ในการหาปริพันธ์เชิงตัวเลขกฎของซิมป์สันคือการประมาณค่าปริพันธ์จำกัดหลายค่าซึ่งตั้งชื่อตามโทมัส ซิมป์สัน (ค.ศ. 1710–1761)

กฎพื้นฐานที่สุดข้อหนึ่งที่เรียกว่ากฎ 1/3 ของซิมป์สันหรือเรียกสั้นๆ ว่ากฎของซิมป์สันมีดังนี้ $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {ba}{6}}\left[f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right].}$$

ในภาษาเยอรมันและภาษาอื่นๆ บางภาษา กฎนี้ตั้งชื่อตามโยฮันเนส เคปเลอร์ผู้คิดค้นกฎนี้ขึ้นในปี 1615 หลังจากเห็นการนำไปใช้กับถังไวน์ (กฎถังไวน์, Keplersche Fassregel ) ความเท่าเทียมกันโดยประมาณในกฎนี้จะกลายเป็นความแม่นยำหากfเป็นพหุนามที่มีดีกรีไม่เกิน 3

ถ้าใช้กฎ 1/3 กับช่วงการอินทิเกรต [ a ,  b ] ที่แบ่งเท่าๆ กัน n ส่วน จะได้ กฎ 1/3 ของซิมป์สันแบบผสมโดยจุดที่อยู่ภายในช่วงการอินทิเกรตจะได้รับน้ำหนักสลับกันคือ 4/3 และ 2/3

กฎ 3/8 ของซิมป์สันหรือที่เรียกว่ากฎข้อที่สองของซิมป์สันกำหนดให้มีการประเมินฟังก์ชันเพิ่มอีกหนึ่งครั้งภายในช่วงการอินทิเกรต และให้ขอบเขตความคลาดเคลื่อนที่ต่ำกว่า แต่ไม่ได้ปรับปรุงลำดับของความคลาดเคลื่อน

ถ้าใช้กฎ 3/8 กับการแบ่งช่วงการอินทิเกรต [ a ,  b ] ออกเป็นส่วนย่อยเท่าๆ กัน n ส่วน จะได้กฎ 3/8 ของซิมป์สันแบบผสม

กฎ 1/3 และ 3/8 ของซิมป์สันเป็นกรณีพิเศษสองกรณีของสูตรนิวตัน-โคทส์แบบ ปิด

ในด้านสถาปัตยกรรมทางทะเลและการประเมินเสถียรภาพของเรือ ยังมีกฎข้อที่สามของซิมป์สันซึ่งไม่มีความสำคัญเป็นพิเศษในการวิเคราะห์เชิงตัวเลข ทั่วไป ดูได้ที่ กฎของซิมป์สัน (เสถียรภาพของเรือ )

กฎ 1/3 ของซิมป์สัน หรือเรียกสั้น ๆ ว่ากฎของซิมป์สัน เป็นวิธีการอินทิเกรตเชิงตัวเลขที่เสนอโดยโทมัส ซิมป์สัน โดยอาศัยการประมาณค่าแบบกำลังสอง และเป็นกฎ 1/3 ของซิมป์สันแบบผสมที่ประเมินค่าสำหรับกฎ 1/3 ของซิมป์สันมีดังนี้: โดยที่คือขนาดขั้นตอนสำหรับ ${\displaystyle n=2}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)\,dx&\approx {\frac {ba}{6}}\left[f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right]\\&={\frac {1}{3}}h\left[f(a)+4f\left(a+h\right)+f(b)\right],\end{aligned}}}$$${\displaystyle h=(ba)/n}$${\displaystyle n=2}$

ข้อผิดพลาดในการประมาณค่าอินทิกรัลโดยใช้กฎของซิมป์สันสำหรับคือโดย ที่( อักษรกรีก xi ) เป็นจำนวนบางจำนวนระหว่างและ^{[ 1 ] [ 2 ]}${\displaystyle n=2}$$${\displaystyle -{\frac {1}{90}}h^{5}f^{(4)}(\xi )=-{\frac {(ba)^{5}}{2880}}f^{(4)}(\xi ),}$$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

ข้อผิดพลาดเป็นสัดส่วนเชิงอะซิมโทติกกับอย่างไรก็ตาม การคำนวณข้างต้นชี้ให้เห็นว่าข้อผิดพลาดเป็นสัดส่วนกับ กฎของซิ ม ป์สันมีลำดับเพิ่มขึ้นอีกหนึ่งลำดับ เนื่องจากจุดที่ประเมินค่าอินทิกรัลมีการกระจายแบบสมมาตรในช่วง${\displaystyle (ba)^{5}}$${\displaystyle (ba)^{4}}$${\displaystyle [a,\ b]}$

เนื่องจากพจน์ความคลาดเคลื่อนเป็นสัดส่วนกับอนุพันธ์อันดับสี่ของที่จุดสิ่งนี้แสดงให้เห็นว่ากฎของซิมป์สันให้ผลลัพธ์ที่แม่นยำสำหรับพหุนามใดๆที่มีดีกรีสามหรือน้อยกว่า เนื่องจากอนุพันธ์อันดับสี่ของพหุนามดังกล่าวเป็นศูนย์ที่ทุกจุด อีกวิธีหนึ่งที่จะเห็นผลลัพธ์นี้คือ การสังเกตว่าพหุนามกำลังสาม ที่แทรกสอดใดๆ สามารถแสดงได้เป็นผลรวมของพหุนามกำลังสองที่แทรกสอดที่ไม่ซ้ำกัน บวกกับพหุนามกำลังสามที่ปรับขนาดตามอำเภอใจซึ่งมีค่าเป็นศูนย์ที่ทั้งสามจุดในช่วง และปริพันธ์ของพจน์ที่สองนี้มีค่าเป็นศูนย์เนื่องจากเป็นจำนวนคี่ภายในช่วง ${\displaystyle f}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle f}$

ถ้าอนุพันธ์อันดับสองมีอยู่และเป็นฟังก์ชันนูนในช่วงนั้นแล้ว ${\displaystyle f''}$${\displaystyle (a,\ b)}$$${\displaystyle (ba)f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+{\frac {1}{3}}\left({\frac {ba}{2}}\right)^{3}f''\left({\frac {a+b}{2}}\right)\leq \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq {\frac {ba}{6}}\left[f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right].}$$

พิจารณาการหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งพาราโบลาทั่วไประหว่างและสำหรับจำนวนบวกบางจำนวนจุดกึ่งกลางของช่วงนี้จึงอยู่ที่ ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$${\displaystyle x=-h}$${\displaystyle x=h}$${\displaystyle h}$${\displaystyle x=0}$

ดังนั้น พื้นที่ใต้เส้นโค้งพาราโบลาคือ จึงเป็น ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}A=\int _{-h}^{h}ax^{2}+bx+c\,dx&=\left[{\frac {ax^{3}}{3}}+{\frac {bx^{2}}{2}}+cx\right]_{x=-h}^{x=h}\\&=\left({\frac {ah^{3}}{3}}+{\frac {bh^{2}}{2}}+ch\right)-\left(-{\frac {ah^{3}}{3}}+{\frac {bh^{2}}{2}}-ch\right)\\&={\frac {2ah^{3}}{3}}+2ch\\&={\frac {h}{3}}\left(2ah^{2}+6c\right).\end{aligned}}}$$

สมมติว่าพาราโบลาประกอบด้วยจุดกึ่งกลางและจุดปลายที่และเมื่อแทนค่าจุดทั้งสามนี้ลงในสูตรพาราโบลาจะได้ ${\displaystyle (0,y_{1})}$${\displaystyle (-h,y_{0})}$${\displaystyle (h,y_{2})}$

$${\displaystyle y_{0}=ah^{2}-bh+c}$$$${\displaystyle y_{1}=c}$$$${\displaystyle y_{2}=ah^{2}+bh+c.}$$

การแก้ปัญหาเหล่านี้จะทำให้ได้ผลลัพธ์ดังนี้

$${\displaystyle c=y_{1}}$$

จากสมการที่สอง และ

$${\displaystyle 2ah^{2}=y_{0}-2y_{1}+y_{2}}$$

โดยการบวกสมการแรกและสมการที่สามเข้าด้วยกัน เมื่อแทนค่านี้ลงในนิพจน์จะได้ ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {h}{3}}\left(2ah^{2}+6c\right)\\&={\frac {h}{3}}\left(y_{0}-2y_{1}+y_{2}+6y_{1}\right)\\&={\frac {h}{3}}\left(y_{0}+4y_{1}+y_{2}\right).\end{aligned}}}$$

กฎ 1/3 ของซิมป์สันส์ประมาณค่าอินทิกรัลจำกัดในช่วง[a, b]โดยแทนที่ฟังก์ชันที่ต้องการหาอินทิกรัลด้วยพาราโบลาซึ่งประมาณค่าฟังก์ชันที่จุดa และจุดกึ่งกลางของช่วง ซึ่งจะได้ผลลัพธ์ดังนี้ ${\displaystyle x=a}$${\displaystyle x=b}$

$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx A={\frac {1}{3}}h\left[f(a)+4f(a+h)+f(b)\right].}$$ เนื่องจากปัจจัยดังกล่าว กฎของซิมป์สันจึงถูกเรียกอีกชื่อหนึ่งว่า "กฎ 1/3 ของซิมป์สัน" (ดูรายละเอียดเพิ่มเติมด้านล่าง) ${\displaystyle 1/3}$

อีกวิธีหนึ่งในการสร้างกฎของซิมป์สันมาจากวิธีการประมาณค่าที่ง่ายกว่าสองวิธี สำหรับฟังก์ชันที่มีพฤติกรรมเหมือนพหุนามในช่วงกฎจุดกึ่งกลางกล่าวว่า และกฎสี่เหลี่ยมคางหมูกล่าวว่า โดยที่หมายถึงพจน์ที่มีสัดส่วนเชิงอะซิมโทติกกับ พจน์ ทั้งสองไม่เท่ากัน ดู รายละเอียดเพิ่มเติมได้ในสัญ กรณ์ Big Oจากสูตรข้างต้น สรุปได้ว่าพจน์ความคลาดเคลื่อนนำหน้าจะหายไปหากเราใช้ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักนี้ก็คือกฎของซิมป์สันนั่นเอง ${\displaystyle [a,b]}$$${\displaystyle M=(ba)f\left({\frac {a+b}{2}}\right)=\int _{a}^{b}f(x)dx-{\frac {1}{24}}(ba)^{3}f''(a)+O{\big (}(ba)^{4}{\big )}}$$$${\displaystyle T=(ba)\left({\frac {f(a)+f(b)}{2}}\right)=\int _{a}^{b}f(x)dx+{\frac {1}{12}}(ba)^{3}f''(a)+O{\big (}(ba)^{4}{\big )},}$$${\displaystyle O{\big (}(ba)^{4}{\big )}}$${\displaystyle (ba)^{4}}$${\displaystyle O{\big (}(ba)^{4}{\big )}}$$${\displaystyle {\frac {2M+T}{3}}=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+O((ba)^{4}).}$$

การใช้การประมาณค่าแบบอื่น (เช่น กฎสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีจุดเป็นสองเท่า) ทำให้สามารถหาค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักที่เหมาะสมและขจัดค่าความคลาดเคลื่อนอีกค่าหนึ่งได้ นี่คือวิธีของรอมเบิร์ก

การพิสูจน์ครั้งที่สามเริ่มต้นจากสมมติฐาน$${\displaystyle {\frac {1}{ba}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \alpha f(a)+\beta f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+\gamma f(b).}$$

สัมประสิทธิ์α , βและγสามารถกำหนดได้โดยกำหนดให้การประมาณค่านี้แม่นยำสำหรับพหุนามกำลังสองทั้งหมด ซึ่งจะได้กฎของซิมป์สัน (การพิสูจน์นี้โดยพื้นฐานแล้วเป็นเวอร์ชันที่ไม่เข้มงวดนักของการพิสูจน์การแทรกสอดกำลังสอง ซึ่งช่วยประหยัดความพยายามในการคำนวณอย่างมากโดยการเดารูปแบบฟังก์ชันที่ถูกต้อง)

