ในแคลคูลัสสัญกรณ์ของไลบ์นิซซึ่งตั้งชื่อตามก็อตฟรีด วิลเฮล์ม ไลบ์นิซนักปรัชญาและนักคณิตศาสตร์ ชาวเยอรมันในศตวรรษที่ 17 ใช้สัญลักษณ์dxและdyแทนการเพิ่มขึ้นเล็กน้อยอย่างไม่มีที่สิ้นสุด (หรืออนันต์เล็ก ) ของxและyตามลำดับ เช่นเดียวกับที่Δxและ Δy แทนการเพิ่มขึ้นที่จำกัดของxและyตามลำดับ^{[ 1 ]}

พิจารณาyเป็นฟังก์ชันของตัวแปรxหรือy = f ( x )ถ้าเป็นเช่นนั้นอนุพันธ์ของyเทียบกับxซึ่งต่อมาถูกมองว่าเป็นลิมิต

${\displaystyle \lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}},}$

ตามที่ไลบ์นิซกล่าวไว้ คือผลหารของค่าเพิ่มขึ้นเล็กน้อยของyกับค่าเพิ่มขึ้นเล็กน้อยของxหรือ

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f'(x),}$

โดยที่ด้านขวามือคือสัญลักษณ์ของโจเซฟ-หลุยส์ ลากรองจ์สำหรับอนุพันธ์ของfที่xส่วนเพิ่มที่เล็กมากเรียกว่าอนุพันธ์ สิ่งที่เกี่ยวข้องกับเรื่องนี้คือ ปริพันธ์ซึ่งส่วนเพิ่มที่เล็กมากจะถูกบวกเข้าด้วยกัน (เช่น เพื่อคำนวณความยาว พื้นที่ และปริมาตรเป็นผลรวมของชิ้นส่วนเล็กๆ) ซึ่งไลบ์นิซได้เสนอสัญลักษณ์ที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดโดยใช้อนุพันธ์เดียวกัน สัญลักษณ์นี้มีประสิทธิภาพอย่างมากและพิสูจน์แล้วว่ามีความสำคัญต่อการพัฒนาคณิตศาสตร์ในยุโรปภาคพื้นทวีป

แนวคิดเรื่องอนันต์เล็กของไลบ์นิซ ซึ่งถูกมองว่าไม่แม่นยำเพียงพอที่จะใช้เป็นพื้นฐานของแคลคูลัส ในที่สุดก็ถูกแทนที่ด้วยแนวคิดที่เข้มงวดมากขึ้นซึ่งพัฒนาโดยไวเออร์สตรัสและคนอื่นๆ ในศตวรรษที่ 19 ด้วยเหตุนี้ สัญลักษณ์ผลหารของไลบ์นิซจึงถูกตีความใหม่ให้หมายถึงลิมิตตามนิยามสมัยใหม่ อย่างไรก็ตาม ในหลายกรณี สัญลักษณ์นี้ดูเหมือนจะทำหน้าที่เหมือนผลหารจริงๆ และประโยชน์ใช้สอยของมันทำให้มันได้รับความนิยมแม้จะมีสัญลักษณ์อื่นๆ ที่แข่งขันกันอยู่หลายแบบ มีการพัฒนารูปแบบทางคณิตศาสตร์ที่แตกต่างกันหลายแบบในศตวรรษที่ 20 ซึ่งสามารถให้ความหมายที่เข้มงวดแก่แนวคิดเรื่องอนันต์เล็กและการกระจัดอนันต์เล็กได้ รวมถึงการวิเคราะห์แบบไม่มาตรฐานพื้นที่สัมผัสสัญลักษณ์ Oและอื่นๆ

