ในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ทฤษฎีบทค่ากลางกล่าวว่า ถ้าเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่มีโดเมน ครอบคลุม ช่วง[ a , b ]และเป็นจำนวนที่ทำให้แล้วจะมีบางค่าอยู่ระหว่างและที่ทำให้นั่นคือภาพของฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง เป็นช่วงที่ประกอบด้วย ${\displaystyle f}$${\displaystyle s}$${\displaystyle f(a)<s<f(b)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle f(x)=s}$${\displaystyle f(a),f(b)}$

ตัวอย่างเช่น สมมติว่าแล้วกราฟของจะต้องผ่านเส้นแนวนอนขณะที่เคลื่อนจากไปยังตลอดช่วง ชุดค่าของฟังก์ชันไม่มีช่องว่าง และสามารถวาดกราฟได้โดยไม่ต้องยกดินสอออกจากกระดาษ ${\displaystyle f\in C([1,2]),f(1)=3,f(2)=5}$${\displaystyle y=f(x)}$${\displaystyle y=4}$${\displaystyle x}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 2}$

ทฤษฎีบทของโบลซาโนซึ่งเป็นบทสรุป กล่าวว่า ถ้าฟังก์ชันต่อเนื่องมีค่าที่มีเครื่องหมายตรงข้ามกันภายในช่วงหนึ่ง ฟังก์ชันนั้นจะมีรากอยู่ในช่วงนั้น^{[ 1 ] [ 2 ]}ทฤษฎีบทนี้ขึ้นอยู่กับ และเทียบเท่ากับความสมบูรณ์ของจำนวนจริงแม้ว่าWeierstrass Nullstellensatzจะเป็นเวอร์ชันหนึ่งของทฤษฎีบทค่ากลางสำหรับพหุนามเหนือฟิลด์ปิดจริงก็ตาม

ผลลัพธ์ที่คล้ายคลึงกับทฤษฎีบทค่ากลางคือทฤษฎีบทบอร์ซุก-อูแลมซึ่งเป็นพื้นฐานว่าทำไมการหมุนโต๊ะที่โยกเยกจะทำให้โต๊ะนั้นมั่นคงเสมอทฤษฎีบทของดาร์บูซ์กล่าวว่า ฟังก์ชันทั้งหมดที่ได้จากการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันอื่นบนช่วงใดช่วงหนึ่งจะมีคุณสมบัติค่ากลางแม้ว่าฟังก์ชันเหล่านั้นไม่จำเป็นต้องต่อเนื่องก็ตาม

สิ่งนี้แสดงให้เห็นถึงคุณสมบัติเชิงสัญชาตญาณของฟังก์ชันต่อเนื่องบนจำนวนจริง : เมื่อกำหนด ฟังก์ชัน ต่อเนื่องบนช่วงปิดที่มีค่าที่ทราบแล้วคือ และกราฟของจะต้องผ่านเส้นแนวนอนในขณะที่เคลื่อนจากไปยังสิ่งนี้แสดงให้เห็นถึงแนวคิดที่ว่ากราฟของฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วงปิดสามารถวาดได้โดยไม่ต้องยกดินสอออกจากกระดาษ ${\displaystyle f}$${\displaystyle [1,2]}$${\displaystyle f(1)=3}$${\displaystyle f(2)=5}$${\displaystyle y=f(x)}$${\displaystyle y=4}$${\displaystyle x}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 2}$

ทฤษฎีบทค่ากลางกล่าวไว้ดังนี้:

พิจารณาช่วงปิดของจำนวนจริงและฟังก์ชันต่อเนื่องแล้ว ${\displaystyle I=[a,b]}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} }$