ถ้าช่วงของการอินทิเกรตนั้น "เล็ก" ในแง่ใดแง่หนึ่ง กฎของซิมป์สันที่ใช้ช่วงย่อยจะให้ค่าประมาณที่เพียงพอต่อค่าอินทิกรัลที่แท้จริง คำว่า "เล็ก" ในที่นี้หมายความว่าฟังก์ชันที่กำลังอินทิเกรตนั้นค่อนข้างเรียบในช่วงนั้นสำหรับฟังก์ชันดังกล่าว ตัวประมาณค่าแบบกำลังสองที่เรียบอย่างเช่นที่ใช้ในกฎของซิมป์สันจะให้ผลลัพธ์ที่ดี ${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle n=2}$${\displaystyle [a,b]}$

อย่างไรก็ตาม บ่อยครั้งที่ฟังก์ชันที่เราพยายามหาปริพันธ์นั้นไม่ได้เรียบเนียนตลอดช่วง โดยทั่วไปแล้ว หมายความว่าฟังก์ชันนั้นมีการแกว่งสูงมาก หรือขาดอนุพันธ์ที่บางจุด ในกรณีเหล่านี้ กฎของซิมป์สันอาจให้ผลลัพธ์ที่ไม่ดีนัก วิธีการทั่วไปในการแก้ปัญหานี้คือการแบ่งช่วงออกเป็นช่วงย่อยเล็กๆ จากนั้นจึงใช้กฎของซิมป์สันกับแต่ละช่วงย่อย โดยนำผลลัพธ์มารวมกันเพื่อหาค่าประมาณของปริพันธ์ตลอดช่วงทั้งหมด วิธีการนี้เรียกว่ากฎซิมป์สันแบบผสม 1/3หรือเรียกสั้นๆ ว่ากฎ ซิมป์สันแบบผสม${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle n>2}$

สมมติว่าช่วงเวลาถูกแบ่งออกเป็นช่วงย่อย โดยมีจำนวนคู่แล้วกฎของซิมป์สันแบบผสมจะกำหนดโดย ${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

เมื่อแบ่งช่วงเวลา ออก เป็นช่วงย่อยที่มีความยาวและกำหนดจุดสำหรับ(โดยเฉพาะและ) เราจะได้ กฎประกอบนี้ ซึ่งสอดคล้องกับกฎของซิมป์สันแบบปกติในส่วนก่อนหน้า ${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle n}$${\displaystyle h=(ba)/n}$${\displaystyle x_{i}=a+ih}$${\displaystyle 0\leq i\leq n}$${\displaystyle x_{0}=a}$${\displaystyle x_{n}=b}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)\,dx&\approx {\frac {1}{3}}h\sum _{i=1}^{n/2}{\big [}f(x_{2i-2})+4f(x_{2i-1})+f(x_{2i}){\big ]}\\&={\frac {1}{3}}h{\big [}f(x_{0})+4f(x_{1})+2f(x_{2})+4f(x_{3})+2f(x_{4})+\dots +2f(x_{n-2})+4f(x_{n-1})+f(x_{n}){\big ]}\\&={\frac {1}{3}}h\left[f(x_{0})+4\sum _{i=1}^{n/2}f(x_{2i-1})+2\sum _{i=1}^{n/2-1}f(x_{2i})+f(x_{n})\right].\end{aligned}}}$$${\displaystyle n=2}$

ข้อผิดพลาดที่เกิดขึ้นจากกฎของซิมป์สันแบบผสมคือ โดยที่เป็นจำนวนบางจำนวนระหว่างและและคือ "ความยาวขั้นตอน" ^{[ 3 ] [ 4 ]}ข้อผิดพลาดมีขอบเขต (ในค่าสัมบูรณ์ ) โดย $${\displaystyle -{\frac {1}{180}}h^{4}(b-a)f^{(4)}(\xi ),}$$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle h=(b-a)/n}$$${\displaystyle {\frac {1}{180}}h^{4}(b-a)\max _{\xi \in [a,b]}\left|f^{(4)}(\xi )\right|.}$$

สูตรนี้แบ่งช่วงออกเป็นช่วงย่อยที่มีความยาวเท่ากัน ในทางปฏิบัติ มักจะเป็นประโยชน์มากกว่าที่จะใช้ช่วงย่อยที่มีความยาวต่างกันและมุ่งเน้นความพยายามไปที่จุดที่ฟังก์ชันอินทิกรัลมีพฤติกรรมไม่ดีนัก ซึ่งนำไปสู่วิธีซิมป์สันแบบปรับตัวได้ ${\displaystyle [a,b]}$

เนื่องจาก

$${\displaystyle \int _{1}^{2}{\frac {1}{x}}\,dx=\ln(2)-\ln(1)=\ln(2),}$$

สามารถสร้างค่าประมาณของ ได้โดยการประมาณค่าอินทิกรัลนี้ การใช้กฎ Simpson's 1/3 แบบผสมที่มี ช่วงจะให้ผลลัพธ์ ดังนี้${\displaystyle \ln(2)}$${\displaystyle n=6}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(2)=\int _{1}^{2}{\frac {1}{x}}\,dx&\approx {\frac {1}{18}}\left(\ 1+{\frac {24}{7}}+{\frac {3}{2}}+{\frac {8}{3}}+{\frac {6}{5}}+{\frac {24}{11}}+{\frac {1}{2}}\right)\\&\approx 0.69316,\end{aligned}}}$$

ซึ่งมีข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ประมาณ. ${\displaystyle 0.003\%}$

ในทางสถิติเมื่อข้อมูลมีแนวโน้มอยู่รอบค่ากลางโดยไม่มีอคติซ้ายหรือขวา จะกล่าวได้ว่าข้อมูลนั้นมีการกระจายแบบปกติในกรณีที่ค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น 1 เส้นโค้งจะกล่าวได้ว่ามี การกระจาย แบบปกติมาตรฐาน (หรือแบบเกาส์เซียนมาตรฐาน ) ^{[ 5 ]}สมการของการกระจายนี้คือ

$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp \left({\frac {-x^{2}}{2}}\right).}$$

ตามกฎ 68–95–99.7ประมาณ 68.27% ของค่าต่างๆ จะอยู่ภายในค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเดียวจากค่าเฉลี่ย ดังนั้น