อนุพันธ์และปริพันธ์ของแคลคูลัสสามารถบรรจุลงในทฤษฎีรูปแบบเชิงอนุพันธ์ สมัยใหม่ ได้ ซึ่งอนุพันธ์เป็นอัตราส่วนของอนุพันธ์สองตัวอย่างแท้จริง และปริพันธ์ก็มีพฤติกรรมที่สอดคล้องกับสัญกรณ์ของไลบ์นิซอย่างแม่นยำเช่นกัน อย่างไรก็ตาม สิ่งนี้จำเป็นต้องมีการนิยามอนุพันธ์และปริพันธ์ด้วยวิธีการอื่นก่อน และด้วยเหตุนี้จึงแสดงให้เห็นถึงความสอดคล้องในตัวเองและประสิทธิภาพในการคำนวณของสัญกรณ์ของไลบ์นิซมากกว่าที่จะเป็นการวางรากฐานใหม่ให้กับมัน

แนวทางของนิวตัน-ไลบ์นิซในการคำนวณแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ได้รับการแนะนำในศตวรรษที่ 17 ในขณะที่นิวตันทำงานกับฟลักซ์ชันและฟลูเอนท์ ไลบ์นิซได้วางรากฐานแนวทางของเขาบนการวางนัยทั่วไปของผลรวมและผลต่าง^{[ 2 ]}ไลบ์นิซได้ปรับสัญลักษณ์อินทิกรัล จากตัว อักษร s ที่ยาวขึ้นในคำภาษาละตินſumma ( "ผลรวม") ตามที่เขียนไว้ในขณะนั้น โดยมองว่าผลต่างเป็นการดำเนินการผกผันของผลรวม^{[ 3 ]}เขาใช้สัญลักษณ์dซึ่งเป็นอักษรตัวแรกของคำภาษาละตินdifferentiaเพื่อบ่งชี้การดำเนินการผกผันนี้^{[ 2 ]}ไลบ์นิซพิถีพิถันเกี่ยวกับสัญลักษณ์ โดยใช้เวลาหลายปีในการทดลอง ปรับแต่ง ปฏิเสธ และติดต่อกับนักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ เกี่ยวกับสัญลักษณ์เหล่านั้น^{[ 4 ]}สัญลักษณ์ที่เขาใช้สำหรับอนุพันธ์ของyมีตั้งแต่ω , lและ⁠ ตามลำดับ${\displaystyle \textstyle \int }$y/งจนกระทั่งในที่สุดเขาก็ตกลงไปที่ dy เครื่องหมายสำคัญของพระองค์ปรากฏต่อสาธารณะเป็นครั้งแรกในบทความ " De Geometria Recondita et analysi indivisibilium atque infinitorum ^" ("On aซ่อนเรขาคณิตและการวิเคราะห์ของแบ่งแยกไม่ได้และอนันต์") ตีพิมพ์ใน ^{Acta Eruditorum} ในเดือนมิถุนายน ค.ศ. 1686 ^{[ 6 ] [ 7 ]}แต่เขาใช้มันในต้นฉบับส่วนตัวอย่างน้อยตั้งแต่ปี ค.ศ. 1675 ^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]}ไลบ์นิซใช้ dx เป็นครั้งแรก ในบทความ " Nova Methodus pro Maximis et Minimis " ซึ่งตีพิมพ์ใน Acta Eruditorumในปี 1684 ^{ด้วย [ 11 ]}ในขณะที่สัญลักษณ์ ⁠dx/dyปรากฏในต้นฉบับส่วนตัวในปี พ.ศ. 2328 ^{[ 12 ] [ 13 ]}แต่ไม่ปรากฏในรูปแบบนี้ในงานตีพิมพ์ที่กล่าวถึงข้างต้น อย่างไรก็ตาม ไลบ์นิซใช้รูปแบบเช่น dy ad dxและ dy  : dxในงานพิมพ์ ^{[ 11 ]}