• เวอร์ชัน 1.ถ้าเป็นจำนวนระหว่างและนั่นคือจะมีค่า อยู่ค่าหนึ่งที่ทำให้${\displaystyle u}$${\displaystyle f(a)}$${\displaystyle f(b)}$$${\displaystyle \min(f(a),f(b))<u<\max(f(a),f(b)),}$$${\displaystyle c\in (a,b)}$${\displaystyle f(c)=u}$
• เวอร์ชัน IIชุดภาพ ยังเป็นช่วงปิด และประกอบด้วยนั่นคือเซตของค่าฟังก์ชันไม่มีช่องว่าง สำหรับค่าฟังก์ชันสองค่าใดๆที่มีทุกจุดในช่วงนั้นก็เป็นค่าฟังก์ชันเช่นกันโดยพื้นฐานแล้ว เซตย่อยของจำนวนจริงที่ไม่มีช่องว่างภายในคือช่วง${\displaystyle f(I)}$${\displaystyle {\bigl [}\min(f(a),f(b)),\max(f(a),f(b)){\bigr ]}}$${\displaystyle c,d\in f(I)}$${\displaystyle c<d}$${\displaystyle {\bigl [}c,d{\bigr ]}}$$${\displaystyle {\bigl [}c,d{\bigr ]}\subseteq f(I).}$$

เวอร์ชัน Iนั้นรวมอยู่ในเวอร์ชัน II โดยธรรมชาติอยู่ แล้ว

ทฤษฎีบทนี้ขึ้นอยู่กับ และเทียบเท่ากับความสมบูรณ์ของจำนวนจริงทฤษฎีบทค่ากลางใช้ไม่ได้กับจำนวนตรรกยะQเพราะมีช่องว่างระหว่างจำนวนตรรกยะจำนวนอตรรกยะจะเติมเต็มช่องว่างเหล่านั้น ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันสำหรับสอดคล้องกับและอย่างไรก็ตาม ไม่มีจำนวนตรรกยะใดที่เพราะเป็นจำนวนอตรรกยะ ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$${\displaystyle x\in \mathbb {Q} }$${\displaystyle f(0)=0}$${\displaystyle f(2)=4}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x)=2}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

อย่างไรก็ตาม ยังมีทฤษฎีบทค่ากลางสำหรับพหุนามบนฟิลด์ปิดจริงอีกรูป แบบหนึ่ง โปรดดูที่Weierstrass Nullstellensatz

ทฤษฎีบทนี้สามารถพิสูจน์ได้เนื่องจาก คุณสมบัติ ความสมบูรณ์ของจำนวนจริงดังต่อไปนี้: ^{[ 3 ]}

เราจะพิสูจน์กรณีแรกกรณีที่สองก็คล้ายกัน ${\displaystyle f(a)<u<f(b)}$

1. ให้เป็นเซตของทั้งหมดที่มีคุณสมบัติว่า${\displaystyle S}$${\displaystyle x\in [a,b]}$${\displaystyle f(x)<u}$
2. ดังนั้นจึงไม่ว่างเปล่า เนื่องจากเป็นสมาชิกของ${\displaystyle S}$${\displaystyle a}$${\displaystyle S}$
3. เนื่องจากเซตไม่ว่างเปล่าและมีขอบเขตบนโดย ดังนั้นโดยหลักความสมบูรณ์ค่า สูงสุดจึง มีอยู่ นั่นคือคือจำนวนที่เล็กที่สุดที่มากกว่าหรือเท่ากับสมาชิกทุกตัวของเซต${\displaystyle S}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c=\sup S}$${\displaystyle c}$${\displaystyle S}$

โปรดทราบว่า เนื่องจากการต่อเนื่องของat เราจึงสามารถรักษาค่าให้อยู่ภายในค่าใดๆของ ได้โดยการรักษาค่าให้อยู่ใกล้กับค่า มากพอเนื่องจากเป็นอสมการที่เข้มงวด ลองพิจารณาความหมายเมื่อเป็นระยะห่างระหว่างและไม่มีค่าใดที่อยู่ใกล้กับค่า มากพอที่จะทำให้มากกว่าหรือเท่ากับซึ่งหมายความว่ามีค่าที่มากกว่าในการพิสูจน์โดยละเอียดมีดังนี้: ${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle f(a)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f(a)<u}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle u}$${\displaystyle f(a)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle u}$${\displaystyle a}$${\displaystyle S}$