$\int _{-1}^{1}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp \left({\frac {-x^{2}}{2}}\right)dx\approx 0.6827.$

ผลลัพธ์นี้สามารถตรวจสอบได้ด้วยกฎ Simpson's 1/3 แบบผสม โดยการใช้กฎนี้กับช่วงจะได้ผลลัพธ์ดังนี้ ${\displaystyle n=6}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-1}^{1}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp \left({\frac {-x^{2}}{2}}\right)\,dx&\approx {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\times {\frac {1}{9}}\left(\ {\frac {1}{e^{\frac {1}{2}}}}+{\frac {4}{e^{\frac {2}{9}}}}+{\frac {2}{e^{\frac {1}{18}}}}+{\frac {4}{1}}+{\frac {2}{e^{\frac {1}{18}}}}+{\frac {4}{e^{\frac {2}{9}}}}+{\frac {1}{e^{\frac {1}{2}}}}\right)\\&\approx {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\times 1.71142\\&\approx 0.6827,\end{aligned}}}$$

เป็นไปตามที่คาดไว้

ในทำนองเดียวกัน กฎ 68–95–99.7 กล่าวว่าประมาณ 95.45% ของค่าต่างๆ อยู่ภายในสองส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากค่าเฉลี่ย ดังนั้น

${\displaystyle \int _{-2}^{2}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp \left({\frac {-x^{2}}{2}}\right)dx\approx 0.9545.}$

เช่นเดียวกับที่กล่าวมาแล้ว ผลลัพธ์นี้สามารถตรวจสอบได้ด้วยกฎ Simpson's 1/3 แบบผสม โดยการใช้กฎนี้กับช่วงจะได้ผลลัพธ์ดังนี้ ${\displaystyle n=6}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-2}^{2}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp \left({\frac {-x^{2}}{2}}\right)\,dx&\approx {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\times {\frac {2}{9}}\left(\ {\frac {1}{e^{2}}}+{\frac {4}{e^{\frac {8}{9}}}}+{\frac {2}{e^{\frac {2}{9}}}}+{\frac {4}{1}}+{\frac {2}{e^{\frac {2}{9}}}}+{\frac {4}{e^{\frac {8}{9}}}}+{\frac {1}{e^{2}}}\right)\\&\approx {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\times 2.39167\\&\approx 0.9541,\end{aligned}}}$$

ซึ่งมีข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ประมาณช่วงของการอินทิเกรตสามารถสั้นลงได้ (ซึ่งจะช่วยลดข้อผิดพลาดจากการแบ่งช่วง ) โดยสังเกตว่าฟังก์ชันที่ต้องการอินทิเกรตเป็นฟังก์ชันคู่ดังนั้น ${\displaystyle 0.0419\%}$

$${\displaystyle \int _{-2}^{2}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp \left({\frac {-x^{2}}{2}}\right)\,dx=2\int _{0}^{2}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp \left({\frac {-x^{2}}{2}}\right)\,dx.}$$

อีกครั้งหนึ่ง การใช้กฎ 1/3 ของซิมป์สันเชิงประกอบกับช่วงจะให้ผลลัพธ์ดังนี้ ${\displaystyle n=6}$$${\displaystyle {\begin{aligned}2\int _{0}^{2}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp \left({\frac {-x^{2}}{2}}\right)\,dx&\approx {\frac {2}{\sqrt {2\pi }}}\times {\frac {1}{9}}\left(\ 1+{\frac {4}{e^{\frac {1}{18}}}}+{\frac {2}{e^{\frac {2}{9}}}}+{\frac {4}{e^{\frac {1}{2}}}}+{\frac {2}{e^{\frac {8}{9}}}}+{\frac {4}{e^{\frac {25}{18}}}}+{\frac {1}{e^{2}}}\right)\\&\approx {\frac {2}{\sqrt {2\pi }}}\times 1.19626\\&\approx 0.9544,\end{aligned}}}$$

ซึ่งมีค่าความคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์ที่ดีขึ้นประมาณแต่มีจำนวนช่วงเวลาเท่าเดิม ${\displaystyle 0.0104\%}$

เนื่องจาก

$${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx=\arctan(1)-\arctan(0)={\frac {\pi }{4}},}$$

สามารถจัดเรียงใหม่เพื่อให้ได้

$${\displaystyle \pi =4\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx.}$$

ดังนั้นสามารถสร้างค่าประมาณของ ได้โดยการประมาณค่าอินทิกรัลนี้ การใช้กฎ Simpson's 1/3 แบบผสมที่มีช่วงจะให้ผลลัพธ์ ดังนี้${\displaystyle \pi }$${\displaystyle n=6}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\pi =4\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx&\approx {\frac {2}{9}}\left(\ 1+{\frac {144}{37}}+{\frac {9}{5}}+{\frac {16}{5}}+{\frac {18}{13}}+{\frac {144}{61}}+{\frac {1}{2}}\right)\\&\approx 3.141591,\end{aligned}}}$$

ซึ่งน่าทึ่งมากที่มีข้อผิดพลาดสัมพัทธ์เพียงประมาณเท่านั้น ${\displaystyle 0.00002\%}$

สมมติว่าเราต้องการหาจำนวนช่วงที่จำเป็นในการประมาณค่าโดยมีข้อผิดพลาดสัมบูรณ์น้อยกว่าพจน์ข้อผิดพลาดในกฎซิมป์สันแบบผสม 1/3 คือ ${\displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin(x)\,dx}$${\displaystyle 0.00001}$

$${\displaystyle -{\frac {\pi h^{4}}{180}}\sin(\xi )}$$

สำหรับบางค่าระหว่างและเนื่องจากค่าความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์ต้องน้อยกว่าเราจึงสามารถคำนวณได้ ${\displaystyle \xi }$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle 0.00001}$

$${\displaystyle \left|{\frac {\pi h^{4}}{180}}\sin(\xi )\right|\leq {\frac {\pi h^{4}}{180}}={\frac {\pi ^{5}}{180n^{4}}}<0.00001}$$