ในช่วงปลายศตวรรษที่ 19 ผู้ติดตามของไวเออร์สตรัสเลิกใช้สัญลักษณ์ของไลบ์นิซสำหรับการหาอนุพันธ์และปริพันธ์อย่างตรงตัว กล่าวคือ นักคณิตศาสตร์รู้สึกว่าแนวคิดเรื่องปริมาณอนันต์เล็ก ๆ นั้นมีข้อขัดแย้งทางตรรกะในการพัฒนาของมัน นักคณิตศาสตร์ในศตวรรษที่ 19 หลายคน (ไวเออร์สตรัสและคนอื่นๆ) พบวิธีที่เข้มงวดทางตรรกะในการจัดการกับอนุพันธ์และปริพันธ์โดยไม่ต้องใช้ปริมาณอนันต์เล็ก ๆ โดยใช้ลิมิตดังที่แสดงไว้ข้างต้น ในขณะที่โคชีใช้ทั้งปริมาณอนันต์เล็ก ๆ และลิมิต (ดูCours d'Analyse ) อย่างไรก็ตาม สัญลักษณ์ของไลบ์นิซยังคงใช้กันทั่วไป แม้ว่าสัญลักษณ์นี้ไม่จำเป็นต้องนำไปใช้ตามตัวอักษร แต่โดยทั่วไปแล้วจะง่ายกว่าทางเลือกอื่นๆ เมื่อ ใช้เทคนิคการแยกตัวแปร ในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ ในการประยุกต์ใช้ทางฟิสิกส์ ตัวอย่างเช่น เราอาจมองว่าf ( x ) มีหน่วยเป็นเมตรต่อวินาที และ dx มีหน่วยเป็นวินาที ดังนั้นf ( x )dx จึง มีหน่วยเป็นเมตร และค่าของปริพันธ์จำกัดของมันก็มีหน่วยเป็นเมตรเช่นกัน ด้วยวิธีนี้ สัญกรณ์ของไลบ์นิซ จึง สอดคล้องกับการวิเคราะห์มิติ

สมมติว่าตัวแปรตามyแทนฟังก์ชันfของตัวแปรอิสระxนั่นคือ

${\displaystyle y=f(x).}$

ดังนั้น อนุพันธ์ของฟังก์ชันfในสัญกรณ์การหาอนุพันธ์ของ ไลบ์นิซ สามารถเขียนได้ดังนี้

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}\,{\text{ หรือ }}{\frac {d}{dx}}y\,{\text{ หรือ }}{\frac {d{\bigl (}f(x){\bigr )}}{dx}}.}$

สัญลักษณ์ของไลบ์นิซ ซึ่งบางครั้งเขียนว่าdy / dxเป็นหนึ่งในสัญลักษณ์หลายแบบที่ใช้สำหรับอนุพันธ์และฟังก์ชันอนุพันธ์ ทางเลือกที่นิยมใช้กันอีกแบบคือสัญลักษณ์ของลากรองจ์

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}\,=y'=f'(x).}$

อีกทางเลือกหนึ่งคือสัญกรณ์ของนิวตันซึ่งมักใช้สำหรับอนุพันธ์เทียบกับเวลา (เช่นความเร็ว ) ซึ่งต้องวางจุดไว้เหนือตัวแปรตาม (ในกรณีนี้คือx ):

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}={\dot {x}}.}$

สัญลักษณ์ " ไพรม์ " ของลากรองจ์มีประโยชน์อย่างยิ่งในการอภิปรายเกี่ยวกับฟังก์ชันอนุพันธ์ และมีข้อดีคือเป็นวิธีที่เป็นธรรมชาติในการระบุค่าของฟังก์ชันอนุพันธ์ที่ค่าเฉพาะค่าหนึ่ง อย่างไรก็ตาม สัญลักษณ์ของไลบ์นิซก็มีข้อดีอื่นๆ ที่ทำให้ได้รับความนิยมมาตลอดหลายปี

ในความหมายสมัยใหม่ สำนวน⁠dy/dx⁠ไม่ควรถูกตีความว่าเป็นการหารปริมาณสองค่า dxและ dy (ดังที่ไลบ์นิซได้จินตนาการไว้) แต่ควรพิจารณาทั้งนิพจน์ว่าเป็นสัญลักษณ์เดียวที่เป็นตัวย่อสำหรับ

${\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$

(หมายเหตุ: Δเทียบกับdโดยที่Δแสดงถึงความแตกต่างที่มีค่าจำกัด)

