f(x\pm 2h)=f(x)\pm 2hf'(x)+{\frac {4h^{2}}{2!}}f''(x)\pm {\frac {8h^{3}}{3!}}f^{(3)}(x)+O_{2\pm }(h^{4}).\qquad (E_{2\pm })}$$

และมอบให้เรา ${\displaystyle (E_{2+})-(E_{2-})}$

$${\displaystyle f(x+2h)-f(x-2h)=4hf'(x)+{\frac {8h^{3}}{3}}f^{(3)}(x)+O_{2}(h^{5}).\qquad (E_{2}).}$$

เพื่อกำจัดเงื่อนไขของƒ ⁽³⁾ ( x ) ให้คำนวณ 8 × ( E ₁ ) − ( E ₂ )

$${\displaystyle 8f(x+h)-8f(x-h)-f(x+2h)+f(x-2h)=12hf'(x)+O(h^{5})}$$

จึงได้สูตรดังข้างต้น หมายเหตุ: สัมประสิทธิ์ของ f ในสูตรนี้ (8, -8, -1, 1) แสดงถึงตัวอย่างเฉพาะของตัวกรอง Savitzky–Golayทั่วไป

ข้อผิดพลาดในการประมาณค่านี้อยู่ในลำดับh  ⁴ซึ่งสามารถเห็นได้จากการขยาย^{[ 2 ]}

$${\displaystyle {\frac {-f(x+2h)+8f(x+h)-8f(x-h)+f(x-2h)}{12h}}=f'(x)-{\frac {1}{30}}f^{(5)}(x)h^{4}+O(h^{5})}$$

ซึ่งสามารถหาได้โดยการขยายด้านซ้ายมือในอนุกรมเทย์เลอร์หรืออีกวิธีหนึ่งคือใช้การประมาณค่าแบบริชาร์ดสันกับค่าประมาณความแตกต่างส่วนกลาง บน กริดที่มีระยะห่าง 2hและh${\displaystyle f'(x)}$

สูตรความแตกต่างศูนย์กลางสำหรับแม่แบบห้าจุดที่ใช้ประมาณค่าอนุพันธ์อันดับสอง สาม และสี่ มีดังนี้

$${\displaystyle {\begin{aligned}f''(x)&\approx {\frac {-f(x+2h)+16f(x+h)-30f(x)+16f(x-h)-f(x-2h)}{12h^{2}}}\\[1ex]f^{(3)}(x)&\approx {\frac {f(x+2h)-2f(x+h)+2f(x-h)-f(x-2h)}{2h^{3}}}\\[1ex]f^{(4)}(x)&\approx {\frac {f(x+2h)-4f(x+h)+6f(x)-4f(x-h)+f(x-2h)}{h^{4}}}\end{aligned}}}$$

ข้อผิดพลาดในการประมาณค่าเหล่านี้คือO ( h ⁴ ), O ( h ² ) และO ( h ² ) ตามลำดับ^{[ 2 ]}

อีกทางเลือกหนึ่งนอกเหนือจากการหาค่าน้ำหนักผลต่างจำกัดจากอนุกรมเทย์เลอร์แล้ว ยังสามารถหาได้โดยการหาอนุพันธ์ของพหุนามลากรางจ์

$${\displaystyle \ell _{j}(\xi )=\prod _{i=0,\,i\neq j}^{k}{\frac {\xi -x_{i}}{x_{j}-x_{i}}},}$$

โดยที่จุดการแทรกสอดคือ

$${\displaystyle x_{0}=x-2h,\quad x_{1}=x-h,\quad x_{2}=x,\quad x_{3}=x+h,\quad x_{4}=x+2h.}$$