1. เลือก. จากนั้นให้,${\displaystyle \varepsilon =u-f(a)>0}$${\displaystyle \exists \delta >0}$${\displaystyle \forall x\in [a,b]}$$${\displaystyle |x-a|<\delta \implies |f(x)-f(a)|<u-f(a)\implies f(x)<u.}$$
2. พิจารณาช่วงเวลาสังเกตว่าและทุกๆสอดคล้องกับเงื่อนไขดังนั้นสำหรับทุกๆเราจะได้ดังนั้น จึงไม่สามารถเป็นได้${\displaystyle [a,\min(a+\delta ,b))=I_{1}}$${\displaystyle I_{1}\subseteq [a,b]}$${\displaystyle x\in I_{1}}$${\displaystyle |x-a|<\delta }$${\displaystyle x\in I_{1}}$${\displaystyle f(x)<u}$${\displaystyle c}$${\displaystyle a}$

ในทำนองเดียวกัน เนื่องจากความต่อเนื่องของat เราจึงสามารถรักษาให้อยู่ภายในช่วงใดๆของ ได้โดยการรักษาให้อยู่ใกล้กับ มากพอเนื่องจากเป็นอสมการที่เข้มงวด ลองพิจารณาความหมายที่คล้ายกันเมื่อเป็นระยะห่างระหว่างและทุกค่าที่อยู่ใกล้กับ มากพอจะต้องทำให้มากกว่าซึ่งหมายความว่ามีค่าที่เล็กกว่าที่เป็นขอบเขตบนของการพิสูจน์โดยละเอียดมีดังนี้: ${\displaystyle f}$${\displaystyle b}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle f(b)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle b}$${\displaystyle u<f(b)}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle u}$${\displaystyle f(b)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle b}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle u}$${\displaystyle b}$${\displaystyle S}$

1. เลือก. จากนั้นให้,${\displaystyle \varepsilon =f(b)-u>0}$${\displaystyle \exists \delta >0}$${\displaystyle \forall x\in [a,b]}$$${\displaystyle |x-b|<\delta \implies |f(x)-f(b)|<f(b)-u\implies f(x)>u.}$$
2. พิจารณาช่วงเวลาสังเกตว่าและทุกๆสอดคล้องกับเงื่อนไขดังนั้นสำหรับทุกๆเราจะได้ดังนั้น จึงไม่สามารถเป็นได้${\displaystyle (\max(a,b-\delta ),b]=I_{2}}$${\displaystyle I_{2}\subseteq [a,b]}$${\displaystyle x\in I_{2}}$${\displaystyle |x-b|<\delta }$${\displaystyle x\in I_{2}}$${\displaystyle f(x)>u}$${\displaystyle c}$${\displaystyle b}$

ด้วยและจึงต้องเป็นเช่นนั้นตอนนี้เราอ้างว่า ${\displaystyle c\neq a}$${\displaystyle c\neq b}$${\displaystyle c\in (a,b)}$${\displaystyle f(c)=u}$

กำหนดค่าบางค่าเนื่องจากมีความต่อเนื่อง ที่ดังนั้น.${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \exists \delta _{1}>0}$${\displaystyle \forall x\in [a,b]}$${\displaystyle |x-c|<\delta _{1}\implies |f(x)-f(c)|<\varepsilon }$

เนื่องจากและ เป็น เซตเปิดดังนั้น กำหนดให้ดังนั้นเราจึงได้ ${\displaystyle c\in (a,b)}$${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle \exists \delta _{2}>0}$${\displaystyle (c-\delta _{2},c+\delta _{2})\subseteq (a,b)}$${\displaystyle \delta =\min(\delta _{1},\delta _{2})}$