อาจมองสำนวนนี้ว่าเป็นการประยุกต์ใช้ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ ได้เช่น กันง/dx(อีกครั้ง สัญลักษณ์เดียว) ไปยัง yซึ่งถือว่าเป็นฟังก์ชันของ xตัวดำเนินการนี้เขียนว่า Dในสัญกรณ์ของออยเลอร์ไลบ์นิซไม่ได้ใช้รูปแบบนี้ แต่การใช้สัญลักษณ์ d ของเขา สอดคล้องกับแนวคิดสมัยใหม่นี้ค่อนข้างใกล้เคียง

แม้ว่าโดยทั่วไปแล้วจะไม่มีการแบ่งที่แฝงอยู่ในสัญลักษณ์ (แต่ดูการวิเคราะห์ที่ไม่เป็นมาตรฐาน ) แต่สัญลักษณ์ที่คล้ายกับการแบ่งนั้นมีประโยชน์ เนื่องจากในหลายสถานการณ์ ตัวดำเนินการอนุพันธ์มีพฤติกรรมเหมือนการแบ่ง ทำให้ผลลัพธ์บางอย่างเกี่ยวกับอนุพันธ์ง่ายต่อการได้รับและจดจำ^{[ 14 ]} สัญลักษณ์นี้มีอายุยืนยาวเนื่องจากดูเหมือนว่าจะเข้าถึงแก่นแท้ของการประยุกต์ใช้ทางเรขาคณิตและกลศาสตร์ของแคลคูลัส^{[ 15 ]}

ถ้าy = f ( x ) อนุพันธ์ลำดับ ที่nของfในสัญกรณ์ของ Leibniz จะได้รับจาก^{[ 16 ]}

${\displaystyle f^{(n)}(x)={\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}.}$

สัญลักษณ์นี้สำหรับอนุพันธ์อันดับสองได้มาจากการใช้⁠ง/dxใน ฐานะผู้ดำเนินการในลักษณะต่อไปนี้ ^{[ 16 ]}

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,=\,{\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right).}$

อนุพันธ์ลำดับที่สาม ซึ่งอาจเขียนได้ดังนี้

${\displaystyle {\frac {d\left({\frac {d\left({\frac {dy}{dx}}\right)}{dx}}\right)}{dx}}\,,}$

สามารถหาได้จาก

${\displaystyle {\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}\,=\,{\frac {d}{dx}}\left({\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\right)\,=\,{\frac {d}{dx}}\left({\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)\right).}$

ในทำนองเดียวกัน อนุพันธ์อันดับสูงกว่าก็สามารถหาได้โดยวิธีการอุปนัย

แม้ว่าจะเป็นไปได้ที่จะตีความได้ โดยการเลือกนิยามอย่างระมัดระวังdy/dxในฐานะผลหารของอนุพันธ์ไม่ควรทำเช่นนี้กับรูปแบบลำดับที่สูงกว่า ^{[ 17 ]}อย่างไรก็ตามสัญกรณ์ไลบ์นิซทางเลือกสำหรับการหาอนุพันธ์สำหรับลำดับที่สูงกว่าอนุญาตให้ทำเช่นนี้ ได้

อย่างไรก็ตาม ไลบ์นิซไม่ได้ใช้สัญกรณ์นี้ ในงานเขียนของเขา เขาไม่ได้ใช้สัญกรณ์หลายระดับหรือเลขชี้กำลังเชิงตัวเลข (ก่อนปี ค.ศ. 1695) ตัวอย่างเช่น ในการเขียน^x³ เขาจะเขียนxxxซึ่งเป็นเรื่องปกติในสมัยของเขา กำลังสองของอนุพันธ์ ดังที่อาจปรากฏใน สูตร ความยาวส่วนโค้งตัวอย่างเช่น จะเขียนเป็นdxdxอย่างไรก็ตาม ไลบ์นิซใช้ สัญกรณ์ d ของเขาในลักษณะ ^{เดียว}กับที่เราใช้ตัวดำเนินการในปัจจุบัน กล่าวคือ เขาจะเขียนอนุพันธ์อันดับสองเป็นddyและอนุพันธ์อันดับสามเป็นdddy ในปี ค.ศ. 1695 ไล บ์นิซเริ่มเขียน d²⋅x และ d³⋅x ^{สำหรับ} ddxและdddxตามลำดับแต่เลอปิตาลในตำราแคลคูลัสของเขาที่เขียนขึ้นในช่วงเวลาเดียวกัน ใช้รูปแบบดั้งเดิมของไลบ์นิซ^{[ 18 ]}

