ใน แคลคูลัสตัวแปรเดียว คำว่า ผลหารต่าง ( difference quotient)มักใช้เรียกนิพจน์นี้

${\displaystyle {\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$

ซึ่งเมื่อพิจารณาลิมิตเมื่อhเข้าใกล้ 0 จะได้อนุพันธ์ของฟังก์ชันf [ ^{1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}ชื่อของนิพจน์นี้มาจากข้อเท็จจริงที่ว่ามันคือผลหารของผลต่าง ของค่าของฟังก์ชันกับผลต่างของค่า ^ที่สอดคล้องกันของตัวแปร ( ในกรณีนี้ คือ ( x + h ) - x = h ) ^{[ 5 ] [ 6 ]}ผลหารผลต่างเป็นการวัดอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย ของฟังก์ชันในช่วงเวลาหนึ่ง (ในกรณีนี้คือช่วงเวลาที่มีความยาวh ) ^{[ 7 ] [ 8 ] : 237 [ 9 ]}ดังนั้นลิมิตของผลหารผลต่าง (เช่น อนุพันธ์) จึงเป็นอัตราการเปลี่ยนแปลงทันที^{[ 9 ]}

ด้วยการเปลี่ยนแปลงสัญลักษณ์ (และมุมมอง) เล็กน้อย สำหรับช่วง [ a , b ] ผลหารต่าง

${\displaystyle {\frac {f(b)-f(a)}{ba}}}$

เรียกว่า^{[ 5 ]}ค่าเฉลี่ย (หรือค่าเฉลี่ยเลขคณิต) ของอนุพันธ์ของfในช่วง [ a , b ] ชื่อนี้ได้รับการพิสูจน์โดยทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยซึ่งระบุว่าสำหรับฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้fอนุพันธ์f ′จะมีค่าเฉลี่ยที่จุดใดจุดหนึ่งในช่วง^{[ 5 ]}ในทางเรขาคณิต ผลหารความแตกต่างนี้วัดความชันของเส้นตัดที่ผ่านจุดที่มีพิกัด ( a , f ( a )) และ ( b , f ( b )) ^{[ 10 ]}

ผลหารความแตกต่างถูกใช้เป็นค่าประมาณในการหาอนุพันธ์เชิงตัวเลข [ ^{8 ]}แต่ก็ถูกวิพากษ์วิจารณ์ในการประยุกต์ใช้นี้เช่น^{กัน[ 11 ]}

ผลหารความแตกต่างอาจมีความเกี่ยวข้องในแอปพลิเคชันที่เกี่ยวข้องกับการแบ่งช่วงเวลาโดยที่ความกว้างของช่วงเวลาจะถูกใช้เป็นค่าของ h

ผลหารความแตกต่างบางครั้งก็เรียกว่าผลหารของนิวตัน^{[ 10 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]} (ตั้งชื่อตามไอแซค นิวตัน ) หรือผลหารความแตกต่างของแฟร์มาต์ (ตั้งชื่อตามปิแอร์ เดอ แฟร์มาต์ ) ^{[ 15 ]}

แนวคิดทั่วไปของผลหารต่างที่กล่าวถึงข้างต้นเป็นกรณีเฉพาะของแนวคิดทั่วไปที่กว้างกว่านั้น เครื่องมือหลักของแคลคูลัสและคณิตศาสตร์ขั้นสูงอื่นๆ คือฟังก์ชัน "ค่าป้อนเข้า" ของมันคืออาร์กิวเมนต์ซึ่งโดยปกติจะเป็นจุด ("P") ที่สามารถแสดงบนกราฟได้ ความแตกต่างระหว่างสองจุดนั้นเรียกว่าเดลต้า (ΔP )เช่นเดียวกับความแตกต่างในผลลัพธ์ของฟังก์ชัน โดยสัญลักษณ์เฉพาะจะถูกกำหนดโดยทิศทางการสร้าง:

• ผลต่างไปข้างหน้า: Δ F ( P ) = F ( P + Δ P ) − F ( P );
• ความแตกต่างส่วนกลาง: δF(P) = F(P + ⁠1/2⁠ ΔP) − F(P − ⁠1/2ΔP );
• ผลต่างย้อนกลับ: ∇F(P) = F(P) − F(P − ΔP)