$${\displaystyle f(x)-\varepsilon <f(c)<f(x)+\varepsilon }$$ สำหรับทุก ๆโดยคุณสมบัติของค่าสูงสุด จะมีบางค่าที่อยู่ในและดังนั้น เมื่อเลือกเราจึงรู้ว่าเนื่องจากเป็นค่าสูงสุดของซึ่งหมายความว่า อสมการทั้งสอง ${\displaystyle x\in (c-\delta ,c+\delta )}$${\displaystyle a^{*}\in (c-\delta ,c]}$${\displaystyle S}$$${\displaystyle f(c)<f(a^{*})+\varepsilon <u+\varepsilon .}$$${\displaystyle a^{**}\in (c,c+\delta )}$${\displaystyle a^{**}\not \in S}$${\displaystyle c}$${\displaystyle S}$$${\displaystyle f(c)>f(a^{**})-\varepsilon \geq u-\varepsilon .}$$$${\displaystyle u-\varepsilon <f(c)<u+\varepsilon }$$

ใช้ได้กับทุกกรณีซึ่งเราสรุปได้ว่าเป็นค่าเดียวที่เป็นไปได้ ดังที่ระบุไว้ ${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle f(c)=u}$

เราจะพิสูจน์เฉพาะกรณีของเนื่องจากกรณีนี้คล้ายคลึงกัน^{[ 4 ]}${\displaystyle f(a)<u<f(b)}$${\displaystyle f(a)>u>f(b)}$

1. กำหนดสิ่งที่เทียบเท่ากับและให้เราเขียนใหม่เป็นเราต้องพิสูจน์ว่า สำหรับบางค่า นอกจากนี้เรายัง กำหนดเซต${\displaystyle g(x)=f(x)-u}$${\displaystyle f(x)=g(x)+u}$${\displaystyle f(a)<u<f(b)}$${\displaystyle g(a)<0<g(b)}$${\displaystyle g(c)=0}$${\displaystyle c\in [a,b]}$${\displaystyle S=\{x\in [a,b]:g(x)\leq 0\}}$
2. เพราะเรารู้ว่าสิ่งนั้นไม่ว่างเปล่า${\displaystyle g(a)<0}$${\displaystyle a\in S}$${\displaystyle S}$
3. นอกจากนี้ เนื่องจากเรารู้ว่า เซตนั้น มีขอบเขตและไม่ว่างเปล่า ดังนั้นโดยหลักความสมบูรณ์ค่าสูงสุดจึงมีอยู่จริง${\displaystyle S\subseteq [a,b]}$${\displaystyle S}$${\displaystyle c=\sup(S)}$
4. มี 3 กรณีสำหรับค่าของได้แก่และเพื่อ หา ข้อขัดแย้งสมมติว่า.${\displaystyle g(c)}$${\displaystyle g(c)<0,g(c)>0}$${\displaystyle g(c)=0}$${\displaystyle g(c)<0}$
5. ตามนิยามของความต่อเนื่อง สำหรับ จะมีอยู่จริงซึ่งบ่งชี้ว่าซึ่งเทียบเท่ากับ ${\displaystyle \epsilon =0-g(c)}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle x\in (c-\delta ,c+\delta )}$${\displaystyle |g(x)-g(c)|<-g(c)}$${\displaystyle g(x)<0}$
   1. ถ้าเราเลือกเพียงแค่โดยที่แล้วจะได้, , จากนั้นเราจะได้และดังนั้น${\displaystyle x=c+{\frac {\delta }{N}}}$${\displaystyle N>{\frac {\delta }{b-c}}+1}$${\displaystyle 1<N}$${\displaystyle x<c+\delta }$${\displaystyle g(x)<0}$${\displaystyle c<x<b}$${\displaystyle x\in S}$
   2. อย่างไรก็ตาม ซึ่งขัดแย้งกับข้อเท็จจริงที่ว่าเป็นขอบเขตบนของดังนั้น${\displaystyle x>c}$${\displaystyle c}$${\displaystyle S}$${\displaystyle g(c)\geq 0}$
6. สมมติว่า. ในทำนองเดียวกัน เราเลือกและทราบว่ามีอยู่จริงซึ่งทำให้หมายความ ว่า . เราสามารถเขียนใหม่ได้เป็นซึ่งหมายความว่า. ${\displaystyle g(c)>0}$${\displaystyle \epsilon =g(c)-0}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle x\in (c-\delta ,c+\delta )}$${\displaystyle |g(x)-g(c)|<g(c)}$${\displaystyle -g(c)<g(x)-g(c)<g(c)}$${\displaystyle g(x)>0}$
   1. ถ้าเราเลือกตอนนี้แล้วและ.${\displaystyle x=c-{\frac {\delta }{2}}}$${\displaystyle g(x)>0}$${\displaystyle a<x<c}$
   2. ดังนั้นจึงสรุปได้ว่าเป็นขอบเขตบนสำหรับ${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$
   3. อย่างไรก็ตามซึ่งขัดแย้งกับคุณสมบัติขั้นต่ำสุดของขอบเขตบนขั้นต่ำสุดซึ่งหมายความว่าเป็นไปไม่ได้${\displaystyle x<c}$${\displaystyle c}$${\displaystyle g(c)>0}$
7. ถ้าเรานำผลลัพธ์ทั้งสองมารวมกัน เราจะได้ว่าหรือเป็นความเป็นไปได้เดียวที่เหลืออยู่${\displaystyle g(c)=0}$${\displaystyle f(c)=u}$