ไลบ์นิซได้แนะนำสัญลักษณ์อินทิกรัลสำหรับการอินทิเกรต^{[ 19 ]} (หรือ "แอนติดิฟเฟอเรนเชียล") ซึ่งปัจจุบันใช้กันอย่างแพร่หลาย:${\displaystyle \displaystyle \int }$

สัญกรณ์นี้ได้รับการแนะนำในงานเขียนส่วนตัวของเขาในปี พ.ศ. 2518 ^{[ 20 ] [ 21 ]}โดยปรากฏต่อสาธารณะเป็นครั้งแรกในบทความ " De Geometria Recondita et analysi indivisibilium atque infinitorum " (เกี่ยวกับเรขาคณิตที่ซ่อนเร้นและการวิเคราะห์สิ่งที่แบ่งไม่ได้และอนันต์) ซึ่งตีพิมพ์ในActa Eruditorumในเดือนมิถุนายน พ.ศ. 2529 ^{[ 22 ] [ 23 ]} สัญลักษณ์นี้ใช้ตัวอักษร ſ ( s ยาว ) เป็นพื้นฐาน และถูกเลือกเพราะไลบ์นิซคิดว่าปริพันธ์เป็นผล รวมอนันต์ ของผลรวม อนันต์เล็ก ๆ

เหตุผลหนึ่งที่สัญลักษณ์ของไลบ์นิซในแคลคูลัสคงอยู่มานานก็คือ สัญลักษณ์เหล่านี้ช่วยให้สามารถจดจำสูตรที่เหมาะสมสำหรับการหาอนุพันธ์และการหาปริพันธ์ได้ง่าย ตัวอย่างเช่นกฎลูกโซ่ —สมมติว่าฟังก์ชันgหาอนุพันธ์ได้ที่xและy = f ( u )หาอนุพันธ์ได้ที่u = g ( x )ดังนั้นฟังก์ชันประกอบy = f ( g ( x ))หาอนุพันธ์ได้ที่xและอนุพันธ์ของมันสามารถแสดงในสัญลักษณ์ของไลบ์นิซได้ดังนี้^{[ 24 ]}

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}.}$

สามารถขยายแนวคิดนี้เพื่อจัดการกับองค์ประกอบต่างๆ ของฟังก์ชันที่กำหนดไว้อย่างเหมาะสมและมีความสัมพันธ์กัน ได้แก่u ₁ , u ₂ , ..., u _nและจะแสดงได้ดังนี้

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du_{1}}}\cdot {\frac {du_{1}}{du_{2}}}\cdot {\frac {du_{2}}{du_{3}}}\cdots {\frac {du_{n}}{dx}}.}$

นอกจากนี้ สูตร การบูรณาการโดยการแทนที่อาจแสดงได้ด้วย^{[ 25 ]}

${\displaystyle \int y\,dx=\int y{\frac {dx}{du}}\,du,}$

โดยที่xถูกมองว่าเป็นฟังก์ชันของตัวแปรใหม่uและฟังก์ชันyทางด้านซ้ายแสดงอยู่ในรูปของxในขณะที่ทางด้านขวาแสดงอยู่ในรูปของ u

ถ้าy = f ( x )โดยที่fเป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ และ ผกผันได้อนุพันธ์ของฟังก์ชันผกผัน ถ้ามีอยู่ จะสามารถกำหนดได้โดย^{[ 26 ]}