โดยทั่วไปแล้วจะนิยมวางแนวทางไปข้างหน้า เนื่องจาก F(P) เป็นฐาน ซึ่งความแตกต่าง (เช่น "ΔP") จะถูกเพิ่มเข้าไป นอกจากนี้

• ถ้า |ΔP| มีค่าจำกัด (หมายความว่าสามารถวัดได้) แล้ว ΔF(P) จะเรียกว่าผลต่างจำกัดโดยมีสัญลักษณ์เฉพาะคือ DP และ DF(P)
• ถ้า |ΔP| มี ค่า เล็กน้อยมาก (ปริมาณที่เล็กอย่างไม่มีที่สิ้นสุดซึ่งโดยปกติจะแสดงในการวิเคราะห์มาตรฐานในรูปของลิมิต: ) แล้ว ΔF(P) จะเรียกว่าผลต่างเล็กน้อยมากโดยมีสัญลักษณ์เฉพาะคือ dP และ dF(P) (ในการเขียนกราฟแคลคูลัส จุดจะถูกระบุเกือบทั้งหมดเป็น "x" และ F(x) เป็น "y")${\displaystyle \iota }$${\displaystyle \lim _{\เดลต้า P\rightarrow 0}\,\!}$

ผลต่างของฟังก์ชันหารด้วยผลต่างของจุด เรียกว่า "ผลหารผลต่าง" (difference quotient):

${\displaystyle {\frac {\Delta F(P)}{\Delta P}}={\frac {F(P+\Delta P)-F(P)}{\Delta P}}={\frac {\nabla F(P+\Delta P)}{\Delta P}}.\,\!}$

ถ้า ΔP มีค่าเล็กน้อยมาก ผลหารต่างจะเป็นอนุพันธ์มิฉะนั้นจะเป็น ผล หาร ต่าง

$ถ้า ΔP|=ΔP|: ΔF(P) = ΔP = ΔF(P) = ΔP = dF(P) = dP = F'(P) = G(P);$

$ถ้า ΔP|>ΔP: ΔF(P) = ΔP = DF(P) = DP = F[P,P+ΔP]$

ไม่ว่า ΔP จะมีค่าเล็กน้อยหรือมีค่าจำกัด ก็จะมีช่วงจุด (อย่างน้อยในกรณีของอนุพันธ์ ในทางทฤษฎี) ที่ขอบเขตคือ P ± (0.5) ΔP (ขึ้นอยู่กับทิศทาง—ΔF(P), δF(P) หรือ ∇F(P)):

LB = ขอบเขตล่าง; UB = ขอบเขตบน;

อนุพันธ์สามารถมองได้ว่าเป็นฟังก์ชันในตัวเอง ซึ่งมีอนุพันธ์ของตัวเองอยู่ภายใน ดังนั้นแต่ละฟังก์ชันจึงมีระดับ ("ลำดับที่สูงกว่า") ของอนุพันธ์หรือการแยกความแตกต่างคุณสมบัตินี้สามารถขยายไปสู่ผลหารความแตกต่างทั้งหมดได้ เนื่องจากลำดับนี้ต้องการการแบ่งขอบเขตที่สอดคล้องกัน จึงเป็นการเหมาะสมที่จะแบ่งช่วงจุดออกเป็นส่วนย่อยๆ ที่มีขนาดเท่ากัน โดยแต่ละส่วนจะถูกทำเครื่องหมายด้วยจุดกลาง ( P _i ) โดยที่ LB = P ₀และ UB = P _ńซึ่งเป็น จุดที่ nเท่ากับระดับ/ลำดับ:

 LB = P 0 = P 0 + 0Δ 1 P = P ń − (Ń-0)Δ 1 P; P 1 = P 0 + 1Δ 1 P = P ń − (Ń-1)Δ 1 P; P 2 = P 0 + 2Δ 1 P = P ń - (Ń-2) Δ 1 P; P 3 = P 0 + 3Δ 1 P = P ń - (Ń-3)Δ 1 P; ↓ ↓ ↓ ↓ P ń-3 = P 0 + (Ń-3)Δ 1 P = P ń - 3Δ 1 P; P ń-2 = P 0 + (Ń-2)Δ ​​1 P = P ń − 2Δ 1 P; P ń-1 = P 0 + (Ń-1)Δ 1 P = P ń − 1Δ 1 P; UB = P ń-0 = P 0 + (Ń-0)Δ 1 P = P ń − 0Δ 1 P = P ń ; 

 ΔP = Δ 1 P = P 1 − P 0 = P 2 − P 1 = P 3 − P 2 = ... = P ń − P ń-1 ; 

 ΔB = UB − LB = P ń − P 0 = Δ ń P = ŃΔ 1 P. 

${\displaystyle {\frac {\Delta F(P_{0})}{\Delta P}}={\frac {F(P_{\acute {n}})-F(P_{0})}{\Delta _{\acute {n}}P}}={\frac {F(P_{1})-F(P_{0})}{\Delta _{1}P}}={\frac {F(P_{1})-F(P_{0})}{P_{1}-P_{0}}}.\,\!}$

ผลหารความแตกต่างในฐานะอนุพันธ์ไม่จำเป็นต้องมีคำอธิบายเพิ่มเติม นอกเหนือจากการชี้ให้เห็นว่า เนื่องจาก P ₀โดยพื้นฐานแล้วเท่ากับ P ₁ = P ₂ = ... = P _ń (เนื่องจากความแตกต่างมีค่าเล็กน้อยมาก) สัญกรณ์ของไลบ์นิซและนิพจน์อนุพันธ์จึงไม่แยกความแตกต่างระหว่าง P กับ P ₀หรือ P _ń :

${\displaystyle {\frac {dF(P)}{dP}}={\frac {F(P_{1})-F(P_{0})}{dP}}=F'(P)=G(P).\,\!}$

ยังมีสัญลักษณ์อื่น ๆ ที่ได้มาจากคำนี้ แต่สัญลักษณ์เหล่านี้เป็นสัญลักษณ์ที่ได้รับการยอมรับและเป็นมาตรฐานมากที่สุด

อย่างไรก็ตาม ผลต่างหารจำเป็นต้องมีการอธิบายเพิ่มเติม เนื่องจากเท่ากับค่าเฉลี่ยของอนุพันธ์ระหว่าง LB และ UB:

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{(tn)}&=LB+{\frac {TN-1}{UT-1}}\Delta B\ =UB-{\frac {UT-TN}{UT-1}}\Delta B;\\[10pt]&{}\qquad {\color {white}.}(P_{(1)}=LB,\ P_{(ut)}=UB){\color {white}.}\\[10pt]F'(P_{\tilde {a}})&=F'(LB<P<UB)=\sum _{TN=1}^{UT=\infty }{\frac {F'(P_{(tn)})}{UT}}.\end{aligned}}}$

ในการตีความนี้ Pã _แทนฟังก์ชันที่ดึงออกมา ซึ่งเป็นค่าเฉลี่ยของ P (ค่ากึ่งกลาง แต่โดยปกติจะไม่ใช่ค่ากึ่งกลางพอดี) โดยค่าที่ได้จะขึ้นอยู่กับฟังก์ชันที่นำมาหาค่าเฉลี่ย ในเชิงทฤษฎีแล้ว Pã _พบได้ในทฤษฎีค่าเฉลี่ยของแคลคูลัส ซึ่งกล่าวว่า:

สำหรับฟังก์ชันใดๆ ที่ต่อเนื่องบนช่วง [LB,UB] และหาอนุพันธ์ได้บนช่วง (LB,UB) จะมี Pã บางค่า_ใน ช่วง (LB,UB) ซึ่งเส้นตัดที่เชื่อมจุดปลายของช่วง [LB,UB ] จะขนานกับเส้นสัมผัสที่_Pã