หมายเหตุ:ทฤษฎีบทค่ากลางยังสามารถพิสูจน์ได้โดยใช้วิธีการวิเคราะห์แบบไม่มาตรฐานซึ่งวางข้อโต้แย้งเชิงสัญชาตญาณที่เกี่ยวข้องกับอนันต์เล็ก ๆ ไว้บนพื้นฐานที่เข้มงวด^{[ 5 ]}

ทฤษฎีบทรูปแบบหนึ่งได้รับการเสนอขึ้นตั้งแต่ศตวรรษที่ 5 ก่อนคริสต์ศักราช ในงานของไบรสันแห่งเฮราเคลียเกี่ยวกับการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสไบรสันให้เหตุผลว่า เนื่องจากวงกลมที่มีขนาดใหญ่กว่าและเล็กกว่าสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่กำหนดมีอยู่จริง จึงต้องมีวงกลมที่มีพื้นที่เท่ากัน^{[ 6 ]}ทฤษฎีบทนี้ได้รับการพิสูจน์ครั้งแรกโดยเบอร์นาร์ด โบลซาโนในปี ค.ศ. 1817 โบลซาโนใช้สูตรของทฤษฎีบทดังต่อไปนี้: ^{[ 7 ]}

ให้และ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วงระหว่างและโดยที่และแล้วจะมี ช่วงระหว่างและที่ทำให้${\displaystyle f,\varphi }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle f(\alpha )<\varphi (\alpha )}$${\displaystyle f(\beta )>\varphi (\beta )}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle f(x)=\varphi (x)}$

ความเท่าเทียมกันระหว่างสูตรนี้กับสูตรสมัยใหม่สามารถแสดงได้โดยการกำหนดฟังก์ชันคงที่ที่เหมาะสมAugustin-Louis Cauchyได้ให้สูตรสมัยใหม่และบทพิสูจน์ในปี 1821 ^{[ 8 ]}ทั้งสองได้รับแรงบันดาลใจจากเป้าหมายในการกำหนดรูปแบบการวิเคราะห์ฟังก์ชันและงานของJoseph-Louis Lagrangeแนวคิดที่ว่าฟังก์ชันต่อเนื่องมีคุณสมบัติค่ากลางมีต้นกำเนิดมาก่อนหน้านี้Simon Stevinพิสูจน์ทฤษฎีบทค่ากลางสำหรับพหุนาม (โดยใช้พหุนามกำลังสามเป็นตัวอย่าง) โดยให้อัลกอริทึมสำหรับการสร้างการขยายทศนิยมของคำตอบ อัลกอริทึมจะแบ่งช่วงออกเป็น 10 ส่วนซ้ำๆ โดยสร้างตัวเลขทศนิยมเพิ่มเติมในแต่ละขั้นตอนของการทำซ้ำ^{[ 9 ]}ก่อนที่จะมีการกำหนดนิยามอย่างเป็นทางการของความต่อเนื่อง คุณสมบัติค่ากลางถูกกำหนดให้เป็นส่วนหนึ่งของนิยามของฟังก์ชันต่อเนื่อง ผู้สนับสนุน ได้แก่Louis Arbogastซึ่งสันนิษฐานว่าฟังก์ชันไม่มีการกระโดด เป็นไปตามคุณสมบัติค่ากลาง และมีการเพิ่มขึ้นที่มีขนาดสอดคล้องกับขนาดของการเพิ่มขึ้นของตัวแปร^{[ 10 ]}${\displaystyle \varphi }$