${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{\left({\frac {dy}{dx}}\right)}},}$

โดยวงเล็บที่เพิ่มเข้ามานั้นเพื่อเน้นย้ำว่าอนุพันธ์ไม่ใช่เศษส่วน

อย่างไรก็ตาม เมื่อแก้สมการเชิงอนุพันธ์ การคิดว่าdy s และdx s แยกตัวแปรได้นั้นเป็นเรื่องง่าย สม การเชิงอนุพันธ์ประเภทที่ง่ายที่สุดประเภทหนึ่งคือ^{[ 27 ]}

${\displaystyle M(x)+N(y){\frac {dy}{dx}}=0,}$

โดยที่MและNเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง การแก้สมการดังกล่าว (โดยปริยาย) สามารถทำได้โดยการพิจารณาสมการใน รูป แบบ เชิงอนุพันธ์

${\displaystyle M(x)dx+N(y)dy=0}$

และบูรณาการเพื่อให้ได้มาซึ่ง

${\displaystyle \int M(x)\,dx+\int N(y)\,dy=C.}$

การเขียนสมการเชิงอนุพันธ์ใหม่ให้อยู่ในรูปแบบนี้ (หากเป็นไปได้) และการนำเหตุผลข้างต้นมาใช้ เรียกว่า เทคนิค การแยกตัวแปรสำหรับการแก้สมการดังกล่าว

ในแต่ละกรณีเหล่านี้ สัญลักษณ์ของไลบ์นิซสำหรับอนุพันธ์ดูเหมือนจะทำหน้าที่เหมือนเศษส่วน แม้ว่าในความหมายสมัยใหม่แล้วมันจะไม่ใช่เศษส่วนก็ตาม

ในทศวรรษ 1960 อับราฮัม โรบินสันได้พัฒนาคำอธิบายทางคณิตศาสตร์สำหรับปริมาณอนันต์ของไลบ์นิซ โดยต่อยอดจากงานก่อนหน้านี้ของ เอ็ดวิน ฮิววิตต์และเจอร์ซี โลสซึ่ง เป็นที่ยอมรับได้ตามมาตรฐานความเข้มงวดในยุคนั้น และได้พัฒนาการ วิเคราะห์แบบไม่มาตรฐานโดยอิงจากแนวคิดเหล่านี้ วิธีการของโรบินสันถูกนำไปใช้โดยนักคณิตศาสตร์เพียงส่วนน้อยเท่านั้นเจอโรม ไคส์เลอร์ได้เขียนตำราแคลคูลัสสำหรับนักศึกษาปีแรกชื่อ " แคลคูลัสเบื้องต้น: แนวทางอนันต์"โดยอิงจากแนวทางของโรบินสัน

จากมุมมองของทฤษฎีอนันต์ขนาดเล็กสมัยใหม่Δxคือค่าเพิ่มขึ้นเล็กน้อยของ x , Δyคือค่าเพิ่มขึ้นเล็กน้อยของ y ที่สอดคล้องกันและอนุพันธ์คือส่วนมาตรฐานของอัตราส่วนอนันต์ขนาดเล็ก:

${\displaystyle f'(x)={\rm {st}}{\Bigg (}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}{\Bigg )}}$.

จากนั้นจึงกำหนด, , โดยที่ตามคำนิยามแล้วคือ อัตราส่วนของdyต่อdx${\displaystyle dx=\Delta x}$${\displaystyle dy=f'(x)dx}$${\displaystyle f'(x)}$

ในทำนองเดียวกัน แม้ว่านักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ในปัจจุบันจะมองว่าอินทิกรัลเป็น...