ซึ่งให้

$${\displaystyle n>{\sqrt[{4}]{\frac {\pi ^{5}}{0.0018}}}\approx 20.3,}$$

ดังนั้นจึงจะสร้างความแม่นยำตามที่ต้องการได้ ${\displaystyle n=22}$

เพื่อเป็นการเปรียบเทียบ สมมติว่าเราต้องการมั่นใจในระดับความแม่นยำนี้โดยใช้กฎสี่เหลี่ยมคางหมูแบบผสมในกรณีนี้ ค่าความคลาดเคลื่อนคือ

$${\displaystyle -{\frac {\pi h^{2}}{12}}\sin(\xi )}$$

สำหรับบางค่าระหว่างและเนื่องจากค่าความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์ต้องน้อยกว่าเราจึงสามารถคำนวณได้ ${\displaystyle \xi }$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle 0.00001}$

$${\displaystyle \left|{\frac {\pi h^{2}}{12}}\sin(\xi )\right|\leq {\frac {\pi h^{2}}{12}}={\frac {\pi ^{3}}{12n^{2}}}<0.00001}$$

ซึ่งให้

$${\displaystyle n>{\sqrt {\frac {\pi ^{3}}{0.00012}}}\approx 508.3,}$$

ดังนั้นจึงรับประกันความแม่นยำที่ต้องการได้ วิธีการนี้ใช้การคำนวณมากกว่ากฎ 1/3 ของ Simpson แบบผสมอย่างมาก ${\displaystyle n=509}$

กฎ 3/8 ของซิมป์สัน หรือที่เรียกว่ากฎที่สองของซิมป์สัน เป็นอีกวิธีหนึ่งสำหรับการหาปริพันธ์เชิงตัวเลขที่เสนอโดยโทมัส ซิมป์สัน โดยอาศัยการประมาณค่าแบบลูกบาศก์แทนที่จะเป็นการประมาณค่าแบบกำลังสอง

พิจารณาการหาพื้นที่ใต้กราฟกำลังสามทั่วไประหว่างและสำหรับจำนวนบวกบางจำนวนซึ่งกำหนดโดย ${\displaystyle A}$${\displaystyle y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d}$${\displaystyle x=-h}$${\displaystyle x=2h}$${\displaystyle h}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\int _{-h}^{2h}\left(ax^{3}+bx^{2}+cx+d\right)\,dx\\[1ex]&=\left[{\frac {1}{4}}ax^{4}+{\frac {1}{3}}bx^{3}+{\frac {1}{2}}cx^{2}+dx\right]_{x=-h}^{x=2h}\\[1ex]&=\left(4ah^{4}+{\frac {8}{3}}bh^{3}+2ch^{2}+2dh\right)-\left({\frac {1}{4}}ah^{4}-{\frac {1}{3}}bh^{3}+{\frac {1}{2}}ch^{2}-dh\right)\\[1ex]&={\frac {15}{4}}ah^{4}+3bh^{3}+{\frac {3}{2}}ch^{2}+3dh\\[1ex]&={\frac {3h}{8}}\left[10ah^{3}+8bh^{2}+4ch+8d\right].\end{aligned}}}$$

สมมติว่ามีจุดสี่จุดที่เว้นระยะห่างเท่าๆ กันตลอดช่วงการอินทิเกรต ได้แก่, , และเมื่อแทนค่าจุดทั้งสี่นี้ลงในสูตรกำลังสามจะได้ ${\displaystyle (-h,y_{0})}$${\displaystyle (0,y_{1})}$${\displaystyle (h,y_{2})}$${\displaystyle (2h,y_{3})}$

$${\displaystyle y_{0}=-ah^{3}+bh^{2}-ch+d}$$$${\displaystyle y_{1}=d}$$$${\displaystyle y_{2}=ah^{3}+bh^{2}+ch+d}$$$${\displaystyle y_{3}=8ah^{3}+4bh^{2}+2ch+d.}$$

เมื่อรวมสมการแรกและสมการที่สามเข้าด้วยกันจะได้

$${\displaystyle y_{0}+y_{2}=2bh^{2}+2d}$$

และเมื่อนำสมการที่สี่มาบวกกับสองเท่าของสมการที่สามจะได้

$${\displaystyle y_{3}+2y_{2}=10ah^{3}+6bh^{2}+4ch+3d.}$$

ตอนนี้เรามี

$${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {3h}{8}}\left[10ah^{3}+8bh^{2}+4ch+8d\right]\\&={\frac {3h}{8}}\left[\underbrace {10ah^{3}+6bh^{2}+4ch+3d} _{y_{3}+2y_{2}}+\underbrace {2bh^{2}+2d} _{y_{0}+y_{2}}+3\underbrace {d} _{y_{1}}\right]\\&={\frac {3h}{8}}\left[y_{0}+3y_{1}+3y_{2}+y_{3}\right].\end{aligned}}}$$

กฎ 3/8 ของซิมป์สันส์ประมาณค่าอินทิกรัลจำกัดในช่วง[a, b]โดยแทนที่ตัวถูกอินทิกรัลด้วยฟังก์ชันกำลังสามซึ่งประมาณค่าฟังก์ชันที่จุดสี่จุดที่เว้นระยะห่างเท่ากัน คือ, , และโดยที่คือขนาดของช่วงก้าว ซึ่งจะได้ผลลัพธ์ดังนี้ ${\displaystyle x=a}$${\displaystyle x=a+h}$${\displaystyle x=a+2h}$${\displaystyle x=a+3h=b}$${\displaystyle h={\frac {b-a}{3}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx A&={\frac {3}{8}}h\left[f(a)+3f\left(a+h\right)+3f\left(a+2h\right)+f(b)\right].\end{aligned}}}$$

ข้อผิดพลาดของวิธีนี้คือ โดยที่เป็นตัวเลขบางตัวระหว่างและดังนั้น กฎ 3/8 จึงมีความแม่นยำมากกว่าวิธีมาตรฐานประมาณสองเท่า แต่ใช้ค่าฟังก์ชันเพิ่มอีกหนึ่งค่า นอกจากนี้ยังมีกฎ 3/8 แบบผสม ซึ่งคล้ายคลึงกับข้างต้น^{[ 6 ]}$${\displaystyle -{\frac {3}{80}}h^{5}f^{(4)}(\xi )=-{\frac {(b-a)^{5}}{6480}}f^{(4)}(\xi ),}$$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