นักเขียนรุ่นก่อนๆ ถือว่าผลลัพธ์นั้นชัดเจนโดยสัญชาตญาณและไม่จำเป็นต้องพิสูจน์ แต่สิ่งที่โบลซาโนและโคชีค้นพบคือ การกำหนดแนวคิดทั่วไปของความต่อเนื่อง (โดยใช้ค่าอนันต์เล็กในกรณีของโคชี และใช้ความไม่เท่าเทียมกันจริงในกรณีของโบลซาโน) และการพิสูจน์โดยอาศัยนิยามดังกล่าว

ฟังก์ชันดาร์บูซ์ (Darboux function)คือฟังก์ชันค่าจริงfที่มี "คุณสมบัติค่ากลาง" กล่าวคือ เป็นไปตามข้อสรุปของทฤษฎีบทค่ากลาง: สำหรับค่าสองค่าใดๆaและbในโดเมนของfและค่า y ใดๆ ระหว่างf ( a )และf ( b )จะมีค่า c บางค่า ระหว่างaและbที่ทำให้f ( c ) = yทฤษฎีบทค่ากลางกล่าวว่า ฟังก์ชันต่อเนื่องทุกฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันดาร์บูซ์ อย่างไรก็ตาม ไม่ใช่ทุกฟังก์ชันดาร์บูซ์จะเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง กล่าวคือ บทกลับของทฤษฎีบทค่ากลางเป็นเท็จ

ยกตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันf  : [0, ∞) → [−1, 1]ที่กำหนดโดยf ( x ) = sin(1/ x )สำหรับx > 0และf (0) = 0ฟังก์ชันนี้ไม่ต่อเนื่องที่x = 0เพราะลิมิตของf ( x )เมื่อxเข้าใกล้ 0 นั้นไม่มีอยู่จริง แต่ฟังก์ชันนี้มีคุณสมบัติค่ากลาง อีกตัวอย่างหนึ่งที่ซับซ้อนกว่าคือฟังก์ชันฐาน 13 ของคอนเวย์

อันที่จริงทฤษฎีบทของดาร์บูซ์กล่าวว่า ฟังก์ชันทั้งหมดที่ได้จากการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันอื่นบนช่วงใดช่วงหนึ่ง จะมีคุณสมบัติค่ากลาง (ถึงแม้ว่าฟังก์ชันเหล่านั้นไม่จำเป็นต้องต่อเนื่องก็ตาม)

ในอดีต คุณสมบัติค่ากลางนี้ได้รับการเสนอให้เป็นคำจำกัดความของความต่อเนื่องของฟังก์ชันค่าจริง^{[ 11 ]}คำจำกัดความนี้ไม่ได้รับการยอมรับ

ทฤษฎีบทปวงกาเร-มิรันดาเป็นการขยายความของทฤษฎีบทค่ากลางจากช่วง (หนึ่งมิติ) ไปยังสี่เหลี่ยมผืนผ้า (สองมิติ) หรือโดยทั่วไปแล้วไปยัง ลูกบาศก์nมิติ

Vrahatis ^{[ 12 ]}นำเสนอการวางนัยทั่วไปที่คล้ายกันสำหรับรูปสามเหลี่ยม หรือโดยทั่วไปแล้วสำหรับซิมเพล็ กซ์ n มิติ ให้D ⁿเป็นซิมเพล็กซ์n มิติที่มี จุดยอดn + 1 จุด ซึ่งแทนด้วย v ₀ ,..., v _nให้F =( f ₁ ,..., f _n ) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องจากD ⁿไปยังR ⁿซึ่งไม่เคยเท่ากับ 0 บนขอบเขตของD ⁿสมมติว่าFเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้:

• สำหรับทุกiใน 1,..., nเครื่องหมายของf _i ( v _i ) จะตรงข้ามกับเครื่องหมายของf _i ( x ) สำหรับทุกจุดxบนด้านตรงข้ามกับv _i
• เวกเตอร์เครื่องหมายของf ₁ ,..., f _nบนv ₀ไม่เท่ากับเวกเตอร์เครื่องหมายของf 1 _, ..., f _n บนทุกจุดบนระนาบตรงข้ามกับv ₀

^{จาก นั้น}จะมีจุดz อยู่ภายใน D n ซึ่ง F ( z ) =(0,...,0)

เป็นไปได้ที่จะทำให้f _i เป็นค่าปกติ โดยที่f _i ( v _i )>0 สำหรับทุกiจากนั้นเงื่อนไขก็จะง่ายขึ้น:

• สำหรับทุกiใน 1,..., n , f _i ( v _i )>0 และf _i ( x )<0 สำหรับทุกจุดxบนด้านตรงข้ามกับv _iโดยเฉพาะอย่างยิ่งf _i ( v ₀ )<0
• สำหรับทุกจุดxบนด้านตรงข้ามกับv ₀ , f _i ( x )>0 สำหรับอย่างน้อยหนึ่งiใน 1,..., n

ทฤษฎีบทนี้สามารถพิสูจน์ได้โดยอาศัยเลมมาของ Knaster–Kuratowski–Mazurkiewiczสามารถใช้สำหรับการประมาณจุดคงที่และศูนย์ได้^{[ 13 ]}

ทฤษฎีบทค่ากลางมีความเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับ แนวคิด เชิงโทโพโลยีเรื่องการเชื่อมต่อและเป็นผลมาจากคุณสมบัติพื้นฐานของเซตที่เชื่อมต่อกันในปริภูมิเมตริก และโดยเฉพาะอย่างยิ่งเซตย่อยที่เชื่อมต่อกันของR :

• ถ้าและเป็นปริภูมิเมตริกเป็นแผนที่ต่อเนื่อง และเป็น เซตย่อย ที่เชื่อมต่อกันแล้วจะเป็นเซตที่เชื่อมต่อกัน ( * )${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle E\subset X}$${\displaystyle f(E)}$
• เซตย่อยจะเชื่อมต่อกันก็ต่อเมื่อมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: . ( ** )${\displaystyle E\subset \mathbb {R} }$${\displaystyle x,y\in E,\ x<r<y\implies r\in E}$

อันที่จริงแล้ว การเชื่อมต่อเป็นคุณสมบัติทางโทโพโลยีและ(*)ขยายไปสู่ปริภูมิโทโพโลยี : ถ้าและเป็นปริภูมิโทโพโลยีเป็นแผนที่ต่อเนื่อง และเป็นปริภูมิที่เชื่อมต่อกันแล้วจะเป็นปริภูมิที่เชื่อมต่อกัน${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f(X)}$ การรักษาการเชื่อมต่อภายใต้แผนที่ต่อเนื่องสามารถคิดได้ว่าเป็นการขยายทฤษฎีบทค่ากลาง ซึ่งเป็นคุณสมบัติของฟังก์ชันต่อเนื่องที่มีค่าเป็นจำนวนจริงของตัวแปรจริงไปสู่ฟังก์ชันต่อเนื่องในปริภูมิทั่วไป

โปรดระลึกถึงทฤษฎีบทค่ากลางฉบับแรกที่กล่าวไว้ก่อนหน้านี้:

ทฤษฎีบทค่ากลางเป็นผลโดยตรงจากคุณสมบัติสองประการของการเชื่อมต่อนี้: ^{[ 14 ]}

ทฤษฎีบทค่ากลางสามารถขยายความได้อย่างเป็นธรรมชาติ: สมมติว่าXเป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่เชื่อมต่อกัน และ( Y , <)เป็น เซต ที่มีลำดับสมบูรณ์พร้อมด้วยทอพอโลยีลำดับและให้f  : X → Yเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ถ้าaและbเป็นจุดสองจุดในXและuเป็นจุดในYที่อยู่ระหว่างf ( a )และf ( b )โดยสัมพันธ์กับ<แล้วจะมีcในXที่ทำให้f ( c ) = uทฤษฎีบทดั้งเดิมสามารถฟื้นคืนมาได้โดยการสังเกตว่าR เป็นปริภูมิที่เชื่อมต่อกันและ ทอพอโลยีธรรมชาติของมันคือทอพอโลยีลำดับ

ทฤษฎีบทจุดตรึงของบราวเวอร์เป็นทฤษฎีบทที่เกี่ยวข้อง ซึ่งในมิติเดียวจะให้กรณีพิเศษของทฤษฎีบทค่ากลาง

ในคณิตศาสตร์เชิงสร้างสรรค์ทฤษฎีบทค่ากลางนั้นไม่เป็นจริง แต่ข้อสรุปที่อ่อนลงที่ต้องยอมรับคือ ค่าดังกล่าวอาจพบได้เฉพาะในช่วงใดช่วงหนึ่งซึ่งอาจมีขนาดเล็กมากตามอำเภอใจ

• ให้และเป็นจำนวนจริง และเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องแบบจุดต่อจุดจากช่วงปิดไปยังเส้นจำนวนจริง และสมมติว่าและ. แล้วสำหรับทุกจำนวนบวกจะมีจุดในช่วงเปิดเช่นนั้น. ^{[ 15 ]}${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle f(a)<0}$${\displaystyle 0<f(b)}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle \vert f(x)\vert <\varepsilon }$

ผลลัพธ์ที่คล้ายกันคือทฤษฎีบทบอร์ซุก-อูแลมซึ่งกล่าวว่า แผนที่ต่อเนื่องจากทรงกลม-sphere ไปยังปริภูมิยูคลิด-space จะแมปจุดตรงข้ามคู่หนึ่งไปยังตำแหน่งเดียวกันเสมอ ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

โดยทั่วไป สำหรับฟังก์ชันต่อเนื่องใดๆ ที่มีโดเมนเป็นรูปทรง นูนปิดมิติ n และจุดใดๆ ภายในรูปทรงนั้น (ไม่จำเป็นต้องเป็นจุดศูนย์กลาง) จะมีจุดตรงข้ามสองจุดเมื่อเทียบกับจุดที่กำหนดให้ ซึ่งมีค่าฟังก์ชันเท่ากัน ${\displaystyle n}$

ทฤษฎีบทนี้ยังสนับสนุนคำอธิบายว่าเหตุใดการหมุนโต๊ะที่โยกเยกจะทำให้โต๊ะมีเสถียรภาพ (ภายใต้ข้อจำกัดบางประการที่สามารถทำได้ง่าย) ^{[ 16 ]}

• ทฤษฎีค่าเฉลี่ย
• การวัดที่ไม่ใช่อะตอม
• ทฤษฎีลูกบอลขนปุย
• บทพิสูจน์ของสเปอร์เนอร์

• https://mathoverflow.net/questions/253059/approximate-intermediate-value-theorem-in-pure-constructive-mathematics

• ทฤษฎีบทค่ากลาง - ทฤษฎีบทโบลซาโนที่cut-the-knot
• ทฤษฎีบทของโบลซาโนโดย Julio Cesar de la Yncera, โครงการสาธิต Wolfram
• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "ทฤษฎีบทค่ากลาง" . MathWorld .
• เบลก, จิม (2 มกราคม 2012). "ทฤษฎีบทค่ากลางแบบสองมิติ" . Stack Exchange .
• หลักฐานระบบ Mizar : http://mizar.org/version/current/html/topreal5.html#T4