${\displaystyle \int f(x)\,dx}$

เป็นข้อจำกัด

${\displaystyle \lim _{\Delta x\rightarrow 0}\sum _{i}f(x_{i})\,\Delta x,}$

โดยที่Δxคือช่วงที่ประกอบด้วยxᵢ _ไลบ์นิซมองว่ามันคือผลรวม (เครื่องหมายอินทิกรัลหมายถึงผลรวมสำหรับเขา) ของปริมาณอนันต์เล็ก ๆ จำนวนมหาศาลf ( x )  dx จากมุมมองของการ วิเคราะห์แบบไม่มาตรฐาน การมองว่าอินทิกรัลเป็นส่วนมาตรฐานของผลรวมอนันต์ดังกล่าวจึงถูกต้อง

ข้อแลกเปลี่ยนที่จำเป็นเพื่อให้ได้ความแม่นยำของแนวคิดเหล่านี้คือ เซตของจำนวนจริงจะต้องถูกขยายไปเป็นเซตของจำนวนไฮเปอร์เรียล

ไลบ์นิซได้ทดลองใช้สัญลักษณ์ต่างๆ มากมายในสาขาคณิตศาสตร์หลายสาขา เขาคิดว่าสัญลักษณ์ที่ดีเป็นสิ่งสำคัญในการแสวงหาคณิตศาสตร์ ในจดหมายถึงลอปิตาลในปี ค.ศ. 1693 เขากล่าวว่า: ^{[ 28 ]}

หนึ่งในความลับของการวิเคราะห์นั้นอยู่ที่ลักษณะเฉพาะ กล่าวคือ อยู่ที่ศิลปะแห่งการใช้สัญลักษณ์ที่มีอยู่อย่างชาญฉลาด และท่านจะสังเกตได้ว่า จากขอบเขตอันเล็ก ๆ [เกี่ยวกับตัวกำหนด] นั้น เวียตาและเดส์การ์ตไม่ได้รู้ความลับทั้งหมด

เขาปรับปรุงเกณฑ์การเขียนสัญลักษณ์ที่ดีของเขาเมื่อเวลาผ่านไป และตระหนักถึงคุณค่าของการ "นำสัญลักษณ์ที่สามารถจัดเรียงในบรรทัดได้เหมือนตัวอักษรทั่วไป โดยไม่จำเป็นต้องขยายช่องว่างระหว่างบรรทัดเพื่อให้มีที่ว่างสำหรับสัญลักษณ์ที่มีส่วนที่ยื่นออกมา" ^{[ 29 ]}ตัวอย่างเช่น ในงานเขียนช่วงแรกๆ ของเขา เขาใช้เส้นเชื่อมระหว่างตัวอักษร (vinculum) จำนวนมาก เพื่อระบุการจัดกลุ่มของสัญลักษณ์ แต่ต่อมาเขาได้นำแนวคิดของการใช้วงเล็บคู่มาใช้เพื่อจุดประสงค์นี้ ซึ่งทำให้ผู้เรียงพิมพ์พอใจ เพราะไม่ต้องขยายช่องว่างระหว่างบรรทัดในหน้ากระดาษอีกต่อไป และทำให้หน้ากระดาษดูน่าสนใจยิ่งขึ้น^{[ 30 ]}

สัญลักษณ์ใหม่กว่า 200 ตัวที่ไลบ์นิซแนะนำนั้นยังคงใช้กันอยู่ในปัจจุบัน^{[ 31 ]}นอกจากดิฟเฟอเรนเชียลdx , dyและเครื่องหมายอินทิกรัล ( ∫ ) ที่กล่าวถึงไปแล้ว เขายังได้แนะนำเครื่องหมายโคลอน (:) สำหรับการหาร จุดกลาง (⋅) สำหรับการคูณ เครื่องหมายเรขาคณิตสำหรับความคล้ายคลึง (~) และความสอดคล้อง (≅) การใช้ เครื่องหมายเท่ากับ ของเรคอร์ด (=) สำหรับสัดส่วน (แทนที่ สัญลักษณ์ :: ของออทเทรด ) และสัญกรณ์คำต่อท้ายสองตัวสำหรับดีเทอร์มิแนนต์^{[ 28 ]}

• ข้อถกเถียงเรื่องแคลคูลัสของไลบ์นิซ-นิวตัน
• สัญลักษณ์สำหรับการหาอนุพันธ์