สูตรนิวตัน-โคทส์เป็นการ ขยายแนวคิดนี้เพิ่มเติมสำหรับการประมาณค่าในช่วงด้วยพหุนามดีกรีใดๆ

เมื่อแบ่งช่วงเวลา ออก เป็นช่วงย่อยที่มีความยาวและกำหนดจุดสำหรับ(โดยเฉพาะและ) เราจะได้ ${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle n}$${\displaystyle h=(b-a)/n}$${\displaystyle x_{i}=a+ih}$${\displaystyle 0\leq i\leq n}$${\displaystyle x_{0}=a}$${\displaystyle x_{n}=b}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)\,dx&\approx {\frac {3}{8}}h\sum _{i=1}^{n/3}{\big [}f(x_{3i-3})+3f(x_{3i-2})+3f(x_{3i-1})+f(x_{3i}){\big ]}\\&={\frac {3}{8}}h{\big [}f(x_{0})+3f(x_{1})+3f(x_{2})+2f(x_{3})+3f(x_{4})+3f(x_{5})+2f(x_{6})+\dots \\&\qquad +2f(x_{n-3})+3f(x_{n-2})+3f(x_{n-1})+f(x_{n}){\big ]}\\&={\frac {3}{8}}h\left[f(x_{0})+3\sum _{i=1,\ 3\nmid i}^{n-1}f(x_{i})+2\sum _{i=1}^{n/3-1}f(x_{3i})+f(x_{n})\right].\end{aligned}}}$$

ในขณะที่ส่วนที่เหลือของกฎแสดงเป็น^{[ 6 ]} เราสามารถใช้ได้เฉพาะเมื่อเป็นพหุคูณของสามเท่านั้น กฎ 1/3 สามารถใช้สำหรับช่วงย่อยที่เหลือโดยไม่ต้องเปลี่ยนลำดับของพจน์ข้อผิดพลาด (ในทางกลับกัน กฎ 3/8 สามารถใช้ร่วมกับกฎ 1/3 แบบผสมสำหรับช่วงย่อยเลขคี่) ${\displaystyle -{\frac {1}{80}}h^{4}(b-a)f^{(4)}(\xi ),}$${\displaystyle n}$

สมมติว่าเราต้องการคำนวณความยาวส่วนโค้ง , , ของเส้นโค้งไซน์ในช่วงครึ่งคาบ โดยใช้สูตรความยาวส่วนโค้ง สามารถแสดงได้ดังนี้ ${\displaystyle L}$${\displaystyle y=\sin(x)}$

$${\displaystyle L=\int _{0}^{\pi }{\sqrt {1+(y')^{2}}}\,dx=\int _{0}^{\pi }{\sqrt {1+[\cos(x)]^{2}}}\,dx}$$

ซึ่งเป็นปริพันธ์ที่ไม่ใช่ปริพันธ์พื้นฐานแต่สามารถแสดงได้ว่าโดยที่คือค่าคงที่ของเลมนิสเคต ${\displaystyle {\frac {\pi }{\varpi }}+\varpi \approx 3.820197789}$${\displaystyle \varpi }$

การใช้กฎ 3/8 ของซิมป์สันร่วมกับช่วงห่างจะได้ผลลัพธ์ดังนี้ ${\displaystyle n=6}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}L=\int _{0}^{\pi }{\sqrt {1+[\cos(x)]^{2}}}\,dx&\approx {\frac {\pi }{16}}{\dot {\left(\ {\sqrt {2}}+{\frac {3{\sqrt {7}}}{2}}+{\frac {3{\sqrt {5}}}{2}}+2+{\frac {3{\sqrt {5}}}{2}}+{\frac {3{\sqrt {7}}}{2}}+{\sqrt {2}}\right)}}\\&={\frac {\pi }{16}}\left(2{\sqrt {2}}+3{\sqrt {7}}+3{\sqrt {5}}+2\right)\\&\approx 3.823688376,\end{aligned}}}$$

ซึ่งมีค่าความคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์ที่ยอมรับได้เพียง. ${\displaystyle 0.0913\%}$

นี่เป็นการกำหนดกฎของซิมป์สันแบบผสมอีกรูปแบบหนึ่ง: แทนที่จะใช้กฎของซิมป์สันกับส่วนที่แยกจากกันของอินทิกรัลที่จะประมาณค่า กฎของซิมป์สันจะถูกนำไปใช้กับส่วนที่ทับซ้อนกัน ทำให้ได้^{[ 7 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {1}{48}}h{\bigg [}&17f(x_{0})+59f(x_{1})+43f(x_{2})+49f(x_{3})\\+&48\sum _{i=4}^{n-4}f(x_{i})\\+&49f(x_{n-3})+43f(x_{n-2})+59f(x_{n-1})+17f(x_{n}){\bigg ]}\end{aligned}}}$$ สูตรข้างต้นได้มาจากการรวมกฎซิมป์สัน 1/3 แบบผสมเข้ากับกฎซิมป์สัน 3/8 ในช่วงย่อยสุดขั้ว และกฎซิมป์สัน 1/3 ในช่วงย่อยที่เหลือ จากนั้นจึงหาค่าเฉลี่ยของทั้งสองสูตร