โดยพื้นฐานแล้ว Pã _หมายถึงค่า P บางค่าระหว่าง LB และ UB—ดังนั้น

${\displaystyle P_{\tilde {a}}:=LB<P<UB=P_{0}<P<P_{\acute {n}}\,\!}$

ซึ่งเชื่อมโยงผลลัพธ์ค่าเฉลี่ยกับผลต่างที่หารแล้ว:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {DF(P_{0})}{DP}}&=F[P_{0},P_{1}]={\frac {F(P_{1})-F(P_{0})}{P_{1}-P_{0}}}=F'(P_{0}<P<P_{1})=\sum _{TN=1}^{UT=\infty }{\frac {F'(P_{(tn)})}{UT}},\\[8pt]&={\frac {DF(LB)}{DB}}={\frac {\Delta F(LB)}{\Delta B}}={\frac {\nabla F(UB)}{\Delta B}},\\[8pt]&=F[LB,UB]={\frac {F(UB)-F(LB)}{UB-LB}},\\[8pt]&=F'(LB<P<UB)=G(LB<P<UB).\end{aligned}}}$

เนื่องจากโดยนิยามแล้วมีความแตกต่างที่จับต้องได้ระหว่าง LB/P ₀และ UB/P _ńดังนั้นนิพจน์ของไลบ์นิซและอนุพันธ์จึงจำเป็นต้องมีการแยกตัวแปรของอาร์กิวเมนต์ฟังก์ชัน