จากนั้น พหุนามกำลังสี่ที่แทรกค่าf ( x )ที่จุดทั้งห้าจุดนี้คือ ${\displaystyle p_{4}(x)}$

$${\displaystyle p_{4}(x)=\sum _{j=0}^{4}f(x_{j})\ell _{j}(x)}$$

และอนุพันธ์ของมันคือ

$${\displaystyle p_{4}'(x)=\sum _{j=0}^{4}f(x_{j})\ell '_{j}(x).}$$

ดังนั้น การประมาณค่าความแตกต่างจำกัดของf ′( x )ที่จุดกึ่งกลางx = x ₂คือ

$${\displaystyle f'(x_{2})=\ell _{0}'(x_{2})f(x_{0})+\ell _{1}'(x_{2})f(x_{1})+\ell _{2}'(x_{2})f(x_{2})+\ell _{3}'(x_{2})f(x_{3})+\ell _{4}'(x_{2})f(x_{4})+O(h^{4})}$$

การประเมินอนุพันธ์ของพหุนามลากรางจ์ทั้งห้าที่_x = x² จะให้ค่าน้ำหนักเดียวกันกับข้างต้น วิธีนี้มีความยืดหยุ่นมากกว่า เนื่องจากสามารถขยายไปยังตารางที่ไม่สม่ำเสมอได้ค่อนข้างง่าย

ในสองมิติ ตัวอย่างเช่น ถ้าขนาดของช่องสี่เหลี่ยมในตารางคือh x hสเตนซิลห้าจุดของจุด ( x ,  y ) ในตารางจะเป็นดังนี้

$${\displaystyle \{(x-h,y),(x,y),(x+h,y),(x,y-h),(x,y+h)\},}$$

ก่อให้เกิดรูปแบบที่เรียกว่าควินคันซ์ (quincunx ) แม่แบบนี้มักใช้เพื่อประมาณค่าลาปลาเซียนของฟังก์ชันสองตัวแปร:

$${\displaystyle \nabla ^{2}f(x,y)\approx {\frac {f(x-h,y)+f(x+h,y)+f(x,y-h)+f(x,y+h)-4f(x,y)}{h^{2}}}.}$$

ข้อผิดพลาดในการประมาณนี้คือO ( h  ² ) ^{[ 3 ]}ซึ่งอาจอธิบายได้ดังนี้:

จากแม่แบบ 3 จุด สำหรับอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชันเทียบกับ x และ y:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}&={\frac {f\left(x+\Delta x,y\right)+f\left(x-\Delta x,y\right)-2f(x,y)}{\Delta x^{2}}}-2{\frac {f^{(4)}(x,y)}{4!}}\Delta x^{2}+\cdots \\[1ex]{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}&={\frac {f\left(x,y+\Delta y\right)+f\left(x,y-\Delta y\right)-2f(x,y)}{\Delta y^{2}}}-2{\frac {f^{(4)}(x,y)}{4!}}\Delta y^{2}+\cdots \end{aligned}}}$$

ถ้าเราสมมติว่า: ${\displaystyle \Delta x=\Delta y=h}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}f&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}\\[1ex]&={\frac {f\left(x+h,y\right)+f\left(x-h,y\right)+f\left(x,y+h\right)+f\left(x,y-h\right)-4f(x,y)}{h^{2}}}-4{\frac {f^{(4)}(x,y)}{4!}}h^{2}+\cdots \\[1ex]&={\frac {f\left(x+h,y\right)+f\left(x-h,y\right)+f\left(x,y+h\right)+f\left(x,y-h\right)-4f(x,y)}{h^{2}}}+O\left(h^{2}\right)\\\end{aligned}}}$$

• สัมประสิทธิ์ผลต่างจำกัด  – สัมประสิทธิ์ที่ใช้ในการประมาณค่าเชิงตัวเลข
• ลูปสเตนซิลแบบวนซ้ำ  – กลุ่มของอัลกอริธึมการประมวลผลข้อมูล
• สเตนซิลเก้าจุด
• สเตนซิล (การวิเคราะห์เชิงตัวเลข)
• การกระโดดลายฉลุ