ในการประมาณพื้นที่ทั้งหมดของฟังก์ชันที่มีลักษณะคล้ายยอดแหลมแคบ กฎของซิมป์สันมีประสิทธิภาพน้อยกว่ากฎสี่เหลี่ยมคางหมู มาก กล่าวคือ กฎซิมป์สัน 1/3 แบบผสมต้องใช้จุดมากกว่ากฎสี่เหลี่ยมคางหมูถึง 1.8 เท่าเพื่อให้ได้ความแม่นยำเท่ากัน^{[ 8 ]}กฎซิมป์สัน 3/8 แบบผสมมีความแม่นยำน้อยกว่า การอินทิเกรตโดยใช้กฎซิมป์สัน 1/3 สามารถแสดงได้เป็นค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก โดย 2/3 ของค่ามาจากการอินทิเกรตโดยใช้กฎสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีขั้นตอนhและ 1/3 ของค่ามาจากการอินทิเกรตโดยใช้กฎสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีขั้นตอน 2h ความแม่นยำถูกควบคุมโดยพจน์ที่สอง ( ขั้นตอน 2h ) การหาค่าเฉลี่ยของผลรวมแบบผสมของกฎซิมป์สัน 1/3 ด้วยเฟรมที่เลื่อนอย่างเหมาะสมจะสร้างกฎต่อไปนี้: โดยที่จุดสองจุดที่อยู่นอกพื้นที่อินทิเกรตจะถูกนำมาใช้ และ โดยที่ใช้เฉพาะจุดที่อยู่ภายในพื้นที่อินทิเกรตเท่านั้น การนำกฎข้อที่สองไปใช้กับบริเวณที่มี 3 จุด จะได้กฎของซิมป์สัน 1/3 ส่วนบริเวณที่มี 4 จุด จะได้กฎของซิมป์สัน 3/8 $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {1}{24}}h\left[-f(x_{-1})+12f(x_{0})+25f(x_{1})+24\sum _{i=2}^{n-2}f(x_{i})+25f(x_{n-1})+12f(x_{n})-f(x_{n+1})\right],}$$$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {1}{24}}h\left[9f(x_{0})+28f(x_{1})+23f(x_{2})+24\sum _{i=3}^{n-3}f(x_{i})+23f(x_{n-2})+28f(x_{n-1})+9f(x_{n})\right],}$$

กฎเหล่านี้คล้ายคลึงกับกฎของซิมป์สันแบบขยายทางเลือกมาก สัมประสิทธิ์ภายในส่วนใหญ่ของบริเวณที่กำลังทำการอินทิเกรตจะมีค่าเท่ากับสัมประสิทธิ์ที่ไม่ใช่หน่วยเฉพาะที่ขอบเท่านั้น กฎทั้งสองนี้สามารถเชื่อมโยงกับสูตรออยเลอร์-แมคลาลินที่มีพจน์อนุพันธ์อันดับแรกและเรียกว่ากฎการอินทิเกรตออยเลอร์-แมคลาลินอันดับแรก^{[ 8 ]}กฎทั้งสองที่นำเสนอข้างต้นแตกต่างกันเพียงวิธีการคำนวณอนุพันธ์อันดับแรกที่ปลายบริเวณ พจน์อนุพันธ์อันดับแรกในกฎการอินทิเกรตออยเลอร์-แมคลาลินจะคำนึงถึงอินทิกรัลของอนุพันธ์อันดับสองซึ่งเท่ากับผลต่างของอนุพันธ์อันดับแรกที่ขอบของบริเวณการอินทิเกรต เป็นไปได้ที่จะสร้างกฎออยเลอร์-แมคลาลินอันดับสูงกว่าโดยการเพิ่มผลต่างของอนุพันธ์อันดับที่ 3, 5 และอื่นๆ ที่มีสัมประสิทธิ์ตามที่กำหนดโดยสูตรออยเลอร์-แมคลาลิน

สำหรับบางแอปพลิเคชัน ช่วงการอินทิเกรตจำเป็นต้องแบ่งออกเป็นช่วงที่ไม่เท่ากัน อาจเนื่องมาจากการสุ่มตัวอย่างข้อมูลที่ไม่สม่ำเสมอ หรือจุดข้อมูลที่หายไปหรือเสียหาย สมมติว่าเราแบ่งช่วงออกเป็น ช่วงย่อย จำนวนคู่ที่มีความกว้างจากนั้นกฎของซิมป์สันแบบผสมจะกำหนดโดย^{[ 9 ]} โดยที่ คือค่าฟังก์ชันที่ จุดสุ่มตัวอย่างที่ บน ช่วง${\displaystyle I=[a,b]}$${\displaystyle I}$${\displaystyle N}$${\displaystyle h_{k}}$$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{i=0}^{N/2-1}{\frac {h_{2i}+h_{2i+1}}{6}}\left[\left(2-{\frac {h_{2i+1}}{h_{2i}}}\right)f_{2i}+{\frac {(h_{2i}+h_{2i+1})^{2}}{h_{2i}h_{2i+1}}}f_{2i+1}+\left(2-{\frac {h_{2i}}{h_{2i+1}}}\right)f_{2i+2}\right],}$$$${\displaystyle f_{k}=f\left(a+\sum _{i=0}^{k-1}h_{i}\right)}$$${\displaystyle k}$${\displaystyle I}$

ในกรณีที่จำนวนช่วงย่อยเป็นเลขคี่${\displaystyle N}$สูตรข้างต้นจะใช้ได้จนถึงช่วงก่อนสุดท้าย และช่วงสุดท้ายจะถูกจัดการแยกต่างหากโดยการเพิ่มสิ่งต่อไปนี้ลงในผลลัพธ์: ^{[ 10 ]} โดยที่ $${\displaystyle \alpha f_{N}+\beta f_{N-1}-\eta f_{N-2},}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &={\frac {2h_{N-1}^{2}+3h_{N-1}h_{N-2}}{6(h_{N-2}+h_{N-1})}},\\[1ex]\beta &={\frac {h_{N-1}^{2}+3h_{N-1}h_{N-2}}{6h_{N-2}}},\\[1ex]\eta &={\frac {h_{N-1}^{3}}{6h_{N-2}(h_{N-2}+h_{N-1})}}.\end{aligned}}}$$