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\Delta ^{2}F(P_{0})}{\Delta _{1}P^{2}}}&={\frac {\Delta F'(P_{0})}{\Delta _{1}P}}={\frac {{\frac {\Delta F(P_{1})}{\Delta _{1}P}}-{\frac {\Delta F(P_{0})}{\Delta _{1}P}}}{\Delta _{1}P}},\\[10pt]&={\frac {{\frac {F(P_{2})-F(P_{1})}{\Delta _{1}P}}-{\frac {F(P_{1})-F(P_{0})}{\Delta _{1}P}}}{\Delta _{1}P}},\\[10pt]&={\frac {F(P_{2})-2F(P_{1})+F(P_{0})}{\Delta _{1}P^{2}}};\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}F(P)}{dP^{2}}}&={\frac {dF'(P)}{dP}}={\frac {F'(P_{1})-F'(P_{0})}{dP}},\\[10pt]&=\ {\frac {dG(P)}{dP}}={\frac {G(P_{1})-G(P_{0})}{dP}},\\[10pt]&={\frac {F(P_{2})-2F(P_{1})+F(P_{0})}{dP^{2}}},\\[10pt]&=F''(P)=G'(P)=H(P)\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {D^{2}F(P_{0})}{DP^{2}}}&={\frac {DF'(P_{0})}{DP}}={\frac {F'(P_{1}<P<P_{2})-F'(P_{0}<P<P_{1})}{P_{1}-P_{0}}},\\[10pt]&{\color {white}.}\qquad \neq {\frac {F'(P_{1})-F'(P_{0})}{P_{1}-P_{0}}},\\[10pt]&=F[P_{0},P_{1},P_{2}]={\frac {F(P_{2})-2F(P_{1})+F(P_{0})}{(P_{1}-P_{0})^{2}}},\\[10pt]&=F''(P_{0}<P<P_{2})=\sum _{TN=1}^{\infty }{\frac {F''(P_{(tn)})}{UT}},\\[10pt]&=G'(P_{0}<P<P_{2})=H(P_{0}<P<P_{2}).\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\Delta ^{3}F(P_{0})}{\Delta _{1}P^{3}}}&={\frac {\Delta ^{2}F'(P_{0})}{\Delta _{1}P^{2}}}={\frac {\Delta F''(P_{0})}{\Delta _{1}P}}={\frac {{\frac {\Delta F'(P_{1})}{\Delta _{1}P}}-{\frac {\Delta F'(P_{0})}{\Delta _{1}P}}}{\Delta _{1}P}},\\[10pt]&={\frac {{\frac {{\frac {\Delta F(P_{2})}{\Delta _{1}P}}-{\frac {\Delta F'(P_{1})}{\Delta _{1}P}}}{\Delta _{1}P}}-{\frac {{\frac {\Delta F'(P_{1})}{\Delta _{1}P}}-{\frac {\Delta F'(P_{0})}{\Delta _{1}P}}}{\Delta _{1}P}}}{\Delta _{1}P}},\\[10pt]&={\frac {{\frac {F(P_{3})-2F(P_{2})+F(P_{1})}{\Delta _{1}P^{2}}}-{\frac {F(P_{2})-2F(P_{1})+F(P_{0})}{\Delta _{1}P^{2}}}}{\Delta _{1}P}},\\[10pt]&={\frac {F(P_{3})-3F(P_{2})+3F(P_{1})-F(P_{0})}{\Delta _{1}P^{3}}};\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{3}F(P)}{dP^{3}}}&={\frac {d^{2}F'(P)}{dP^{2}}}={\frac {dF''(P)}{dP}}={\frac {F''(P_{1})-F''(P_{0})}{dP}},\\[10pt]&={\frac {d^{2}G(P)}{dP^{2}}}\ ={\frac {dG'(P)}{dP}}\ ={\frac {G'(P_{1})-G'(P_{0})}{dP}},\\[10pt]&{\color {white}.}\qquad \qquad \ \ ={\frac {dH(P)}{dP}}\ ={\frac {H(P_{1})-H(P_{0})}{dP}},\\[10pt]&={\frac {G(P_{2})-2G(P_{1})+G(P_{0})}{dP^{2}}},\\[10pt]&={\frac {F(P_{3})-3F(P_{2})+3F(P_{1})-F(P_{0})}{dP^{3}}},\\[10pt]&=F'''(P)=G''(P)=H'(P)=I(P);\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {D^{3}F(P_{0})}{DP^{3}}}&={\frac {D^{2}F'(P_{0})}{DP^{2}}}={\frac {DF''(P_{0})}{DP}}={\frac {F''(P_{1}<P<P_{3})-F''(P_{0}<P<P_{2})}{P_{1}-P_{0}}},\\[10pt]&{\color {white}.}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ \neq {\frac {F''(P_{1})-F''(P_{0})}{P_{1}-P_{0}}},\\[10pt]&={\frac {{\frac {F'(P_{2}<P<P_{3})-F'(P_{1}<P<P_{2})}{P_{1}-P_{0}}}-{\frac {F'(P_{1}<P<P_{2})-F'(P_{0}<P<P_{1})}{P_{1}-P_{0}}}}{P_{1}-P_{0}}},\\[10pt]&={\frac {F'(P_{2}<P<P_{3})-2F'(P_{1}<P<P_{2})+F'(P_{0}<P<P_{1})}{(P_{1}-P_{0})^{2}}},\\[10pt]&=F[P_{0},P_{1},P_{2},P_{3}]={\frac {F(P_{3})-3F(P_{2})+3F(P_{1})-F(P_{0})}{(P_{1}-P_{0})^{3}}},\\[10pt]&=F'''(P_{0}<P<P_{3})=\sum _{TN=1}^{UT=\infty }{\frac {F'''(P_{(tn)})}{UT}},\\[10pt]&=G''(P_{0}<P<P_{3})\ =H'(P_{0}<P<P_{3})=I(P_{0}<P<P_{3}).\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta ^{\acute {n}}F(P_{0})&=F^{({\acute {n}}-1)}(P_{1})-F^{({\acute {n}}-1)}(P_{0}),\\[10pt]&={\frac {F^{({\acute {n}}-2)}(P_{2})-F^{({\acute {n}}-2)}(P_{1})}{\Delta _{1}P}}-{\frac {F^{({\acute {n}}-2)}(P_{1})-F^{({\acute {n}}-2)}(P_{0})}{\Delta _{1}P}},\\[10pt]&={\frac {{\frac {F^{({\acute {n}}-3)}(P_{3})-F^{({\acute {n}}-3)}(P_{2})}{\Delta _{1}P}}-{\frac {F^{({\acute {n}}-3)}(P_{2})-F^{({\acute {n}}-3)}(P_{1})}{\Delta _{1}P}}}{\Delta _{1}P}}\\[10pt]&{\color {white}.}\qquad -{\frac {{\frac {F^{({\acute {n}}-3)}(P_{2})-F^{({\acute {n}}-3)}(P_{1})}{\Delta _{1}P}}-{\frac {F^{({\acute {n}}-3)}(P_{1})-F^{({\acute {n}}-3)}(P_{0})}{\Delta _{1}P}}}{\Delta _{1}P}},\\[10pt]&=\cdots \end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\Delta ^{\acute {n}}F(P_{0})}{\Delta _{1}P^{\acute {n}}}}&={\frac {\sum _{I=0}^{\acute {N}}{-1 \choose {\acute {N}}-I}{{\acute {N}} \choose I}F(P_{0}+I\Delta _{1}P)}{\Delta _{1}P^{\acute {n}}}};\\[10pt]&{\frac {\nabla ^{\acute {n}}F(P_{\acute {n}})}{\Delta _{1}P^{\acute {n}}}}\\[10pt]&={\frac {\sum _{I=0}^{\acute {N}}{-1 \choose I}{{\acute {N}} \choose I}F(P_{\acute {n}}-I\Delta _{1}P)}{\Delta _{1}P^{\acute {n}}}};\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{\acute {n}}F(P_{0})}{dP^{\acute {n}}}}&={\frac {d^{{\acute {n}}-1}F'(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-1}}}={\frac {d^{{\acute {n}}-2}F''(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-2}}}={\frac {d^{{\acute {n}}-3}F'''(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-3}}}=\cdots ={\frac {d^{{\acute {n}}-r}F^{(r)}(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-r}}},\\[10pt]&={\frac {d^{{\acute {n}}-1}G(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-1}}}\\[10pt]&={\frac {d^{{\acute {n}}-2}G'(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-2}}}=\ {\frac {d^{{\acute {n}}-3}G''(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-3}}}=\cdots ={\frac {d^{{\acute {n}}-r}G^{(r-1)}(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-r}}},\\[10pt]&{\color {white}.}\qquad \qquad \qquad ={\frac {d^{{\acute {n}}-2}H(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-2}}}=\ {\frac {d^{{\acute {n}}-3}H'(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-3}}}=\cdots ={\frac {d^{{\acute {n}}-r}H^{(r-2)}(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-r}}},\\&{\color {white}.}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ =\ {\frac {d^{{\acute {n}}-3}I(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-3}}}=\cdots ={\frac {d^{{\acute {n}}-r}I^{(r-3)}(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-r}}},\\[10pt]&=F^{({\acute {n}})}(P)=G^{({\acute {n}}-1)}(P)=H^{({\acute {n}}-2)}(P)=I^{({\acute {n}}-3)}(P)=\cdots \end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {D^{\acute {n}}F(P_{0})}{DP^{\acute {n}}}}&=F[P_{0},P_{1},P_{2},P_{3},\ldots ,P_{{\acute {n}}-3},P_{{\acute {n}}-2},P_{{\acute {n}}-1},P_{\acute {n}}],\\[10pt]&=F^{({\acute {n}})}(P_{0}<P<P_{\acute {n}})=\sum _{TN=1}^{UT=\infty }{\frac {F^{({\acute {n}})}(P_{(tn)})}{UT}}\\[10pt]&=F^{({\acute {n}})}(LB<P<UB)=G^{({\acute {n}}-1)}(LB<P<UB)=\cdots \end{aligned}}}$