จากcollections.abc นำเข้าSequencedef simpson_nonuniform ( x : Sequence [ float ], f : Sequence [ float ]) -> float : """  กฎของ Simpson สำหรับข้อมูลที่มีระยะห่างไม่สม่ำเสมอ :param x: จุดสุ่มตัวอย่างสำหรับค่าฟังก์ชัน :param f: ค่าฟังก์ชัน ณ จุดสุ่มตัวอย่าง :return: ค่าประมาณสำหรับอินทิกรัล ดู ``scipy.integrate.simpson`` และ ``_basic_simpson`` ที่อยู่เบื้องหลัง เพื่อการใช้งานที่มีประสิทธิภาพมากขึ้นโดยใช้ broadcast ของ numpy  """ N = len ( x ) - 1 h = [ x [ i + 1 ] - x [ i ] for i in range ( 0 , N )] assert N > 0ผลลัพธ์= 0.0 สำหรับi ในช่วง( 1 , N , 2 ): h0 , h1 = h [ i - 1 ], h [ i ] hph , hdh , hmh = h1 + h0 , h1 / h0 , h1 * h0 ผลลัพธ์+= ( hph / 6 ) * ( ( 2 - hdh ) * f [ i - 1 ] + ( hph ** 2 / hmh ) * f [ i ] + ( 2 - 1 / hdh ) * f [ i + 1 ] )ถ้าN % 2 == 1 : h0 , h1 = h [ N - 2 ], h [ N - 1 ] ผลลัพธ์+= f [ N ] * ( 2 * h1 ** 2 + 3 * h0 * h1 ) / ( 6 * ( h0 + h1 )) ผลลัพธ์+= f [ N - 1 ] * ( h1 ** 2 + 3 * h1 * h0 ) / ( 6 * h0 ) ผลลัพธ์-= f [ N - 2 ] * h1 ** 3 / ( 6 * h0 * ( h0 + h1 )) ส่งคืนผลลัพธ์

SimpsonInt <- function ( fx , dx ) { n <- length ( dx ) h <- diff ( dx ) stopifnot ( exprs = { length ( fx ) == n all ( h >= 0 ) }) res <- 0 for ( i in seq ( 1L , n - 2L , 2L )) { hph <- h [ i ] + h [ i + 1L ] hdh <- h [ i + 1L ] / h [ i ] res <- res + hph / 6 * (( 2 - hdh ) * fx [ i ] + hph ^ 2 / ( h [ i ] * h [ i + 1L ]) * fx [ i + 1L ] + ( 2 - 1 / hdh ) * fx [ i + 2L ]) }ถ้า( n %% 2 == 0 ) { hph <- h [ n - 1L ] + h [ n - 2L ] threehth <- 3 * h [ n - 1L ] * h [ n - 2L ] sixh2 <- 6 * h [ n - 2L ] h1sq <- h [ n - 1L ] ^ 2 res <- res + ( 2 * h1sq + threehth ) / ( 6 * hph ) * fx [ n ] + ( h1sq + threehth ) / sixh2 * fx [ n - 1L ] - ( h1sq * h [ n - 1L ]) / ( sixh2 * hph ) * fx [ n - 2L ] } res }

คุณสมบัติสำคัญอย่างหนึ่งของกฎของซิมป์สัน ซึ่งเป็นคุณสมบัติร่วมกันในสูตรนิวตัน-โคทส์ ทั้งหมด คือ ความเสถียรต่อข้อผิดพลาดจากการปัดเศษ เพื่อแสดงให้เห็นภาพ สมมติว่าเราใช้กฎของซิมป์สันแบบผสมที่มีช่วงย่อยกับฟังก์ชันบางฟังก์ชันในช่วง[a, b]ให้แทนข้อผิดพลาดจากการปัดเศษเมื่อคำนวณค่า และแทนข้อผิดพลาดสะสมทั้งหมดในกฎของซิมป์สันแบบผสม โดยที่ ${\displaystyle n}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle e_{i}}$${\displaystyle f(x_{i})}$${\displaystyle E(h)}$${\displaystyle h={\frac {b-a}{n}}}$

ตามนิยามแล้ว $${\displaystyle {\begin{aligned}E(h)&=\left|{\frac {h}{3}}\left[e_{0}+2\sum _{j=1}^{(n/2)-1}e_{2j}+4\sum _{j=1}^{n/2}e_{2j-1}+e_{n}\right]\right|\\&\leq {\frac {h}{3}}\left[\left|e_{0}\right|+2\sum _{j=1}^{(n/2)-1}\left|e_{2j}\right|+4\sum _{j=1}^{n/2}\left|e_{2j-1}\right|+\left|e_{n}\right|\right].\end{aligned}}}$$

หากสมมติว่าข้อผิดพลาดจากการปัดเศษมีค่าจำกัดเราจะได้ ${\displaystyle \varepsilon >0}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}E(h)&\leq {\frac {h}{3}}\left[\varepsilon +2\left({\frac {n}{2}}-1\right)\varepsilon +4\left({\frac {n}{2}}\right)\varepsilon +\varepsilon \right]\\&={\frac {h}{3}}3n\varepsilon \\[1ex]&=nh\varepsilon \\[1ex]&=n\left({\frac {b-a}{n}}\right)\varepsilon \\&=(b-a)\varepsilon ,\end{aligned}}}$$

ซึ่งเป็นขอบเขตที่ไม่ขึ้นอยู่กับดังนั้นกระบวนการจึงมีเสถียรภาพเมื่อเข้าใกล้ศูนย์ ซึ่งแตกต่างจาก เทคนิค การหาอนุพันธ์เชิงตัวเลขซึ่งมีสภาพไม่ดี ${\displaystyle h}$${\displaystyle h}$

• สูตรนิวตัน-โคตส์
• การคำนวณเชิงตัวเลขแบบเกาส์เซียน

• "สูตรซิมป์สัน"สารานุกรมคณิตศาสตร์สำนักพิมพ์ EMS 2001 [1994]
• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "กฎของซิมป์สัน" . แมธเวิลด์ .
• กฎการอินทิเกรต 1/3 ของซิมป์สัน — บันทึก, สไลด์นำเสนอ, Mathcad, Matlab, Mathematica, Mapleในวิชาวิธีการเชิงตัวเลขสำหรับนักศึกษาปริญญาตรีด้านวิทยาศาสตร์ เทคโนโลยี วิศวกรรมศาสตร์ และคณิตศาสตร์ (STEM)
• Dorai Sitaram ได้อธิบายรายละเอียดเกี่ยวกับการนำไปใช้งานบนคอมพิวเตอร์ไว้ในหนังสือTeach Yourself Scheme in Fixnum Days ภาคผนวก C

บทความนี้ได้นำเนื้อหาจากกฎของ Code for Simpson บนPlanetMath มาใช้ ซึ่งได้รับอนุญาตภายใต้Creative Commons Attribution/Share-Alike License