การประยุกต์ใช้ที่สำคัญที่สุดของผลต่างหารคือการนำเสนออินทิกรัลจำกัด ซึ่งก็คือผลต่างจำกัดนั่นเอง:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{LB}^{UB}G(p)\,dp&=\int _{LB}^{UB}F'(p)\,dp=F(UB)-F(LB),\\[10pt]&=F[LB,UB]\Delta B,\\[10pt]&=F'(LB<P<UB)\Delta B,\\[10pt]&=\ G(LB<P<UB)\Delta B.\end{aligned}}}$

เนื่องจากรูปแบบการแสดงค่าเฉลี่ยและอนุพันธ์ให้ข้อมูลทั้งหมดเหมือนกับสัญลักษณ์อินทิกรัลแบบคลาสสิก รูปแบบค่าเฉลี่ยจึงอาจเป็นรูปแบบที่เหมาะสมกว่า เช่น ในสถานที่เขียนที่รองรับ/ยอมรับเฉพาะ ข้อความ ASCII มาตรฐาน หรือในกรณีที่ต้องการเพียงค่าเฉลี่ยของอนุพันธ์ (เช่น เมื่อหาค่าเฉลี่ยรัศมีในอินทิกรัลเชิงวงรี ) โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับอินทิกรัลจำกัดที่มีขอบเขตเป็น (เช่น) 0 และ หรือโดยจะได้ผลต่างหารที่เหมือนกันกับกรณีที่มีขอบเขตเป็น 0 และ(จึงใช้ความพยายามในการหาค่าเฉลี่ยน้อยกว่า) ${\displaystyle \pi \,\!}$${\displaystyle 2\pi \,\!}$${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {\pi }{2}}\end{matrix}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{2\pi }F'(p)\,dp&=4\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}F'(p)\,dp=F(2\pi )-F(0)=4(F({\begin{matrix}{\frac {\pi }{2}}\end{matrix}})-F(0)),\\[10pt]&=2\pi F[0,2\pi ]=2\pi F'(0<P<2\pi ),\\[10pt]&=2\pi F[0,{\begin{matrix}{\frac {\pi }{2}}\end{matrix}}]=2\pi F'(0<P<{\begin{matrix}{\frac {\pi }{2}}\end{matrix}}).\end{aligned}}}$

วิธีนี้จะมีประโยชน์อย่างยิ่งเมื่อต้องจัดการกับ อินทิก รัลซ้ำและอินทิกรัลหลายตัว (ΔA = AU − AL, ΔB = BU − BL, ΔC = CU − CL):

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\qquad \int _{CL}^{CU}\int _{BL}^{BU}\int _{AL}^{AU}F'(r,q,p)\,dp\,dq\,dr\\[10pt]&=\sum _{T\!C=1}^{U\!C=\infty }\left(\sum _{T\!B=1}^{U\!B=\infty }\left(\sum _{T\!A=1}^{U\!A=\infty }F^{'}(R_{(tc)}:Q_{(tb)}:P_{(ta)}){\frac {\Delta A}{U\!A}}\right){\frac {\Delta B}{U\!B}}\right){\frac {\Delta C}{U\!C}},\\[10pt]&=F'(C\!L<R<CU:BL<Q<BU:AL<P<\!AU)\Delta A\,\Delta B\,\Delta C.\end{aligned}}}$

เพราะฉะนั้น,

${\displaystyle F'(R,Q:AL<P<AU)=\sum _{T\!A=1}^{U\!A=\infty }{\frac {F'(R,Q:P_{(ta)})}{U\!A}};\,\!}$

และ

${\displaystyle F'(R:BL<Q<BU:AL<P<AU)=\sum _{T\!B=1}^{U\!B=\infty }\left(\sum _{T\!A=1}^{U\!A=\infty }{\frac {F'(R:Q_{(tb)}:P_{(ta)})}{U\!A}}\right){\frac {1}{U\!B}}.\,\!}$

• ความแตกต่างที่หารกัน
• ทฤษฎีของแฟร์มาต์
• พหุนามนิวตัน
• วิธีสี่เหลี่ยมผืนผ้า
• กฎการหาร
• ผลหารความแตกต่างสมมาตร

• วิทยาลัยเซนต์วินเซนต์: ภราดาเดวิด คาร์ลสัน, OSB— MA109 อัตราส่วนความแตกต่าง (The Difference Quotient)เก็บถาวรเมื่อ 12 กันยายน 2005 ที่Wayback Machine
• มหาวิทยาลัยเบอร์มิงแฮม: เดิร์ก เฮอร์มันส์ — ความแตกต่างที่แบ่งแยก
• แมธเวิลด์:
  • ผลต่างที่หารแล้ว
  • ทฤษฎีค่าเฉลี่ย
• มหาวิทยาลัยวิสคอนซิน: โทมัส ดับเบิลยู. เรปส์และ หลุยส์ บี. รอลล์ — การหาผลต่างหารเชิงคำนวณและเลขคณิตผลต่างหาร
• โปรแกรมจำลองแบบโต้ตอบเกี่ยวกับผลหารส่วนต่างเพื่ออธิบายอนุพันธ์